Ôn tập Hình học 12

Trường THPT Trần Quốc Toản Ôn tập chương I
CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
$1 . TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1/ Tọa độ của vectơ:
* Đònh nghóa :
→
u
= (x; y) ⇔
→
u
= x
→
i
+ y
→
j

* Các tính chất : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho hai vec tơ
→
u
= (x ; y) ,
'
→
u
= (x’; y’)
ta có:
a/
→
u
+

'
→
u
= (x + x’; y+ y’)
b/ k
→
u
= ( kx ; ky )
c/ tích vô hướng
→
u
.
'
→
u
= xx’ + yy’
d/
2
→
u
= x
2
+ y
2
, do đó |
→
u
| =
22
yx

+

e/ cos (
→
u
;
'
→
u
) =
2222
''
''
yxyx
yyxx
++
+
f/
→
u
⊥
'
→
u
⇔ xx’ + yy’= 0
g/
→
u
cùng phương với
'

→
u
⇔
'
'
yy
xx
= xy’ – x’y = 0
h/
→
u
=
'
→
u
⇔





=
=
'
'
yy
xx
2/ Tọa độ của điểm :
*Đònh nghóa : M ( x ; y) ⇔OM = ( x ; y ) ⇔ OM = x
→

i
+ y
→
j

* Trong hệ tọa độ Oxy ,cho A ( x
A
; y
A
) , B( x
B
; y
B
) thì :
a/ AB = ( x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
b/ AB =
22
)()(
ABAB
yyxx
−+−
c/

MA k MB
=
uuur uuur
⇔







−
−
=
−
−
=
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
1
1
, (k ≠ 1).

d/ M là trung điểm đoạn AB ⇔







+
=
+
=
2
2
BA
M
BA
M
yy
y
xx
x
* Công thức tính diện tích tam giác ABC với :
AB
uuur
= (x
1
;y
1
),

AC
uuur
= ( x
2
;y
2
) thì S =
2
1
| x
1
y
2
– x
2
y
1
|
- 1 -
Trường THPT Trần Quốc Toản Ôn tập chương I

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỚNG GẶP:
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
→
a
= ( 5 ; 3 ) ,
→
b
= ( 4 ; 2 ) ,
→

c
= ( 2 ; 0) .
1/ Tìm tọa độ của vectơ
→
u
biết
→
u
= 2
→
a
+ 4
→
b
– 3
→
c
.
2/ Hãy biểu diển vectơ
→
c
theo các vetơ
→
a
và
→
b
.
Bài 2 : Tính góc α giữa các vectơ :
1/

→
a
= ( 5 ; 1 ) ,
→
b
= ( 3 ; 2)
2/
→
a
= ( 3 ; - 2 ) ,
→
b
= ( 2 ; 3 ).
Bài 3 : Cho A ( 1 ; 1) , B( 2 ; 3 ) , C ( 5 ; -1) .
1/ Tính AB , BC , CA rồi suy ra tam giác ABC vuông .
2/ Tính diện tích tam giác ABC . Suy ra độ dái dường cao vẽ từ A.
Bài 4 : cho
→
a
=( 5 ; 2 ),
→
b
=( 7 ; -3).Xác đònh tọa độ vectơ
→
u
thỏa mãn điều kiện :







=
=
→→
→→
30.
38.
ub
ua

II . Tìm tọa độ của một điểm thỏa điều kiện cho trước:
• G là trọng tâm tam giác ABC ⇔







++
=
++
=
3
3
CBA
G
CBA
G

yyy
y
xxx
x
• ABCD là hình bình hành ⇔
→−→−
=
BCAD

•E là điểm đối xứng của A quaB ⇔ B là trung điểm của đoạn AE
• I là tâm của đường trò ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ AI = BI = CI.
• H là trực tâm của tam giác ABC ⇔





=
=
→→
→→
0.
0.
ACBH
BCAH

• A’ làhình chiếu vuông góc của A trên BC ⇔
→−→−
⊥
BCAA'

và
→−
'BA
cùng phương với
→−
BC

BÀI TẬP:
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ;
2
3
), D (- 2; 2)
a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng.
b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B.
c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tìm tọộ trọng tâm G của tam giác ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xác đònh tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Xác đònh tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng.
3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 ) .
- 2 -
Trường THPT Trần Quốc Toản Ôn tập chương I
a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành.
b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất .
c/ Tìm điểm N trên trục tung sao cho NA + Nb nhỏ nhất.
d/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho |
→−→−
+
IBIA
| ngắn nhất.

e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và
điểm C trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a) Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.
$2.ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1/ Các đònh nghóa :
* Vectơ
→
n
≠
→
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu
→
n
vuông góc với d
* Vectơ
→
u
≠
→
0
song song với( hoặc nằm trên ) đường thẳng d gọi là vectơ chỉ phương của đường
thẳng d
Chú ý: Nếu đường thẳng d có một VTPT
→
n
=( A;B) thì nó có một vectơ chỉ phương

→
u
=( B; - A)
2/ Các dạng phương trình đường thẳng:
•Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng :
Ax + By + C = 0 , A
2
+ B
2
≠ 0 ( 1 )
Nếu đường thẳng có dạng (1) nó có vectơ pháp tuyến
→
n
= ( A ;B) .
• Đường thẳng d đi qua điểm M
0
( x
0
; y
0
) có vectơ pháp tuyến
→
n
= ( A ;B) có phương trình tổng
quát là: A(x – x
0
) + B( y – y
0
) = 0
• Đường thẳng d đi qua điểm M

0
( x
0
; y
0
) có vectơ chỉ phương
→
u
= ( a ;b) :
+ có phương trình tham số là:



+=
+=
btyy
atxx
0
0

+ Có phương trình chính tắc là:
b
yy
a
xx
00
−
=
−
.

•Cho đường thẳng d có phương trình : Ax +By + C = 0
+ d’// d ⇔ d’ : Ax +By +C’ = 0 ( C’ ≠ C)
+ d’’ ⊥ d ⇔ d’’ : Bx –Ay + C’’ = 0
3/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng với hệ tạo độ Oxycho hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0,
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 .
* d
1
cắt d
2
⇔ D = A
1
B
2

– A
2
B
1
≠ 0.
* d
1
// d
2
⇔ D =
22
11
BA
BA
= 0 , D
x
=
22
11
CB
CB
≠ 0 hay Dy=
22
11
AC
AC
≠ 0.
- 3 -
Trường THPT Trần Quốc Toản Ôn tập chương I
* d

1
≡
d
2
⇔ D = D
x
= D
y
= 0 .
4/ Chùm đường thẳng :
Hai đường thẳng phân biệt của chùm có phương trình tổng quát là:
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Lúc đó mỗi đường thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng :

λ
( A
1

x + B
1
y + C
1
) +
µ
( A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0 , (
λ
2
+
µ
2
≠ 0 ).
5/ Góc giữa hai đường thẳng:
Giả sử hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có phương trình là :
A
1
x + B
1
y + C

1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0.
Góc
ϕ
giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được tính bởi công thức:
cos
ϕ
=
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
.
||

BABA
BBAA
++
+
6/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M
0
( x
0
; y
0
) và dường thẳng
∆
có phương
trình: Ax + By + C = 0 khi đó
d( M
0
,
∆
) =
22
00
||
BA
CByAx
+
++
Cho (D) : Ax + By + C = 0 và hai điểm M(x
M
;y

M
) N(x
N
;y
N
) không nằm trên (D):
• M, N nằmvề một phía với (D) ⇔ (Ax
M
+By
M
+C)(Ax
N
+By
N
+C) > 0
• M, N nằmvề hai phía với (D) ⇔ (Ax
M
+By
M
+C)(Ax
N
+By
N
+C) < 0
7/ Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau :
A
1
x+B
1
y+ C

1
= 0 và A
2
x+B
2
y+ C
2
= 0:

2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±
+
++

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:
Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của
đường thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ
→
u
=( 4; -3) làm vectơ chỉ phương .
2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) và B( -3 ; 5 ) .
3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ
→
n
= ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến .
Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát
là: 3x – 2y + 6 = 0 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Viết phương trình
đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4.
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C
c) d cách đều ba điểm A; B ; C
d) d vuông góc với AB tại A.
e) d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC.
- 4 -
Trường THPT Trần Quốc Toản Ôn tập chương I
Bài 4: Cho tam giác ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB , BC , CA .
1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC.
2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d).
2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d).

Bài 6 : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 và d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng đi qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây :
1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3) .
2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0 .
3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0 .
Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.
Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình
đường thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4.
2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5)
và hai đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường
thẳng qua P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ
một đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x
– 2y – 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC.

Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1
, C trên d
2
và B , D
trên trục hoành sao cho ABCD là hình vuông .
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác đònh hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:
•Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d .
• Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H.
2/ Phương pháp :Xác đònh điểm N đối xứng của điểm M qua d.
• Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.
•Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa
độ điểm N
Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d .
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng
d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d.
- 5 -
Trường THPT Trần Quốc Toản Ôn tập chương I
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d .
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất.
Dạng 3 : Các bài toán về vò trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1 : Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Bài 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trò nào của m thì :
1/ d và d’ cắt nhau. 2/ d // d’. 3/ d trùng với d’.
Bài 3: Với giá trò nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Dạng 4 : Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách.
Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A
và hợp với d một góc 45
0
.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai
đường thẳng : (d
1
):2x – y + 5 = 0 , (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là
giao điểm của (d
1
) và (d
2
) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương

trình 3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và
4x +7y – 21 =0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương
trình là 7x- y +8 = 0
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a. Xác đònh tọa độ điểm A.
b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa
độ của B , C.
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại
C .
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến
vẽ từ C có phương trình x + y – 5 =0
a. Tìm tọa độ điểm A.
b. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0.
a. Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC
- 6 -