Đề Thi HSG Thanh Hóa 2010

SỞ GD &ĐT THANH HOÁ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn toán lớp 12 THPT
Thời gian 180 phút(không kể thời gian phát đề)
Bài 1.(4 điểm) Cho hàm số y = -x
3
+ 3x - 1 (C)
1. Khảo sát sự biến thiến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2; 1)
Bài 2. (6 điểm)
1. Giải phương trình
2
os2x- 2 sin( ) 2
4
1
(sin cos )
2 2
c x
x x
π
+ +
=
−
2. Giải hệ phương trình
2 3
log [4(x-y)]=x-y
x y
x y x y
+

+ + = +





3. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình
2
( 4)(6 ) 2x x x x m+ − + − ≥

nghiệm đúng với mọi x
[ ]
4;6∈ −
.
Bài 3. (3 điểm)
1. Tính tích phân
2
9
2
0
cos
dx
x
π
∫
2. Từ các chữ số 0.1.2.3.4.5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số
khác nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4.
Bài 4. (5 điểm)
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên các cạnh BC và
Đ’ lần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM = DN = x (
0 x a≤ ≤
). Chứng

minh rằng
'MN AC⊥
và tìm x để MN có độ dài nhỏ nhất.
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)
2
+ (y+2)
2
= 9 và
đường thẳng 3x - 4y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d có duy nhất một điểm
P mà từ đó kẻ được 2 tếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp điểm) sao cho PA
vuông góc PB.
3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(1;2;3). Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh rằng:

A B C A B C 10 3
tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2 9
+ + + ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
…………………………………….HẾT………………………………………