giới hạn 11.đầy đủ các dạng

GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên ĐT 0988844088
Phần một: Giới hạn dãy số
Bài 1) Tìm các giới hạn sau
A= lim
1
3)2(
3)2(
+
+−
+−
nn
nn
B= lim
n21682
2 2.2.2.2
C= lim
)15(
22
+−+ nn
D= lim
n
n
2 8.6.4.2
)12 (7.5.3.1 −
E= lim(
)1(
1

4.3
1

3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
F= lim
)2)(1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.12.
1
++
++++
nnn
H= lim
n
n
2
12

2
5
2
3

2
1
32
−
++++
I=
)23lim(
2
+−+ nnn
K=lim
(
)
nnn −−
3
23
2
M= lim
nnn
nn
−+
+−+
2
1214
2
2
N= lim









+
++
+
+
+ nnnn
222
1

2
1
1
1
P= lim
n
n
bbb
aaa
1
1
2
2
+++
++++
Với |a|,|b|<1
Bài 2) Chứng minh các dãy số sau có giới hạn và tìm các giới hạn đó
a)








−
=
=
+
n
n
u
u
u
2
1
2
1
1
1
nếu n
1≥
b)






+=
=
+ nn
uu
u
2
2
1
1
nếu
1≥n
c)





+
=
=
+
2
1
2
1
1
n
n
u
u

u
nếu n
1≥
d)





+=
>
+
)
2
(
2
1
0
1
1
n
nn
u
uu
u
Phần hai: Giới hạn hàm số
Bài 3) Tính các giới hạn sau
a)
xx
x

x
sin
2cos1
lim
2
0
−
→
b)
( )
1sin
1
lim
23
1
−
−+
→
x
xx
x
c)
x
x
x
cos1
cos1
lim
0
−

−
→

d)
x
x
x
cos1
121
lim
2
0
−
+−
→
e)
1
352
lim
23
23
1
−+−
+−
→
xxx
xx
x
f)
23

37
lim
2
3
1
+−
+−+
>−
xx
xx
x
g)
1
21
lim
3
1
−
−+
>−
x
x
x
h)
x
xxx
x
3 33 2
0
11

lim
+−++
>−
k)
1
473
lim
3 32
1
−
−+++
→
x
xx
x
l)
27
4
lim
2
2
−+
−
→
x
x
x
m)
5
244

lim
5
−
+++−
→
x
xx
x
n)
x
xx
x
3
0
11
lim
+−+
→
p)
223
4
lim
3
2
2
+−
−
−→
x
x

x
q)
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
t)
1
57
lim
3
1
−
−−+
→
x
xx
x
y)
x
xx
x
3
0

812
lim
−−−
→
t)
1
75
lim
2
3 2
1
−
+−−
→
x
xx
x
v)
xx
xxxx
x
−
+−−++
→
2
22
0
11
lim
Bài 4) Tính các giới hạn sau trong hai trường hợp: khi

+∞→x
và
−∞→x
a) lim
1
432
23
3
+−−
−+
xx
xx
b) lim
32
141
22
+
+−−
x
xx
c) lim
114
32
2
2
−−+
+++
xx
xxx
d) lim

(
)
34432
2
−−−− xxx
e) lim
(
)
3
32
11 −−+ xx

f) lim
(
)
3712
22
+−−+− xxxx
h) lim
1
12419
22
+
++−++
x
xxxx
k) lim
(
)
3438

22
++−++ xxxx
l) lim
xx
xxx
−++
++++
214
1432
2
2
m) lim
3
3
2
1
32
+−
++
xx
xx
Bài 5) Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau
a)
x
xx
x
2
3
0
sin

coscos
lim
−
→
b)






−
→
x
x
x
cot
2sin
2
lim
0
c)
3
0
sintan
lim
x
xx
x
−

→
d)
xx
x
x
sin
2cos1
lim
2
0
−
→
e)
x
xx
x
11sin
7cos.5cos1
lim
2
0
−
→
f)
xx
xcoxx
x
2cos2sin1
22sin1
lim

0
−+
−−
→
h)
xx
xx
x
6cos8cos
10cos12cos
lim
0
−
−
→
k)
2
0
2cos.cos1
lim
x
xx
x
−
→
l)
x
x
x
sinsinsin

lim
0→
m)
)sin(tan
)cos
2
cos(
lim
0
x
x
x
π
→

n)








++++−
+∞→
2 22222lim
n
n
( n dấu căn)

p)
x
xx
x
tan
sin1sin1
lim
0
+−−
→
q)
x
xcoxxx
x
2
0
sin
2sin1
lim
−+
→
t)
x
x
x
2
3
0
tan
cos1

lim
−
→
Bài 6) Các bài toán tính giới hạn bằng nguyên lý kẹp
a)
x
x
x
1
coslim
2
0→
b)
)1cos(
1
lim xx
x
xx
x
++
++
+∞→
c)
3
2cos5sin2
lim
2
2
+
−+

+∞→
x
xxx
x
d)
12
sin
lim
2
+
+∞→
x
xx
x
e)
1
cos5
lim
3
2
−
+
+∞→
x
xx
x
g)
1
2cos22sin
lim

2
++
+
+∞→
xx
xx
x
Bài 7) Cho hàm số f(x) =





−+
++−
13
3
2
2
xx
aax

khi
khi

1
1
≥
<
x

x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 8) Cho hàm số f(x) =



−
−
1
3
2
a
xx

khi
khi

1
1
≥
<
x
x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 9) Cho hàm số f(x) =






+
−
−
−
2
1
3
1
1
3
ax
x
x

khi
khi
1
1
≤
>
x
x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 10) Cho hàm số f(x) =





−

−
xa
x
x
2
2
1
1

khi
khi

1
1
=
≠
x
x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 11) Cho hàm số f(x)=





+
3
1
bax

khi
khi
khi

5
53
3
>
≤≤
≤
x
x
x
Tìm a, b để hàm số liên tục
Bài 12) Tìm khoảng gián đoạn của hàm số sau
f(x)=











−
−−
b

a
xx
xx
)3(
6
2

khi
khi
khi

3
0
0)3(
=
=
≠−
x
x
xx
Với a, b là tham số.
Bài 13) Chứng minh phương trình
( )
0131
52
=−−− xxm
luôn có nghiệm với mọi m:
Bài 14) Chứng minh rằng phương trình
a
xx

=+
cos
1
sin
1
luôn có nghiệm trong khoảng






π
π
;
2
với mọi a
Bài 15) Chứng minh phương trình
01
3
=−+ xx
có nghiệm duy nhất x
0
thỏa mãn
2
1
0
0
<< x
Bài 16) Cho phương trình

0
2
=++ cbxax
Chứng minh rằng
a) Nếu 2a + 6b + 19c = 0 thì phương trình có nghiệm trong [0 ; 1/3]
b) Nếu
0
12
=+
+
+
+ m
c
m
b
m
a
thì phương trình có nghiệm trong ( 0; 1)
c) Nếu 2a + 3b +6c =0 thì phương trình có nghiệm trong ( 0; 1)
Bài 17) Chứng minh rằng với mọi số thực m
)34;2(∈
phương trình
mxx =−+ 23
3
có ít
nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 3)
Một số bài tập tổng hợp
Câu 1) Tìm các giới hạn sau:
a)
2

3
0
3121
lim
x
xx
x
−−−
→
b)
1
212
lim
5
4
1
−
−+−
→
x
xx
x
c)
1
181127
lim
4
43 3
0
−

+−+
→
x
xx
x
Câu 2) Xét tính liên tục của các hàm số
a) f(x)=







+−+
6
1
11
3
x
xx

khi
khi

0
0
=
≠
x

x
. Hãy xét tính liên tục của hàm số tại x =0
b) f(x)=









<
+−
−
>∀
−
−+−
1
12
1
2
1
1
)1(1
3
3
22
xkhi
x

x
x
x
xx
nếu x=1. Hãy xét tính liên tục của hàm số khi x=1
Câu 3) Chứng minh phương trình sau có nghiệm dương
01
23
=−+ mxx
Câu 4) Chứng minh rằng phương trình
03
4
=−− xx
luôn có nghiệm
( )
2;12
7
0
∈x
Câu 5) Chứng minh rằng phương trình
0132
23
=−− xx
luôn có nghiệm
( )
2;4
3
0
∈x
Câu 6) Tìm giới hạn sau với m, n là các số nguyên dương

)
11
(lim
1
nm
x
x
n
x
m
−
−
−
→
Câu 7) Cho đa thức
n
n
xaxaxaxP +++= )(
2
21
Tính giới hạn sau
x
xP
n
x
1)(1
lim
0
−+
→

Câu 8) Tính giới hạn sau
( )( )( ) ( )
n
n
x
x
xxxx
)1(
1 111
lim
4
3
1
−
−−−−
→