chương 1 giới thiệu mô hình toán kinh tế (bài 2)

Chương 1:
GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
Nội dung của phương pháp mô hình trong
nghiên cứu và phân tích
kinh tế.
Bài 2:

B
B
Ố CỤC BÀI GIẢNG
Ố CỤC BÀI GIẢNG
1.Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình:
2. Phương pháp phân tích so sánh tĩnh:
1) Bài toán 1: Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh
theo biến ngoại sinh.
2) Bài toán 2: Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
3) Bài toán 3: Tính hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi).

1. Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình:
a. Đặt vấn đề:
- Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề hiện tượng nào trong
hoạt động kinh tế cần quan tâm, mục đích là gì, các
nguồn lực có thể huy động để tham gia nghiên cứu.
b.Mô hình hóa:
- Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối
liên hệ trực tiếp giữa chúng mà ta có thể cảm nhận bằng
trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lý luận đã lựa chọn.
- Lượng hóa các yếu tố này, coi chúng là biến của mô
hình.
- Xem xét vai trò các biến số và thiết lập các hệ thức

toán học – chủ yếu là các phương trình – mô tả quan hệ
giữa các biến.

c. Phân tích mô hình:
d. Giải thích kết quả:
- Dựa vào các kết quả phân tích đưa ra giải đáp cho
vấn đề cần nghiên cứu.
Ví dụ 1: Khi điều chỉnh một sắc thuế đánh vào việc
sản xuất và tiêu thụ một loại hàng hóa A, Nhà nước
quan tâm tới phản ứng của thị trường tới việc điều
chỉnh này – thể hiện bởi sự thay đổi của giá cả cũng
như lượng hàng hóa lưu thông và muốn dự kiến
trước được phản ứng này. Từ đó tính toán mức điều
chỉnh thích hợp tránh tình trạng bất ổn của thị
trường.

Đặt vấn đề: Cần phân tích tác động trực tiếp của thuế
đối với việc sản xuất và tiêu thụ loại hàng hóa trên thị
trường.
Mô hình hóa:
+ Đối tượng liên quan đến vấn đề cần phân tích là thị
trường hàng hóa A cùng sự hoạt động của nó trong
trường hợp có xuất hiện yếu tố thuế.
Các yếu tố ta cần xét là mức cung (S), mức cầu (D), giá
cả P và thuế T, ta có mô hình:
S = S(p, T)
D = D(p, T)
S = D
0
0

S
S
p
D
D
p
>
<
∂
′
=
∂
∂
′
=
∂

Phân tích:
Giải phương trình cân bằng, giả sử được nghiệm là .
Rõ ràng phụ thuộc vào T nên viết
Thay vào hàm cung cầu ta tính được lượng cân bằng:

phản ánh tác động của thuế T tới giá
và lượng cân bằng.
( )
T
p p
=
( )
( )

( )
( )
, ,Q S p T T D p T T
= =
;
dp dQ
dT dT
p
p

Giải thích kết quả:
+ Để phân tích tác động của thuế T tới giá cả và lượng
hàng hóa lưu thông về định tính ta xét dấu của biểu
thức:
+ Để đánh giá về lượng ta cần có dữ liệu cụ thể của các
biến để có thể định dạng chi tiết và ước lượng mô
hình.
;
dp dQ
dT dT

2. Phương pháp phân tích so sánh tĩnh:
1) Bài toán 1: Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh
theo biến ngoại sinh.
a) Đo lường sự thay đổi tuyệt đối:
Xét hàm Y = F(X
1
, X
2
, …,X

n
), tại X = X
o
gọi sự thay đổi của
Y khi chỉ có X
i
thay đổi một lượng nhỏ là:
( )
1 1
, , , , ( , , , , )
i i i n i n
Y F X X X X F X X X∆ = + ∆ −
+ Lượng thay đổi trung bình của Y theo X
i
là:
i
i
Y
X
ρ
∆
=
∆
+ Đạo hàm riêng:
Nếu F khả vi theo X
i
ta có tốc độ thay đổi tức thời tại
điểm X = X
o
là:

Do đó nếu khá nhỏ thì , nếu = 1 thì

( )
( )
o
i
i
F X
X
X
ρ
∂
=
∂
i
X
∆
( )
i
X
ρ ρ
≈
i
X
∆
( )
i i
X Y
ρ
= ∆

+ Vi phân toàn phần:
- Nếu tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các
lượng khá nhỏ thì sự thay đổi của biến
nội sinh Y được tính:
- Nếu là các vi phân thì ta sử dụng công
thức vi phân toàn phần:
1 2
, ,
n
X X X
∆ ∆ ∆
1 2
1 2

n
n
F F F
Y X X X
X X X
∂ ∂ ∂
∆ ≈ ∆ + ∆ + + ∆
∂ ∂ ∂
1 2
, ,
n
X X X
∆ ∆ ∆
1 2
1 2

n
n
F F F
dY dX dX dX
X X X
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂

+ Đạo hàm hàm hợp và hàm ẩn:
Nếu bản thân X
i
lại là biến nội sinh phụ thuộc vào một
hoặc nhiều biến khác thì để đo sự thay đổi của Y theo
X
i
ta dùng đạo hàm hàm hợp như một số ví dụ sau:
Ví dụ 2:
Giả sử Y = F(X
1
, X
2
), X
2
= G(X
1
)
Y, X
2

là biến nội sinh, X
1
là biến ngoại sinh.
Khi đó ta có :
2
1 2 1 1
.
dY F dX F
dX X dX X
∂ ∂
= +
∂ ∂

- Nếu biến nội sinh Y có liên hệ với biến ngoại sinh X
1
,
X
2
, …,X
n
dưới dạng F(Y, X
1
,…,X
n
) = 0
Thì ta có:
i i
Y F F
X X Y
∂ ∂ ∂

= − ÷
∂ ∂ ∂
Ví dụ 3: Giả sử Y
2
= X
1
3
- X
2
. Tính (i = 1, 2)
Ta có: F(Y, X
1
, X
2
) = Y
2
– X
1
3
+ X
2
= 0
=>
i
Y
X
∂
∂
2 2
1 1

1 1
3 3
2 2
Y F F X X
X X Y Y Y
∂ ∂ ∂ −
= − ÷ = − =
∂ ∂ ∂

b. Đo lường sự thay đổi tương đối : hệ số co giãn.
+ Hệ số co giãn của biến Y theo biến X
i
tại X = X
0
, ký

hiệu là được định nghĩa bởi công thức :


Hệ số này cho biết tại X = X
0
, khi biến X
i
thay đổi 1%
thì Y thay đổi bao nhiêu %.
+ Nếu > 0 thì X
i
, Y thay đổi cùng hướng và
ngược lại.
( )

i
Y
X o
X
ε
( )
0
i
Y
X
X
ε
( )
( )
.
i
o
o
Y
i
X
o
i
F X
X
X
F X
ε
∂
=

∂

+ Hệ số co giãn chung (toàn phần):

Hệ số này cho biết tại X = X
o
tỉ lệ % thay đổi của Y khi
tất cả các biến X
i
thay đổi 1%.
( )
( )
1
i
n
Y o Y
X o
i
X X
ε ε
=
=
∑

+ Nếu với
là các tham số thì ta có:
Do đó:
1
2
1 2

. .
n
o n
Y X X X
α
α
α
α
=
1
, , ,
o n
α α α
( ) ( )
1, ,
i
Y
X i
X i n
ε α
= =
1
n
Y i
i
ε α
=
=
∑

+ Nếu gọi là hàm cận biên

là hàm trung bình.
Thì ta có:
i
i
F
MF
X
∂
=
∂
i
i
Y
AF
X
=
i
Y
i
X
i
MF
AF
ε
=

Ví dụ:
Cho hàm tổng chi phí:

TC = 3Q
2
– 2Q + 8
Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2.
6 2
TC
Q
Q
∂
= −
∂
.
TC
Q
TC Q
Q TC
ε
∂
=
∂
Ta có:
( 2) 1,25
TC
Q
Q
ε
⇒ = =

2) Bài toán 2: Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến động của

một biến theo đơn vị thời gian.

Cho thì hệ số tăng trưởng
của Y là:


Nếu Y = F(X
1
(t), X
2
(t),…, X
n
(t)) thì :
1
( , , , , , )
i m
Y F X X X t
=
1
.
i i
n
Y
Y X X
i
r r
ε
=
=
∑

Y
Y
t
r
Y
∂
∂
=
1
.
i i
n
Y
Y X X
i
r r
ε
=
=
∑

Ví dụ:
Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2.K
0,4
.L
0,8
Hãy tính hệ số tăng trưởng của sản xuất biết hệ số tăng
trưởng của vốn K là 20%, lao động là 8%.

3) Bài toán 3: Tính hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi).

Giả sử tại X = X
o
có Y = F(X
o
) = Y
o

Cho các biến X
i
, X
j
biến đổi và X
k
(k ) không đổi thì
hệ số thay thế của hai biến này chính là tỉ lệ thay đổi của
hai biến này sao cho Y = Y
o
(tức Y không đổi)
,i j
≠
j
i
j
i
F
X
dX
F
dX
X

∂
∂
= −
∂
∂

+ Nếu thì X
i
có thể thay thế được cho X
j
tại
(X = X
o
) và là hệ số thay thế (cận biên)
0
i
j
dX
dX
<
i
j
dX
dX
0
i
j
dX
dX
>

+ Nếu thì X
i
, X
j
có thể bổ sung cho nhau tại
(X = X
o
) và là hệ số bổ sung (cận biên).
i
j
dX
dX
+ Nếu thì X
i
, X
j
không thể thay thế hoặc bổ
sung cho nhau tại X = X
o
0
i
j
dX
dX
=
i
j
dX
dX

Ví dụ:
Người tiêu dùng có nhu cầu sử dụng hai mặt hàng có
sản lượng lần lượt là Q
1
, Q
2.
Hàm chi phí tiêu dùng là: TC = Q
1
2
+ Q
2
2
Hỏi hai mặt hàng này có thể thay thế nhau trong tiêu
dùng không?
1 2
2 1
2
0
2
dQ Q
dQ Q
= − <
=> Hai mặt hàng có thể thay thế cho nhau.

Ví dụ:
Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ
thuộc vào vốn (K), lao động được sử dụng (L) và
ngân sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau: Y =
0,24K
0,3

.L
0,8
.G
0,05
Trong đó các yếu tố thay đổi theo thời gian như
sau: hằng năm vốn tăng 15%; công ăn việc làm
tăng 9%; chi phí đào tạo tăng 20%.
a)Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân.
b)Trong điều kiện Y, K không đổi còn công ăn việc
làm phụ thuộc vào ngân sách đào tạo trước đó 5
năm. Hãy viết biểu thức chỉ ra sự thay đổi của công
ăn việc làm theo ngân sách đào tạo 5 năm trước.