ôn TN -số phức

Luyện thi SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
I. Khái niệm số phức
1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i
2
= -1. Kí hiệu số phức
đó là z và viết z = a + bi. i: đơn vị ảo. a: phần thực. b: phần ảo.
 Chú ý:
• z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực
(a )∈ ⊂¡ £
.
• z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo.
• 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
1) z = 2 +
3i
, z = -i 2/z = -3 +
2
2i
, z = -i
3
.
2. Hai số phức z = a + bi
( )
,a b∈¡
, z’ = a’ + b’i (
( )
', 'a b ∈¡
) gọi là bằng nhau nếu
'
'

a a
b b
=


=

. ta viết z = z’.
Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i
II. Biểu diễn hình học số phức
Số phức z = a + bi
( )
,a b∈¡
được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ
Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y
• Gốc tọa độ O biểu diễn số 0
• Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực
• Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo
b M
Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức
A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i)
z

( ; )u a b
r
E(-2i), F(4).
0 a x
III. Phép cộng và phép trừ số phức
Cho hai số phức z = a + bi
( )

,a b∈¡
, z’ = a’ + b’i (
( )
', 'a b ∈¡
). Ta có:
1) Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i
2) Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i
 Chú ý: Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao
hoán).
Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi
3) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
( ; )OM u a b=
uuuur r
biểu diễn số phức z = a + bi,
' '( ; )OM u a b=
uuuuur r
biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì
•
'u u+
r ur
biểu diễn số phức z + z’.
'u u−
r ur
biểu diễn số phức z - z’.
Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i).
IV. Phép nhân số phức
Tích của hai số phức z = a + bi
( )
,a b∈¡
, z’ = a’ + b’i (

( )
', 'a b ∈¡
) là số phức
zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i
 Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán và
phân phối).
Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i),
V. Số phức liên hợp và môđun của số phức:
1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi
( )
,a b∈¡
là
z a bi= −
.
Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 -
2i
, i, -i
 Chú ý: Hai số phức liên hợp
⇔
các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox.
z z=
.
' '.z z z z+ = +

. ' . 'z z z z=
.
GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 1
Luyện thi SỐ PHỨC
2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi
( )

,a b∈¡
là số thực không âm
2 2
a b+
và được kí hiệu
là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy:
2 2
z a b= +
 Chú ý:
•
2 2
.z z z a b OM= = + =
uuuur
•
0z z≥ ∀ ∈£
và |z| = 0
0z⇔ =
.
•
. ' ' , ' ' , 'z z z z z z z z z z= + ≤ + ∀ ∈£
.
Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 -
2i
, i, -i
VI. Phép chia cho số phức khác 0.
• Để tính
'z
z
ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với
z

(nhân tử và mẩu với số phức liên hợp
của mẩu).
• Với
0z ≠
,
'z
z
=
' .z z
ω ω
⇔ =
và
'
' ' '
,
z
z z z
z z z
z
 
= =
 ÷
 
.
Ví dụ: Tính
3 2 2 1 1
; ; ;
1 2 3
2 2 1 3
2 2

i i
i i
i
i
− +
+ −
−
−
Bài tập:
1) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi
số phức sau:
a) (4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i).
b) (1 + i)
2
– (1 - i)
2
.
c) (2 + i)
3
– (3 - i)
3
.
d) (i + 1)
2
(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. (CĐ2009)
e)
3 2
1
i i
i i

− +
−
+
.
f)
7
7
1 1
2
i
i i
 
−
 ÷
 
.
g)
3 2 2 1 1
; ; ;
1 2 3
2 2 1 3
2 2
i i
i i
i
i
− +
+ −
−
−

2) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi
số phức sau:
a/
33
10
1 1
(1 ) (2 3 )(2 3 )
1
i
i i i
i i
+
 
+ − + + − +
 ÷
−
 
b/
( )
2
2 3 2010
1 1 (1 ) (1 ) (1 )i i i i+ + + + + + + + +
3) Cho các số phức z
1
= 1 + 2i, z
2
= -2 + 3i,
z
3
= 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực,

phần ảo, môđun, số phức đối và số phức liên
hợp của mỗi số phức sau:
a)
1 2 3
z z z+ +
.
b)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z+ +
.
c)
1 2 3
z z z
.
d)
2 2 2
1 2 3
z z z+ +
e)
3
1 2
2 3 1
z
z z
z z z
+ +
. f/
2 2
1 2
2 2

2 3
z z
z z
+
+
4) Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
.
b)
( )
1
2 3 0
2
i z i iz
i
 
 
+ + + + =
 ÷
 
 
.

c)
2 2 4z z i+ = −
.
d)
2
0z z+ =
.
e)
2
2
0z z+ =
5) Tìm số phức z thỏa mãn:
4
1
z i
z i
+
 
=
 ÷
−
 
.
6) Tìm số phức z thỏa mãn:
(2 ) 10z i− + =

và
. 25z z =
(ĐHKB – 2009)
7) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a)
3 4z z+ + =
.
b)
1 2z z i− + − =
.
c)
(3 4 ) 2z i− − =
. (ĐHKD – 2009)
d)
2 2z i z z i− = − +
.
GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 2
Luyện thi SỐ PHỨC
BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
I. Căn bậc hai của số phức.
 Định nghĩa: Cho số phức z’. Mỗi số phức z thỏa mãn z
2
= z’ được gọi là một căn bậc hai của z’.
1) Trường hợp z’ là số thực:
a) Z’ = a = 0. Có đúng một căn bậc hai là 0.
b) Z’ = a khác 0.
• a > 0: z’ có hai căn bậc hai là
a±
.
• a < 0: z’ có hai căn bậc hai là
±i a

2) Trường hợp z’ = a + bi

( )
,a b∈¡
, b khác 0. z = x + yi
( )
,x y ∈¡
là căn bậc hai của z’ khi và chỉ khi
2 2
2
x y a
xy b

− =

=

. Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số
phức z’.
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1) -1, -i
2
, - 5 + 12i, i.
2)
1 4 3i− +
,
4 6 5i+
,
1 2 6i− −
II. Phương trình bậc hai.
Mọi phương trình bậc hai az
2

+ bz + c = 0 (1) (a,b,c là số phức cho trước, a khác 0) đều có hai nghiệm phức ( có
thể trùng nhau). Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp a,b,c là những số thực.
cụ thể:
Xét biệt thức
2
4∆ = −b ac
.
• Nếu
0∆ ≠
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
2 2
δ δ
− + − −
= =
b b
z z
a a
, trong đó
δ
là một căn
bậc hai của
∆
.(nếu
∆
<0
i
δ
= ± ∆

)
• Nếu
0∆ =
thì phương trình (1) có nghiệm kép
1 2
2
= = −
b
z z
a
.
S=z
1
+z
2=
b
a
−
; P=z
1
.z
2
=
c
a
Khi đó z
1
,z
2
cũng là nghiệm của pt : Z

2
-S.Z+P=0
VD/Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
a.
2
9 0x + =
; b.
2
4 5 0x x+ + =
; c.
2
2 5 4 0x x− + =
;
d.
2
2 3 5 0x z− + − =
; e.
4 2
5 4 0x x+ + =
; f.
3 2
2 10 0x x x− + =
;
g.
3
1 0x + =
; h.
( ) ( )
2 2
4 2 5 0x x x

− + + =
.
BT: Giải các phương trình sau:
1) z
2
– z + 1 = 0.
2) z
2
+ (-2 + i)z – 2i = 0.
3) z
2
= z + 1.
4) z
2
+ 2z + 5 = 0.
5) z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
6) (z
2
+ i)(z
2
– 2iz - 1) = 0.
7) 8z
2
– 4z + 1 = 0,( TNPT – 2009 )
8) 2z
2
– iz + 1 = 0.
16/

4 3 7
2
z i
z i
z i
− −
= −
−
.
(CĐ – 2009 phần ban NC)
17/z
2
+ 2z + 10 = 0 (z
1
và z
2
là nghiệm).
Tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
A z z= +
(ĐHKA – 2009)
18/
2
8(1 ) 63 16 0z i z i− − + − =
.
9/
2
1 0z z+ + =
GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 3

Luyện thi SỐ PHỨC
10/(2 + 3i)z = z – 1.
11/
2
(1 ) 1 7i z i+ = − +
.
12/
2 3
( )( 1)( ) 0z i z z i− + + =
.
13/
( ) ( )
2
2 2
4 12 0z z z z+ + + − =
.
14/
( ) ( )
2
3 6 3 13 0z i z i+ − − + − + =
.
15/
2
3 3
3. 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +
 

− − =
 ÷
− −
 
.
19/
( )
( )
2
2
2
1 3 0z z+ + + =
.
20/
3
2 11 , ( , )z i z x yi x y= + = + ∈¢
21/
2
(1 2 ) 1 0iz i z+ + + =
.
22/
4 2
6(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + =
.
23/
2
(1 ) 2 11 0i z i+ + + =
.
24. Tìm số phức B để phương trình bậc hai z
2

+ Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
25. Tìm các số thực b, c để phương trình z
2
+ bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm.
26. Tìm các số thực a, b, c để phương trình z
3
+ az
2
+ bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm.
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 4 (Tham khảo)
Đề 1:
Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính:
a/
(3 2 )[(4 3 ) (1 2 )]
5 4
i i i
i
− + − +
−
b/ (2-5i)+
1 2
2 3
i
i
+
+
Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết
2 5z =
và phần
ảo của z bằng hai lần phần thực của nó

Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z
4
+z
2
-3=0
Đề 2:
Câu 1:Thực hiện các phép tính :
a/ (2-3i)(1+2i)+
4
3 2
i
i
−
+
b/
3 4
(1 4 )(2 3 )
i
i i
−
− +
Câu 2: Giải phương trình:
(1+i)z+(2-i)(1+3i)=2+3i
Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và
tích của chúng bằng 3.
Đề 3:
Câu 1: Thực hiện các phép tính
a/
1 7 2
(1 )(4 3 ) 8 6

i
i i i
−
+
+ − −
b/
33
1
( )
1
i
i
+
−
Câu 2: Giải các pt sau:
a/ 2z
2
+3z+4=0 b/(z+3-i)
2
-6(z+3-i)+13=0
Câu 3: Không giải pt z
2
+(2-i)z+3+5i=0
hãy tính z
1
2
+z
2
2
Đề 4:

Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính:
a/
2 2 1 2
1 2 2 2
i i
i i
+ +
+
− −
b/ (1+2i)
3
Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết
3 4z z i+ = +
Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z
4
+3=0
Đề 5:
Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính:
a/
(3 2 )(1 )
5 2
i i
i
− +
−
b/ (1+i)+
1 2
2 3
i
i

−
+
Câu 2: (3điểm) Lập pt bậc hai có hai nghiệm phức là
z
1
=6-i ; z
2
=4+3i
Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 2z
4
+3z
2
-5=0
GV: Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong-Đăk lăk 4