PP GIẢI DẠNG TOÁN KHI BIẾT HAI TỶ SỐ

Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
Phơng pháp giảI toán tìm hai số khi biết hai tỷ số

Dạng 1: Tổng hai số không thay đổi
Ví dụ 1: Đội tuyển bóng đá mi ni của huyện A tham dự hội khỏe Phù Đổng cấp
tỉnh gồm các bạn học sinh lớp 4 và lớp 5. Dự định số bạn tham gia đội tuyển bóng đá
đang học lớp 4 chiếm
5
1
của cả đội. Nhng do một bạn đang học lớp 4 không tham gia
đợc mà thay bởi một bạn đang học lớp 5, khi đó số bạn đang học lớp 4 tham gia chỉ
bằng
10
1
số thành viên của cả đội. Tính tổng số thành viên của cả đôi bónh đá mi ni?
Phân tích: Lúc đầu số học sinh lớp 4 tham gia học bằng
5
1
của cả đội nhng
thay một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 thì lúc này số học sinh lớp 4
tham gia bằng
10
1
của cả đội. Bởi vì thay một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh
lớp 5 nên tổng số học sinh khi không thay đổi. Mà ta thấy số học sinh lớp 4 đợc so
sánh với tổng số học sinh nên ta sẽ tìm đợc một học sinh lớp 4 chiếm bao nhiêu so với
phần tổng số học sinh của cả độ tuyển. Làm đợc nh vậy chúng ta đã giải quyết đợc bài
toán.
Bài giải
Một học sinh chiếm tổng số phần của cả đội là:

10
1
10
1
5
1
=
( cả đội)
Số học sinh tham gia đội tuyển bóng đá là:
1 :
10
1
= 10 (học sinh)
Đáp số: 10 học sinh
Nhận xét: Cách giải này ngắn gọn hơn cách giải bằng sơ đồ đoạn thẳng. Không phải
lập luận dài dòng mà học sinh hiểu vấn đề bài toán nhờ đối tợng so sánh không thay
đổi (cả đội) lúc đó chúng ta dễ nhận thấy 1 học sinh chiếm bao nhiêu phần so với số
học sinh cả đội.
Bài toán này khi ra cho học sinh khối 5 chúng ta thay các dự kiện hoặc đổi các
dự kiện đó bằng tỉ số phần trăm (có thể thay giá trị
5
1
= 20% )
Từ ví dụ trên chúng ta hớng dẫn học sinh giải bài toán khó hơn sau đây:
Ví dụ 2: Đội tuyển của trờng A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng cấp huyện gồm các bạn
học sinh nam và học sinh nữ. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm
4
1
số nam
1

Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
nhng do điều kiện thay bởi một bạn nữ bằng một bạn nam. Khi đó số bạn nữ chiếm
5
1

số nam. Tính xem đội tuyển của trờng A đi dự hội thao bao nhiêu học sinh?
Phân tích
Vì thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam cho nên tổng số tham gia Hội khoẻ
không thay đổi. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm
4
1
số nam tức là số bạn
nữ bằng
5
1
số học sinh cả đội nhng do điều kiện thay bởi một bạn nữ bằng một bạn
nam. Thì lúc đó số bạn nữ chiếm
5
1
số nam tức là số học sinh nữ chiếm
6
1
số học sinh
của cả đội. Cho nên ta biểu thị số học sinh nữ dự định lúc đầu là một phần thì số học
sinh cả đội là 5 phần nh thế. Sau khi thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam khi đó số
nữ 1 phần thì số học sinh cả đội 6 phần bằng nhau. Từ phân tích trên bài toán trở lại
bài ban đầu.

Bài giải

Số học sinh nữ so với số học sinh cả đội tuyển là:
5
1
cả đội tuyển
Sau khi thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam thì số học sinh nữ so với số học sinh cả đội
tuyển là:
6
1
cả đội tuyển
Một học sinh chiếm số phần học sinh cả đội là:
30
1
6
1
5
1
=
(cả đội tuyển)
Vậy số học sinh đội tuyển của trờng A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng là:
1 :
30
1
= 30 (học sinh)
Đáp số: 30 học sinh
Ví dụ 3: Đội tuyển trờng em tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp huyện, ban đầu số nữ
bằng
3
2
số nam. Sau khi xét theo yêu cầu thay thế một bạn nữ bằng một bạn nam vì
thế số nữ lúc này bằng 75% số nam. Hỏi đội tuyển trờng em có bao nhiêu bạn? (Đề

thi học sinh giỏi Nam Định)
Phân tích
Ban đầu số nữ bằng
3
2
số nam; số nữ là 2 phần thì số nam 3 phần bằng nhau cho
nên tổng số phần là 2 + 3 = 5 phần tức là số nữ bằng
5
2
cả đội tuyển. Sau khi xét theo
yêu cầu thay thế một bạn nữ bằng một bạn nam vì thế số nữ lúc này bằng 75% số nam
2
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
(75% =
4
3
). Số học sinh nữ ba phần thì số học sinh nam 4 phần nh thế, số phần biểu
thị cho cả đội là 3 + 4 = 7 phần; số học sinh nữ chiếm
7
3
số học sinh cả đội. Từ phân
tích trên chúng ta giải bài toán này nh sau:
Bài giải
Ta có: 75% =
4
3
Vì ban đầu số nữ bằng
3
2

số nam nên số nữ lúc đầu bằng
5
2
cả đội tuyển.
Sau khi thay một bạn nữ bằng một bạn nam thì số nữ bằng
4
3
số nam, tức là số nữ lúc
này bằng
7
3
cả đội tuyển.
Vậy một bạn chiếm số phần của cả đội tuyển là:
35
1
5
2
7
3
=
(cả đội tuyển)
Đội tuyển trờng em có số bạn là:
1 :
35
1
= 35 (bạn)
Đáp số: 35 bạn
Ví dụ 4: Một tủ sách có hai ngăn. Số sách ở ngăn dới gấp 3 lần số sách ngăn trên.
Nếu chuyển 10 quyển sách ở ngăn trên xuống ngăn dới thì số sách ngăn dới gấp 7 lần
ngăn trên. Tính số sách mỗi ngăn.

Phân tích
Đọc đề bài toán này Bài toán này lúc đầu chỉ cho biết tỉ số của hai ngăn: ngăn
trên có số sách gấp 3 lần số sách ngăn dới nh vậy số sách ngăn trên 1 phần thì số sách
ngăn dới là 3 phần bằng nhau. Ta biết thêm dự kiện nữa đó là khi chuyển 10 quyển từ
ngăn trên xuống ngăn dới thì số sách ngăn dới gấp 7 lần số sách ngăn trên. Lúc này,
số sách trên là 1 phần thì số sách ngăn dới 7 phần nh thế. Vì tổng số sách của hai
không thay đổi từ phân tích trên chúng ta sẽ tìm đợc 10 quyển sách chiếm bao nhiêu
phần tổng số sách của cả hai ngăn. Khi chúng ta hiểu đợc nh trên thì giải quyết đợc
yêu cầu bài toán.
Bài giải
Coi số sách ngăn trên là một phần thì số sách ngăn dới 3 phần bằng nhau cho nên
số sách ngăn trên bằng
4
1
tổng số sách của cả hai ngăn. Sau khi chuyển 10 quyển sách
3
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
từ ngăn trên xuống ngăn dới thì số sách ngăn trên bằng
8
1
số sách của cả hai ngăn.
Vậy 10 quyển sách chiến phần của cả hai ngăn là:
8
1
8
1
4
1
=

(tổng số sách)
Tổng số sách của cả hai ngăn là:
10 :
8
1
= 80 (quyển sách)
Số sách của ngăn trên là:
80
ì
4
1
= 20 (quyển sách)
Số sách ngăn dới là:
80 20 = 60 (quyển sách)
Đáp số: Ngăn trên: 20 quyển
Ngăn dới: 60 quyển
Ví dụ 5: Lúc đầu số vịt dới ao nhiều gấp 5 lần số vịt trên bờ. Nhng sau khi có 3 con vịt
từ trên bờ nhảy xuống ao bơi lội thì số vịt dới ao nhiều gấp 8 lần số vịt trên bờ. Hỏi cả
đàn có bao nhiêu con?

Phân tích
Số vịt dới ao nhiều gấp 5 lần số vịt trên bờ tức là số vịt trên bờ bằng
6
1
số vịt cả
đàn. Sau khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao thì số vịt trên bờ bằng
9
1
số vịt cả
đàn . Hiểu nh trên, bài toán trở về ví dụ ban đầu lúc đó học sinh dễ hiểu đồng thời giải

quyết vấn đề một cách nhanh chóng.
Bài giải
Lúc đầu số vịt trên bờ bằng:
1 : ( 1 + 5) =
6
1
(số vịt cả đàn)
Sau khi 3 con từ trên bờ nhảy xuống ao thì số vịt trên bờ bằng:
1 : (1 + 8) =
9
1
(số vịt cả đàn)
Vậy 3 con chiếm số phần vịt của cả đàn là:
6
1
-
9
1
=
18
1
(số vịt cả đàn)
Đàn vịt đó có số con là:
3 :
18
1
= 54 (con)
Đáp số: 54 con
4
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -

Vĩnh Phúc
Ví dụ 6: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng
5
2
chiều dài. Nếu thêm vào chiều rộng
4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì lúc đó chiều rộng bằng
3
2
chiều dài. Tính diện
tích của hình chữ nhật đó. (Đề thi giáo viên giỏi huyện Can Lộc)
Phân tích
Bài toán này cũng tơng tự nh các ví dụ trên, chỉ khác ở chỗ tổng của chiều dài và
chiều rộng đợc che khuất bởi nửa chu vi. Mà khi thêm chiều rộng 4 m và bớt chiều dài
4 m thì tổng của chiều dài và chiều rộng không tức là (nửa chu vi). Phát hiện đợc điều
này là mấu chốt của bài toán. Chiều rộng bằng
5
2
chiều dài cho nên chiều rộng bằng
7
2

nửa chu vi; thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì chiều rộng bằng
3
2

chiều dài tức là chiều rộng bằng
5
2
nửa chu vi.
Bài giải

Nếu thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì nửa chu vi không thay
đổi.
Lúc đầu chiều rộng bằng
5
2
chiều dài cho nên chiều rộng bằng
7
2
nửa chu vi.
Sau khi thêm chiều rộng, bớt chiều dài thì chiều rộng bằng
3
2
chiều dài tức là chiều
rộng bằng
5
2
nửa chu vi.
Nh vậy: 4 m ứng với số phần của nửa chu vi là:
35
4
7
2
5
2
=
(nửa chu vi)
Nữa chu vi hình chữ nhật đó là:
4 :
35
4

= 35 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
35
7
2
ì
= 10 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật là:
35 10 = 25 (m)
Diện tích của hình chữ nhật đó là:
10 x 25 = 250 (m )
Đáp số: 250 m
5
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
Ví dụ 7: Cuối học kì I lớp 5A có số học sinh giỏi bằng
7
3
số học sinh còn lại của lớp.
Cuối năm học sinh lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng
3
2

số học sinh còn lại của lớp. Hỏi lớp 5 A có bao nhiêu học sinh?
Phần tích
Số học sinh giỏi của lớp 5A cuối học kì I bằng
7
3
số học sinh còn lại nh vậy cả
lớp có 10 phần nên số học sinh giỏi bằng

10
3
số học sinh của cả lớp. Cuối năm học
sinh lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng
3
2
số học sinh còn
lại, nên số học sinh giỏi bằng
5
2
số học sinh cả lớp.
Vì tổng số học sinh không thay đổi cho nên coi đơn vị so sánh đó là học tỉ số của học
sinh của cả lớp để so sánh.
Bài giải
Vì số học sinh số học sinh giỏi bằng
7
3
số học sinh còn lại của lớp nên số học
sinh giỏi bằng
10
3
số học sinh của cả lớp. Có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học
sinh giỏi bằng
3
2
số học sinh còn lại của lớp cho nên học sinh bằng
5
2
số học sinh cả
lớp

Mà số học sinh của cả lớp không thay đổi nên phân số biểu thị 4 học sinh là:
10
1
10
3
5
2
=
(số học sinh cả lớp)
Vậy tổng số học sinh lớp 5 A là:
4 :
10
1
= 40 (học sinh)
Đáp số: 40 học sinh
Tóm lại: Từ các ví dụ trên cùng một dạng mà cách giải thông thờng giáo viên hớng
dẫn học sinh giải bằng sơ đồ đoạn thẳng nhng hớng dẫn giải bằng sơ đồ thì gặp khó
khăn đó là phải thay đổi các phần biểu thị theo từng điều kiện của bài toán, theo từng
giai đoạn của bài toán, quá trình này củng phải lập luận, diễn giải hộ trợ thêm cho sơ
đồ, chứ sơ đồ không thể diễn tả nổi lời bài toán cho nên học sinh khó hiểu. Chính vì
thế chúng ta chỉ sử dùng sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy các mối liên hệ
trong bài toán. Tuy nhiên, đối với học sinh khá, giỏi không cần thiết vẽ sơ đồ minh
họa mà cho các em làm quen với lối t duy, suy luận lôgíc.
Và cũng qua các toán trên, chúng ta nhận thấy tổng của hai số không thay đổi.
Bởi lẽ, khi thêm vào số này một lợng nào đó và đồng thời bớt đi ở số kia cũng một l-
6
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
ợng; hay chuyển từ số này sang số kia một lợng nh nhau. Nh vậy thì tổng của chúng
không thay đổi. Cho nên khi giải đa một trong hai số đó so sánh tỉ số của một số với

tổng tỉ số của hai số rồi tìm lợng thêm vào bớt đi, hoặc lợng chuyển lên, chuyển
xuống thêm vào chiếm bao nhiêu phần so với tổng tỉ số của hai số.
Với dạng tổng không thay đổi toán tắt cách giải nh sau:
Dạng 1: Tổng không thay đổi
Cách giải
- Tìm tổng tỉ số của hai số A và B. (xác định đại lợng không đổi)
- Đa về cùng một đơn vị so sánh.
- Ban đầu so sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B.
- Sau khi bớt một lợng ở A và thêm vào ở B thì tổng không thay đổi nhng tổng tỉ
số của A và B thay đổi.
- So sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B sau khi thay đổi.
- Tìm lợng bớt chiếm bao nhiêu của tổng hai tỉ số A và B.
- Tính tổng của hai số hoặc từng số
Dạng 2: Tổng hai số thay đổi
Ví vụ 8: Một giá sách gồm hai ngăn: Số sách ngăn dới bằng
5
6
số sách ngăn trên. Nếu
xếp 15 quyển sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ở ngăn dới bằng
11
12
số
sách ngăn trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách?
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội)
Phân tích
Ta nhận thấy: Số sách ngăn dới không thay đổi sau khi thêm 15 quyển vào ngăn
trên, cho nên chọn tỉ số sánh là ngăn dới.
Số sách ngăn dới bằng
5
6

số sách ngăn trên ta hiểu số sách ngăn trên bằng
6
5
số
sách ở ngăn dới, sau khi thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ở ngăn dới bằng
11
12

số sách ngăn trên ta hiểu số sách ngăn trên bằng
12
11
số sách ở ngăn dới. Tìm đợc 15
quyển chiếm bao nhiêu phần số sách ngăn dới.
Bài giải
Số sách ngăn dới bằng
5
6
số sách ngăn trên, nên ta nói: số sách ngăn trên bằng
6
5

số sách ở ngăn dới. Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dới
bằng
11
12
số sách ngăn trên, ta có thể nói: số sách ngăn trên bằng
12
11
số sách ở ngăn d-
ới.

7
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
Số sách ngăn dới không thay đổi, nên phân số biểu thị 15 quyển sách đợc thêm là:
12
1
6
5
12
11
=
(số sách ngăn dới)
Do đó, số sách ngăn dới là:
15 :
12
1
= 180 (quyển)
Số sách lúc đầu ở ngăn trên là:
180
6
5
ì
= 150 (quyển)
Đáp số: Ngăn trên: 150 quyển
Ngăn dới: 180 quyển
Ví dụ 9: ở nhà có số gà mái nhiều gấp 6 lần số gà trống. Sau đó mua thêm 5 con gà
trống nữa nên bây giờ số gà trống bằng
4
1
số gà mái. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu con gà

mái, gà trống?
Phân tích
Số gà mái không thay đổi nên ta có thể chọn số gà mái làm đơn vị để so sánh rồi
tính số gà trống. Gà mái nhiều gấp 6 lần gà trống cho nên gà trống bằng
6
1
số gà mái
sau khi thêm 5 con gà trống thì số gà trống bằng
4
1
số gà mái. Nh vậy chỉ tìm xem 5
con gà trống chiếm bao nhiêu phần của tổng số gà mái.
Bài giải
Số gà trống lúc đầu bằng
6
1
số gà mái.Số gà trống lúc sau bằng
4
1
số gà mái.
Vậy 5 con gà trống chiếm số phần gà mái là:
12
1
6
1
4
1
=
( số gà mái)
Nh vậy số gà mái là: 5 :

12
1
= 60 (con)
Số gà trống là: 60
6
1
ì
= 10 (con)
Đáp số: Gà mái: 60 con
Gà trống: 10 con
Ví dụ 10: Một cửa hàng nhập về một số xe máy. Ngời bán hàng lấy ra trng bày để
bán
8
1
số xe nhập về, số xe còn lại bỏ trong kho. Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trng
bày thì ngời chủ quầy nhận thấy số xe ở trong kho nhiều gấp 10 lần số xe còn lại ở
quầy trng bày xe. Hỏi cửa hàng lúc đầu nhập về bao nhiêu chiếc xe máy?
Phân tích
8
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
Đọc bài toán ta thấy số xe trong kho không thay đổi lấy số xe trong kho làm
đơn vị so sánh. Số xe trng bày để bán
8
1
số xe đó; số xe còn lại bỏ trong kho là
8
7
số
xe, số xe trng bày để bán bằng

7
1
số xe bỏ trong kho. Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy tr-
ng bày thì số xe ở trong kho nhiều gấp 10 lần số xe còn lại ở quầy trng bày xe, số xe
trng bày lúc này chỉ bằng
10
1
số xe máy trong kho.
Chúng ta giải bài toán này nh sau:
Bài giải
Lúc cha bán đi xe nào thì số xe máy trng bày ở quầy hàng bằng
7
1
số xe bỏ trong kho.
Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trng bày thì số xe còn lại ở quầy trng bày bằng
10
1
số xe
máy cất trong kho.
Ta thấy: Số xe trong kho không thay đổi nên phân số biểu thị 3 chiếc xe là:
70
3
10
1
7
1
=
(số xe trong kho)
Số xe máy trong kho là:
3 :

70
3
= 70 (chiếc)
Số xe máy đợc đa ra trng bày và bán ở quầy là:
70
7
1
ì
= 10 (chiếc)
Tổng số xe máy nhập về là:
70 + 10 = 80 (chiếc)
Đáp số: 80 chiếc
Ví dụ 11: Để chuẩn bị tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh, huyện em đã thành lập
đội tuyển tham dự trong đó số nữ bằng
3
2
số nam. Sau khi đội đợc bổ sung 20 nữ và
15 nam nên lúc này số nữ bằng
5
4
số nam. Tính xem đội tuyển của huyện tham gia
Hội khỏe Phù đổng cấp tỉnh có tất cả bao nhiêu bận động viên tham gia?
Phân tích
Theo bài toán, lúc đầu số nữ bằng
3
2
số nam, ta có thể nói số nam bằng
2
3
số nữ.

Lúc đầu số nữ tăng 20 bạn, số nam tăng 15 bạn thì số nữ bằng
5
4
số nam. Giả sử sau
khi tăng, muốn số nữ vẫn bằng
3
2
số nam hoặc số nam bằng
2
3
số nữ thì số nam phải
9
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
bổ sung thêm 20
2
3
ì
= 30 (bạn). Nếu bổ sung 30 nam mà chỉ bổ sung 20 nữ thì hiệu
số nam lúc sau và lúc đầu là: 30 15 = 15 (bạn)
Chúng ta hiểu lại bài toán nh sau: Nếu bổ sung 15 nam và 20 nữ thì số nam bằng
4
5
số
nữ; khi bổ sung 30 nam và 20 nữ thì số nam bằng
2
3
số nữ. Từ chỗ hiểu bài toán nh
trên tóm tắt cách giải sau:
Bài giải

Theo bài ra ta có: số nam bằng
2
3
số nữ; sau khi tăng thêm 20 nữ và 15 nam mà
để số nam vẫn bằng
2
3
số nữ thì số nam phải đợc bổ sung thêm:
20
2
3
ì
= 30 (bạn).
Hiệu số nam bổ sung thêm là:
30 15 = 15 (bạn)
Nếu bổ sung 15 bạn nam và 20 bạn nữ thì số nam bằng
4
5
số nữ; nếu bổ sung 30 nam
và 20 nữ thì số nam bằng
2
3
số nữ .
Nh vậy số nữ vẫn chỉ tăng thêm 20 bạn nên phân số biểu thị 15 bạn là:
4
1
4
5
2
3

=
(số nữ lúc sau).
Số nữ sau khi thêm là:
15 :
4
1
= 60 (bạn)
Số nam sau khi thêm là:
60
4
5
ì
= 75 (bạn)
Tổng số vận động viên tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh là:
60 + 75 = 135 (bạn)
Đáp số: 135 bạn
Ví dụ 12: Tủ sách của lớp 5 A có 7 ngăn, số sách trong các ngăn nh nhau. Tủ sách của
lớp 5B có 5 ngăn, số sách trong mỗi ngăn gấp 2 lần số sách trong mỗi ngăn của tủ 5A.
Biết rằng nếu bớt đi ở mỗi ngăn của tủ sách lớp 5A 3 quyển và bớt đi tủ sách của lớp
5B 12 quyển thì số sách còn lại của hai tủ bằng nhau. Tính xem mỗi tủ có bao nhiêu
quyển sách. ( Đề thi học sinh giỏi Hà Tây).
Phân tích
Tủ sách của lớp 5A có 7 ngăn, tủ sách của lớp 5B có 5 ngăn nhng số sách trong mỗi
ngăn của lớp 5B gấp 2 lần số sách trong tủ của lớp 5A cho nên ta coi tủ sách của lớp
10
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
5B có số sách bằng mỗi ngăn ở tủ sách lớp 5A thì tủ của lớp 5B phải là 10 ngăn nh
thế. Nếu mỗi ngăn tủ sách của của lớp 5A không bớt quyển nào mà chỉ bớt mỗi ngăn
của tủ sách của lớp 5B đi một số sách thì số sách của hai lớp bằng nhau. Cho nên

chúng ta chỉ việc tìm phân số chỉ số sách bớt đi của lớp 5B chiếm bao nhiêu phần tổng
số sách của hai lớp là giải quyết bài toán xong.
Bài giải
Giả sử, số sách ở mỗi ngăn của lớp 5B bằng số sách mỗi ngăn của lớp 5A thì tủ của
lớp 5A có số ngăn là:
5 x 2 = 10 (ngăn)
Coi số sách của lớp 5A là 7 phần thì số sách của tủ lớp 5B là 10 nh thế khi đó số sách
của lớp 5A chiếm
17
7
tổng số sách của cả hai lớp. Số sách của lớp 5B chiếm
17
10
tổng
số sách hai lớp.
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5A là
7 x 3 = 21 (quyển)
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5B là:
10 x (12 : 2) = 60 (quyển)
Số sách của lớp 5A không bớt mà chỉ bớt đi số sách của lớp 5B số quyển sách để số
sách hai lớp bằng nhau là:
60 21 = 39 (quyển)
Vậy: 39 quyển sách chiếm số phần tổng số sách của cả hai lớp là:
17
7
17
10

=
17

3
(tổng số sách của hai lớp)
Tổng số sách của hai lớp là:
39 :
17
3
= 221 (quyển)
Số sách ở tủ lớp 5A là:
221
17
7
ì
= 91(quyển)
Số sách của tủ lớp 5B là:
221 91 = 130 (quyển)
Đáp số: Tủ 5A: 91 quyển
Tủ 5B: 130 quyển
Ví dụ 13: Trong đợt thi tuyển chọn học sinh đi tham dự giao lu Toán Tuổi thơ lần thứ
T của tỉnh A, trong đó số học sinh nữ bằng
3
2
số học sinh nam. Nếu có thêm 10 học
sinh nam tham gia dự thi thì số nữ lúc này bằng
5
3
số học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu
học sinh tham gia thi tuyển.
Phân tích
11
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -

Vĩnh Phúc
Bài toán này, cho biết số học sinh nữ bằng
3
2
số học sinh nam nhng nếu học sinh
cứ nghĩ số nữ bằng
5
2
tổng số nam và nữ; Sau khi thêm 10 học sinh nam thì số nữ lúc
này bằng
5
3
số học sinh nam tức là số nữ bằng
8
3
tổng số nam và nữ. Đây lấy số học
sinh nữ làm đơn vị để so sánh khi đó lấy
5
2
tổng số nam và nữ trừ đi
8
3
tổng số nam và
nữ dẫn đến sai lầm trong giải toán. Bởi vì
5
2
tổng số nam và nữ và
8
3
tổng số nam và

nữ không cùng một đơn vị tức là số phần khác nhau.
Cho nên ta giải bài toán này nh sau:
Bài giải
Ta có:
9
6
3
2
=
;
10
6
5
3
=
Số nữ lúc đầu bằng
9
6
số học sinh nam nếu có thêm 10 học sinh nam tham gia dự thi
thì lúc này số học sinh nữ bằng
10
6
số học sinh nam, nh vậy coi số học sinh nam lúc
đầu 9 phần thì số học sinh nam sau khi thêm 10 học sinh nữa là 10 phần bằng nhau.
10 học sinh nam chiếm số phần là:
10 9 = 1 (phần)
Số học sinh nam tham gia dự thi là:
(10 : 1)
ì
9 = 90 (học sinh)

Số học sinh nữ tham gia dự thi là:
90
9
6
ì
= 60 (học sinh)
Vậy học sinh tham gia thi tuyển là:
60 + 90 = 150 (học sinh)
Đáp số: 145 học sinh
Có thể tìm 10 học sinh nam chiếm bao nhiêu phần số học sinh nam:
10
6
-
9
6
=
90
1
( số học sinh nam)
Ví dụ 14: Tủ sách th viện trờng em có hai ngăn: Ngăn thứ nhất có số sách bằng
3
2
số
sách thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số
sách ngăn thứ nhất bằng
4
3
số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao
nhiêu cuốn sách? (Đề thi học sinh giỏi quận Đống Đa)
Phân tích

12
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
Bài toán này tổng thay đổi, tỉ số của hai số cũng thay đổi khi cùng thêm vào hai số
cho nên chúng ta mạnh dạn cứ nghĩ chỉ một tỉ số thay đổi thì giải đợc bài toán bằng
các cách nh giải các bài toán trên. Số sách ngăn thứ nhất bằng
3
2
số sách thứ hai; số
sách ngăn thứ nhất bằng
5
2
tổng số sách của cả hai ngăn. Khi xếp thêm vào ngăn thứ
nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng
4
3
số sách ngăn
thứ hai tức là số sách ngăn thứ nhất bằng
7
3
tổng số sách của cả hai ngăn. Chúng ta chỉ
việc tính xem khi xếp vào ngăn thứ nhất bao nhiêu cuốn và chiếm bao nhiêu phần của
tổng số sách sau khi xếp thêm vào mỗi ngăn thế là vấn đề bài toán trở về dạng ban
đầu.
Bài giải
Số sách ngăn thứ nhất bằng
5
2
tổng số sách của cả hai ngăn; và sau khi thêm thì số
sách ngăn thứ nhất bằng

7
3
tổng số sách của cả hai ngăn. Giả sử sau khi thêm mỗi 80
cuốn vào ngăn thứ nhất và 40 cuốn vào ngăn thứ hai
Mỗi ngăn thứ nhất thêm là:
80 40 = 40 (cuốn)
Nh vậy: 40 chiếm tổng số phần sách sau khi thêm vào cả hai ngăn là:
35
1
5
2
7
3
=
( tổng số sách của cả hai ngăn)
Tổng số sách của cả hai ngăn sau khi thêm là
40 :
35
1
= 1400 (cuốn).
Số sách thêm vào ngăn thứ nhất là:
80 x 3 = 240 (cuốn)
Số sách thêm vào ngăn thứ hai là:
40 x 4 = 160 (cuốn)
Tổng số sách ban đầu là:
1400 (240 + 160) = 1000 (cuốn)
Số sách ban đầu của ngăn thứ nhất là:
1000
5
2

ì
= 400 (cuốn)
Số sách ngăn thứ hai là:
1000 400 = 600 (cuốn)
Đáp số: Ngăn thứ nhất: 400 cuốn
Ngăn thứ hai: 600 cuốn
13
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
Ví dụ 15: Cho hai số A và B có tỉ số
6
1
=
B
A
. Nếu thêm vào mỗi số 18,4 thì ta đợc hai
số mới A' và B' có tỉ số
25,0
'
'
=
B
A
.Tìm A và B đã cho (Đề thi học sinh giỏi thành phố
Hồ Chí Minh)
Phân tích
Tỉ số A và B là
6
1
, khi thêm vào mỗi số 18,4 tỉ số mới

4
1
(vì 0,25 =
4
1
). Tuy tổng
thay đổi vì cả hai đều thêm 18,4 nhng hiệu của B và A không đổi. Ta có thể so sánh A
hoặc B lúc đầu và sau khi thêm đại lợng không đổi.
Bài giải
Số A lúc đàu bằng:
5
1
16
1
=

(hiệu hai số A và B)
Số A sau khi thêm bằng:
3
1
14
1
=

( hiệu hai số A và B).
Vậy 18,4 ứng với số phần của hiệu đó là:
15
2
5
1

3
1
=
(hiệu hai số A và B)
Hiệu của B và A là:
18,4 :
15
2
= 138
Số A cần tìm là:
138
5
1
ì
= 27,6
Số B cần tìm là:
27,6 x 6 = 165,6
Đáp số: A là 27,6
B là 165,6
Đọc các bài toán trên tởng chừng là dễ nhng kì thực khi giải thấy phức tạp để vẽ
sơ đồ giải bài toán này quả là khó những vận dụng một cách linh hoạt cách giải trên
chúng ta dễ dàng giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiều. Tránh đợc tình
trạng giải dài dòng Tuy vẫn có các cách giải khác những chúng tôi nhận thấy cách
giải nh đã đa ra trên phù hợp với nhận thức của học sinh đối với dạng toán này.
Tóm lại: Trong quá trình giảng dạy chúng tôi giúp học sinh vận dụng một cách
linh hoạt đơn vị so sánh để giải các bài toán về Tìm hai số khi biểt "hai tỉ số". Dạng
toán này cha đợc chính thức đa vào chơng trình chính khóa để dạy mà chỉ gặp một số
bài đợc đa ra và xen lẫm vào phần Phân số, phần Tỉ số phần trăm, phần Tìm hai số khi
biết tổng và tỉ; Tìm hai số khi biết tỉ và hiệu; Tạp chí chuyên ngành, các đề thi thờng
gặp học sinh giỏi các cấp. Chính vì thế chúng tôi góp nhặt và phân loại thành từng

dạng rồi tìm ra phơng pháp giải tốt nhất nhằm giúp học sinh tiếp thu kiếm thức một
14
Nguyễn Văn Tam - Trờng TH Cao Phong A - Sông Lô -
Vĩnh Phúc
cách chủ động, sáng tạo vào việc giải toán nhanh hơn, khoa học hơn. Tuy nhiên bên
cạnh đó có nhiều cách giải khác nhau. Chúng ta có thể hiểu và các bớc giải nh sau:
Dạng 2: Tổng thay đổi
Dạng 2.1: Biết tỉ số ban đầu của A và B sau khi (thêm) bớt ở A mà không(thêm) bớt
ở B lại biết, tỉ số của và sau khi(thêm) bớt A và B.
- Tìm đại lợng không đổi để so sánh đó là B.
- Tìm xem lợng thêm vào hay bớt đi chiếm bao nhiêu của đại lợng không đổi đó là
B.
- So sánh tỉ số ban đầu khi cha bớt (thêm) với tỉ số sau khi bớt (thêm).
- Tính đợc đại lợng không đổi .
- Tìm đợc số còn lại.
Dạng 2.2: Thêm vào A đồng thời bớt ở B một lợng khác nhau và ngợc lại thì tổng thay
đổi. (dạng này tơng đối khó và phức tạp tùy vào từng trờng hợp cụ thể để vận dụng
cách giải trên một cách hợp lí)
- Khi đó ta lấy tỉ số của A hoặc tỉ số của B so sánh với tổng tỉ số của hai số.
- Tìm hiệu tỉ số sau khi thay đổi.
- Biến đổi một tỉ số không thay đổi
Sau đó tìm đợc lợng chung bớt đi hoặc thêm vào chiếm bao nhiêu phần của tổng tỉ số
sau khi thay đổi.
- Tìm tổng hai số.
- Tìm mỗi số ban đầu.
Dạng 2.3: Cùng thêm hoặc cùng bớt một lơng ở hai đại lơng.
Khi thêm hoặc cùng bớt thì hiệu hai số không đổi cho nên lấy hiệu hai số làm đơn vị
so sánh.
- Tìm hiệu hai tỉ số ban đầu.
- Tìm hiệu hai tỉ số sau khi thêm hoặc bớt.

- So sánh hiệu hai tỉ số.
- Tìm đợc hiệu hai số.
- Tìm hai số.
15