Tài liệu tự chọn nâng cao toán 6

PHẦN I: SỐ HỌC
CHỦ ĐỀ 1
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I. Dãy cộng :
Xét các dãy số sau:
a) Dãy số tự nhiên : 0, 1, 2, 3,
b) Dãy số lẻ: 1 , 3, 5 , 7, c) Dãy các số chia cho 3 dư 1 : 1 , 4, 7,10
Trong các dãy số trên, mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, đều lớn hơn số hạng
đứng liền trước nó cùng một số đơn vị, số đơn vị này là 1 ở dãy a); là 2 ở dãy b); là 3 ở
dãy c). Ta gọi các dãy trên là dãy cộng.
Xét dãy cộng 4,7,10,13,16,19 Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là 3. Số hạng
thứ 6 của dãy này là 19, bằng : 4 + (6 – 1).3; số hạng thứ 10 của dãy này là 4 + (10
– 1).3 = 31.
Tổng quát, nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a
1
và hiệu giữa hai số hạng liên
tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy cộng đó (kí hiệu a
n
) bằng:
a
n
= a
1
+ (n - 1)d (1)
Để tính tổng các số hạng của dãy cộng
4 + 7 + 10 + + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số)
Ta viết : A = 4 + 7 + 10 + 25 + 28 + 31
A = 31 + 28 + 25 + + 10 + 7 + 4
nên 2 A = (4 + 31) + (7 + 28) + + ( 28 + 7) + (31 + 4) = ( 4 + 31) .10
Do đó A =
(4 31).10

175
2
+
=
Tổng quát, nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a
1
, số hạng cuối là a
n

thì tổng của n số hạng đó được tính như sau:
1
2
).(
1
naa
S
n
+
=
(2) (*)
Trường hợp đặc biệt, tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 bằng:
1 + 2 + 3 + + n =
( 1)
2
n n +
(3)
II. Các dãy khác
Ví dụ 1 . Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật:
a) 3 , 8 , 15 , 24 , 35, (1)
b) 3 , 24 , 63 , 120 , 195, (2)

c) 1 , 3 , 6 , 10 , 15, (3)
d) 2 , 5 , 10 , 17, 26, (4)
Giải
a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng:
1.3 ; 2.4; 3.5 ; 4.6 ; 5.7,
Mỗi số hạng của dãy (1) là một tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa
số thứ nhất là 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành dãy : 1,2,3,4,5, dãy này có số
hạng thứ 100 là 100.
Do đó số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng : 100 .102 = 10200
b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng :
1.3 , 4.6, 7.9 , 10.12 , 13.15,
Số hạng thứ 100 của dãy 1 , 4, 7, 10 , 13 , là : 1 + 99.3 = 298.
Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng : 298 . 300 = 89400.
c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng :
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6
; ; ; ; ;
2 2 2 2 2
Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng :
100.101
5050
2
=
d) Dãy (4) có thể viết dưới dạng:
2
1 + 1
2
, 1 + 2
2
, 1 + 3
2

, 1 + 4
2
, 1 + 5
2
,
Số hạng thứ 100 của dãy (4) bằng : 1 + 100
2
= 10001
BÀI TẬP
1 . Tìm chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy số lẻ :
1, 3, 5, 7,
2 . a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số.
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số
3 . Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay không ?
1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ;
4. a) Viết liên tiếp các số hạng của dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A.
Tính tổng các chữ số của A.
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000.
5. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 1000! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ
bằng bao nhiêu ?
6. Tích A = 1.2.3 500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
7. a) Tích B = 38.39.40 74 có bao nhiêu thừa số 2 khi phân tích ra thừa số nguyên
tố ?
b) Tích C = 31 . 32 . 33 90 có bao nhiêu thừa số 3 khi phân tích ra thừa số
nguyên tố ?
8. Có bao nhiêu số tự nhiên đồng thời là các số hạng của cả hai dãy sau:
3, 7 , 11, 15 , 407 (1)
2,9,16,23, , 709 (2)
9. Trong dãy số 1, 2, 3, , 1990, có thể chọn được nhiều nhất bao nhiêu số để tổng hai
số bất kỳ được chọn chia hết cho 38 ?

3
10.* Chia dãy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm ( các số cùng nhóm được đặt trong
dấu ngoặc)
(1), (2,3), (4,5,6), ( 7,8,9,10), (11,12,13,14,15),
a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100.
b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100 .
11. Cho S
1
= 1 + 2,
S
2
= 3 + 4 + 5,
S
3
= 6 + 7 + 8 + 9,
S
4
= 10 + 11 + 12 + 13 + 14,

Tính S
100
.
12. Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8;
b) 1.4; 4.7; 7.10;
13 . Cho A = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ + 3

20
, B = 3
21
: 2
Tính B – A
14. Cho A = 1 + 4 + 4
2
+ 4
3
+ + 4
99
, B = 4
100
Chứng minh rằng : A <
3
B
15. Tính giá trị của biểu thức:
a) A = 9 + 99 + 999 + + 99 9
50 chữ số
b) B = 9 + 99 + 999 + + 99 9
200 chữ số
CHỦ ĐỀ 2
4
CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT, ƯỚC VÀ BỘI
I. Dấu hiệu chia hết cho 11
Cho A = a
5
a
4
a

3
a
2
a
1
a
0
.
A

11
⇔
[(a
0
+ a
2
+ a
4
+ ) – (a
1
+ a
3
+ a
5
+ )]

11.
Chứng minh:
A = (a
0

+ 10
2
a
2
+ 10
4
a
4
+ ) + (10a
1
+ 10
3
a
3
+ 10
5
a
5
+ )
Chú ý rằng : 10
2
= 99 + 1, 10
4
= 9999 + 1, , tổng quát :
10
2k
= bội 11 + 1 , còn 10 = 11 – 1, 10
3
= 1001 – 1, 10
5

= 100001 – 1,
Tổng quát 10
2k + 1
= bội 11 – 1 . Do đó : A = ( bội 11 + a
0
+ a
2
+ a
4
+ ) +
+ (bội 11 – a
1
– a
3
– a
5
- ) = bội 11 + ( a
0
+ a
2
+ a
4
+ ) – (a
1
+ a
3
+ a
5
+ )
Như vậy điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 11 là : Tổng các chữ số hàng

lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn của số đó có hiệu chia hết cho 11.
Ví dụ 2. Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 11 để tìm các chữ số x và y sao cho :
A = 62xy427 chia hết cho 99
Giải : A

99
⇔
A

11 và A

9
Tổng các chữ số hàng lẻ của A (từ phải sang trái) là 7 + 4 + x + 6 hay x + 17.
Tổng các chữ số hàng chẵn của A ( từ phải sang trái) là 2 + y + 2 hay y + 4 .
Tổng các chữ số của A là x + y + 21.
A

11
⇔
(x + 17) – ( y + 4)

11

⇔
13 + x – y

11
Do đó : x – y = 9 ( nếu x > y)
Hoặc y – x = 2 (nếu y > x)
A


9
⇔
x + y + 21

9
⇔
x + y
∈
{ 6 ; 15 } .
Trường hợp x – y = 9 cho ta x = 9 ; y = 0. Khi đó x + y = 0, loại.
Trường hợp y – x = 2 thì y + x phải chẵn nên y + x = 6 . Ta được :
5
2
2
26
=
−
=x
; y = 2 + 2 = 4
Đáp số : x = 2 ; y = 4
A = 6224427
II. Số lượng các ước của một số (*)
Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a
x
.b
y
.c
z

thì số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Thật vậy, ước của A là số có dạng m.n.p trong đó
m có x + 1 cách chọn ( là 1, a, a
2
, a
x
),
n có y + 1 cách chọn (là 1, b , b
2
, , b
y
),
p có z + 1 cách chọn (là 1, c, c
2
, c
z
),
Do đó số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Ví dụ 3. Tìm số nhỏ nhất có 12 ước.
Giải : Phân tích số phải tìm ra thừa số nguyên tố :
n = a
x
.b
y
.c
z


ta có (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 12.
( x

≥
y
≥
z
≥

≥
1).
Số 12 có bốn cách viết thành một tích của một hay nhiều thừa số lớn hơn 1 là:
12 =12.1 = 6.2 = 4.3 = 3.2.2.
Xét các trường hợp sau:
a) n chứa một thừa số nguyên tố : Khi đó x + 1 = 12 nên x = 11. Chọn thừa số nguyên
tố nhỏ nhất là 2, ta có số nhỏ nhất trong trường hợp này là 2
11
.
b) n chứa hai thừa số nguyên tố:
Khi đó (x + 1)(y + 1) = 6.2 hoặc (x + 1)(y + 1) = 4.3, do đó x = 5, y = 1 hoặc x = 3 , y
= 2. Để n nhỏ nhất ta chọn thừa số nguyên tố nhỏ ứng với số mũ lớn, ta có
n = 2
5
.3 = 96 hoặc n = 2
3
.3
2
= 72 . Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 72.
c) n chứa ba thừa số nguyên tố :
6
Khi đó (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 3.2.2 nên x = 2,y = z = 1 . Số nhỏ nhất là 2
2
.3.5 = 60

So sánh ba số 2
11
, 72, 60 trong ba trường hợp, ta thấy số nhỏ nhất có 12 ước là 60 .
III. Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố. ƯCLN, BCNN
Ngoài các tính chất đã nêu ở tiết 3, với các kiến thức về số nguyên tố , số
nguyên tố cùng nhau. ƯCLN, BCNN, ta có thêm một số tính chất về chia hết.
1) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia
hết cho p.
Hệ quả: Nếu a
n
chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p .
2) Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì
a chia hết cho m.
Thật vậy, phân tích m ra thừa số nguyên tố :
m = a
1
k1
a
2
k2
a
n
kn
(1)
Vì a.b chia hết cho m nên a.b chứa tất cả các thừa số nguyên tố a1, a2, an với số
mũ lớn hơn hoặc bằng số mũ của các thừa số nguyên tố đó trong (1). Nhưng b và m
nguyên tố cùng nhau nên b không chứa thừa số nguyên tố nào trong các thừa số a
1
, a
2

,
, a
n
. Do đó a chứa tất cả các thừa số a
1
, a
2
, a
n
tức là a chia hết cho m.
3) Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n.
Thật vậy, a chia hết cho m và n nên a là bội chung của m và n so đó chia hết cho
BCNN ( m,n).
Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho
tích m.n.
Các tính chất này cung cấp thêm những công cụ mới để chứng minh quan hệ
chia hết của các số.
Ví dụ 4 . Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 chia hết cho 7.
Giải : Cách 1: 18n + 3

7
7
⇔
14n + 4n + 3

7
⇔
4n + 3

7

⇔
4n + 3 – 7

7
⇔
4n – 4

7

⇔
4(n – 1)

7
Ta lại có (4,7) = 1 nên n – 1

7
Vậy n = 7k + 1 ( k
∈
N).
Cách 2: 18n + 3

7
⇔
18 n + 3 – 21

7
⇔
18n - 18

7

⇔
18(n – 1)

7
Ta lại có (18,7) = 1 nên n – 1

7
Vậy n = 7k + 1 ( k
∈
N)
Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một biểu
thức chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1.
Ví dụ 5. Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b
∈
N) . Chứng minh rằng 10a + b chia
hết cho 13.
Giải : Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y . Ta biết x

13, cần chứng minh y

13.
Cách 1: xét biểu thức:
10x – y = 10 (a + 4b) – (10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b
Như vậy 10x – y

13
Do x

13 nên 4y


13. Suy ra y

13
Cách 2: Xét biểu thức:
4y – x = 4 (10a + b) – (a + 4b) = 40a + 4b – A – 4b = 39a
Như vậy 4y – x

13
Do x

13 nên 4y

13. Ta lại có ( 4,13) = 1 nên y

13
8
Cách 3 : Xét biểu thức:
3x + y = 3 (a + 4b) + (10a + b) = 3a + 12b + 10a + b = 13a + 13b.
Như vậy 3x + y

13
Do x

13 nên 3x

13 . Suy ra y

13
Cách 4: Xét biểu thức:
x + 9y = a + 4b + 9 (10a + b) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b

Như vậy x + 9y

13
Do x

13 nên 9y

13 . Ta lại có (9,13) – 1, nên y

13
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có
một số hạng là bội của 13, khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13.
Hệ số của a ở x là 4, hệ số của a ở y là 1 nên xét biểu thức 10x – y nhằm khử a (tức là
làm cho hệ số của bằng 0) , xét biểu thức 3x + y nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13.
Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức 4y – x nhằm khử b,
xét biểu thức x + 9y nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết
cho 24.
Giải . Ta có (p – 1)p(p + 1)

3 mà (p,3) = 1 nên
(p – 1)(p + 1)

3 (1)
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp.
Trong hai số chẵn liên tiếp, có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8
(2).
Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau 3 và
8.
Vậy (p – 1)(p + 1)


24.
9
IV. Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong hai phép chia
Ví dụ 7. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5.
Giải : Gọi n là số chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5
Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r ( k, r
∈
N, r < 35), trong đó r
chia 5 dư 1, chia 7 dư 5.
Số nhỏ hơn 35 chia cho 7 dư 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho 5
dư 1, vậy r = 26.
Số nhỏ nhất có dạng 35k + 26 là 26.
Cách 2: Ta có n – 1

5
⇒
n – 1 + 10

5
⇒
n + 9 (1) . Ta có n – 5

7
⇒
n – 5 + 14

7
⇒
n + 9


7 (2) . Từ (1) và (2) suy ra n + 9

35
số n nhỏ nhất có tính chất trên là n = 26
Cách 3: n = 5x + 1 = 7y + 5
⇒
5x = 5y + 2y + 4
⇒
2(y + 2)

5
⇒
y + 2

5
Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3, giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3 + 5 = 26.
Ví dụ 8*. Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n
cho 132 thì dư 98.
Giải : Cách 1: Ta có 131x + 112 = 132y + 98
⇒
131x = 131y + y – 14
⇒
y – 14

131
⇒
y = 131k + 14 ( k
∈
N)

⇒
n = 132.(131k + 14) + 98 = 132.131k + 1946
Do n có bốn chữ số nên k = 0 , n = 1946
Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy ra
131(x – y) = y – 14 . Nếu x > y thì y – 14
≥
131
⇒
y
≥
145
⇒
n có nhiều
hơn bốn chữ số.
Vậy x = y, do đó y = 14, n = 1946,
Cách 3. Ta có n = 131x + 112 nên
10
132 n = 131.132x + 14784 (1)
Mặt khác n = 132y + 98 nên
131n = 131.132y + 12838 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 132n – 131 n = 131.132(x – y) + 1946
⇒
n = 131.132(x – y) + 1946.
Vì n có bốn chữ số nên n = 1946.
V. Các bài toán về ƯCLN, BCNN.
1) Tìm hai số trong đó biết ƯCLN của chúng.
Ví dụ 8. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng
6.
Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a
≤

b) .
Ta có (a,b) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ trong đó (a’, b’) = 1 (a, b, a’, b;
∈
N)
Do a + b = 84 nên 6 (a’ + b”) = 84 suy ra a’ + b’ = 14
Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a’
≤
b’), ta được:
a’ 1 3 5 Do đó a 6 18 30
b’ 13 11 9 b 78 66 54
Ví dụ 9. Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300. ƯCLN bằng 5.
Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a
≤
b).
Ta có (a,b) = 5 nên a = 5a’, b = 5b’ trong đó (a’, b’) = 1
Do ab = 300 nên 25a’b’ = 300 suy ra a’b’ = 12 = 4.3
Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tích bằng 12 (a’
≤
b’) ta được:
a’ 1 3 Do đó a 5 15
b’ 12 4 b 60 20
2) Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số với ƯCLN của chúng.
Ví dụ 10 . Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10, BCNN của chúng
bằng 900.
11
Giải : Gọi các số phải tìm là a và b, giả sử a ≤ b .
Ta có (a,b) = 10 nên a = 10a’, b = 10b’, (a’,b’) = 1; a’ ≤ b. Do đó ab = 100 a’b’(1).
Mặt khác ab = [a,b].(a,b) = 900.10 = 9000 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a’b’ = 90. Ta có các trường hợp:
a’ 1 2 5 9 Do đó a 10 20 50 90

b’ 90 45 18 10 b 900 450 180 100
3) Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơ clit
Ví dụ 11 *. Cho hai số tự nhiên a và b (a > b)
a) Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì (a,b) = b
b) Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của
số nhỏ và số dư trong phép chia số lớn cho số nhỏ.
c) Dùng các nhận xét trên để tìm ƯCLN (72,56).
Giải :
a) Mọi ước chung của a và b hiển nhiên là ước của b. Đảo lại,do a chia hết cho b
nên b là ước chung của a và b. Vậy (a,b) = b.
b) Gọi r là số dư trong phép chia a cho b (a > b) . Ta có a = bk + r (k
∈
N), cần
chứng minh rằng (a, b) = (b,r)
Thật vậy, nếu a và b cùng chia hết cho d thì r chia hết cho d, do đó ước chúng của a
và b cũng là ước chung của b và r (1).
Đảo lại nếu b và r cùng chia hết cho d thì a chia hết cho d, do đó ước chung của b và
r cũng là ước chung của a và b (2).
Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ước chung của a và b và tập hợp các chung của b và r
bằng nhau. Do đó hai số lớn nhất trong hai tập hợp đó cũng bằng nhau, tức là
(a, b) = (b,r)
c) 72 chia 56 dư 16 nên 972,56) = ( 56,16)
56 chia 16 dư 8 nên (56,16) = (16,8);
12
16 chia hết cho 8 nên (16,8) = 8 . Vậy (72,56) = 8
Nhận xét : Giả sử a không chia hết cho b và a chia hết cho b dư r
1
, b chia cho r
1

dư r
2
, r
1
chia cho r
2
dư r
3
, r
n – 2
chia cho r
n-1
dư r
n’
r
n-1
chia cho r
n
dư 0. (dãy số b, r
1
,
r
2
, ,r
n
là dãy số tự nhiên giảm dần nên số phép chia là hữu hạn do đó quá trình trên
phải kết thúc với một số dư bằng 0). Theo chứng minh ở ví dụ trên ta có
(a, b) = (b,r
1
) = (r

1
,r
2
) = =(r
n-1’
r
n
)= r
n
(vì r
n-1
chia hết cho r
n
).
Như vậy ƯCLN (a,b) là số chia cuối cùng trong dãy các phép chia liên tiếp a cho
b; b cho r
1
; r
1
cho r
2
; trong đó r
1
,r
2
, là số dư trong các phép chia theo thứ tự trên.
Trong thực hành người ta đặt tính như sau:
72 56
56 16 1
16 8 3

0 2
Việc thực hiện một dãy phép chia liên tiếp như trên được gọi là thuật toán Ơ–clit.
Trường hợp tìm ƯCLN của ba số, ta tìm ƯCLN của hai số rồi tìm ƯCLN của kết quả
với số thứ ba.
4) Hai số nguyên tố cùng nhau:
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1. Nói cách khác, chúng chỉ có
ước chung duy nhất là 1.
Ví dụ 12. Chứng minh rằng:
a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) 2n + 1 và 3n + 1 ( n
∈
N) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giải:
a) Gọi d
∈
ƯC (2n + 1,2n + 3)
⇒
(2n + 3) – (2n + 1)

d
⇒
2

d
⇒
d
∈
{1; 2}
Nhưng d ≠ 2 vì d là ước của số lẻ. Vậy d = 1

13
c) Gọi d
∈
ƯC (2n + 1, 3n + 1)
⇒
3 (2n + 1) – 2 (3n + 1)

d
⇒
1

d
⇒
d=1
Ví dụ 13 . Tìm số tự nhiên n để các số 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng
nhau.
Giải : Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì
9n + 24 – 3 (3n + 4)

d
⇒
12

d
⇒
d
∈
{ 2 ; 3}
Điều kiện đề (9n + 24, 3n + 4) = 1 là d ≠ 2 và d ≠ 3. Hiển nhiên d ≠ 3 vì 3n + 4 không
chia hết cho 3. Muốn d ≠ 2 phải có ít nhất một trong hai số 9n + 24 và 3n + 4 không

chia hết cho 2. Ta thấy:
9n + 24 là số lẻ
⇔
9n lẻ
⇔
n lẻ
3n + 4 là số lẻ
⇔
3n lẻ
⇔
n lẻ
Vậy điều kiện để (9n + 24,3n + 4) = 1 là n lẻ.
5) Tìm ƯCLN của các biểu thức số
Ví dụ 14. Tìm ƯCLN của 2n - 1 và 9n + 4 (n
∈
N)
Giải : Gọi d
∈
ƯC (2n – 1, 9n + 4)
⇒
2(9n + 4) - 9(2n – 1)

d
⇒
17

d
⇒
d
∈

{ 1 ; 17 }
Ta có 2n – 1

17
⇔
2n – 18

17
⇔
2(n – 9)

17
⇔
n – 9

17
⇔
⇔
n = 17k + 9 ( k
∈
N)
Nếu n = 17k + 9 thì 2n – 1

17 và
9n + 4 = 9.(17k + 9) + 4 = 17.9k + 85

17, do đó (2n – 1, 9n + 4) = 17
Nếu n ≠ 17k + 9 thì 2n – 1

không chia hết cho 17, do đó (2n – 1, 9n + 4) = 1

Ví dụ 15*. Tìm ƯCLN của
2
)1( +nn
và 2n + 1 (n ∈ N *)
Giải : Gọi d ∈ ƯC






+
+
12,
2
)1(
n
nn
thì n(n + 1)

d và 2n + 1

d
Suy ra n(2n + 1) – n(n + 1)

d tức là n
2


d

Từ n(n+1)

d và n
2


d suy ra n

d . Ta lại có 2n + 1

d, do đó 1

d, nên d = 1
Vậy ƯCLN của
2
)1( +nn
và 2n + 1 bằng 1.
CHỦ ĐỀ 3
DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
14
Dãy các số viết theo quy luật đã được trình bày ở chủ đề I. Chúng ta cũng gặp
các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo các quy luật nhất định.
Ví dụ 16. Tính nhanh:
832
3
1

3
1
3

1
3
1
++++=A
Giải
Ta có:
72
3
1

3
1
3
1
13
++++=
A
(1)
872
3
1
3
1

3
1
3
1
++++=A
(2)

Lấy (1) trừ (2) được:
2A = 1 -
6561
6560
6561
1
1
3
1
8
=−=
Do đó:
6561
3280
=A
Ví dụ 17. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a)
⋅⋅⋅
,
5,4
1
,
4.3
1
,
3.2
1
,
2.1
1

b)
⋅⋅⋅
,
336
1
,
176
1
,
66
1
,
6
1
Giải
a) Ta chú ý rằng :
)1(
1
1
11
,,
3.2
1
3
1
2
1
,
2.1
1

2
1
1
1
+
=
+
−⋅⋅⋅=−=−
nnnn
Do đó:
=+⋅⋅⋅++
101.100
1
3.2
1
2.1
1
=−+−+⋅⋅⋅+−+−=
101
1
100
1
100
1
99
1
3
1
2
1

2
1
1
1
101
100
101
1
1 =−=
b) Trước hết ta viết các mẫu : 6, 66, 176, 336, dưới dạng 1.6; 6.11; 11.16;
16.21; , số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1)
15
Cần tính tổng A =
501.496
1
16.11
1
11.6
1
6.1
1
+⋅⋅⋅+++
Nhận xét:
1 1 5 1 1 5 1 1 5
; ; ;
1 6 1.6 6 11 6.11 496 501 496.501
− = − = ××× − =
Tổng quát :
)15)(45(
5

15
1
45
1
+−
=
+
−
− nnnn
Do đó:
501
500
501
1
1
501
1
496
1
11
1
6
1
6
1
1
1
5 =−=−+⋅⋅⋅+−+−=A
Suy ra :
501

100
=A
Ví dụ 18. Tính tổng:
Giải. Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ở ví dụ trên: viết mỗi số hạng thành hiệu của
hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
Ta xét:
39.38.37
2
39.38
1
38.37
1
,,
4.3.2
2
4.3
1
3.2
1
,
3.2.1
2
3.2
1
2
1
=−⋅⋅⋅=−=−
Tổng quát :
)2)(1(
2

)2)(1(
1
)1(
1
=+
=
++
−
+ nnnnnnn
.
Do đó:
=+⋅⋅⋅+++=
39.38.37
2
5.4.3
2
4.3.2
2
3.2.1
2
2B
=
=






−⋅⋅⋅+







−+






−
39.38
1
38.37
1
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2
1
741
370
39.38
740

39.38
1
2.1
1
==−
Suy ra:
741
185
=B
Tổng quát
)2)(1(
1
2
1
)2)(1(
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++
−=
++
++
nnnnn
Ví dụ 19. Tính giá trị các biểu thức:
a)
;
1.99
1

3.97
1
95.5
1
97.3
1
99.1
1
99
1
97
1
5
1
3
1
1
+⋅⋅⋅+++
++⋅⋅⋅+++
=A
16
b)
99
1
3
97
2
98
1
99

100
1
4
1
3
1
2
1
+⋅⋅⋅+++
⋅⋅⋅+++
=B
Giải
a) Ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để mẫu chung giống mẫu của các
phân số tương ứng ở số chia. Biến đổi số bị chia: cộng từng cặp các phân số cách đều
hai đầu ta được:
51.49
100
95.5
100
97.3
100
99.1
100
51
1
49
1
95
1
5

1
97
1
3
1
99
1
1 ⋅⋅⋅+++=






++⋅⋅⋅+






++






++







+
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50
b) Biến đổi số chia: Viết các tử thành hiệu 100 – 1, 100 – 2 , 100 – 99.
Số chia bằng:
=
−
+⋅⋅⋅+
−
+
−
+
−
99
99100
3
3100
2
2100
1
1100
=







⋅⋅⋅+++−






⋅⋅⋅+++=
99
99
3
3
2
2
1
1
99
100
3
100
2
100
1
100
= 100 + 100
=−







⋅⋅⋅++ 99
99
1
3
1
2
1
= 1 + 100






+⋅⋅⋅++=






+⋅⋅⋅++
100
1
99
1

3
1
2
1
100
99
1
3
1
2
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =
100
1
Ví dụ 20 *
a) Tính tổng A =1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99
b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính.
B = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + 97
2
+ 98
2
c) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính:
C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1
Giải

a) Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân
mỗi số hạng của A với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng 3 – 0 ở số hạng thứ nhất,
4 – 1 ở số hạng thứ hai, 5 – 2 ở số hạng thứ ba, , 100 – 97 ở số hạng cuối cùng. Ta có:
17
3A = 1.2(3 – 0) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + + 97.98 (99 – 96) + 98.99(100 – 97)
= 1.2.3 - 0.1.2 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 97.98.99 - 96.97.98 + 98.99.100
- 97.98.99
= 98.99.100
Suy ra A = 323400
Tổng quát ta có : 1.2 + 2.3 + + n(n+1) =
3
)2)(1( ++ nnn
b) B = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + 97
2
+ 98
2
=
= 1(2 – 1) + 2(3 - 1) + 3(4 – 1) + + 97(98 – 1) + 98(99 – 1 ) =
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 97.98 + 98 .99) – (1 + 2 +3 + + 97 + 98)
= A -
3185494851323400
2
99.98
=−=

Tổng quát : 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
=
6
)12)(1(
2
)1(
3
)2)(1( ++
=
+
−
++
=
nnnnnnnn
c) C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1 =
= 1.99 + 2(99 – 1) + 3(99 – 2) + + 98(99 – 97) + 99(99 – 98) =
= (1.99 + 2.99+ + 98.99 + 99.99) – (1.2+2.3+ + 97.98 + 98.99) =
= 99 ( 1 + 2 + 3 + + 99 ) – A =
= 99.
166650
6
101.100.99
3

100.99.98
2
100.99
==−
Tổng quát: 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + + (n –1)2 + n.1 =
6
)2)(1( ++ nnn
BÀI TẬP
16. Tính nhanh:
18
A =
1032
2
1
2
1
2
1
2
1
+⋅⋅⋅+++
17. Viết tất cả các phân số dương thành dãy:
;
4
1
,
3
2
,
2

3
,
1
4
;
3
1
,
2
2
,
1
3
;
2
1
,
1
2
;
2
1
a) Hãy nêu quy luật viết của dãy và viết tiếp năm phân số nữa theo quy luật ấy.
b) Phân số
31
50
là số hạng thứ mấy của dãy ?
18 . Tìm x, biết rằng:
a)
1540

101
)3(
1
14.11
1
11.8
1
8.5
1
=
+
⋅⋅⋅+++
xx
;
b)
1 1 1 1
1
( 1)
3 6 10
2
x x
+ + + +×××+
+
=
1993
1991
1
CHỦ ĐỀ 4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC
I. Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng:

19
Ví dụ 21. Tuổi anh hiện nay gấp ba lần tuổi em trước kia, ở lúc đó tuổi anh bằng tuổi
em hiện nay. Khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tổng số tuổi của hai người sẽ là
28. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
Tóm tắt:
Tuổi anh hiện nay = 3 tuổi em trước kia.
Tuổi anh trước kia = Tuổi em hiện nay
Tuổi em sau này = Tuổi anh hiện nay
Tuổi anh sau này + tuổi em sau này = 28
Giải : Biểu thị tuổi em trước kia bởi đoạn AB, tuổi anh hiện nay bởi đoạn AC gấp ba
AB (h.1)

Tuổi em trước kia
A B
Tuổi em hiện nay
A
a
D
(Tuổi anh trước kia)
A

B

C
Tuổi em sau này
A

D
a
28

(tuổi anh hiện nay)
C E
Tuổi anh sau này
Hình 1
Do anh luôn hơn em một số tuổi không đổi là a nên nếu ta biểu thị tuổi anh trước
kia (tức tuổi em hiện nay) là AD, tuổi anh sau này là AE thì các đoạn BD, DC, CE
bằng nhau và bằng a.
Vì AC = 3AB nên BC = 2AB, do đó AB = a.
Từ sơ đồ ta tính được tuổi em sau này (tuổi anh hiện nay) bằng
123
43
28
=×
+
Tuổi em hiện nay bằng:
82
43
28
=×
+
Đáp số: Hiện nay anh 12 tuổi , em 8 tuổi.
Trong cách giải trên, sơ đồ đã thể hiện trực quan các đại lượng trong bài toán các
quan hệ giữa chúng.
II. Phương pháp giả thiết tạm:
20
Ví dụ 22. Ba ô tô chở tổng cộng 50 chuyến, gồm 118 tấn hàng, Mỗi chuyến, xe thứ
nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu
chuyến biết rằng số chuyến xe thứ nhất gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai ?
Giải.
Giả thiết rằng tất cả 50 chuyến đếu do xe thứ ba chở thì khối lượng hàng chở được là:

3.50 = 150 (tấn)
Dôi ra: 150 = 118 = 32 (tấn)
Để không dôi ra, phải thay một số chuyến của xe thứ ba bằng các chuyên của hai
xe kia theo quy luật sau: cứ 5 chuyến của xe thứ ba thay bởi 3 chuyến của xe thứ nhất
và 2 chuyến của xe thứ hai. Mỗi lần thay như vậy thì số chuyến không thay đổi, số
chuyến của xe thứ nhất luôn gấp rưỡi số chuyến của xe thứ hai, còn không lượng hàng
giảm đi:
3.5 – (2.3 + 2,5.2) = 15 – 11 = 4 (tấn)
Số lần thay : 32 : 4 = 8 (lần)
Xe thứ nhất chở: 3.8 = 24 (chuyến)
Xe thứ hai chở : 2.8 = 16 (chuyến).
Xe thứ ba chở : 50 – (24 + 16) = 10 (chuyến)
Ví dụ 23. Trên quãng đường AC dài 200 km có một địa điểm B cách A là 10 km. Lúc
7 giờ, một ô tô đi từ A, một ô tô khác đi từ B, cả hai cùng đi tới C với vận tốc thứ tự
bằng 50km/h và 40km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì khoảng cách đến C của xe thứ hai gấp đôi
khoảng cách đến C của xe thứ nhất ?
Giải
Quãng đường đi của hai ô tô được minh hoạ như sau (h.2), lúc xe thứ hai đến D là thời
điểm phải tìm, DM = MC
I
A B D M C
II (Hình 2)
Giả thiết rằng có một xe thứ ba phải đi quãng đường EC dài gấp đôi quãng
đường AC của xe thứ nhất phải đi (EC = 200.2 = 400 km), với vận tốc gấp đôi vận tốc
21
của xe thứ nhất (như vậy vận tốc xe thứ ba bằng : 50 . 2 = 100 km/h) thì cũng trong
thời gian như xe thứ nhất, quãng đường còn lại đến C của xe thứ ba gấp đôi quãng
đường còn lại đến C của xe thứ nhất và như vậy xe thứ ba này sẽ gặp xe thứ hai tại D
(H.3)
III

E A B D M C
II
Hình 3
Quãng đường ED dài hơn quãng đường BD :
400 - 190 = 210 (km)
Vận tốc xe thứ ba lớn hơn vận tốc xe thứ hai :
100 - 40 = 60 (km/h)
Thời gian để xe thứ ba gặp xe thứ hai tại D:
210 : 60 = 3,5 (h)
Vậy thời điểm phải tìm là:
7 + 3,5 = 10h 30 phút
Đáp số : 10 giờ 30 phút
Để giải các ví dụ trên, ta đã đưa ra các giả thiết mới để đưa về các bài toán đã
biết cách giải (cách giả thiết tạm ở ví dụ 137 đưa về trường hợp hai xe chuyển động
cùng chiều gặp nhau trong đó biết khoảng cách ban đầu và hiệu của hai vận tốc).
Các cách giả thiết tạm cũng rất đa dạng:
- Coi như tất cả các đối tượng đều thuộc cùng một loại.
- Thay một đối tượng này bằng một đối tượng khác có một số thuộc tính giữ nguyên và
một số thuộc tính thay đổi (giả thiết rằng người này làm với thời gian như người kia,
hoặc với năng suất như người kia )
- Hình dung ra một đối tượng mới có những thuộc tính nhất định (xe thứ ba đi với thời
gian như xe thứ nhất nhưng quãng đường phải đi gấp đôi và vận tốc gấp đôi để quãng
đường còn lại đến C cũng gấp đôi so với xe thứ nhất).
Biết chọn cách giả thiết tạm một cách hợp lý, đó là sự sáng tạo trong giải toán.
22
III. Phương pháp dùng đơn vị quy ước
Trong một số bài toán, giá trị phải tìm có thể không phụ thuộc vào một đại lượng
nào đó. Chẳng hạn cần tìm thời gian để hai vòi nước cùng chảy đầy bể nếu hai vòi đó
chảy một mình đầy bể theo thứ tự hết 2 giờ và 3 giờ. Gọi dung tích của bể là d (lít) thì
trong một giờ, hai vòi chảy một mình theo thứ tự được

2
d
và
3
d
lít, cả hai vòi chảy
được :
2
d
+
3
d
=
6
5d
(lít) .
Thời gian để hai vòi chảy đầy bể là : d :
6
5d
=
5
6
(giờ)
Thời gian này không phụ thuộc vào dung tích của bể : ta có thể chọn dung tích của bể
là 1 (đơn vị quy ước). Khi đó trong một giờ, hai vòi theo thứ tự chảy được
2
1
và
3
1

dung tích bể, cả hai vòi chảy được :
2
1
+
3
1
=
6
5
(dung tích bể), thời gian để hai vòi
chảy đầy bể là : 1 :
6
5
=
5
6
(giờ)
Ví dụ 24. Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc: xe thứ nhất đi từ A đến B, xe thứ hai đi
từ B đến A. Sau 1 giờ 30 phút, chúng còn cách nhau 108 km. Tính quãng đường AB
biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 6 giờ, xe thứ hai đi cả quãng đường
BA hết 5 giờ.
Giải
Lấy quãng đường AB làm đơn vị quy ước.
Trong một giờ, xe thứ nhất đi được
6
1
quãng đường AB, xe thứ hai đi được
5
1
quãng

đường BA.
Trong một giờ cả hai xe đi được:
6
1
+
5
1
=
30
11
quãng đường AB.
Trong 1 h 30 phút cả hai xe đi được:
30
11
.
2
3
=
20
11
quãng đường AB
23
Còn lại : 1 -
20
11
=
20
9
quãng đường AB hay 108 km.
Vậy quãng đường AB dài: 108 :

20
9
= 240 (km)
IV. Phương pháp tính ngược từ cuối
Ví dụ 25. Một nông dân ra chợ bán hết số cam của mình cho năm người:
Người thứ nhất mua
2
1
số cam rồi mua thêm
2
1
quả, người thứ hai mua
2
1
số còn lại
rôi mua thêm
2
1
quả, người thứ ba mua
2
1
số còn lại rồi mua thêm
2
1
quả, người thứ tư
mua
2
1
số còn lại rồi mua thêm
2

1
quả, người thứ năm mua
2
1
số còn lại rồi mua thêm
2
1
quả thì vừa hết.
Tính số cam người nông dân đem bán và số cam mỗi người khách đã mua.
Giải:
Cách 1. Ta tính ngược từ cuối lên
Lần thứ năm bán
2
1
số còn lại cộng
2
1
quả thì hết nên
2
1
quả chính là
2
1
số còn lại. Vậy
số cam còn lại sau lần bán thứ tư là :
2
1
.2=1 (quả)
Lần thứ tư bán
2

1
số còn lại cộng
2
1
quả thì còn 1 quả nên 1
2
1
quả chính là
2
1
số còn
lại. Vậy số còn lại sau lần bán thứ ba là : 1
2
1
.2 = 3(quả).
Lần thứ ba bán
2
1
số còn lại cộng
2
1
quả thì còn 3 quả nên 3
2
1
quả chính là
2
1
số còn
lại. Vậy số còn lại sau lần bán thứ hai là : 3
2

1
.2 = 7(quả).
Lần thứ hai bán
2
1
số còn lại cộng
2
1
quả thì còn 7 quả nên 7
2
1
quả chính là
2
1
số còn
lại. Vậy số còn lại sau lần bán thứ nhất là : 7
2
1
.2 = 15(quả).
24
Lần thứ nhất bán
2
1
số cam cộng
2
1
quả thì còn 15 quả nên 15
2
1
quả chính là

2
1
số
cam. Vậy số cam lúc đầu là : 15
2
1
.2 = 31(quả).
Người thứ nhất mua : 31 – 15 = 16 (quả)
Người thứ hai mua : 15 – 7 = 8 (quả)
Người thứ ba mua : 7 - 3 = 4 (quả)
Người thứ tư mua : 3 - 1 = 2 (quả)
Người thứ năm mua: 1 quả.
Cách 2: Gọi số cam lúc đầu là a.
Người thứ nhất mua :
2
1
2
+
a
quả, còn :
2
1
2
−
a
quả
Người thứ hai mua :
4
1
42

1
4
1
42
1
2
1
22
1
+=+−=+






−
aaa
quả
Như vậy số cam người thứ hai mua bằng
2
1
số cam người thứ nhất mua. Tương tự, số
cam người sau mua bằng
2
1
số cam người liền trước mua .
Người thứ năm mua
2
1

số còn lại cộng
2
1
quả thì hết nên người thứ năm mua:
12.
2
1
=

quả. Do đó người thứ tư mua 2 quả, người thứ ba mua 4 quả, người thứ hai mua 8 quả,
người thứ nhất mua 16 quả.
Tổng số cam : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (quả)
Ví dụ 25. (Bài toán Ơ–le)
Một người cha khi chết để lại di chúc chia gia tài cho các con như sau:
Người con thứ nhất được chia 100 cuaron và
10
1
số còn lại, người con thứ hai được
chia 200 cuaron và
10
1
số còn lại, người con thứ ba được chia 300 cuaron và
10
1
số còn
lại
Cứ tiếp tục chia như vậy thì toàn bộ gia tài được chia đều cho các con. Hỏi gia tài đó
gồm bao nhiêu tiền và mỗi người con được chia bao nhiêu ?
Giải:
25