Bài soạn Ung dung cua dinh ly Vi-et

ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
A. lý do chọn đề tài
Đại số là một phần không thể thiếu trong chơng trình toán học THCS. Một
trong những kiến thức quan trọng của Đại số 9 là phơng trình bậc hai. Với nội
dung này, học sinh đã giải đợc phơng trình nhờ vào công thức nghiệm hay vận
dụng định lý Viet vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình.
Tuy nhiên với định lý Viet, ứng dụng của nó không chỉ đơn thuần là tìm
tổng và tích của hai nghiệm hay là tính nhẩm nghiệm của phơng trình. Qua việc
dạy toán 9 chúng tôi nhận thấy các em vận dụng định lý Viet vào giải toán cha
thật linh hoạt, cha biết khai thác và vận dụng đợc nhiều nội dung của định lý vào
các dạng bài toán; trong khi đó định lý Viet có tính ứng dụng rất rộng rãi trong
việc giải toán đại số.
Qua những năm giảng dạy và tìm hiểu chơng trình đại số 9, chúng tôi nhận
thấy đợc định lý Viet có vai trò quan trọng và ứng dụng nhiều trong việc giải các
bài tập, đặc biệt là phơng trình bậc hai có chứa tham số. Nó có ý nghĩa quan trọng
không những giúp cho học sinh có đợc phơng pháp giải phơng trình bậc hai, tính
nhẩm nghiệm của phơng trình, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng mà còn
là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán phức tạp thờng hay gặp trong
các sách tham khảo, tài liệu nâng cao hay trong các đề thi vào lớp 10, thi chọn
học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh. Đồng thời đó cũng là kiến thức đợc sử dụng
rộng rãi trong chơng trình toán học THPT.
Trớc vấn đề đó, chúng tôi đã mạnh dạn đi sâu vào nghiên cứu về những
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập. Với đề tài này chúng tôi mong
muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét vào giải bài
tập, đồng thời làm tăng khả năng học toán và kích thích hứng thú học tập của học
sinh.

1
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Xin đợc giới thiệu với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp một số ứng
dụng của định lý Viet vào giải bài tập mà chúng tôi đã đa vào áp dụng trong các

buổi ôn tập và bồi dỡng học sinh trong những năm gần đây.

2
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
B. Nội dung
Sự kết hợp của định lý Viet vào dấu các nghiệm số tạo nên nhiều bài toán
phong phú gây nên những ý muốn tìm tòi và khám phá của các em học sinh. Trớc
hết, hãy nhắc lại nội dung của định lý:
I. Định lý Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Thì x
1
+ x
2
=
a
b

Và x
1
. x
2

=
a
c
* Hệ quả:
a) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a + b + c = 0 thì phơng trình
có một nghiệm là x
1
= 1 còn nghiệm kia là x
2
=
a
c
b) Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có a - b + c = 0 thì phơng trình
có một nghiệm là x
1
= - 1 còn nghiệm kia là x
2
= -
a
c
* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

=
=+
Pu.v
Svu
thì u và v là hai nghiệm
của phơng trình: x
2
- Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số u và v là: S
2
- 4P

0
Dựa vào tổng và tích hai nghiệm (nếu có) của phơng trình bậc hai, ta xét đợc các
trờng hợp về dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai.
II. Bảng tóm tắt về dấu các nghiệm của phơng trình:
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (1)
Với
0

, x
1
, x
2

là hai nghiệm của phơng trình (1), giả sử x
1


x
2
, ta có:








==
=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.

3
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập

Dới đây là một số ứng dụng của định lý Viet vào giải phơng trình bậc hai có
chứa tham số

4
-
-
+
+++ - -
a
c
P
=
21
xx
<
21
xx
=
0
21
<
xx
21
0 xx
<
a
b
S
=
a

b
S
=
a
b
x
x
=
=
2
1
0
0
2
1
=
=
x
a
b
x
21
0 xx
<<
0.
21
>
xx
21
xx

>
a
b
S
=
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
IIi. Một số ví dụ minh hoạ việc ứng dụng định lý Viet
trong giải toán
(Chú ý: Các ví dụ dới đây đợc viết cho phơng trình bậc hai với ẩn số x,
tham số m).
1. Vận dụng của định lý Viet trong giải toán về mối liên hệ giữa các
nghiệm của ph ơng trình bậc hai .
Từ bảng tóm tắt ta tìm ra phơng pháp giải một số dạng sau:
a. Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Phơng pháp: Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu





<
>

0
a
c
0
Ví dụ: Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu:
x
2

2(m + 1)x m + 3 = 0 (1)
Giải: Phơng trình có nghiệm
0)3()1(0'
2
+
mm
;
Ta có
m
=
3
a
c
Phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu

a
c
< 0

3 m < 0

m > 3
b. Dạng 2 : Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu và nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng (
21
xx
>
)
Phơng pháp: Điều kiện:

<
<

0
0
a
b
a
c
0
Ví dụ: Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu trong
đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng.
Giải: Điều kiện

<
<
>
0
0
a
b
a
c
0
( )



<
>






<+
<
>

-1m
3m
1m
0m

0
02
3
Vô lý.

5
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn bài toán.
c. Dạng 3 : Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Phơng pháp: Điều kiện









=
<
>
0
0
0
a
b
a
c
Ví dụ: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm đối nhau:

x
2
(m 2)x + m 3 = 0
Giải: Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi:







<
=
<

=
<






=
<

==+
<=
>
3m
2m
3m
02-m
03-m
a
b
a
c
0
0
0
0.
0
21
21
a
b
xx
a
c
xx

d. Dạng 4 : Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
Phơng pháp: Điều kiện:





>

0
0
a
c

Ví dụ: Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x + m = 0 (2)
Với giá trị nào của m thì phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu.
Giải: Phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu








>

0
a
c
0
0a
( ) ( )





<
<>
+









>



0m
0m hoặc1m
01m-

1m
1-m
m
1-mm1-m
01-m
0
0
2
Dạng 5 : Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm.

6
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Phơng pháp: Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm











<
>


0
0

a
b
a
c
0
0a
Ví dụ: Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0
Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Giải: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )





<<




<
>

>
<
>


>=
<=+
>+=


1m
m
1m
1-mm
1-m1-m
1m

1-m
m
xx
1-m
1-m
xx
1-mm1-m'
01-m
21
21
0
2
1
0
02
02
0.
0
2
0
2
Vậy 0 < m <
2
1
* Có những phơng trình bậc hai, không cần giải phơng trình ta vẫn có thể tìm đ-
ợc mối liên hệ giữa hai nghiệm của chúng:
Dạng 6: Liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
Ví dụ 1: Gọi x
1
, x

2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
x 1 = 0.
Không giải phơng trình, hãy tính:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
4
+ x
2
4
c) x
1
8
+ x
2
8
. . .
Giải:
Vì a và c trái dấu nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viet ta có:

==
==+
1.
1
21
21
a
c
xx
a
b
xx
a) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2.x
1

x
2
= 1 2.(-1) = 3
b) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2.x
1
2
.x
2
2
= 3
2
- 2.(-1)
2
= 7
. . . . . . . . . . . .
Ví dụ 2: Tìm m để hai nghiệm của phơng trình x

2
2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 thoả
mãn điều kiện (x
1
x
2
)
2
= 4

7
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Giải: Phơng trình có hai nghiệm
0 (m + 1)
2
2m 3 0






2
2
m
m
Theo định lý Viet ta có 4 = (x
1
x
2

)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4.x
1
x
2

= 4(m + 1)
2
4.(2m + 3)
Suy ra
3
=
m
thoả mãn điều kiện 0.
Ví dụ 3: Cho phơng trình : (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0.
Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm mối liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào tham số m.
Giải:
Điều kiện để phơng trình có nghiệm là 0
(m + 2)
2

2(m 1)(m 2) 0
- m
2
+ 10m 0 (m - 5)
2
25 0 m 10
Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có:
.
.
2
2
2
2
22
.
2
8
2
2
42
21
21

+=


==

+=

+
=+=
mm
m
xxP
mm
m
xxS
Suy ra S 4P = - 6 hay (x
1
+ x
2
) 4.x
1
x
2
+ 6 = 0
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm m để phơng trình x
2
mx + m
2
7 = 0 có hai nghiệm mà

nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 2. Tìm m để phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu:
(m 1)x
2
(m + 3)x + m 2 = 0
Bài 3. Cho phơng trình (m 1)x
2
2(m - 4)x + m 5 = 0 .
Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm mối liên hệ giữa hai nhiệm không phụ
thuộc tham số m.
* Qua định lý Viet, ta có thể biểu diễn luỹ thừa bậc cao của một nghiệm thông
qua luỹ thừa bậc thấp hơn của nghiệm đó.

8
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
Cụ thể:
x
1
2
= (x
1
+ x
2
)x
1
- x
1
x
2
= Sx

1
- P
x
1
3
= x
1
x
1
2
= x
1
(Sx
1
- P) = Sx
1
2
- Px
1

= S.(Sx
1
P) Px
1
= (S
2
P)x
1
- SP
x

1
4
= x
1
x
1
3
= (S
3
-2.SP)x
1
- P(S
2
P).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hoàn toàn tơng tự đối với nghiệm x
2.
Với tính chất trên, việc xác định các biểu thức chứa nghiệm của phơng trình bậc
hai đôi khi thuận lợi hơn nhiều.
Ví dụ: Cho phơng trình: x
2
2x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
(x
2
< 0)
Tính giá trị của biểu thức:
1098

8
2
3
13
8832
21
4
2
5
1
2
4
21
2
1
5
1
2
2
1
3
2
4
1
++=
++=
+++=
xxxxC
xxxxxB
xxxxA

Giải: Theo định lý Viet ta có: S = 2 ; P = - 1, áp dụng các hệ thức trên ta có:
x
2
1
= 2x
1
+ 1 ; x
2
2
= 2x
2
+ 1 ; x
3
2
= (4 + 1)x
2
+ 2.1 = 5x
2
+ 2
x
4
1
= (8 + 2.2.1)x
1
+ 1(4 + 1) = 12x
1
+ 5 ; x
4
2
= 12x

2
+ 5
x
5
1
= x
1
x
4
1
= x
1
(12x
1
+ 5) = 12x
2
1
+ 5x
1
= 12(2x
1
+ 1) + 5x
1
= 29x
1
+ 12
Ta có:
8832
2
2

1
3
2
4
1
+++=
xxxxA
= 12x
1
+ 5 + 2(5x
2
+ 2) + 3(2x
1
+ 1) + 8x
2
8
= 18x
1
+ 18x
2
+ 4 = 18S + 4 = 40
2
4
21
2
1
5
1
8
2

3
13 xxxxxB
++=
=
2
2
21
2
11
2
1
8)12(
2
3
13512 xxxxxx
++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++
xxxx
=
)12(

2
3
1312
2
3
13
2121
++=+
xxxx

(phơng trình có ac = - 1 < 0 nên x
1
và x
2
trái dấu, mà x
2
< 0 nên x
1
> 0)

9
ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập
= 3(x
1
+ x
2
) -
9
11
2

1
3
2
1
==
S

1098
21
4
2
5
1
++=
xxxxC

10985121229
2121
++++=
xxxx

4972172121
21
=+=++=
Sxx
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho phơng trình x
2
2x + 3 m = 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: 2x

3
1
+ (m + 1)x
2
2
= 16
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Không giải phơng trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
A = x
1
3x
2
; B = x
8
1
+ x
6
2
+ 13x
2
2. ứ ng dụng định lý Viet trong bài toán lập ph ơng trình bậc hai một ẩn
Ví dụ 1: Cho hai số x
1

2
13
+
=
, x
2
=
31
1
+
Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là x
1
, x
2
Ta có: x
1

2
13
+
=
, x
2
=
( )( )
2
13
3131
31
31

1

=
+

=
+
Nên x
1
.x
2

2
1
31
1
.
2
13
=
+
+
=
x
1
+ x
2

2
13

+
=
+
31
1
+
2
13
2
13

+
+
=
=
3
Vậy phơng trình bậc hai cần lập là: x
2
-
3
.x +
2
1
= 0 hay 2x
2
- 2
3
.x + 1 = 0
Ví dụ 2: Cho phơng trình: x
2

+ 5x 1 = 0
Không giải, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn
của các nghiệm phơng trình trên.
Cách giải:
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình đã cho, theo hệ thức Viet ta có:
x
1
+ x
2
= - 5 x
1
.x
2
= - 1
Gọi y
1
, y
2
là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có: y
1
+ y
2
=
4
2
4

1
xx
+
y
1
.y
2
=
4
2
4
1
xx .

10