On tap hinh hoc 1

Ôn tập mặt phẳng − đường thẳng − mặt cầu (1)
1. Cho A(2;−4;3) , B(5;1;1) ; C(2;0;−4)
a) Lập pt mặt phẳng (ABC)
b) Lập pt mặt cầu đường kính BC
c) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với BC .
Giải : a)
AB
uuur
=(3;5;−2) ;
AC
uuur
=(0;4;−7)
ABC
n
r
=[
AB
uuur
,
AC
uuur
]=(−27;21;12)
+ Phương trình mp(ABC) : −27(x−2) +21(y+4)+12(z−3) =0
<=> −27x +21y+12z+102 =0 <=> −9x +7y +4z +34 =0
b) Gọi I là trung điểm BC => I(7/2;1/2 ; −3/2)
+ Bán kính : R =IB =
2 2 2
7 1 3
(5 ) (1 ) (1 )
2 2 2
− + − + +

=
35
2
+ Phương trình mặt cầu : (x−
7
2
)
2
+(y−
1
2
)
2
+(z+
3
2
)
2
=
35
4
c) +
BC
uuur
=(−3;−1;−5)
+ Phương trình mpα qua A nhận
BC
uuur
làm VTPT có pt :
−3(x−5)−1(y−1)−5(z−1) =0 <=> −3x−y−5z +21 =0

2. Cho mp(α): 3x −y −z +7=0 và M(5;−4;3)
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mp(α)
b) Lập pt mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(α)
c) Lập pt mp β qua O; M và vuông góc với mp(α)
Giải : a) Vì (d) ⊥ mp(α) =>
d
u
r
=
n
α
uur
=(3;−1;−1)
Đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) có pt:
x 5 3t
y 4 t
z 3 t
= +


= − −


= −

t ∈R
b) Vì mặt cầu tâm M tiếp xúc vơi mp(α)
=> R= d(M;α) =
2 2 2
3.5 ( 4) 3 7

3 1 ( 1)
− − − +
+ + −
=
23
11
Phương trình mặt cầu : (x−5)
2
+(y+4)
2
+(z−3)
2
=
529
11
c)
OM
uuuur
=(5;−4;3) ;
n
α
uur
=(3;−1;−1)
+Mặt phẳng β qua O, M và vuông góc với α
=>
n
β
uur
=[
OM

uuuur
,
n
α
uur
] =(7;14;7)
+ Phương trình mp(β) : 7(x−0)+14(y−0)+7(z−0) =0 <=> x+2y+z=0
3. Cho đường thẳng (d) :
x 3 y 1 z 5
2 4 3
− + +
= =
− −
vàA(3;1;−2),B(5;4;1)
a) Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trung điểm của AB và
song song với (d)
b) Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng (d)
c) Lập pt mặt phẳng (α) qua B và vuông góc với đường thẳng (d)
Giải : a) Gọi I là trung điểm AB => I(4;5/2;−1/2)
Vì ∆ // d =>
u
∆
r
=
d
u
uur
=(2;−4;−3)
+ Phương trình ∆ :
x 4 y 5/ 2 z 1/ 2

2 4 3
− − +
= =
− −
b)Vì mặt cầu tâm A , tiếp xúc với đường thẳng (d)
=> R= d(A;(d)) =
0 d
d
[AM , u ]
u
uuuuur uur
uur
Mà d qua M
0
(3;−1;−5) có VTCP
d
u
uur
=(2;−4;−3)
0
AM
uuuur
=(0;−2;−3) ; [
0
AM
uuuur
,
d
u
uur

]= (−6;−6;4)
Suy ra : R= d(A;(d))=
2 2 2
2 2 2
( 6) ( 6) 4
2 ( 4) ( 3)
− + − +
+ − + −
=
88
29
Phương trình mặt cầu : (x−3)
2
+(y−1)
2
+(z+2)
2
=
88
29
c) Vì mp(α) ⊥ đường thẳng (d) =>
n
α
uur
=
d
u
uur
=(2;−4;−3)
+ Phương trình mp(α) qua B(5;4;1) nhận

n
α
uur
làm VTPT
2(x−5) −4(y−4)−3(z−1) =0 <=> 2x −4y −3z +9 =0
4. Cho (S) : x
2
+y
2
+z
2
−4x+8y−6z −5=0 , A(4;2;−3)
a) Xác đònh tâm I và bán kính R
b) Lập phương trình đường thẳng AI
c) Cho (α): 4x −3y +z −1=0 . Lập pt mặt phẳng β song song với α
và β tiếp xúc mặt cầu (S)
Giải:a) Tâm I(2;−4;3) bán kính R=
2 2 2
2 ( 4) 3 5+ − + +
=
34
b) Đường thẳng AI có VTCP
AI
uur
=(−2;−6;6)
Đường thẳng AI :
x 4 2t
y 2 6t
z 3 6t
= −



= −


= − +

c) β // (α) => phương trình β: 4x−3y+z +D=0 ( D ≠ −1)
+ β tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I;β)= R
<=>
2 2 2
4.2 3( 4) 3 D
4 ( 3) 1
− − + +
+ − +
=
34
<=>
D 23+
=
884
<=>
D 23 884
D 23 884

+ =

+ = −



<=>
D 23 884
D 23 884

= − +

= − −



Vậy có hai pt mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài :
• 4x−3y+z −23+
884
=0 ; • 4x−3y+z −23−
884
=0
5. Cho (S) x
2
+y
2
+z
2
+6x−8y−2z +1=0 và (d)
x 1 y 2 z 1
3 4 5
+ − −
= =
a) Xác đònh tâm I và bán kính của mặt cầu (S)
b) Lập pt mp(α) vuông góc với (d) và tiếp xúc mặt cầu (S)
c) Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) . Từ đó suy ra

vò trí tương đối của (d) và (S).
Giải :a) Tâm I(−3;4;1) , bán kính R=
2 2 2
( 3) 4 1 1− + + −
=5
b) Vì mp(α) ⊥ (d) =>
n
α
uur
=
d
u
r
=(3;4;5)
+ Phương trình mp(α) : 3x+4y +5z +D=0
+ α tiếp xúc với mặt cầu (S) <=> d(I;α)= R
<=>
2 2 2
3.( 3) 4.4 5 D
3 4 5
− + + +
+ +
=5<=>
D 12+
=5<=>
D 12 25 2
D 12 25 2

+ =


+ = −


<=>
D 12 25 2
D 12 25 2

= − +

= − −


Vậy có hai pt mặt phẳng thỏa điều kiện đề bài :
• 3x+4y+5z −12+25
2
=0 ; •3x+4y+5z −12−25
2
=0
c) Đường thẳng (d) qua M
0
(−1;2;1) ,
d
u
r
=(3;4;5)
+
0
IM
uuuur
=(2;−2;0) ; [

0
IM
uuuur
,
d
u
r
] = (−10;−10;14)
Khoảng cách d(I;(d)) =
0 d
d
[IM , u ]
u
uuuur uur
uur
=
2 2 2
2 2 2
( 10) ( 10) 14
3 4 5
− + − +
+ +
=
396
50
<5
=> đường thẳng (d) cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt
6. Cho (d
1
)

x 2 y 1 z 4
2 3 2
+ + −
= =
−
; (d
2
)
x 1 y 3 z 5
1 2 3
+ − +
= =
−

a) Chứng tỏ (d
1
) và (d
2
) chéo nhau
b) Viết phương trình mp(α) chứa (d
1
) và song song với (d
2
)
c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
) . Viết pt mặt
cầu đường kính MN.

Giải :a) (d
1
) qua M
1
(−2;−1;4) và
1
u
uur
=(−2;3;2).
(d
2
) qua M
2
(−1;3;−5) và
2
u
uur
=(1;−2;3)
1 2
M M
uuuuuur
=(1;4;−9); [
1
u
uur
,
2
u
uur
]=(13;8;1)

[
1
u
uur
,
2
u
uur
].
1 2
M M
uuuuuur
=1.13+4.8−9.1 =36 ≠ 0
=> (d
1
) và (d
2
) chéo nhau
b) Mặt phẳng α chứa (d
1
) qua M
1
có VTCP
1
u
uur
Mặt phẳng α song song với (d
2
) có VTCP
2

u
uur
=>
n
α
uur
=[
1
u
uur
,
2
u
uur
]=(13;8;1)
Phương trình mp(α) : 13(x+2)+8(y+1)+1(z−4) =0
<=> 13x+8y +z +30=0
c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung
M ∈ (d
1
) => M(−2−2t
1
;−1+3t
1
;4+2t
1
)
N ∈ (d
2
) => N(−1+ t

2
;3−2t
2
;−5+3t
2
)
MN
uuuur
=(1+2t
1
+t
2
; 4−3t
1
−2t
2
; −9−2t
1
+3t
2
)
•
1
2
MN.u 0
MN.u 0

=



=


uuuur uur
uuuur uur
<=>
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2(1 2t t ) 3(4 3t 2t ) 2( 9 2t 3t ) 0
1(1 2t t ) 2(4 3t 2t ) 3( 9 2t 3t ) 0
− + + + − − + − − + =


+ + − − − + − − + =

<=>
1 2
1 2
17t 2t 8
2t 14t 34
− − =


+ =

<=>
1
2
t 10 /13
t 33/13

= −


=

Suy ra : M(−6/13; −43/13 ; 32/13) ; N(20/13; −27/13; 34/13)
+ Gọi I là trung điểm của MN => I(7/13; −35/13; 33/13)
Bán kính R=IM =
2 2 2
6 7 43 35 32 33
13 13 13 13 13 13
     
− − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
     
=
18
13
Phương trình đường tròn đường kính MN là :
(x−7/13)
2
+(y+35/13)
2
+(z−33/13)
2
=
18
13