Chương 1 - Đại số mệnh đề ppsx

Chương 1. Đại số mệnh đề


Trần Thọ Châu
Logic Toán. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Tr 7-38.


Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hàm đại số logic.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.



Chu
.
o
.
ng 1
Da
.
isˆo
´
mˆe
.

nh dˆe
`
1.1 C´ac ph´ep to´an v`a ba
’
ngchˆanl´y 8
1.1.1 Ph´ep phu
’
di
.
nh (¬, not) 10
1.1.2 Ph´ep v`a (∧, and, hˆo
.
i) 10
1.1.3 Ph´ep hay l`a (∨, or, tuyˆe
’
n) 10
1.1.4 Ph´ep k´eo theo (→) 11
1.1.5 Ph´ep tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng (↔
↔
↔) 12
1.2 Cˆong th´u
.

cmˆe
.
nh dˆe
`
12
1.3 Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nhngh˜ıa 16
1.3.1 H`am da
.
isˆo
´
logic 16
1.3.2 Su
.
.
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung - dˆo
`
ng nhˆa
´
tsai 18
1.4 Mˆo

.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
t 22
1.5 Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
ccu
’
a cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
23
1.5.1 Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n v`a chuˆa

’
nt˘a
´
chˆo
.
i 23
1.5.2 Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
cho`anto`an 24
1.6 C´ac hˆe
.
dˆa
`
y du
’
cu
’
a c´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . 25
1.7 B`ai tˆa
.
p chu
.
o
.
ng1 34
8Chu

.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
Thˆong thu
.
`o
.
ng ch´ung ta th`anh lˆa
.
pc´acmˆe
.
nh
dˆe
`
ph´u
.
cho
.
.
pt`u
.

c´ac mˆe
.
nh
dˆe
`
do
.
n gia
’
n. Trong chu
.
o
.
ng n`ay, ch´ung ta s˜e di sˆau nghiˆen c´u
.
u dˆa
`
y du
’
ba
’
n
chˆa
´
tcu
’
a
da
.
isˆo

´
mˆe
.
nh dˆe
`
v`a tu
.
duy suy diˆe
˜
ncu
’
an´omˆo
.
t c´ach ch˘a
.
t ch˜e, logic
v`a mang t´ınh thu
.
.
ctiˆe
˜
n.
1.1 C´ac ph´ep to´an v`aba
’
ng chˆan l´y
Ch´ung ta dˆe
`
ubiˆe
´
t con ngu

.
`o
.
i c´o kha
’
n˘ang pha
’
n ´anh mˆo
´
i quan hˆe
.
hiˆe
.
n thu
.
.
c
gi˜u
.
a c´ac su
.
.
vˆa
.
tb˘a
`
ng nh˜u
.
ng mˆe
.

nh
dˆe
`
. C´ac mˆe
.
nh dˆe
`
d´o du
.
o
.
.
c
du
.
a ra du
.
´o
.
i
nhiˆe
`
u h`ınh th´u
.
c kh´ac nhau, ch˘a
’
ng ha
.
nnhu
.

mˆo
.
tl`o
.
i n´oi, mˆo
.
t cˆau v˘an, mˆo
.
t
cˆong th´u
.
c To´an, L´y, Ho´a, hay su
.
.
mˆo pho
’
ng cu
’
amˆo
.
tb´u
.
c tranh v.v , nhu
.
ng
co
.
ba
’
n trong d´o l`a c´ac mˆe

.
nh dˆe
`
n`ay c´o mang dˆa
`
y du
’
´y ngh˜ıa nhˆa
´
t di
.
nh hay
khˆong, ngh˜ıa l`a c´ac mˆe
.
nh dˆe
`
d´o c´o mang theo t´ınh chˆa
´
thiˆe
.
n thu
.
.
cdu
.
´o
.
imˆo
.
t

h`ınh th´u
.
c nhˆa
´
t di
.
nh, ch´u
.
khˆong pha
’
il`amˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
suˆong, vˆo ngh˜ıa, v`a
c˜ung khˆong pha
’
il`anh˜u
.
ng l`o
.
in´oich´u
.
a du
.
.
ng mˆo
.

t ´y ngh˜ı khˆong nghiˆem t´uc.
Mˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
pha
’
n ´anh mˆo
.
tsu
.
.
viˆe
.
c n`ao d´o theo mˆo
.
t c´ach th´u
.
c nhˆa
´
t di
.
nh
v`a su
.
.
viˆe
.

c d´o pha
’
n ´anh t´ınh chˆan thu
.
.
c theo c´ach trˆen th`ı du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a mˆo
.
t
mˆe
.
nh dˆe
`
d´ung; Tr´ai la
.
imˆe
.
nh dˆe
`
d´o du
.
o
.
.

cgo
.
il`amˆo
.
t mˆe
.
nh dˆe
`
sai.
Thu
.
.
cchˆa
´
tvˆa
´
n dˆe
`
ch´ung ta quan tˆam d˘a
.
cbiˆe
.
t trong To´an ho
.
cl`ao
.
’
chˆo
˜
:

“Mˆo
˜
imˆo
.
tmˆe
.
nh
dˆe
`
ho˘a
.
cl`ad´ung ho˘a
.
c l`a sai, v`a khˆong c´o mˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
n`ao
v`u
.
a d´ung la
.
iv`u
.
a sai”. Dˆay ch´ınh l`a nˆo
.
i dung cu
’

a di
.
nh l´y 2 - gi´a tri
.
.
Bo
.
’
ivˆa
.
y, l´o
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac mˆe
.
nh dˆe
`
du
.
o
.
.
c chia th`anh hai l´o
.
p con: mˆo
.
tl´o

.
p
gˆo
`
mtˆa
´
tca
’
c´ac mˆe
.
nh
dˆe
`
d´ung v`a mˆo
.
tl´o
.
pgˆo
`
mtˆa
´
tca
’
c´ac mˆe
.
nh dˆe
`
sai. Mˆo
˜
i

mˆe
.
nh dˆe
`
thuˆo
.
cmˆo
.
t trong c´ac l´o
.
p d´o s˜e nhˆa
.
nmˆo
.
t gi´a tri
.
chˆan l´y d´ung (True,
viˆe
´
tt˘a
´
t l`a T) ho˘a
.
c sai (False, viˆe
´
tt˘a
´
t l`a F).
Ta k´yhiˆe
.

u c´ac mˆe
.
nh dˆe
`
b˘a
`
ng c´ac ch˜u
.
c´ai hoa A, B, C, c`on c´ac biˆe
´
n
mˆe
.
nh
dˆe
`
b˘a
`
ng c´ac ch˜u
.
c´ai A, B, C, v`a ch´ung c´o kha
’
n˘ang nhˆa
.
n c´ac gi´a tri
.
chˆan l´y {T, F } ho˘a
.
c {1, 0}.
Th´ı du

.
1.1.1
1.1. C´ac ph´ep to´an v`a ba
’
ng chˆan l´y 9
1. “Trˆen m˘a
.
t tr˘ang khˆong c´o ngu
.
`o
.
i” (T)
2. “35 chia hˆe
´
t cho 6” (F)
3. “B´ac Hˆo
`
sinh ng`ay 19 th´ang 5 n˘am 1890” (T)
Ch´u´yr˘a
`
ng trong
di
.
nh l´y 2 - gi´a tri
.
, ngu
.
`o
.
i ta chı

’
ph´at biˆe
’
ur˘a
`
ng: mˆo
˜
i
mˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
ho˘a
.
cl`ad´ung, ho˘a
.
c l`a sai, nhu
.
ng khˆong kh˘a
’
ng di
.
nh du
.
o
.
.
cr˘a

`
ng
mˆo
˜
imˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
ta c´o thˆe
’
quyˆe
´
t di
.
nh du
.
o
.
.
cliˆe
.
un´od´ung hay khˆong, ch˘a
’
ng
ha
.
n di
.

nh l´y cuˆo
´
ic`ung cu
’
a Fermat [1], gia
’
thuyˆe
´
t Continuum [5]. Tˆa
´
t nhiˆen,
mˆo
˜
imˆo
.
tmˆe
.
nh
dˆe
`
n`ay ho˘a
.
cl`ad´ung, ho˘a
.
c l`a sai.
Di
.
nh l´y cuˆo
´
ic`ung cu

’
a Fermat d˜a tˆo
`
nta
.
i trˆen 350 n˘am, v`a m˜ai cho dˆe
´
n
n˘am 1986, G. Faltings [1], mˆo
.
t nh`a To´an ho
.
c tre
’
26 tuˆo
’
i ngu
.
`o
.
i D´u
.
c d˜a
du
.
o
.
.
c nhˆa
.

n gia
’
ithu
.
o
.
’
ng Fields vˆe
`
mˆo
.
t cˆong tr`ınh trong h`ınh ho
.
c
da
.
isˆo
´
. Gia
’
i
thu
.
o
.
’
ng Fields l`a gia
’
ithu
.

o
.
’
ng d`anh cho c´ac nh`a To´an ho
.
c tre
’
tuˆo
’
idu
.
´o
.
i40
tuˆo
’
i, 4 n˘am m´o
.
icˆa
´
pmˆo
.
tlˆa
`
n v`a mˆo
˜
ilˆa
`
n khˆong qu´a 4 ngu
.

`o
.
i. Nhu
.
ch´ung
ta d˜a biˆe
´
t gia
’
ithu
.
o
.
’
ng Nobel khˆong gi`anh cho c´ac nh`a To´an ho
.
c, nˆen gia
’
i
thu
.
o
.
’
ng Fields
du
.
o
.
.

c xem nhu
.
l`a gia
’
i “Nobel” cho To´an ho
.
c v`a gia
’
ithu
.
o
.
’
ng
du
.
o
.
.
c coi l`a mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng vinh du
.
.
l´o
.
n nhˆa
´

t dˆo
´
iv´o
.
imˆo
.
t ngu
.
`o
.
i l`am To´an
ho
.
c. Ngo`ai ra G. Falting c`on
du
.
a ra nh˜u
.
ng ´y tu
.
o
.
’
ng co
.
ba
’
nvˆe
`
ch´u

.
ng minh
di
.
nh l´y cuˆo
´
ic`ung cu
’
a Fermat v`ao th´ang 9 n˘am 1994 (xem Gerd Falting the
Proof of Fermat’s Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles Notices of the
AMS, July 1995, p. 743 - 746),nhu
.
ng v`ao n˘am 1997, nh`a To´an ho
.
c ngu
.
`o
.
i
Anh l`a A. Weil sinh n˘am 1953
d˜a ch´u
.
ng minh tro
.
nve
.
n di
.
nh l´y n`ay b˘a
`

ng
mˆo
.
tphu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac v`a ˆong du
.
o
.
.
c nhˆa
.
n gia
’
ithu
.
o
.
’
ng rˆa
´
t
d˘a
.
cbiˆe
.
t, n˘am ˆa
´

y
ˆong d˜a ngo`ai 40 tuˆo
’
i nˆen khˆong thˆe
’
trao gia
’
ithu
.
o
.
’
ng Fields. C`on gia
’
thuyˆe
´
t
Continuum
d˜a du
.
o
.
.
c nh`a To´an ho
.
c M˜y l`a P.J Cohen [5] gia
’
i quyˆe
´
t v`ao n˘am

1966 v`a ˆong d˜a du
.
o
.
.
c nhˆa
.
n gia
’
ithu
.
o
.
’
ng Fields.
Mˆo
.
t
diˆe
`
urˆa
´
thiˆe
’
n nhiˆen l`a ch´ung ta c´o thˆe
’
di t`u
.
mˆo
.

tsˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
d˜a cho
dˆe
´
nmˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
m´o
.
i nh`o
.
mˆo
.
tsˆo
´
t`u
.
nˆo
´
i, ch˘a
’
ng ha

.
n dˆo
´
iv´o
.
imˆe
.
nh dˆe
`
A,
ch´ung ta c´o thˆe
’
lˆa
´
yphu
’
di
.
nh cu
’
an´o“khˆong A” (viˆe
´
tt˘a
´
tl`a¬A), ho˘a
.
c dˆo
´
i
v´o

.
i hai mˆe
.
nh dˆe
`
d˜a cho A v`a B, ta c´o thˆe
’
nˆo
´
ic´acmˆe
.
nh dˆe
`
d´o v´o
.
i nhau “A
v`a B” (viˆe
´
tt˘a
´
tl`aA∧B), “A hay l`a B” (viˆe
´
tt˘a
´
tl`aA∨B), “Nˆe
´
u A th`ı B”
10 Chu
.
o

.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
(viˆe
´
tt˘a
´
tl`aA→B), v`a “A khi v`a chı
’
khi B” (viˆe
´
tt˘a
´
tl`aA↔B). C´ac k´y
hiˆe
.
u ¬, ∧, ∨, →, ↔ du
.
o
.
.
cgo
.

il`ac´ac ph´ep to´an logic. C´ac ph´ep to´an n`ay du
.
o
.
.
c
x´ac di
.
nh du
.
.
a theo c´ac ba
’
ng chˆan l´ydu
.
´o
.
i dˆay.
1.1.1 Ph´ep phu
’
di
.
nh (¬, not)
A ¬A
T F
F
T
Nhu
.
vˆa

.
y ngh˜ıa l`a khi A nhˆa
.
n gi´a tri
.
Tth`ı¬ A nhˆa
.
n gi´a tri
.
F, v`a khi A nhˆa
.
n
gi´a tri
.
Fth`ı¬A nhˆa
.
n gi´a tri
.
T.
1.1.2 Ph´ep v`a (∧, and, hˆo
.
i)
ABA∧B
TT T
TF F
FT F
FF
F
Vˆa
.

ymˆe
.
nh
dˆe
`
A ∧ B nhˆa
.
n gi´a tri
.
T, khi v`a chı
’
khi A v`a B dˆe
`
u nhˆa
.
n gi´a
tri
.
T.
1.1.3 Ph´ep hay l`a (∨, or, tuyˆe
’
n)
ABA∨B
TT T
TF T
FT T
FF F
Vˆa
.
ymˆe

.
nh
dˆe
`
A ∨ B nhˆa
.
n gi´a tri
.
F, khi v`a chı
’
khi A v`a B dˆe
`
u nhˆa
.
n gi´a
tri
.
F.
1.1. C´ac ph´ep to´an v`a ba
’
ng chˆan l´y 11
1.1.4 Ph´ep k´eo theo (→)
AB(A→B)
TT T
TF F
FT T
FF T
Vˆa
.
ymˆe

.
nh
dˆe
`
A → B nhˆa
.
n gi´a tri
.
F, khi v`a chı
’
khi A (gia
’
thiˆe
´
t) nhˆa
.
n
gi´a tri
.
Tv`aB (kˆe
´
t luˆa
.
n) nhˆa
.
n gi´a tri
.
F.
Trong mˆo
.

t v`ai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p, mˆe
.
nh dˆe
`
“Nˆe
´
u A th`ı B” du
.
o
.
.
csu
.
’
du
.
ng nhu
.
ng
khˆong quan tˆam dˆe
´
n c´ac gi´a tri
.

chˆan l´ycu
’
a c´ac mˆe
.
nh dˆe
`
mˆo
.
t c´ach dˆa
`
y du
’
,
ch˘a
’
ng ha
.
nnhu
.
c´ac mˆe
.
nh dˆe
`
sau:
1. Nˆe
´
u 1+1=2 th`ı Paris l`a Thu
’
dˆo cu
’

anu
.
´o
.
c Ph´ap.
2. Nˆe
´
u 1+1=2 th`ı Paris l`a Thu
’
dˆo cu
’
anu
.
´o
.
c Ph´ap.
3. Nˆe
´
u 1+1=2 th`ı Rome l`a Thu
’
dˆo cu
’
anu
.
´o
.
c Ph´ap.
Ta dˆe
˜
d`ang nhˆa

.
n thˆa
´
yca
’
3mˆe
.
nh
dˆe
`
trˆen dˆe
`
u nhˆa
.
n gi´a tri
.
chˆan l´y l`a T,
nhu
.
ng mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a gia
’
thiˆe
´
t A v`a kˆe

´
t luˆa
.
n B khˆong ˘an kh´o
.
pv´o
.
i nhau.
Do d´o dˆe
’
da
’
mba
’
o t´ınh logic v`a ch˘a
.
t ch˜e cua
’
mˆo
.
tmˆe
.
ng dˆe
`
,ch´ung ta pha
’
i
su
.
’

du
.
ng mˆo
´
i quan hˆe
.
d´o sao cho gi˜u
.
a gia
’
thiˆe
´
t A v`a kˆe
´
t luˆa
.
n B pha
’
ic´omˆo
´
i
quan hˆe
.
x´ac di
.
nh, thu
.
`o
.
ng l`a nguyˆen nhˆan.

Ngo`ai ra, n´oi riˆeng trong thu
.
.
ctˆe
´
, ngu
.
`o
.
itahayd`ung mˆe
.
nh dˆe
`
“Nˆe
´
u A th`ı
B”du
.
´o
.
imˆo
.
th`ınh th´u
.
c kh´ac, khˆong mˆau thuˆa
˜
nv`ahaydu
.
o
.

.
csu
.
’
du
.
ng rˆo
.
ng
r˜ai, ch˘a
’
ng ha
.
n:
“Nˆe
´
uba
.
n c´o th`o
.
i gian th`ı ba
.
n
dˆe
´
n th˘am tˆoi”, c˜ung du
.
o
.
.

chiˆe
’
u theo ngh˜ıa
l`a:
“Nˆe
´
uba
.
n khˆong
dˆe
´
n th˘am tˆoi th`ıba
.
n khˆong c´o th`o
.
i gian”. Diˆe
`
u n`ay luˆon
luˆon d´ung v`ı theo luˆa
.
t logic sau dˆay:
Mˆe
.
nh dˆe
`
:“A→B”tu
.
o
.
ng du

.
o
.
ng v´o
.
i“¬B → ¬A”
12 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
1.1.5 Ph´ep tu
.
o
.
ng
du
.
o
.
ng (↔
↔

↔)
AB(A↔B)
TT T
TF
F
FT
F
FF T
Vˆa
.
ymˆe
.
nh
dˆe
`
A ↔ B nhˆa
.
n gi´a tri
.
T, khi v`a chı
’
khi A v`a B nhˆa
.
nc`ung
gi´a tri
.
.
1.2 Cˆong th´u
.
cmˆe

.
nh
dˆe
`
Di
.
nh ngh˜ıa 1.2.1 Cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
l`a mˆe
.
nh dˆe
`
du
.
o
.
.
clˆa
.
pnˆent`u
.
c´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh A, B, C, v`a kˆe
’
ca

’
c´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh c´o chı
’
sˆo
´
A
1
,B
1
,C
1
,
nh`o
.
c´ac ph´ep to´an logic.
Mˆo
.
t c´ach ch´ınh x´ac ho
.
n, ch´ung ta di
.
nh ngh˜ıa cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
b˘a

`
ng
c´ach dˆe
.
quy nhu
.
sau:
(1) Tˆa
´
tca
’
c´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh , kˆe
’
ca
’
c´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh c´o chı
’
sˆo
´
dˆe
`
ul`a
cˆong th´u
.
c
(2) Nˆe

´
u A v`a B l`a c´ac cˆong th´u
.
cth`ı(¬A), (A∧B), (A∨B), (A→B),
(A↔B)c˜ung l`a cˆong th´u
.
c
(3) Mˆo
.
tbiˆe
’
uth´u
.
c l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
c, nˆe
´
un´odu
.
o
.
.
clˆa
.
pnˆent`u
.
co
.

so
.
’
(1) v`a
(2).
Mˆo
˜
imˆo
.
t phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´y cu
’
a c´ac biˆe
´
n c´o m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c
cho ta mˆo
.
t gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a cˆong th´u
.

c. Do vˆa
.
y, mˆo
˜
imˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh
dˆe
`
x´ac di
.
nh mˆo
.
t h`am da
.
isˆo
´
logic n`ao d´o. H`am n`ay du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh du
.

.
a v`ao
ba
’
ng chˆan l´ycu
’
a cˆong th´u
.
c d˜a cho.
1.2. Cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh
dˆe
`
13
Th´ı du
.
1.2.1 Cho cˆong th´u
.
c A = (((¬A) ∨B) → C). T`ım h`am da
.
isˆo
´
logic
tu
.
o
.

ng ´u
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
c A?
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t ta lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´y dˆa
`
y du
’
cu
’
a A.
Mˆo
˜
i d`ong l`a mˆo
.
tbˆo
.

phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
n A, B, C v`a
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a mˆo
.
t gi´a cu
’
a cˆong th´u
.
c A.
ABC¬A (¬A) ∨ B A
TTT F T T
TTF F T F
TFT F F T
TFF F F T
FTT
T T T
FTF T T F

FFT T T T
FFF T T F
Vˆa
.
ych´ung ta dˆe
˜
d`ang x´ac di
.
nh du
.
o
.
.
cmˆo
.
t h`am da
.
isˆo
´
logic 3 biˆe
´
n f :
{T, F}
3
→{T, F} du
.
.
a v`ao ba
’
ng chˆan l´ycu

’
a A nhu
.
sau:
f(T,T,T) =T f(F, T,T) =T
f(T,T,F) =F f(F, T,F) =F
f(T,F,T) =T f (F,F,T) =T
f(T,F,F) =T f(F, F,F) =F
Ch´u ´y
1. Nˆe
´
u cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
c´o ch´u
.
a n biˆe
´
nmˆe
.
nh dˆe
`
th`ı ba
’
ng chˆan l´ycu
’
a

cˆong th´u
.
c d˜a cho pha
’
ich´u
.
a 2
n
bˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a n
biˆe
´
n d´o. L`am thˆe
´
n`ao dˆe
’
c´o thˆe
’
viˆe
´
t dˆa
`
y du

’
2
n
bˆo
.
phˆan bˆo
´
n`ay?
Ch´ung ta chı
’
cˆa
`
n thu
.
.
chiˆe
.
n“thuˆa
.
t chia dˆoi” du
.
o
.
.
cdˆa
˜
n ra theo c´ach
quy na
.
pcu

’
abiˆe
´
n n:
• n =2: Khi d´o 2
2
=4v`a chia 2 cho kˆe
´
t qua
’
l`a 2.Talˆa
.
pba
’
ng nhu
.
sau:
14 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`

• n =3: Khi d´o 2
3
=8v`a chia 2 cho kˆe
´
t qua
’
l`a 4.Talˆa
.
pba
’
ng nhu
.
sau:
• Mˆo
.
t c´ach tu
.
o
.
ng tu
.
.
khi ch´ung ta t˘ang bˆa
.
ccu
’
ahˆe
.
sˆo
´

n lˆen v`a thu
.
.
c
chˆa
´
t khi lˆa
.
pba
’
ng ch´ung ta viˆe
´
tcˆo
.
t
dˆa
`
u tiˆen mˆo
.
tnu
.
’
atrˆen l`a T v`a mˆo
.
t
nu
.
’
adu
.

´o
.
i l`a F (ho˘a
.
c ngu
.
o
.
.
cla
.
i theo mˆo
.
t nguyˆen t˘a
´
c), rˆo
`
i dˆe
´
n c´ac cˆo
.
t
tiˆe
´
p theo nhu
.
ng ch´ung ta chı
’
lˆa
.

pmˆo
.
tnu
.
’
aba
’
ng trˆen theo thuˆa
.
t chia
dˆoi c´o bˆa
.
c gia
’
mdˆa
`
n, cuˆo
´
ic`ung th`ı thu
.
.
chiˆe
.
n copy nu
.
’
atrˆen xuˆo
´
ng nu
.

’
a
du
.
´o
.
i l`a ho`an th`anh du
’
2
n
bˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a n biˆe
´
nc´o
m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c d˜a cho.
2. Phu
.
o
.

ng ph´ap lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´y thu go
.
n
Tru
.
´o
.
chˆe
´
tviˆe
´
t cˆong th´u
.
c d˜a cho th`anh mˆo
.
t d`ong cu
’
aba
’
ng, tiˆe
´
p dˆe
´
nl`a
c´ac d`ong du
.

o
.
.
c t´ınh lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t theo gi´a tri
.
phˆan bˆo
´
cu
’
a c´ac biˆe
´
n c´o m˘a
.
t
trong cˆong th´u
.
c v`a tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a c´ac gi´a tri

.
cu
’
at`u
.
ng th`anh phˆa
`
nlˆa
.
p
nˆen cˆong th´u
.
c, v`a cuˆo
´
ic`ung l`a gi´a tri
.
cu
’
a cˆong th´u
.
c du
.
o
.
.
c t´ınh theo
t`u
.
ng th`anh phˆa
`

n trˆen du
.
.
a theo ph´ep to´an cuˆo
´
i c`ung cu
’
a cˆong th´u
.
c.
1.2. Cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh
dˆe
`
15
Th´ıdu
.
1.2.2 Lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´y thu go
.
ncu
’
a cˆong th´u
.

c
A =(A ↔ B) → ((¬A) ∧ B)
Ch´ung ta lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´ythugo
.
nnhu
.
sau:
(A ↔ B) → ((¬ A) ∧ B)
T T T F F F T
T
F F T F F F
F F T T T T T
F T F F T F F
Phu
.
o
.
ng ph´ap lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´y thu go
.
ndu
.
.

a v`ao vi
.
tr´ı cu
’
a c´ac biˆe
´
n
mˆe
.
nh dˆe
`
v`a c´ac ph´ep to´an c´o m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c l`am c´ac cˆo
.
ttu
.
o
.
ng
´u
.
ng, nˆen vˆe
`
m˘a
.
t t´ınh to´an du
.

o
.
.
ctiˆe
´
tkiˆe
.
m th`o
.
i gian nhiˆe
`
uho
.
n v`a ba
’
ng
lˆa
.
p do
.
n gia
’
nho
.
n.
3. T´ınh u
.
utiˆen cu
’
a c´ac ph´ep to´an

Ta d˜a biˆe
´
t trong sˆo
´
ho
.
c dˆe
’
gia
’
m thiˆe
’
uviˆe
.
cviˆe
´
tdˆa
´
u ngo˘a
.
c cho mˆo
.
tbiˆe
’
u
th´u
.
csˆo
´
ho

.
c thˆong thu
.
`o
.
ng l`a nhˆan, chia tru
.
´o
.
c v`a cˆo
.
ng, tr`u
.
sau, v`a c´ac
ph´ep to´an c´o c`ung m´u
.
cu
.
u tiˆen du
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nt`u
.

tr´ai qua pha
’
i.
Trong c´ac ph´ep to´an logic c˜ung tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ngu
.
`o
.
itad˜a du
.
aramˆo
.
t quy
u
.
´o
.
cviˆe
´
tdˆa
´
u ngo˘a
.
c theo th´u

.
tu
.
.
u
.
u tiˆen sau dˆay:
1 ¬; 2 ∧; 3 ∨; 4 →; 5 ↔
trong d´o ch´u ´y hai ph´ep to´an cuˆo
´
i c`ung →, ↔ xuˆa
´
thiˆe
.
n nhiˆe
`
ulˆa
`
n liˆen
tiˆe
´
p th`ı lˆa
.
p ngo˘a
.
ct`u
.
tr´ai qua pha
’
i, ch˘a

’
ng ha
.
n: A → B → C th`ı pha
’
i
lˆa
.
p ngo˘a
.
c d´ung l`a ((A → B) → C).
Th´ı du
.
1.2.3 Ch´ung ta lˆa
.
p ngo˘a
.
c cho cˆong th´u
.
c
16 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe

.
nh dˆe
`
A = A ∨¬B → C ↔ A theo c´ac bu
.
´o
.
c sau dˆay:
A ∨ (¬B) → C ↔ A
(A ∨ (¬B)) → C ↔ A
((A ∨ (¬B)) → C) ↔ A
(((A ∨ (¬B)) → C) ↔ A)
1.3 Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh ngh˜ıa
1.3.1 H`am da
.
isˆo
´
logic
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.1
• Mˆo
.
t h`am da

.
isˆo
´
logic n biˆe
´
n l`a mˆo
.
t ´anh xa
.
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p {T, F}
n
v`ao
{T, F}.
• L´o
.
p c´ac h`am da
.
isˆo
´
logic nhˆa
.
n hai gi´a tri
.

{T, F } (ho˘a
.
c {0, 1})c`ung v´o
.
i
c´ac biˆe
´
ncu
’
an´odu
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`al´o
.
p h`am P
P
P
2
.
Ta dˆe
˜
d`ang nhˆa
.
n thˆa
´
yr˘a

`
ng sˆo
´
c´ac h`am
da
.
isˆo
´
logic n biˆe
´
n l`a b˘a
`
ng 2
2
n
,v`ı
r˘a
`
ng v´o
.
i n biˆe
´
n ta c´o 2
n
bˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.

chˆan l´y {T, F} v`a mˆo
˜
imˆo
.
t
bˆo
.
nhu
.
vˆa
.
ytu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
imˆo
.
t gi´a tri
.
{T, F}, nˆen sˆo
´
h`am tu
.
o
.
ng ´u

.
ng v´o
.
i n
biˆe
´
n pha
’
il`a2
2
n
.
Th´ı du
.
1.3.1
1. X´et l´o
.
p h`am P
P
P
2
mˆo
.
tbiˆe
´
ngˆo
`
mc´o2
2
1

= 4 h`am du
.
o
.
.
c cho theo ba
’
ng sau
dˆay:
x\f f
1
f
2
f
3
f
4
T T T F F
F T F T F
trong
d´o f
2
(x)=x ; f
3
(x)=¬x
1.3. Mˆo
.
tsˆo
´
di

.
nh ngh˜ıa 17
2. X´et l´o
.
p h`am P
P
P
2
hai biˆe
´
ngˆo
`
mc´otˆa
´
tca
’
l`a: 2
2
2
= 16 h`am du
.
o
.
.
c cho theo
ba
’
ng sau dˆay:
x
1

x
2
\ff
1
f
2
f
3
f
4
f
5
f
6
f
7
f
8
TT TTTTTTTT
TF TTTTFFFF
FT TTFFTTFF
FF TFTFTFTF
x
1
x
2
\ff
9
f
10

f
11
f
12
f
13
f
14
f
15
f
16
TT FFFFFFFF
TF T T T T F F F F
FT TTFFTTFF
FF TFTFTFTF
trong d´o c´o mˆo
.
tsˆo
´
h`am quen thuˆo
.
cnhu
.
sau:
f
4
(x
1
,x

2
)=x
1
; f
11
(x
1
,x
2
)=x
2
; f
13
(x
1
,x
2
)=x
1
f
5
(x
1
,x
2
)=x
1
→ x
2
; f

7
(x
1
,x
2
)=x
1
↔ x
2
f
8
(x
1
,x
2
)=x
1
and x
2
; f
2
(x
1
,x
2
)=x
1
or x
2
;

f
10
(x
1
,x
2
)=x
1
xor x
2
;
Ch´u´yo
.
’
dˆay thay ¬x b˘a
`
ng x.
Ta biˆe
´
tmˆo
˜
imˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
tu

.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
imˆo
.
t h`am da
.
isˆo
´
logic,
v`ır˘a
`
ng th´u
.
nhˆa
´
ttˆa
.
pho
.
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac biˆe

´
nmˆe
.
nh dˆe
`
l`a dˆe
´
m du
.
o
.
.
c, ch˘a
’
ng ha
.
n
theo c´ach s˘a
´
pxˆe
´
pth´u
.
tu
.
.
sau dˆay A, B, C, , Z, A
1
,B
1

,C
1
, , Z
1
,
Th´u
.
hai l`a nˆe
´
umˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
n`ao d´o c´o ch´u
.
a c´ac biˆe
´
n i
1
,i
2
, , i
n
(i
1
<i

2
< < i
n
) trong tˆa
.
pkˆe
’
du
.
o
.
.
co
.
’
trˆen th`ı khi
d´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ta c´o thˆe
’
lˆa
.
p
du
.
o

.
.
cmˆo
.
t h`am da
.
isˆo
´
logic v´o
.
i c´ac biˆe
´
n x
i
1
,x
i
2
, , x
i
n
.
Th´ı du
.
1.3.2 V´o
.
i cˆong th´u
.
c A → B th`ı h`am da
.

isˆo
´
logic tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a:
18 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
x
1
x
2
f(x
1
,x
2

)
TT T
TF F
FT T
FF T
c`on
dˆo
´
iv´o
.
i cˆong th´u
.
c B → A th`ı h`am
da
.
isˆo
´
logic tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a:
x
1
x
2
g(x
1

,x
2
)
TT T
TF T
FT F
FF T
1.3.2 Su
.
.
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung - dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.2 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
du

.
o
.
.
cgo
.
il`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung (hay
h˘a
`
ng d´ung), nˆe
´
u n´o nhˆa
.
n gi´a tri
.
d´ung dˆo
´
iv´o
.
imo
.
i ph´ep thˆe
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan

l´y cu
’
a c´ac biˆe
´
n c´o m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c.
Vˆa
.
ych´ung ta c´o thˆe
’
n´oi r˘a
`
ng mˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
l`a dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung,
khi v`a chı
’

khi h`am da
.
isˆo
´
logic tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a n´o nhˆa
.
n to`an gi´a tri
.
d´ung,
ho˘a
.
cc´othˆe
’
n´oi nˆe
´
ucˆo
.
t cuˆo
´
ic`ung cu
’
aba

’
ng chˆan l´y cu
’
a cˆong th´u
.
c d˜a cho
chı
’
gˆo
`
m to`an gi´a tri
.
d´ung.
Th´ı du
.
1.3.3
a) Cˆong th´u
.
c A = A ∨ (¬A)l`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung (hiˆe
’
n nhiˆen).
b) Cˆong th´u
.
c A = A ∧ B → A l`a dˆo
`
ng nhˆa

´
t d´ung.
Ta ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng pha
’
nch´u
.
ng nhu
.
sau: Gia
’
su
.
’
ngu
.
o
.
.
cla
.
i, A khˆong
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung, ngh˜ıa l`a tˆo

`
nta
.
imˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a
c´ac biˆe
´
nc´om˘a
.
t trong A sao cho A(I
0
) = False, t´u
.
c l`a:
A ∧ B → A = F ⇔



A ∧ B = T (1)

A = F (2)
1.3. Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh ngh˜ıa 19
Thay (2) v`ao (1) ta c´o: A ∧ B = F (3)
So s´anh (1) v`a (3) suy ra mˆau thuˆa
˜
n. Vˆa
.
y A l`a dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.

Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.3 Nˆe
´
u cˆong th´u
.
c(A→B)l`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung th`ı khi d´o

A du
.
o
.
.
cgo
.
il`alogic k´eo theo B ho˘a
.
c B l`a logic k´eo theo t`u
.
A.
Th´ı du
.
1.3.4 Cˆong th´u
.
c A ∧ (A → B) logic k´eo theo B.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta chı
’
cˆa
`
nch´u
.
ng minh r˘a
`
ng cˆong th´u

.
c
A =(A ∧ (A → B) → B)
l`a
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung. Ta lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´ythugo
.
n sau dˆay:
(A ∧ (A → B) → B)
T T TTTT T
T F TFFT F
F F FTTT T
F F FTFT F
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.4 Hai cˆong th´u
.
c A v`a B du
.
o
.
.
cgo

.
il`alogic tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng,
nˆe
´
u cˆong th´u
.
c(A↔B)l`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
Th´ı du
.
1.3.5 A → B v`a (¬A) ∨ B l`a hai cˆong th´u
.
c logic tu
.
o
.
ng du
.
o

.
ng,
ngh˜ıa l`a ta chı
’
cˆa
`
nchı
’
ra r˘a
`
ng cˆong th´u
.
c
A =(A → B) ↔ ((¬A) ∨ B)
l`a
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
Lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´ythugo
.
n sau dˆay
(A → B) ↔ ((¬A) ∨ B)
T T T T F T T
T F F T F F F

F
T T T T T T
F T F T T T F
20 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
Ba
’
ng cˆong th´u
.
ctu
.
o
.
ng
du
.
o
.
ng

1. A ∧ B ≡ B ∧ A (giao ho´an)
A ∨ B ≡ B ∨ A
2. A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C (kˆe
´
tho
.
.
p)
A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C
3. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)(luˆa
.
t phˆan phˆo
´
i hai bˆen
A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
dˆo
´
iv´o
.
i ∧ v`a ∨)
4. ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨¬B) (luˆa
.
t de Morgan)
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧¬B)
5. A ∧ (¬A) ≡ False
A ∨ (¬A) ≡ True
6. A ∧ True ≡ A
A ∨ False ≡ A
7. ¬(¬ A) ≡ A (luˆa
.

t phu
’
di
.
nh k´ep)
8. (A ∧ A) ≡ A (luˆa
.
tlu˜y d˘a
’
ng)
(A ∨ A) ≡ A
9. A ∧ (A ∨ B) ≡ A (luˆa
.
thˆa
´
p thu
.
)
A ∨ (A ∧ B) ≡ A
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.5 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
c du
.
o
.
.

cgo
.
il`adˆo
`
ng nhˆa
´
t sai (hay h˘a
`
ng sai),
nˆe
´
u n´o nhˆa
.
n gi´a tri
.
sai dˆo
´
iv´o
.
imo
.
i ph´ep thˆe
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
n

c´o m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c d´o.
Bo
.
’
ivˆa
.
y trong ba
’
ng chˆan l´y cu
’
a cˆong th´u
.
c n`ay, cˆo
.
t cuˆo
´
ic`ung cu
’
aba
’
ng
chˆan l´ychı
’
gˆo
`
m to`an gi´a tri

.
sai.
1.3. Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh ngh˜ıa 21
Th´ı du
.
1.3.6
a) Cˆong th´u
.
c A = A ↔ (¬A)-dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai.
Ta lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´ythugo
.
ncu
’
a A:
A ↔ (¬A)
T F F

F F T
b) A = A ∧ (¬A)l`a
dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai. Ta lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´ythugo
.
ncu
’
a A:
A ∧ (¬A)
T F F
F F T
Vˆa
.
y ta c´o thˆe
’
n´oi r˘a
`
ng cˆong th ´u
.
c A l`a dˆo
`
ng nhˆa
´

t d´ung, khi v`a chı
’
khi
(¬A)l`a
dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai.
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.6 Mˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
(du
.
o
.
.
c cho du
.
´o
.
ida
.
ng ngˆon ng˜u
.

h`ang ng`ay
ho˘a
.
c ngˆon ng˜u
.
h`ınh th´u
.
c) nhˆa
.
n du
.
o
.
.
ct`u
.
mˆo
.
t cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung n`ao
d´o b˘a
`
ng c´ach thˆe
´
c´ac biˆe

´
nbo
.
’
i c´ac mˆe
.
nh
dˆe
`
sao cho c`ung mˆo
.
tbiˆe
´
n du
.
o
.
.
cthˆe
´
bo
.
’
ic`ung mˆo
.
tmˆe
.
nh
dˆe
`

th`ı mˆe
.
nh dˆe
`
d´o du
.
o
.
.
cgo
.
il`alogic d´ung.
Th´ı du
.
1.3.7 Cho cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung A =((A ∨ B) ∧ (¬B) → A).
Ta c´o mˆe
.
nh
dˆe
`
sau dˆay l`a logic d´ung:
“Nˆe
´
u tr`o

.
imu
.
a ho˘a
.
c tuyˆe
´
tro
.
i, v`a tuyˆe
´
t khˆong ro
.
i th`ı tr`o
.
imu
.
a”.
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.7 Mˆo
.
tmˆe
.
nh dˆe
`
nhˆa
.
n du
.

o
.
.
ct`u
.
mˆo
.
t cˆong th ´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t
sai b˘a
`
ng c´ach thˆe
´
c´ac biˆe
´
nbo
.
’
i c´ac mˆe
.
nh
dˆe
`
sao cho c`ung mˆo
.

tbiˆe
´
n du
.
o
.
.
cthˆe
´
bo
.
’
ic`ung mˆo
.
tmˆe
.
nh
dˆe
`
th`ı mˆe
.
nh dˆe
`
d´o du
.
o
.
.
cgo
.

il`alogic sai.
Th´ı du
.
1.3.8 Ta x´et cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai A = A ∧ (¬A). Khi d´o nˆe
´
u
ta thay A b˘a
`
ng mˆe
.
nh dˆe
`
“Tˆoi di ho
.
c”th`ımˆe
.
nh dˆe
`
sau dˆay l`a logic sai:
“Tˆoi
di ho
.
c v`a tˆoi khˆong di ho
.

c”.
Di
.
nh ngh˜ıa 1.3.8 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
c A du
.
o
.
.
cgo
.
il`athu
.
.
chiˆe
.
n du
.
o
.
.
c (hay thoa
’
du
.
o
.

.
c), nˆe
´
utˆo
`
nta
.
i ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
n
c´o m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c A sao cho A nhˆa
.
n gi´a tri
.

d´ung dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
n`ay.
22 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
1.4 Mˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
t
Di

.
nh l´y 1.4.1 Nˆe
´
u A v`a A→Bl`a c´ac cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung th`ı B
c˜ung dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
Ch´u
.
ng minh: (pha
’
nch´u
.
ng)
Gia
’
su
.
’
ngu
.
o

.
.
cla
.
i, B khˆong dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung. Khi d´o tˆo
`
nta
.
imˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
n c´o m˘a
.
t trong A v`a B sao cho
B(I

0
)=F (1). M˘a
.
t kh´ac, theo gia
’
thiˆe
´
t(A→B)l`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung, nˆen
(A→B)(I
0
)=A(I
0
) →B(I
0
)=T (2).
T`u
.
(1) v`a (2) suy ra A(I
0
)=F . Diˆe
`
u n`ay mˆau thuˆa
˜
nv´o
.
i gia

’
thiˆe
´
t A l`a
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung. 
Di
.
nh l´y 1.4.2 Nˆe
´
u A l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung c´o ch´u
.
a c´ac biˆe
´
n
A
1
,A
2

, , A
n
, v`a cˆong th´u
.
c B l`a cˆong th´u
.
c nhˆa
.
n du
.
o
.
.
ct`u
.
A b˘a
`
ng c´ach thˆe
´
c´ac cˆong th´u
.
c A
1
, A
2
, , A
n
v`ao c´ac biˆe
´
ntu

.
o
.
ng ´u
.
ng A
1
,A
2
, , A
n
th`ı cˆong
th´u
.
c B c˜ung dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung, ngh˜ıa l`a ph´ep thˆe
´
trong mˆo
.
t cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng
nhˆa
´
t d´ung cho ta mˆo

.
t cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
Ch´u
.
ng minh: (tru
.
.
ctiˆe
´
p)
Gia
’
su
.
’
cho mˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
c´ac gi´a tri

.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
nc´om˘a
.
t
trong cˆong th´u
.
c B. Khi d´o c´ac cˆong th´u
.
c A
1
(I
0
), A
2
(I
0
), , A
n
(I
0
) nhˆa
.
n c´ac
gi´a tri
.
tu

.
o
.
ng ´u
.
ng l`a b
1
,b
2
, , b
n
trong d´o b
i
ho˘a
.
c l`a T ho˘a
.
cF.Nˆe
´
u ta thˆe
´
bˆo
.
gi´a tri
.
b
1
,b
2
, , b

n
cho c´ac biˆe
´
ntu
.
o
.
ng ´u
.
ng A
1
,A
2
, , A
n
trong cˆong th´u
.
c A
th`ı A(b
1
,b
2
, , b
n
) nhˆa
.
n gi´a tri
.
T, v`ı cˆong th´u
.

c A l`a dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung v`a gi´a
tri
.
n`ay tr`ung v´o
.
i gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a cˆong th´u
.
c B ta
.
i I
0
,t´u
.
cl`aB nhˆa
.
n gi´a
tri
.
T dˆo
´
iv´o
.

ibˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
n´oi trˆen. V`ı I
0
du
.
o
.
.
ccho
.
ntu`y´y,nˆenB l`a cˆong
th ´u
.
c
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung. 
Di
.
nh l´y 1.4.3 Nˆe
´
u B
1

nhˆa
.
n du
.
o
.
.
ct`u
.
A
1
b˘a
`
ng c´ach thˆe
´
B v`ao mˆo
.
t ho˘a
.
c
nhiˆe
`
uvi
.
tr´ıcu
’
a A th`ı ((A↔B) → (A
1
↔B
1

)) l`a cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t
d´ung. Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p, nˆe
´
u A v`a B l`a logic tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng th`ı A
1
v`a B
1
c˜ung
logic tu

.
o
.
ng du
.
o
.
ng.
1.5. Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
ccu
’
a cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh
dˆe
`
23
Ch´u
.
ng minh: X´et mˆo
.
tbˆo
.

phˆan bˆo
´
I
0
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
n. Nˆe
´
u
A v`a B nhˆa
.
n gi´a tri
.
dˆo
´
ilˆa
.
p nhau dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
n`ay th`ı cˆong th´u

.
c
A↔Bnhˆa
.
n gi´a tri
.
F, v`a do d´o ((A↔B) → (A
1
↔B
1
)) nhˆa
.
n gi´a tri
.
T.
Tr´ai la
.
i, nˆe
´
u A v`a B nhˆa
.
nc`ung gi´a tri
.
,v`av`ır˘a
`
ng B
1
chı
’
kh´ac A

1
ta
.
i
mˆo
.
tsˆo
´
vi
.
tr´ı m`a B
1
ch´u
.
a B, trong khi d´o A
1
ch´u
.
a A, do vˆa
.
y trong tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
pn`ay,(A↔B) nhˆa
.

n gi´a tri
.
T, (A
1
↔B
1
)c˜ung nhˆa
.
n gi´a tri
.
T, v`a do d´o
((A↔B) → (A
1
↔B
1
)) nhˆa
.
n gi´a tri
.
T.
V`ı I
0
du
.
o
.
.
ccho
.
n tu`y ´y, nˆen cˆong th´u

.
c((A↔B) → (A
1
↔B
1
)) l`a dˆo
`
ng
nhˆa
´
t
d´ung. 
Trˆen
dˆay l`a mˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
tvˆe
`
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung rˆa
´
t do
.
n gia

’
n, dˆe
˜
h`ınh
dung, v`a t´ınh bˆa
´
tbiˆe
´
ncu
’
a t´ınh chˆa
´
t dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung l`a ho`an to`an ch´u
.
ng
minh du
.
o
.
.
c.
1.5 Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a

´
ccu
’
a cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh
dˆe
`
1.5.1 Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n v`a chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i
Di
.
nh ngh˜ıa 1.5.1 Mˆo
.
t cˆong th´u

.
cmˆe
.
nh dˆe
`
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c
tuyˆe
’
n,nˆe
´
u n´o l`a tuyˆe
’
n cu
’
amˆo
.
t ho˘a

.
c nhiˆe
`
uha
.
ng th´u
.
chˆo
.
i trong d´o mˆo
˜
i ha
.
ng
th´u
.
chˆo
.
i du
.
o
.
.
clˆa
.
pnˆent`u
.
hˆo
.
icu

’
amˆo
.
t ho˘a
.
c nhiˆe
`
ubiˆe
´
nv`aphu
’
di
.
nh cu
’
abiˆe
´
n.
Th´ı du
.
1.5.1
a) A =(A ∧ B) ∨ (
A ∧ B) ∨ (A ∧ B ∧ C)
b) B =(
A ∧ (B ∨ C)) ∨ (A ∧ B) ∨ A khˆong pha
’
il`ada
.
ng chuˆa
’

nt˘a
´
c tuyˆe
’
n
nhu
.
ng ta biˆe
´
n dˆo
’
i th`anh phˆa
`
nth´u
.
1: A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
ta c´o cˆong th´u
.
c sau: B =(A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∨ A l`a chuˆa
’
n
t˘a
´
c tuyˆe
’
n.
Di
.
nh ngh˜ıa 1.5.2 Mˆo
.

t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i,
nˆe
´
un´ol`ahˆo
.
i cu
’
amˆo
.

t ho˘a
.
c nhiˆe
`
uha
.
ng th´u
.
c tuyˆe
’
n, trong d´o mˆo
˜
i ha
.
ng th´u
.
c
tuyˆe
’
n du
.
o
.
.
clˆa
.
pnˆent`u
.
tuyˆe
’

ncu
’
amˆo
.
t ho˘a
.
c nhiˆe
`
ubiˆe
´
n v`a phu
’
di
.
nh cu
’
abiˆe
´
n.
24 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.

nh dˆe
`
Th´ı du
.
1.5.2
a) A = A∧(
A∨(B ∧C))∧(A∨B) khˆong pha
’
i l`a da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i, nhu
.
ng
ta biˆe
´
n
dˆo
’
i th`anh phˆa
`
nth´u
.
hai: (A ∨ (B ∧ C)) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
khi d´o ta c´o cˆong th´u

.
c sau l`a da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i:
A = A ∧ (
A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ∧ (A ∨ B).
b) B =(A ∨ B) ∧ (
A ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ C) ∧ A -da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i.
1.5.2 Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c ho`an to`an
Di

.
nh ngh˜ıa 1.5.3 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
du
.
o
.
.
cgo
.
il`achuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n
ho`an to`an,nˆe
´
u n´o l`a tuyˆe
’
ncu
’
a c´ac ha

.
ng th´u
.
chˆo
.
i, trong d´o khˆong c´o mˆo
.
t
ha
.
ng th´u
.
chˆo
.
i n`ao ch´u
.
abiˆe
´
n v`a phu
’
di
.
nh cu
’
a n´o, v`a nˆe
´
umˆo
.
tbiˆe
´

n c´o m˘a
.
t
trong mˆo
.
tha
.
ng th´u
.
chˆo
.
i th`ı n´o pha
’
i c´o m˘a
.
t trong mo
.
iha
.
ng th´u
.
chˆo
.
i kh´ac.
Th´ı du
.
1.5.3
a) Cˆong th´u
.
c A =(A ∧ A ∧ B) ∨ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) khˆong pha

’
i l`a da
.
ng
chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n ho`an to`an, v`ır˘a
`
ng ha
.
ng th´u
.
cth´u
.
nhˆa
´
t c´o biˆe
´
n A v`a
phu
’
di
.
nh cu
’
a n´o trong c`ung mˆo

.
tha
.
ng th´u
.
c tuyˆe
’
n, nhu
.
ng ta biˆe
´
n dˆo
’
i
th`anh phˆa
`
nth´u
.
nhˆa
´
t:
(A ∧
A ∧ B) ≡ (A ∧ A) ∧ B ≡ False ∧ B ≡ False,
ta c´o cˆong th´u
.
c
A = False ∨ (A ∧ B) ∨ (A ∧
C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
l`a da
.

ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
nnhu
.
ng khˆong pha
’
il`ada
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n
ho`an to`an, v`ı r˘a
`
ng mˆo
˜
iha
.
ng th´u
.
chˆo
.
io

.
’
dˆay thiˆe
´
utˆenbiˆe
´
nth´u
.
ba, c`on
ch˘a
’
ng ha
.
n: (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) l`a da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n ho`an
to`an.
1.6. C´ac hˆe
.
dˆa
`
y du
’
cu

’
a c´ac ph´ep to´an 25
b) Cˆong th´u
.
c A =(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) l`a da
.
ng chuˆa
’
n
t˘a
´
c tuyˆe
’
n ho`an to`an.
Di
.
nh ngh˜ıa 1.5.4 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
du
.
o
.
.
cgo

.
il`achuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i ho`an
to`an,nˆe
´
u n´o l`a hˆo
.
icu
’
a c´ac ha
.
ng th´u
.
c tuyˆe
’
n, trong d´o khˆong c´o mˆo
.
tha
.
ng
th ´u
.
c tuyˆe
’
n n`ao ch´u

.
abiˆe
´
n v`a phu
’
di
.
nh cu
’
an´o,v`anˆe
´
umˆo
.
tbiˆe
´
n c´o m˘a
.
t trong
mˆo
.
tha
.
ng th´u
.
c tuyˆe
’
n th`ı n´o pha
’
i c´o m˘a
.

t trong mo
.
iha
.
ng th´u
.
c tuyˆe
’
n kh´ac.
Th´ı du
.
1.5.4
a) A =(A ∨ B) ∧ (A ∨ B) ∧ A - khˆong pha
’
ida
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i ho`an to`an,
v`ır˘a
`
ng ha
.
ng th´u
.
chˆo

.
ith´u
.
3chı
’
c´o mˆo
.
tbiˆe
´
n v`ı thiˆe
´
ubiˆe
´
n B nhu
.
ng
cˆong th´u
.
c n`ay l`a da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i.
b) B =(A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ C) l`a da
.
ng chuˆa

’
nt˘a
´
chˆo
.
i
ho`an to`an.
1.6 C´ac hˆe
.
dˆa
`
y du
’
cu
’
ac´ac ph´ep to´an
Ch´ung ta d˜a biˆe
´
tmˆo
˜
imˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh
dˆe
`
n biˆe

´
ntu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
imˆo
.
t
h`am da
.
isˆo
´
logic n biˆe
´
n, trong d´o c´ac biˆe
´
n v`a h`am dˆe
`
u nhˆa
.
n gi´a tri
.
T ho˘a
.
c
F. Ho

.
nn˜u
.
a, dˆo
´
iv´o
.
i c´ac cˆong th´u
.
ctu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng dˆe
`
u sinh ra c`ung mˆo
.
t h`am
da
.
isˆo
´
logic.
Vˆa
´
n

dˆe
`
ngu
.
o
.
.
cla
.
i, liˆe
.
u c´o pha
’
imˆo
˜
i h`am da
.
isˆo
´
logic c˜ung sinh ra tu
.
o
.
ng
´u
.
ng mˆo
.
t cˆong th´u
.

cmˆe
.
nh dˆe
`
theo mˆo
.
t c´ach n`ao d´o?
Diˆe
`
u n`ay du
.
o
.
.
c tra
’
l`o
.
imˆo
.
t c´ach kh˘a
’
ng di
.
nh nh`o
.
di
.
nh l´y sau dˆay.
Di

.
nh l´y 1.6.1 Mˆo
˜
imˆo
.
t h`am da
.
isˆo
´
logic dˆe
`
u sinh ra tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t cˆong
th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
c´o ch´u
.
a c´ac ph´ep to´an ¬, ∧, ∨.
Ch´u

.
ng minh: Gia
’
su
.
’
f(x
1
,x
2
, , x
n
) l`a mˆo
.
t h`am da
.
isˆo
´
logic. R˜o r`ang h`am
n`ay c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua mˆo
.
tba
’
ng chˆan l´ygˆo

`
m2
n
d`ong, trong d´o mˆo
˜
i d`ong
l`a mˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´y cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
,x
2
, , x
n
v`a tu
.
o
.
ng ´u
.

ng
l`a gi´a tri
.
cu
’
a h`am f(x
1
,x
2
, , x
n
).
26 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
Ta d´anh sˆo
´
tˆa
´
tca

’
c´ac d`ong theo th´u
.
tu
.
.
1, 2, , 2
n
. Khi d´o, dˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
i
i, (1  i  2
n
) ta k´y hiˆe
.
u:
C
i
:= u
i
1
∧ ∧ u
i
n
, trong d´o
u

i
j
:=



A
j
, nˆe
´
u x
j
o
.
’
d`ong th´u
.
i nhˆa
.
n gi´a tri
.
T
A
j
, nˆe
´
u x
j
o
.

’
d`ong th´u
.
i nhˆa
.
n gi´a tri
.
F
Bˆay gi`o
.
ta d˘a
.
t D l`a tuyˆe
’
ncu
’
a c´ac C
i
sao cho h`am f (x
1
,x
2
, , x
n
) nhˆa
.
n gi´a
tri
.
To

.
’
d`ong th´u
.
i cu
’
aba
’
ng chˆan l´y biˆe
’
udiˆe
˜
n h`am da
.
isˆo
´
logic f(x
1
,x
2
, , x
n
):
D := ∨
i:
C
i
f(x
1
,x

2
, , x
n
)=T
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khˆong tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t d`ong n`ao cu
’
aba
’
ng chˆan l´ybiˆe
’
udiˆe
˜
n
f(x
1
,x
2

, , x
n
) dˆe
’
f(x
1
,x
2
, , x
n
) nhˆa
.
n gi´a tri
.
T th`ı khi d´o ta chı
’
cˆa
`
n d˘a
.
t l`a:
D := A
1
∧ A
1
Ta pha
’
ich´u
.
ng minh r˘a

`
ng cˆong th´u
.
c D v`a f l`a tr`ung nhau vˆe
`
m˘a
.
t gi´a tri
.
.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
cho mˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe

´
n
A
1
,A
2
, , A
n
c´o m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c D,v`adˆo
`
ng th`o
.
i gia
’
thiˆe
´
tr˘a
`
ng d`ong
n`ay n˘a
`
mo
.
’
d`ong th´u
.

k cu
’
aba
’
ng biˆe
’
udiˆe
˜
n h`am da
.
isˆo
´
logic f(x
1
,x
2
, , x
n
).
Khi d´o dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng C
k
nhˆa
.
n gi´a tri

.
T dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
n`ay cu
’
a c´ac
biˆe
´
n A
1
,A
2
, , A
n
, c`on c´ac C
i
c`on la
.
i dˆe
`
u nhˆa
.
n gi´a tri
.

F dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan
bˆo
´
n´oi trˆen. Bo
.
’
ivˆa
.
y, nˆe
´
u f nhˆa
.
n gi´a tri
.
To
.
’
d`ong th´u
.
k,th`ıC
k
l`a mˆo
.
tsˆo

´
ha
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
c tuyˆe
’
n D, v`a nhu
.
vˆa
.
y D nhˆa
.
n gi´a tri
.
T dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan
bˆo
´
n`ay. Tr´ai la
.
i, nˆe
´

u f nhˆa
.
n gi´a tri
.
Fo
.
’
d`ong th´u
.
k, th`ı khi d´o C
k
khˆong c´o
m˘a
.
t trong cˆong th´u
.
c D v`a tˆa
´
tca
’
c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
c tuyˆe
’

n D dˆe
`
u
nhˆa
.
n gi´a tri
.
F
dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
n`ay. Vˆa
.
y trong ca
’
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ta thˆa
´
y

r˘a
`
ng D v`a f l`a tr`ung nhau vˆe
`
m˘a
.
t gi´a tri
.
.Dod´o, D qua
’
thˆa
.
t du
.
o
.
.
c sinh ra
t`u
.
h`am da
.
isˆo
´
logic f. 
Th´ı du
.
1.6.1 Cho h`am da
.
isˆo

´
logic 2 biˆe
´
n f(x
1
,x
2
) theo ba
’
ng chˆan l´y sau:
1.6. C´ac hˆe
.
dˆa
`
y du
’
cu
’
a c´ac ph´ep to´an 27
x
1
x
2
f(x
1
,x
2
)
TT F-
TF T+

FT T+
FF T+
H˜ay t`ım cˆong th´u
.
c D tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i f(x
1
,x
2
)?
Trong ba
’
ng d˜a cho, ta d´anh dˆa
´
u + v`ao nh˜u
.
ng d`ong m`a h`am f nhˆa
.
n gi´a
tri
.
True, v`a dˆa
´

u − v`ao nh˜u
.
ng d`ong h`am f nhˆa
.
n gi´a tri
.
False. Khi d´o ta c´o:
D = C
2
∨ C
3
∨ C
4
=(A
1
∧ A
2
) ∨ (A
1
∧ A
2
) ∨ (A
1
∧ A
2
)
Ch´u´yr˘a
`
ng ta c´o thˆe
’

thu
.
.
chiˆe
.
n nhanh cˆong th´u
.
c pha
’
i t`ım b˘a
`
ng c´ach nhu
.
sau: Ta
.
i d`ong m`a h`am f nhˆa
.
n gi´a tri
.
True (tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a dˆa
´
u +) ta viˆe
´
t

th`anh phˆa
`
ntu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
c D o
.
’
d`ong n`ay l`a A
1
∧ A
2
∧ ∧ A
n
v`a
sau d´o thˆem dˆa
´
uphu
’
di
.
nh
−−

trˆen dˆa
`
ubiˆe
´
n A
i
m`a ta
.
i d´o x
i
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng nhˆa
.
n
gi´a tri
.
False, ch˘a
’
ng ha
.
n trong th´ı du
.
trˆen, d`ong th´u
.
2 ta c´o:

A
1
∧ A
2
−→
(T, F)
A
1
∧ A
2
l`a th`anh phˆa
`
n C
2
cu
’
a cˆong th´u
.
c D cˆa
`
n t`ım.
Th´ı du
.
1.6.2 Cho h`am da
.
isˆo
´
logic 3 biˆe
´
n g(x

1
,x
2
,x
3
) theo ba
’
ng chˆan l´y
sau:
x
1
x
2
x
3
g(x
1
,x
2
,x
3
)
TTT T+
TTF F-
TFT T+
TFF T+
FTT F-
FTF F-
FFT F-
FFF T+

28 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
H˜ay t`ım cˆong th´u
.
c D tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a g(x
1
,x
2
,x
3
)?

Ta c´o cˆong th´u
.
c pha
’
i t`ım l`a:
D = A
1
∧ A
2
∧ A
3
∨ A
1
∧ A
2
∧ A
3
∨ A
1
∧ A
2
∧ A
3
∨ A
1
∧ A
2
∧ A
3
.

Ch´u ´y: Theo c´ach ch´u
.
ng minh trˆen, ta thˆa
´
yr˘a
`
ng mo
.
i h`am da
.
isˆo
´
logic
f : {0, 1}
n
→{0, 1} dˆe
`
uc´othˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n du
.
o
.
.
cb˘a
`

ng cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
nh`o
.
3ph´ep to´an {¬, ∧, ∨} nhu
.
sau
• Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n ho`an to`an cu
’
a h`am
da
.
isˆo
´
logic f : {0, 1}
n
→{0, 1}
l`a cˆong th´u

.
c
f
T
(x
1
,x
2
, , x
n
)=

i:
x
σ
1
1
∧ x
σ
2
2
∧ ∧ x
σ
n
n
(1)
f(σ
1
,σ
2

, , σ
n
)=1
• Da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
chˆo
.
i ho`an to`an cu
’
a h`am da
.
isˆo
´
logic f : {0, 1}
n
→{0, 1} l`a
cˆong th´u
.
c
f
H
(x
1
,x
2
, , x

n
)=

i:
x
1−σ
1
1
∨ x
1−σ
2
2
∨ ∨ x
1−σ
n
n
(2)
f(σ
1
,σ
2
, , σ
n
)=0
O
.
’
dˆay chı
’
sˆo

´
i l`a chı
’
sˆo
´
d`ong th´u
.
i cu
’
aba
’
ng biˆe
’
udiˆe
˜
n h`am da
.
isˆo
´
logic
f(x
1
,x
2
, , x
n
)v`aσ
k
∈{0, 1} v´o
.

imo
.
i k =1 n.
Th´ı du
.
1.6.3 Cho h`am
da
.
isˆo
´
logic f : {0, 1}
3
→{0, 1} nhu
.
sau:
x
1
x
2
x
3
f(x
1
,x
2
,x
3
)
111 0-
110 1+

101 1+
100 0-
011 1+
010 1+
001 0-
000 0-
1.6. C´ac hˆe
.
dˆa
`
y du
’
cu
’
a c´ac ph´ep to´an 29
a) T`ım da
.
ng chuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n, hˆo
.
i ho`an to`an cu
’
a f(x
1
,x

2
,x
3
)?
b) R´ut go
.
n cˆong th´u
.
cv`u
.
a t`ım?
Gia
’
i a) Lˆa
.
p cˆong th´u
.
cchuˆa
’
nt˘a
´
c tuyˆe
’
n v`a hˆo
.
i ho`an to`an
Ta dˆe
˜
d`ang lˆa
.

p du
.
o
.
.
c cˆong th´u
.
c pha
’
i t`ım l`a:
f
T
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3

∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
f
H
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2

∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x
3
.
b) R´ut go
.
n:
30 Chu
.
o
.
ng 1.
Da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe

`
Ta ´ap du
.
ng c´ac cˆong th´u
.
ctu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng cho qu´a tr`ınh biˆe
´
n dˆo
’
inhu
.
sau:
f
T
= x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1

∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
≡ x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ [(x
1

∧ x
2
) ∧ (x
3

∨
T
x
3

)]
≡ x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
∨ x
1
∧ x
2
≡ (x
1
∧ x

2
∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
) ∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
≡ [x
2
∧ (x
1
∨ (x
1
∧ x
3
))] ∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
≡ [x
2
∧ (( x

1

∨
T
x
1

) ∧ (x
1
∨ x
3
))] ∨ x
1
∧ x
2
∧ x
3
≡ [x
2
∧ (x
1
∨ x
3
)] ∨ (x
1
∧ x
2
∧ x
3
)

≡ [(x
1
∧ x
2
∧ x
3
) ∨ x
2
] ∧ [(x
1
∧ x
2
∧ x
3
) ∨ (x
1
∨ x
3
)]
≡ [(x
2
∨ x
1
) ∧ (x
2

∨
T
x
2


) ∧ (x
2
∨ x
3
)] ∧ [(x
1
∨

x
3
T
∨x
1

)
∧((x
1
∨ x
3
) ∨ (x
2
∧ x
3
))]
≡ [(x
2
∨ x
1
) ∧ (x

2
∨ x
3
)] ∧ [(x
1
∨ x
3
) ∨ (x
2
∧ x
3
)]
≡ (x
1
∨ x
2
) ∧ (x
2
∨ x
3
) ∧ [(x
1
∨ x
3
∨ x
2
) ∧ (x
1
∨ x
3


∨
T
x
3

)]
≡ (x
1
∨ x
2
) ∧ (x
2
∨ x
3
) ∧ (x
1
∨ x
2
∨ x
3
)
≡ (x
2
∨ (x
1
∧ x
3
)) ∧ (x
1

∨ x
2
∨ x
3
).
f
H
= x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x

3
≡ x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ [(x
1
∨ x
2
) ∨ (x
3

∧
F
x
3

)]
≡ x
1
∨ x
2

∨ x
3
∧ x
1
∨ x
2
∨ x
3
∧ (x
1
∨ x
2
)
≡ (
x
1
∨ x
2
∨ x
3
) ∧ [x
2
∨ (x
1
∧ (x
1
∨ x
3
))]
≡ (x

1
∨ x
2
∨ x
3
) ∧ [x
2
∨ (( x
1

∧
F
x
1

) ∨ x
1
∧ x
3
)]
≡ (
x
1
∨ x
2
∨ x
3
) ∧ [x
2
∨ (x

1
∧ x
3
)]
≡ [(x
1
∨ x
2
∨ x
3
) ∧ x
2
] ∨ [(x
1
∨ x
2
∨ x
3
) ∧ (x
1
∧ x
3
))]
≡ [x
2
∧ x
1
∨ x
2


∧
F
x
2

∨ x
2
∧ x
3
]
∨[(x
1
∧

x
3
F
∧x
1

) ∨ ((x
1
∧ x
3
) ∨ (x
2
∨ x
3
))]
≡ [x

1
∧ x
2
∨ x
2
∧ x
3
] ∨ [(x
1
∧ x
3
) ∧ (x
2
∨ x
3
)]