Ôn tập Hình học 12

Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
A. Lí thuyết cần nhớ :
1.Tọa độ của vectơ
Đònh nghóa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ
→
u
tùy ý ,do
→
i
,
→
j
,
→
k
không đồng phẳng nên tồn tại
bộ ba số thực (x ; y ; z) sao
→
u
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ

→
u
, kí hiệu:
→
u
= ( x ; y ; z )
Vậy
→
u
= ( x ; y ; z ) ⇔
→
u
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Các tính chất :
→
u
= ( x ; y ; z ) ,
→
v
= ( x’ ; y’ ; z’ )
•
→

u
+
→
v
= ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )
•
→
u
-
→
v
= ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )
• k
→
u
= ( kx ; ky ; kz )
•





=
=
=
⇔=
→→
'
'
'

zz
yy
xx
vu
2. Tọa độ của điểm :
Đònh nghóa : Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa của
điểm M .
Vậy nếu
→−
OM
= (x ; y ; z) thì bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M ,
Ta viết : M ( x ; y ; z )
M ( x ; y ; z ) ⇔
→−
OM
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Các tính chất : A ( x
A
; y
A
; z
A

) , B ( x
B
; y
B
; z
B
) ta có ;
• AB = ( x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
• AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
−+−+−
•










−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇔≠=
→−→−
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
kMBkMA
BA
M
BA

M
BA
M
1
1
1
)1(,
- 1 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
• M là trung điểm của đoạn AB ⇔









+
=
+
=
+
=
2
2
2
BA
M

BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
• G(x
G
;y
G
; z
G
) là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔









+++=
+++=
+++=
)(

4
1
)(
4
1
)(
4
1
DCBAG
DCBAG
DCBAG
zzzzz
yyyyy
xxxxx

3 .Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ :
Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2

; y
2
; z
2
) ta có :
•
→
a
.
→
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
•
→
a
⊥
→
b
⇔ x

1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
= 0
• |
→
a
| =
2
1
2
1
2
1
zyx ++
• cos
ϕ
=
2
2
2
2

2
2
2
1
2
1
2
1
212121
. zyxzyx
zzyyxx
++++
++
•
→
a
và
→
b
cùng phương với nhau ⇔ x
1
: y
1
: z
1
= x
2
: y
2
: z

2
4 . Tích có hướng của hai vectơ:
a. Đònh nghóa : Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2
; y
2
; z
2
). Tích có hướng của hai vectơ
→
a
và
→
b
là một vectơ kí hiệu là [
→
a
,

→
b
] và

- 2 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
[
→
a
,
→
b
] =








22
11
22
11
22
11
;;
yx
yx

xz
xz
zy
zy
b. Các tính chất :
•
→
a
cùng phương với
→
b
⇔ [
→
a
,
→
b
] =
→
0

• [
→
a
,
→
b
]
⊥
→

a
, [
→
a
,
→
b
]
⊥
→
b
• |[
→
a
,
→
b
]| = |
→
a
|.|
→
b
|sin
ϕ
c.Diện tích tam giác :
Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:
S
ABC
∆

=
2
1
|[AB, AC ]|
d.Thể tích :
• Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức:

V = |[AB, AD ].AA’|
• Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức :
V =
6
1
|[AB , AC ]AD |
e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ :
• Ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
đồng phẳng ⇔ [
→
a
,
→
b

].
→
c
= 0
• Ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
không đồng phẳng ⇔ [
→
a
,
→
b
].
→
c
≠ 0
• Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ⇔
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
đồng phẳng
• Bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng ⇔
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur

không đồng phẳng
1. Bài Tập
1/ Cho ba vectơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
b.Tìm tọa độ của vectơ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
.
c.Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→

b
,
→
c
không đồng phẳng .
d.Hãy biểu diển vectơ
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
.
- 3 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
2/ Cho 3 vectơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Đònh m để Vectơ đó đồng phẳng .

3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a. Xác đònh điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.
c.Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A.
d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .
5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4)
a.Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC.
b. Tính cosin các góc A,B,C .
c.Tính diện tích tam giác ABC
II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ :
1. Đònh nghóa :
• Vectơ
→
n
≠
→
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm trên đường
thẳng vuông góc với ( α ).
Kí hiệu :
→
n
⊥ ( α )
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ

→
a
,
→
b
≠
→
0
,không cùng phương và các
đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (α ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương
của mặt phẳng ( α ).
Chú ý :
Nếu ( α ) có cặp vectơ chỉ phương
→
a
,
→
b
thì (α ) có một vectơ pháp tuyến
→
n
= [
→
a
,
→
b
]
2.Phương trình mặt phẳng:
M ặt phẳng ( α ) qua M

0
( x
0
;y
0
; z
0
) có vtpt
→
n
= ( A; B; C ) có phương trình là :
A ( x – x
0
) + B (y – y
0
) + C ( z – z
0
) = 0
3. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng : (α) Ax + By + Cz +D = 0 và (α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
Khi đó hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lượt có VTPT :
→
n
= (A;B; C),
'
→
n
=(A’;B’;C’)
• (α) và (α’) cắt nhau ⇔
→

n
và
'
→
n
không cùng phương
⇔ A:B:C ≠ A’: B’: C’
(α) // (α’) ⇔
'''' D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
- 4 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
• (α) ≡ (α’) ⇔
'''' D
D
C
C
B
B
A
A
===
4/ Chùm mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (α) Ax + By + Cz +D = 0
(α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
a.Đònh lí : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (α) và (α’) đều có phương trình dạng: λ( Ax + By +
Cz +D) +µ ( A’x + B’y + C’z + D’) = 0 , λ
2
+µ
2
≠ 0 (1).
Ngược lại mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao
tuyến của (α) và (α’)
b.Đònh nghóa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt (α) và (α’) gọi là chùm
mặt phẳng. Phương trình (1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng.
B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :
• Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó
hay tìm cặp vtcp của nó
• Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng.
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau:
(α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz .
(α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
(α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz .
2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .
b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .
(α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng :
(P): x + y – z = 0 .
(α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng :
( α
1
): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α
2

): 5x – 4y + 3z +1 = 0 .
3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :
(α
1
): 2x + 3y – 4 = 0 , (α
2
) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α
3
) : 2x + y – 3z –2 = 0.
a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của(α
1
) ,(α
2
)
b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α
1
) ,(α
2
) đồng thời vuông góc với (α
3
) .
4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
d
1:
:



=−−=
=−+−

012
0542
zyx
zyx
, (d
2
) :





=
+=
−=
tz
ty
tx
2
32
1
.
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và song song với (d
2
).
Viết phương trình mặt phẳng (α
1
) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai

đường thẳng (d
1
), (d
2
) .
5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) và đường thẳng d:



=+−+
=−+−
0322
0832
zyx
zyx
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.
- 5 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
6/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
2
2
2
1
1
−
−
=
+
=
zyx

và vuông gócvới mặt
phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0
II. ĐƯỜNG THẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ
Vectơ
→
u
≠
→
0
nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ chỉ
phương của đường thẳng (d).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M
0
( x
0
; y
0
; z
0
) có vectơ chỉ phương
→
u
= ( a; b; c) có phương trình
tham số là :






+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
t ∈ R
Phương trình chính tắc :
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng :



=+++
=+++

0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
(1) trong đó
A
2
+B
2
+C
2
≠ 0, A’
2
+B’
2
+C’
2
≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’.
Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vectơ chỉ phương

→
u
= (
''
;
''
;
'' BA
BA
AC

AC
CB
CB
)
B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng:
Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau:
• Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng.
• Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó.
- 6 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
Chú ý :
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.
• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt phẳng làm vtcp.
C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp:
1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (α ).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (α ).
( Mặt phẳng (β ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (α ) làm cặp vtcp )
• Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (α ) là giao tuyến của (α ) và (β ).
2/ Bài toán 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng (d
1
) , (d
2
)
cho trước .( M ∉ (d
1
),(d
2
)) .
Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d
1
))
• Viết phương trình mặt phẳng (M,(d
2
))
• (d) = (M,(d
1
)) ∩ (M,(d
2
)).
3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d

) qua M cắt đường thẳng (d
1
) và vuông góc với (d
2
).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và (d
1
).
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua M và (β )⊥ (d
2
).
• (d) = (α) ∩ (β).
4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng (
∆
) và vuông góc
với (

∆
).
Cách giải:
• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với (
∆
).
• Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (
∆
).
• (d) = (α) ∩ (β) .
Ghi chú :Ta có thể giải bài toán như sau.
• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với (
∆
).
• Tìm giao điểm N của (
∆
) và(α ).
• Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm.
5/ Bài toán 5: Cho đường thẳng (
∆
) và mặt phẳng (α ) cắt nhau tại điểm M .Viết phương tình đường
thẳng (d) đi qua M nằm trong (α ) và (d)⊥ (
∆
).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (β)Vuông góc với (d) .
• (d) = (α)∩ (β).
6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng (
∆
) có vtcp

→
u
và cắt hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cho
trước.
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và nhận
→
u
làm một vtcp.
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
2
) và nhận
→
u
làm một vtcp.
(c) = (α)∩ (β).
Chú ý :
• Nếu (
∆
) là đường vuông góc chung của (d
1
) ,(d
2
) thì (

∆
) có vtcp là tích có hướng của hai
vtcp của (d
1
), (d
2
) .
- 7 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
• Nếu (∆) ⊥ mp(α) thì (∆) nhận VTPT của (α) làm VTCP
D.Bài tập :
1/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (
∆
):
a.Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3).
b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)
c.Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0
2/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát



=+−+
=−+−
0242
01023
zyx
zyx
.
Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d).
3/ Cho đường thẳng (d) :




=−+−
=−
0323
02
zyx
zx
và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α).
4/ Cho hai đường thẳng: (d
1
)
zy
x
=+=
−
2
3
1
, (d
2
):



=+
=+−+
01

02
x
zyx
.
a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d
1
) và cắt (d
2
).
b. Viết phương trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1
), (d
2
).
5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng :
3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d):
2
1
2
4
3
2
−
=
−
+
=
−
zyx

6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng : (d
1
):





−=
+−=
=
tz
ty
tx
3
4
, (d
2
):





−=
+−=
−=
tz
ty
tx

54
3
21
.
7/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng :
(d
1
):
z
yx
=
−
+
=
−
1
1
2
1
, (d
2
):



=++−
=−+−
0122
042
zyx

zyx
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A. LÍ THUYẾT :
1/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng:
- 8 -