bài tập về căn thức bậc hai

Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
Các bài toán Tổng hợp về Căn Thức
1/ a) Rút gọn
2 2
3 3 3 (3 )
2 2 2 2
x y y y x
A
y x x y x y

= + +
+
b) Tính
1
.
a a b b
B ab ab
b b b a a


= +
ữ
ữ
ữ


với a > 0 ; b > 0.
2/ a) Rút gọn
2 2
2 2 2 2
.

b a a b ab
A
a ab ab b a b
+

=
ữ


b) Tính
2
( 2) 8
2
b b
B
b
b
+
=

với b = 0,0025.
3/ a) Rút gọn
2 2
1 1 1
:
1 2 1
a
A
a a a a a
+

= +
ữ
+

So sánh giá trị của biểu thức với 1 nếu a > 0;
b) Tính giá trị của A = x
2
+ 12 x - 14 khi x = - 6 + 5
2
4/ a) Rút gọn biểu thức
2 2 2
2 2
25 10 4 4 25 9
.
9 30 25 2 5 2
a ab b a b
A
b ab a b a

=
+ + +
b) Rút gọn biểu thức
2 2 2 2
2x y x xy y
B
x y
+ +
=

với x > y > 0.
5/ a) Rút gọn
4 2
2 2
1 2 1
:
6 3 4 15 ( 2)(3 5)
x x x x
A
x x x x x x
+

=
ữ
+ +

b) Tính
2 3 2 3
2 3 2 3
B
+
=
+
6/ Rút gọn
2
2 4
2( 2)
: ( 2)
4 16
x x

A x
x x


= +

+

7/ Rút gọn
2
2 2
16 3 2 3 2 1
1 :
4 2 2 4 4
x x x x x
A
x x x x x

+
= + +
ữ
+ + +

8/ Rút gọn
2 2 1
.
1
2 1
a a a
A

a
a a a

+ +
=
ữ
ữ

+ +

9/ Rút gọn
2 1 2
.
1
1 2 1
x x x x x x x x
A
x
x x x

+ +
=
ữ
ữ



10/ Rút gọn
.
b a a b b a

A
a b
a ab ab b

+
=
ữ
ữ



11/ Cho biểu thức
3 2 2
2
x x
M
x
+
=

và
3
2 2
2
x x x
N
x
+
=
+

GV: Dơng Thế Nam - 1 - 2007/2008
Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
a) Rút gọn M và N.
b) Tính giá trị của x để M = N.
12/ Cho biểu thức:
2 1
: 1
1
1 1
x x
A
x
x x x x x

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0.
13/ Tính giá trị biểu thức
2 6 2
2 2
3 3 2 2 3 3 2 2
3 3
A
+
=

+ +
14/ Cho biểu thức
2
2
1
1
x x x x
E
x x x
+ +
= +
+
a) Rút gọn E.
b) Chứng minh rằng E - |E| = 0 với x > 1.
15/ Cho biểu thức
2 2
2 1 1 1
.
3 1
2 1 2 1
1 1
3 3
G
x
x x



= +

+

+

+ +
ữ ữ



a) Rút gọn G.
b) Tìm x để G =
1
3
16/ Cho biểu thức
26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi
7 4 3x =
c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó
17/ Cho biểu thức
3
2 1 1 4
: 1

1 1
1
x x
P
x x x
x

+ +

=
ữ
ữ
+ +



a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dơng.
18/ Cho biểu thức
GV: Dơng Thế Nam - 2 - 2007/2008
Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
1 1 2
:
1
1 1
x
P
x
x x x x

=
ữ
ữ
ữ

+


a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0.
c) Tìm các số m để có giá trị của x thoả mãn:
.P x m x=
19/ Cho biểu thức
1 1
1 : 1
1 1 1 1
xy x xy x
x x
P
xy xy xy xy

+ +
+ +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn P

b) Cho
1 1
6
x y
+ =
, Tìm giá trị lớn nhất của P.
20/ Tính
2 2 6
:
3 2 2 3 2 2 2
A

=
ữ
+

21/ Cho a, b là 2 số dơng:
Rút gọn biểu thức:
( )
.
a b b a
a b
ab
+

22/ Cho biểu thức
( )
2
4a b ab
P

a b
+
=

a) Tìm điểu kiện có nghĩa của P.
b) Rút gọn P.
c) Tính giá trị của P khi a = 4 ; b = 1.
23/ Cho biểu thức
2 1 1
1
1 1
x x x
T
x
x x x x
+ + +
= +

+ +
với x > 0 và x 1
a) Rút gọn T
b) Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x 1 luôn có T <
1
3
24/ Rút gọn
( )
2 3 2 3 3 2 3
2 . . 24 8 6
3 2
4 2 2 3 2 3 2 3

+
+ + + +
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ
+ +

25/ Cho
( ) ( )
1 1
2 1 2 2 1 2
A
a a
= +
+ + +
và
2
3
2
1
a a
B A
a

= +
+
a) Tìm a để A, B có nghĩa.
b) Rút gọn A, B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
GV: Dơng Thế Nam - 3 - 2007/2008

Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
26/ Rút gọn
9 6 2 6
3
A

=
27/ Cho biểu thức
2
2 5 3x x y y
A
x y y
+
=

a) Tìm điều kiện của x, y để A có nghĩa.
b) Rút gọn rồi tính giá trị của A khi
3 13 48x = + +
và
4 2 3y =
c) Giải hệ phơng trình
0
3 2 5
A
x y
=



+ = +

28/ Cho biểu thức
( )
2
2 8
2
x x
A
x
x
+
=

a) Tìm tập xác định của A
b) Rút gọn A.
29/ a) Thực hiện phép tính:
(
)
2
3 5 3 5+
b) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2
16 4 4 1a a a +
với a = - 0,25;
30/ Cho
2
2 2 1
:
1

y
x x x x x x x x

= +
ữ
+ + + +

a) Rút gọn y.
b) Vẽ đồ thị hàm số y.
c) Cho A(2;5) ; B(-1;-1) ; C(4;9). Chứng minh A, B, C thẳng hàng và đ-
ờng thẳng ABC song song với đờng thẳng y.
d) Chứng minh đờng thẳng BC và 2 đờng thẳng y = 3 và 2y + x - 7 = 0 là
3 đờng thẳng đồng quy.
31/ Cho biểu thức
3 2 2 3
3 2 2 3
x x y xy y
A
x x y xy y
+
=
+
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi cho
3; 2x y= =
c) Với giá trị nào của x và y thì A = 1
32/ Cho biểu thức
2
2 5 1
3 6 2

x
B
x x x x
+
= +
+ +
a) Rút gọn B.
GV: Dơng Thế Nam - 4 - 2007/2008
Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
b) Tính giá trị của B biết
2
2 3
x =
+
c) Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
33/ Cho biểu thức
( )
2
2
3 3
2
1
1 1
: .
1 1 1
x x
x x
C x x
x x x

+
= +

ữ ữ
+ +


a) Rút gọn C.
b) Tính giá trị của C khi
3 2 2x = +
c) Tính giá trị của x để cho: 3. C = 1
34/ Cho biểu thức
2 2
2 2 3
2 4 2 3
:
2 4 2 2
x x x x x
D
x x x x x

+
=
ữ
+

a) Rút gọn D.
b) Tính giá trị của D khi |x - 5| = 2

35/ Cho biểu thức
( ) ( )
2
2
4 1 2 1 1
9 4
x x x
E
x
+ +
=

a) Rút gọn E.
b) Tìm x để: E > 0
36/ Cho biểu thức
( ) ( )
2
2
9 4 2 3
6 9
x x x
F
x x

=
+
a) Rút gọn F.
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số nguyên.
37/ Cho biểu thức
2

1 1 1 2
:
1 1 1 1 1
x x x
G
x x x x x
+

= +
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức G.
b) Tính giá trị của biểu thức G khi
4 2 3x = +
c) Tính giá trị của x để :
3G
=
.
38/ Cho biểu thức
3
1 1
1 1 1
x x
H
x x x x x

= + +
+
a) Rút gọn H.

b) Tính giá trị của H khi
53
9 2 7
x =

c) Tính giá trị của x để H = 16.
GV: Dơng Thế Nam - 5 - 2007/2008
Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
39/ Cho biểu thức
1 2
1 :
1
1 1
x x
K
x
x x x x x

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a) Rút gọn K.
b) Tính giá trị của K khi
4 2 3x = +
c) Tìm giá trị của x để K > 1.
40/ Cho biểu thức
2

2 2
2 2
: .
a b a b a a b b
L
a b a b b a b a

+ + +

= +
ữ
ữ ữ





a) Rút gọn L.
b) Tính giá trị của L khi
2
a
b
=
41/ Cho biểu thức
2 2 3
2 2 2 2
:
2
a a a a
M

a b b a a b a b ab

= +
ữ ữ
+ + + +

a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi cho
1 2; 1 2a b= + =
c) Tìm giá trị của a và b trong trờng hợp
1
2
a
b
=
thì M = 1
42/ Cho biểu thức
a b a b
N
ab b ab a ab
+
= +
+
a) Rút gọn N.
b) Tính giá trị của N khi
4 2 3; 4 2 3a b= + =
c) Chứng minh rằng nếu
1
5
a a

b b
+
=
+
thì N có giá trị không đổi.
43/ Cho biểu thức
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 2 3
1 3
x x x
P
x x

=
+
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của biểu thức P khi
3 2 2x = +
c) Tìm các giá trị của x để P > 1.
44/ Cho biểu thức
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
Q
x

x x x


= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn Q.
GV: Dơng Thế Nam - 6 - 2007/2008
Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
b) Tính giá trị của biểu thức Q khi
6 2 5x = +
c) Tìm x khi
6
5
Q =
45/ Cho biểu thức
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
R
ab a b ab a b
+
=
+ + + +
a) Rút gọn R.
b) Chứng minh rằng nếu
81

81
b
R
b
+
=

thì khi đó
b
a
là một số nguyên chia hết
cho 3.
46/ Cho biểu thức
1 1
3 : 1
1 1
S x x
x x

= +
ữ ữ


a) Rút gọn S.
b) Tìm các giá trị của x để S > 5.
c) Tính giá trị của biểu thức S khi
12 140x = +
47/ Cho biểu thức
2 1 1
1:

1
1 1
x x x
T
x
x x x x

+ + +
= +
ữ
ữ

+ +

a) Rút gọn T.
b) Chứng minh T > 3 với mọi giá trị của x > 0 và x 1.
48/ Cho biểu thức
15 11 3 2 2 3
1
2 3 3
x x x
U
x
x x x
+
= +

+ +
a) Rút gọn U.
b) Tính giá trị của x khi

1
2
U =
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tơng ứng của x.
49/ Cho biểu thức
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
V
x x x x x

+ + +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn V.
b) Tìm x để V < 0.
50/ Cho biểu thức
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 1
Y
x x x x x

= + +
ữ ữ

+ + +

a) Rút gọn Y.
GV: Dơng Thế Nam - 7 - 2007/2008
Luyện thi vào THPT Trờng THCS TT Thanh Lãng
b) Tính giá trị của Y khi
1 2x = +
.
c) Tính giá trị của x khi
3
2
Y =
.
51/ Giả sử
(
)
(
)
2 2
1 1 1a a b b+ + =
. Hãy tính tổng a + b
GV: Dơng Thế Nam - 8 - 2007/2008