chương 1 giới thiệu mô hình toán kinh tế (bài 3)

Chương 1:
GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
Bài 3: Áp dụng phân tích mô hình

Mô hình tối ưu:
1) Mô hình phân tích hành vi sản xuất:
Hành vi của doanh nghiệp liên quan tới:
-
Tình trạng công nghệ của doanh nghiệp.
-
Các điều kiện trên thị trường sản xuất, trong đó doanh
nghiệp với tư cách là người mua.
-
Các điều kiện trên thị trường sản phẩm, trong đó
doanh nghiệp với tư cách là người bán.

+ Mô hình hàm sản xuất:
Để mô tả tình trạng công nghệ của doanh nghiệp chúng
ta sử dụng mô hình hàm sản xuất.
Mô hình hóa công nghệ:
Giả sử với trình độ công nghệ hiện có doanh nghiệp có
thể sử dụng n loại yếu tố để tạo ra sản phẩm và nếu các
yếu tố được sử dụng ở mức X
1
, …,X
n
doanh nghiệp thu
được Q đơn vị sản phẩm.
⇒
Có một mối quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố và

mức sản lượng. Và quan hệ này đặc trưng cho tình
trạng công nghệ của doanh nghiệp.
Quan hệ này được mô tả qua hàm số: Q = F(X
1
,…,X
n
).

Phân tích tác động của yếu tố sản xuất tới sản lượng:
+ Về mặt ngắn hạn:
-
Năng suất biên của yếu tố i:
-
Năng suất trung bình của yếu tố i:
-
Độ co giãn của Q theo yếu tố i:
-
Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j:
i
i
F
MP
X
∂
=
∂
( )
i
i
F X

AP
X
=
i
Q
X
ε
j
i
j i
MP
dX
dX MP
= −

+ Về mặt dài hạn:
Cho hàm sản xuất Q = F(X
1
, …,X
n
) với
Ta nói quy mô sản xuất tăng với hệ số
( )
1
, ,
n
X X X
λ λ λ
=
( )

1
λ λ
>
( ) ( )
F X F X
λ λ
>
thì công nghệ sản xuất gọi là tăng
quy mô có hiệu quả
( ) ( )
F X F X
λ λ
<
thì công nghệ sản xuất gọi là tăng
quy mô không có hiệu quả
( ) ( )
F X F X
λ λ
=
thì công nghệ sản xuất gọi là tăng
quy mô không thay đổi hiệu quả

Để đo hiệu quả quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn
toàn phần của Q theo các yếu tố:
1
i
n
Q Q
X
i

ε ε
=
=
∑

Ví dụ: Xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với hai
yếu tố vốn (K) và lao động (L):
Q = aK
b
L
c

a) Bài toán 1: Bài toán tối ưu về mặt kinh tế của quá trình
sản xuất.

* Nhắc lại:

Bài toán tìm cực trị: f(x
1
, x
2
,…,x
n
)
+ Tìm điểm dừng :

+ Xét dạng toàn phương d
2
f


Bài toàn tìm cực trị có điều kiện
f(x
1
,…,x
n
); (x
1
,…,x
n
) = a
+ Lập hàm Lagrăng:
L(x
1
,…,x
n
, ) = f(x
1
, x
2
,…,x
n
) + ( (x
1
,…,x
n
) – a)
+ Tìm điểm dừng:

;
+ Lập ma trận Hessian.

0, 1, ,
i
f
i n
x
∂
= =
∂
ϕ
λ
ϕ
λ
0
i
L
x
∂
=
∂
0
L
λ
∂
=
∂

Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là Q = F(X
1
, X
2

,…,X
n
)
và giá các yếu tố là w
1
, w
2
,…, w
n
.
Q là mức sản lượng dự kiến sản xuất.

Ta có bài toán:
z = => Min
Với điều kiện: F(X
1
, X
2
,…,X
n
) = Q
1
n
i i
i
w X
=
∑
+ Bài toán cực tiểu hóa chi phí:

Giải:
Lập hàm Lagrăng :
L(X1,…,Xn, ) = + ( Q - F(X1, X2,…,Xn) )

+ : chi phí trung bình
+ : chi phí biên.
+ Với hàm tổng chi phí TC(Q, w
1
, w
2
,…, w
n
) được xác định
trong mô hình trên thì:
;
1
n
i i
i
w X
=
∑
λ
λ
( )
0, 1, ,
0
, ,
1
L

w F x
i i
i n
i j
x
w F x
i
j j
L
Q F X X
n
λ
∂
∂ ∂
= =
= ≠
∂
∂ ∂
⇔
∂
=
=
∂




 
 
 





( )
TC
AC Q
Q
=
( )
TC
MC Q
Q
∂
=
∂
( )
*
MC Q
λ
=
*
, 1, ,
i
i
TC
X i n
w
∂
= =

∂

Ví dụ:
Hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng Q = 25K
0.5
L
0.5
trong đó Q là sản lượng, K: là vốn, L: lao động. Cho
giá vốn p
k
= 12, giá lao động p
L
= 3.
a. Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q =
Q
o
= 1250 với chi phí nhỏ nhất.
b. Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng
tại Q
0
.
c. Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% với mức sản
lượng như trước thì mức sử dụng vốn, lao động tối
ưu sẽ thay đổi như thế nào?
d. Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng
chi phí.

+ Bài toán tối đa hóa sản lượng.
Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các
yếu tố với mức X

1
, X
2
,…,X
n
để sản xuất và giá các yếu tố
là w
1
, w
2
,…, w
n
.
Mức sản lượng tương ứng: Q = F(X
1
,X
2
,…,X
n
)
Ta có bài toán:
Max Q = F(X
1
,X
2
,…,X
n
)
Với điều kiện:
1

n
i i
i
w X K
=
=
∑

Giải bài toán trên ta có điều kiện cần sau:
,
w F X
i i
i j
w F X
j j
∂ ∂
= ≠
∂ ∂

b) Bài toán 2: Bài toán tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.
Ký hiệu TR(Q) là doanh thu của doanh nghiệp khi cung ứng
và tiêu thụ trên thị trường sản lượng Q.
+ Doanh thu biên:

+ Doanh thu trung bình:
+ Gọi TC(Q) là chi phí tương ứng để sản xuất sản lượng Q.
+ Gọi lợi nhuận là:
Xác định sản lượng tối đa hóa lợi nhuận ta có bài toán
Điều kiện cần của tối ưu (*)
( )

dTR
MR Q
dQ
=
( )
( ) ( )Q TR Q TC Q
π
= −
( )
maxQ
π
→
dTR dTC
dQ dQ
=
( )
TR
AR Q
Q
=


Nếu doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:
Giá bán p là biến ngoại sinh nên TR(Q) = pQ
Và (*) trở thành: p = MC(Q)

Nếu doanh nghiệp độc quyền:
Giá bán phụ thuộc vào mức cung tức p = p(Q)
Ta có: TR = P(Q).Q nên MR =
Và (*) thành :

( )
.
dp
p Q Q
dQ
+
( ) ( )
.
dp
p Q Q MC Q
dQ
+ =

Ví dụ:
Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu là
TR = 58Q – 0,5Q
2
+ 4
và hàm tổng chi phí TC = 1/3Q
3
– 8,5Q
2

Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.

2) Mô hình phân tích hành vi tiêu dùng :
a) Mô hình hàm thỏa dụng :
+ Mô hình hóa thị hiếu, sở thích của hộ gia đình :
Hộ gia đình có thể mua và tiêu thụ m loại hàng hóa và
X

i
là khối lượng hàng hóa thứ i họ dự kiến mua.
X = (X
1
, X
2
,…,X
m
) gọi là giỏ hàng.
Hàm thỏa dụng thể hiện mức độ đáp ứng, thỏa mãn khi
tiêu thụ giỏ hàng X, ký hiệu là U.
U(X) = U(X
1
, X
2
,…,X
m
,a, b, c, …)
a, b, c là các tham số.

+ Phân tích mô hình:
Thỏa dụng biên của hàng hóa i: MU =

Hệ số thay thế giữa loại hàng i và loại hàng j:
i
U
X
∂
∂
j

i
MU
MU

b) Mô hình tối đa hóa thỏa dụng – mô hình xác định mức
cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình.
+ Đặt vấn đề: Với giá cả hàng hóa và ngân sách tiêu
dùng cho trước, hộ gia đình cần mua các loại hàng như
thế nào để đáp ứng tốt nhất sở thích.

+ Mô hình hóa:
Ký hiệu M là ngân sách tiêu dùng; p
1
, , p
m
là giá các
loại hàng.
X = (X
1
, X
2
,…,X
m
) .
Ta có mô hình :
Lập hàm Lagrăng cho bài toán cực trị có điều kiện thì
nghiệm bài toán cần thỏa mãn hệ:
U
p X
i i

U
p
j
X
j
∂
∂
=
∂
∂
i j
∀ ≠

Ví dụ: Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu thụ
loại hàng hóa A, B có dạng: U = 40x
A
0.25
x
B
0.5
với giá
hàng p
A
=4, p
B
=10
a- Loại hàng A thay được hàng B hay không? nếu
thay được thì thay theo tỷ lệ nào?
b- Xác định mức cầu loại hàng A,B của hộ gia đình
với M=600

Giải: a- MU
B
/MU
A
= x
B
/2x
A
>0 do đó hai loại hàng hóa
này luôn thay thế được cho nhau, và thay thế theo
tỷ lệ 1A cần cần x
B
/2x
A
đơn vị hàng loại B
b- x
B
/2x
A
= 10/4 và 4x
A
+10x
B
=600
Suy ra x*
A
= 50; x*
B
= 40 ⇒ Mức cầu D
A

=50; D
B
=40
21

Một số bài tâp:
1) Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có chi phí
biên MC = 2Q
2
– 12Q + 25, chi phí cố định FC và giá
bán sản phẩm p.
a. Hãy xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20. với
p = 39 hãy xác định mức sản lượng và mức lợi
nhuận tối ưu.
b. Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận
tối ưu sẽ biến động như thế nào?

2) Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p = 490
– 2Q và hàm tổng chi phí: TC = 0,5Q
2
. AD
0,5
trong đó Q
là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.
a. Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối
ưu.
b. Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới
mức sản lượng và giá bán tối ưu.

3) Cho hàm doanh thu trung bình AR(Q) = 15 – Q.

a. Xác định mức doanh thu cận biên MR tại Q
1
= 5; Q
2

= 8. Phân tích các kết quả.
b. Xác định mức chênh lệch của doanh thu cận biên
và doanh thu trung bình như một hàm của Q.
c. Nêu biểu thức tổng quát xác định mức chênh lệch
của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình
nếu hàm doanh thu trung bình có đạo hàm.

4) Cho hàm tổng chi phí:
TC = Q
3
- 5Q
2
+ 14Q + 144
a. Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó
cho nhận xét về mở rộng sản xuất.
b. Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2.
c. Cho giá sản phẩm là p = 70, với mức thuế doanh thu
20%, tính lợi nhuận khi Q = 3. Tìm các điểm hòa vốn
và phân tích sự thay đổi của hàm tổng lợi nhuận.