DE THI HSG THANH HOA 2007-2008

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT
Năm học: 2007-2008
Đề chính thức Môn thi: Toán học
(Thời gian:180 phút-không kể thời gian giao đề)
Câu I.(5đ)
Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
(C)
1.Khảo sát và vẻ đồ thị hàm số.
2.Xác định điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ
là số nhỏ nhất.
Câu II.(4đ)
1.Cho hàm số
2
1y x x m= + − −
.Xác định tất cả các giá trị của m để
0y ≤
trên tập xác định của nó.
2.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hybebol (H) có phương trình chính tắc là
2 2
1
2 2
x y
a b

− =
.Biết tâm sai
e=2,hình chữ nhật cơ sở của nó cắt các trục toạ độ Ox ở A,C và trục Oy ở B,D.Đường tròn nội tiếp hình
thoi ABCD có bán kính bằng
2
.Tìm phương trình của (H).
Câu III.(4đ)
1.Giải phương trình:
2 2
4 4 2 . 6sin 1 0cos x cos x cos x xcosx− − + =
2.Cho
0a
≥
,giải và biện luận bất phương trình sau theo a:
3 4 2 2
6 9 3 0a x a x x a+ − + + ≥
3.Giải hệ:
3 2
2
3 9 4
2
x y xy
x y xy

+ =


 + =

Câu IV.(6đ)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A”B’C’D’.Biết A’(0;0;0),B’(a;0;0),
D’(0;a;0),A(0;0;a) với a>0.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,B’C’.
1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN,BD’.
2.Tính thể tích tứ diện ANBD’
3.Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD’
Câu V.(1đ)
Cho
( )
2 2 2 , 1,2,3...
n
n n
a b n+ = + =
Tìm
lim
a
n
n
b
n
→∞
.........................................................................HẾT....................................................................................
Họ và tên thí sinh:............................................... Số báo danh:...............................