phương pháp quy nạp hay

TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨC
Gv: NGUYỄN THANH SƠN
Gv: NGUYỄN THANH SƠN

§2
.
§3
.
§4
.
§1
.
§1.















!"#$%&'(!")*#
+,# /&0#.1!#.2

%.3#4 &'5#+.6%7
89
:"-;#+<=.>!&?
%.2@#+%.A%B!"#$%
CA#.D-
E.1-A (!"F!G#H !"
)*#7&' !"$%7
IJB!1#.K+L1.1-A 
(!"F!G#ME#.2.#'CN
.OP#+Q+.R#
STUVWQTUXYZ

C$M[#+TH

1Z\0#]T^V^^_^Y.<S#Z^S#ZM`#+.1"(1N
aZ∀#∈b.<S#Z^S#ZM`#+.1"(1N
S#ZH

c#dT7&'S#ZH
3
n
>#7&0#∈b
2
n
ef.1=K#.M? g1a#H
S#ZH 
#
c#dT7
S#ZH V
#

c#7

Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :
“ 3
n
> 3n+1 ” và Q(n) : “ 2
n
> n ”

a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng
hay sai?
b. Với mọi #∈b thì P(n), Q(n) đúng hay
sai?

Trả lời:
a.P(n) : “ 3
n
> 3n+1 ” Q(n): “ 2
n
> n ”

n ? 3n+1
1
2
3
4
5
3
n
n ? n

1
2
3
4
5
2
n
b. Với mọi #∈b P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định
chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra
hết với mọi #∈b
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
<
>
>
>
>
2
8
16
32
5

4
3
2
1
4
>
>
>
>
>
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
S
\0#]ThVhh_hY
S#Z1
\0#]ThVhh_hY
S#Zi`#+

.G#jfH

I!J# g#+k=[=K#.M?F'l^1 m
-n# mo1=[o2p#+.6%(1F'Mq


I!J# g#+k=[=K#.M?F'ir^1%.s
g#+=#.#EM`#+&0=Do2p#+.6%

\0#∈b.<&K-F'=%.f%.t&0=[(J+A
ou-q1#S C);F'=M26-&0=[(JF26#+F0#Z
-v#+w.x#+.>-CMEF' g#+=#.O
Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là
phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán
dạng này

yTOz{
|20-TH
|20-VH
}>=o1o~#+=K#.M?M`#+&0#]TO
s.=K#.M?M`#+&0=[(J•#.€#a•
w‚#]w≥TS+DF'+s.B!"#$%ZO
O.2@#+%.A%B!"#$%CA#.D-H
.g#+=#.=K#.M?-v#+M`#+&0#]wdT.
|20-H

.g#+=#.o~#+&0#∈b.<H
TddYdOOOdSV#ƒTZ]#
V
sH
TZ}.#]TH\]T^\]T
V
]TO
VZi/\]
#
O


w
]TddYdOOOdSVwƒTZ]w
V
Z1-n# g#+=#.STZ-v#+M`#+&0#]wdTH

\4)„TH
O\4)„A%)„#+H
S
k+1
=TddYd…dSVwƒTZd†VSwdTZƒT‡
.G&G"H

wdT
]
w
d†VSwdTZƒT‡
\G"H STZM`#+&0=D#∈bO
ST )
\G"STZM`#+O

s(tSTZM`#+&0#]w≥T1-EH
S+B!"#$%Z
]SwdTZ
V
]w
V
dVwdT ]SwdTZ
V

1

1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9
=
1
4
= 2
2
9 = 3
2
16= 4
2
25 = 5
2
= 1
2
+ 3+ 5 + 7 + 9
n
+ + (2n – 1) = n
2
2.2
1.1
3.3
4.4
5.5
.n
IK#.M?M`#+&0=D(J•#.€##∈b

Minh họa mệnh đềHTddYdd
…
dSV#ƒTZ]#
V

.g#+=#.o~#+&0#∈b
thì#

ƒ# 1. COSTZ
sH
i/l
#
]#

ƒ#
TZ\0#]T^1-EHl
T
]W
…

VZs(t&0STZM`#+&0#]w≥T^1-EH
l
w
]Sw

ƒwZ
…
S+s.B!"#$%Z
Z1 g#+=#.l
wdT

OOO

.G&G"Hl
wdT
]SwdTZ

QSwdTZ
]Sw

QwZdSw
V
dwZ
]l
w
dSw
V
dwZ
S\<Hl
w
…
&'Sw
V
dwZ
OOO
#€#l
wdT
…
Z
\G"H l
#

]#

ƒ# 1. C&0=D#∈bO
\4)„V
= w

dw
V
dwdTQwQT

I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi #∈b ta
thực hiện theo các bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với #]w≥T (Giả thiết
qui nạp-GTQN)
B3: Ta c/minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
II. Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHÓM
HOẠT ĐỘNG NHÓM
1OIH\0=D#∈b-E!
#
]ST
#
ƒTZˆ
…
aOIH\0=D#∈b-Eu
n
]STW
#
ƒ_Z

…
C$M[#+VH
zi‰ŠI
zi‰ŠI

Thật vậy:
1OIH\0=D#∈b-E!
#
]ST
#
ƒTZˆSVZ
…
!
wdT
]T
wdT
ƒT]T
w
OTƒT
]T
w
OSTVdTZƒT
-Với n = 1 ta có: !
T
]T
T
ƒT]TVˆ
!
w
]ST

w
ƒTZˆ
!
wdT
]ST
wdT
ƒTZˆ
…
…
…
]TVOT
w
dT
w
ƒT
\G"&0=D#∈b^1-E!
#
]ST
#
ƒTZˆSVZ
…
]STVOT
w
d!
w
Zˆ
…
S\<HTVOT
w
ˆ&'!

w
ˆZ
…
(M.đề (2) đúng)
- Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:
-Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là :
…

Thật vậy:
aOIH\0=D#∈b-E!
#
]STW
#
ƒ_ZSZ
…
!
wdT
]TW
wdT
ƒ_
]TW
w
STdXZƒ_
…

Với n = 1 ta có: !
T
]TW
T
ƒ_]ˆ(MĐ (3) đúng)

!
w
]STW
w
ƒ_Z
!
wdT
]STW
wdT
ƒ_Z
…
…
]TW
w
ƒ_dXOTW
w
\G"&0=D#∈b^1-E!
#
]STW
#
ƒ_ZSZ
…
]S!
w
dXOTW
w
Z
…
S\<HXOTW
w

&'!
w
Z
…

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa
là: 
Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1, tức là : 
]TW
w
OTWƒ_
…

!%.s g#+=#.=K#.M?M`#+&0=D
(J
•#.€##≥%S%F'=[(J•#.€#Z.<H
•
‹a20-TH}>=o1=K#.M?M`#+&0#]%O
•
‹a20-VHs.=K#.M?M`#+&0(J•
#.€#a•w‚#]w≥%S+s.B!"#$%Z
•
‹a20-H.g#+=#.=K#.M?-v#+M`#+&0
#]wdTO
CHÚ Ý:

,=&L#+-A-a20-.•-.K#=[a'CA#
g#+=#.a~#+%.2@#+%.A%B!"#$%CA#
.D-O
•

|20-TH}>=o1=K#.M?M`#+&0#]TS.C/-#]%ZO
•
|20-VHs.=K#.M?M`#+&0#]w≥TS.C/-&0
(J•#.€#a•w‚#]w≥%ZS+s.B!"#$%Z
•
|20-H.g#+=#.=K#.M?-v#+M`#+&0#]wdTO
•
n# `Œ&'C+s.B!"#$%&')•1&'C"€!-n!-q1
a'CA#M>wF!G#O
CỦNG CỐ:

T•'=F$-A-a'G%&Ž1%.!$F0%
V•'=-A-a'G%T^V&3o1#+UVQU}O
•eR=a'H |Š|•N7o1#+U}
NHẬN XÉT- DẶN DÒ:

|'G%(JStrang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11Z
.g#+=#.o~#+&0=D(J•#.€##≥V^1-E-A-
a•M•#+.g-H1Z
#
c#dTaZV
#dT
cV#d
•
‹a20-TH}>=o1=K#.M?M`#+&0#]V
•
‹a20-VH+s.=K#.M?M`#+&0(J•#.€#
a•w‚#]w≥VS+s.B!"#$%Z
•
‹a20-H.g#+=#.=K#.M?-v#+M`#+&0

#]wdTO
•
|'G%#'"-A-R=(‘M26-.20#+)’#oC#+F!"K#G%O
HƯỚNG DẪN BTVN :