Giảng dạy phân tích đa thức thành nhân tử

Phần I: những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài
Thực hành toán học là một bộ môn toán nghiên cứu về môn toán trong
chơng trình toán THCS, trong chơng trình toán ở bậc THCS cha có hoặc
không có thuật giải. Đối với bài toán không có thuật giải cần phải hớng dẫn
học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải vì vậy nó đòi hỏi mỗi ngời giáo viện
phải có kĩ năng, kinh nghiệm, năng lực s phạm và phơng pháp phải đúng đắn.
Là một ngời giáo viên đã đợc học và nghiên cứu toán trong chơng trình
toán THCS. Trong đó có nghiên cứu phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử theo định lí 1 về phân tích đa thức thành nhân tử chứng tỏ rằng "Mọi đa
thức đều có thể phân tích thành tích các đa thức bất khả quy trên trờng
số". Song đây là về mặt lí thuyết còn thực hành thì lại khó khăn hơn nhiều và
đòi hỏi "kĩ thuật" giải toán cao hơn nhiều, những thói quen và kĩ năng "sơ
cấp" ví dụ nh đối với bài toán sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
f x a b c b c a c a b= + +
Không phải bất kì ngời giáo viên nào cùng biết giải theo phơng pháp tối
u.
Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu về vấn đề "Giảng dạy phân tích đa
thức thành nhân tử" để tìm hiểu và có những phơng pháp giảng dạy hay nhất
học sinh dễ hiểu nhất để dạy cho học sinh.
Khi nghiêm cứu đề tài này đây là cơ hội rất tốt để cho tôi trang bị cho
mình một số tri thức, phơng pháp giải toán, phơng pháp toán học hoá, đồng
thời giúp tôi những câu hỏi gợi ý sâu sắc, đúng lúc đúng chỗ phù hợp với đối
tợng trình độ, đối tợng học sinh trong quá trình dạy học phân tích đa thức
thành nhân tử ở bậc THCS.
Đề tài này phục vụ ngay cho việc giảng dạy và học tập môn toán ở tr-
ờng THCS và đặc biệt hơn trong các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
1

tử có nhiều kiến thức liên quan nó có rất nhiều ứng dụng nh rút gọn phân thức,
giải phơng trình, chứng minh đẳng thức, giải bất phơng trình.
Đề tài này sẽ là t liệu quan trọng đối với tôi trong khi giảng dạy toán
lớp 8 và có ích trong công việc dạy tốt của mình ./.
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Mục đính nghiên cứu
Nghiên cứu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sâu trong từng phơng pháp hình thành kĩ năng kĩ sảo phân
tích đa thức thành nhân tử./.
III. Đối tợng và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Đối tợng nghiên cứu
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2. Phạm vi nghiên cứu
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chơng trình toán
bậc học THCS và một số phơng pháp không có trong chơng trình toán bậc
THCS./.
IV. phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu tài kiệu (nghiên cứu lí thuyết) giúp tôi tìm
hiểu, tham khảo tra cứu những nội dung liên quan đến việc phân tích đa thức
thành nhân tử.
- Phơng pháp quan sát:
2
Thông qua các giờ học các buổi dự giờ giảng dạy nhận thấy trình độ
nhận thức trong các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều bất
cập hay không từ đó đa ra các phơng pháp giảng dạy và bài tập phù hợp.
- Phơng pháp đàm thoại:
Đề tài phân tích đa thức thành nhân tử là đề tài khó vậy để hoàn thành
đề tài này tôi rất cần sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để tôi hoàn
thành đề tài này đợc tốt hơn./.

phần II. cơ sở lí thuyết và nội dung nghiên cứu
3
A - cơ sở lí thuyết
I. Các khái niệm
1. Đa thức nhiều biến
* Cách phổ thông
Một đa thức của các biến x, y, z là một biểu thức nguyên trong đó có
chữ x, y, z là các biến.
* Các khoa học toán học
Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng:
( )
1 2 3 n
k k k k
1 2 3 n i
ax x x x k N
Đợc gọi là đa thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các đối số)
1 2 3 n
x x x x
ta có
thể kí hiệu đa thức nhiều ẩn bởi f(
1 2 3 n
x x x x
)
i1 i2 i 3 in
n
k k k k
i 1 2 3 n
i 0
a x x x x
=

=

các đơn
thức trong đa thức đợc gọi là hạng tử (hay số hạng).
Nếu các hệ số a
i
của đa thức đều bằng không thì đa thức đợc gọi là đa
thức 0.
Trong một đa thức không có đơn thức đồng dạng đợc gọi là đa thức
chính tắc.
Trong một đa thức có các đơn thức có bậc bằng nhau gọi là đa thức
đẳng cấp (hay đa thức thuần nhất).
Ví dụ: f(x,y,z) =
3 2 2 2
2 1
2xyz x yz xy z
3 3
+ + +
Là đa thức đẳng cấp với bậc là 5.
2. Đa thức một biến
Một đa thức của biến x là một biểu thức nguyên trong đó x là biến.
Bậc của đa thức f(x) là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với x.
Ví dụ: Đa thức
5
x yx 3 + +
có bậc 5 đối với biến x.
4
3. Đa thức bất khả quy - Phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa
Giả sử P

(x)

[ ]
x
P
là đa thức bậc lớn hơn 0 ta nói P
(x)
là bất khả quy trên
trờng số P nếu nó không thể phân tích thành tích các đa thức bậc khác 0 và
nhở hơn bậc của P
(x)
.
Trái lại nếu phân tích đợc thành tích các đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn
bậc của P
(x)
đợc gọi là đa thức khả quy (đa thức phân tích đợc thành nhân tử).
Ví dụ: x
2
- 3 là bất khả quy trên tập hợp Q
Nhng lại khả quy trên tập hợp R
x
2
- 3 =
( ) ( )
x 3 x 3 +
Chú ý:
Nh vậy một đa thức đều là khả quy hay bất khả quy nó còn phụ thuộc
vào cơ sở mà ta đang xét.
b) Các tính chất
- Mọi đa thức bậc nhất đều là đa thức bất khả quy.

- Mọi đa thức f(x) bất khả quy khi và chỉ khi nó có phức dạng a.f(x) với
a 0

hoặc với ớc của a với
a P(a 0)
.
Đa thức f(x) bất khả quy khi và chỉ khi nó có ớc tầm thờng trên trờng
đang xét.
Đa thức f(x) là bất khả quy trên trờng số P khi và chỉ khi với mọi đa
thức g(x)
P[x]
thì g(x)
( )Mf x
hoặc
( )
g(x), f(x) 1=
c) Các định lí về phân tích đa thức
- Định lí 1
Mọi đa thức trên P đều có thể phân tích đợc thành đa thức bất khả quy
và sự phân tích đó là duy nhất.
5
- Định lí 2 (tiêu chuẩn bất khả quy trên trờng số phức và số thực)
+ Trên trờng số phức C
Một đa thức gọi là bất khả quy khi và chỉ khi nó là đa thức bậc nhất, với
mọi đa thức trên trờng số C có bậc lớn hơn 1 đều phân tích đợc thành tích các
đa thức bậc nhất.
+ Trên trờng số thực R
Một đa thức bất khả quy khi và chỉ khi nó là đa thức bậc nhất hoặc bậc
hai với biệt thức
0 <

vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 2 đều có thể
phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức
0 <
.
- Định lí 3 (tiêu chuẩn Eisenten - Đa thức bất khả quy trên trờng số)
Giả sử f(x) =
0 1 n
( 0; 0)
n
n
a a x a x n a+ + + >
là đa thức với hệ số
nguyên nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của các số hạng
tự do mà phải là ớc của hệ số còn lại thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên
Q./.
ii. các kiến thức liên quan
1. Các hằng đẳng thức trong chơng trình phổ thông
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2

2 2
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
1. a b a 2ab b
2. a b a 2ab b
3. a b a b a b
4. a b a 3a b 3ab b
5. a b a 3a b 3ab b
6. a b a b a ab b
7. a b a b a ab b
+ = + +
= +
= +
+ = + + +
= +
+ = + +
= + +
2. Nhân đơn thức với đa thức
6
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng
hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau.
Tổng quát: A(B + C) = AB + AC
Trong đó A, B, C là các biểu thức.
3. Nhân đa thức với đa thức
Muốn nhân một đa thức với đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thứ này
với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.

Tổng quát: (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
Trong đó A, B, C, D là các biểu thức
Chú ý : Trong khi nhân hai đa thức ta nên sắp xếp các đa thứ theo luỹ
thừa giảm dần hoặc tăng dần.
4. Các quy tắc về dấu
+ Quy tắc dấu ngoặc: Công thức - ( - A ) = A
+ Quy tắc đổi dấu thứ nhất: Công thức
A A
B B

=

+ Quy tắc đổi dấu thức hai: Công thức
A A A
B B B

= =

B - nội dung nghiên cứu
i. một số phơng pháp phân tích đa thức thành
nhân tử
1. Phơng pháp đặt thừa số chung
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
4. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
5. Phơng pháp thêm bớt cụng một hạng tử
6. Phơng pháp đổi biến
II. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở
bậc THCS
7

1. Phơng pháp đặt thừa số chung
a) Phơng pháp giải
- Từ đa thứ đã cho ta sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng để đặt những nhân tử chung của các hạng tử ra ngoài dấu ngoặc.
- Cách tìm nhân tử chung
+ Đối với hệ số là ƯCLN của các hệ số
+ Đối với biến số là các biến số có mặt trong các hạng tử đang xét với
số mũ nhỏ nhất.
b) Ví dụ
Phân tích đa thức
( ) ( ) ( )
A 2x y z y z x y= +
Giải:
( ) ( ) ( )
A 2x y z y z x y= +
=
( ) ( )
( ) ( )
y z 2x x y
y z 3x y .
= + + =
= +
Chú ý: Nhiều khi ta cần đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung trong khi
phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
a) Cách giải
Từ đa thức đã cho ta biến đổi chúng thành những dạng của hằng đẳng
thức đã học.
b) Ví dụ
Phân tích đa thức:

3 2 2 3
A 8x 12x y 6xy y= +
thành nhân tử
Giải:
( ) ( )
( )
3 2
2 3
3
A 2x 3 2x y 3.2xy y
2x y
= + =
=
3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
a) Cách giải
8
Từ đa thức đã cho ta nhóm những hạng tử mà có nhân tử chung với
nhau hoặc những hạng tử có thể làm xuất hiện hằng đẳng thức.
b) Ví dụ
Phân tích đa thức
2 2
A x 2x 1 y= + +
thành nhân tử
Giải:
( )
( ) ( )
2 2
2
2
A x 2x 1 y

x 1 y
x 1 y x 1 y
= + + =
= + =
= + + +
Chú ý:
Đối với mỗi đa thức có thể có nhiều cách nhóm.
4. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
a) Cách giải
Dựa vào đa thứ đã cho ta phân tích thấy thiếu hạng tử nào để có thể
phân tích đợc thành nhân tử theo phơng pháp dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm
thì ta có thể thêm hạng tử đó vào biểu thức nhng phải chú ý đến việc bới hạng
tử đó khỏi biểu thức.
b) Ví dụ
Phân tích đa thức A = x
2
+ 4 thành nhân tử
Giải
( )
( ) ( )
4 2 2
2
2 2
2 2
A x 4x 4 4x
x 2 4x
x 2 2x x 2 2x
= + + =
= + =
= + + +

Chú ý:
Ta cần thêm bớt những hạng tử nào mà những bớc phân tích sau có thể
thực hiên đợc, nếu ta thêm bớt những hạng tử không thích hợp thì việc phân
tích sẽ không thể tự hiện đợc. /.
III. Các dạng bài tập có liên quan đến phân tích đa thức
thành nhân tử
9
1. Chứng minh đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x).
2. Tìm x
3. Tìm các giá trị của biểu thức
4. Tính nhanh
5. Phân tích đa thức thành nhân tử./.
phần IIi. kết luận
1.Đánh giá
10
Qua nghiên cứu về các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở
bậc THCS tôi nhận thấy các phơng pháp đa ra là phù hợp với đối tợng nhận
thức của học sinh. Khi giảng dạy về các phơng pháp phân tích ta nê trình bày
cách giải đối với tờng bài tập cụ thể.
2. Tính khả thi và các biện pháp mới
Khi đa các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào bậc THCS
nhất là đối với học sinh lớp 8 là rất phù hợp và cần thiết đối với việc phát triển
t duy toán học cho học sinh, song bên cạnh đó ngời giáo viên cần nghiên cứu
kĩ từng phơng pháp để việc giảng dạy đạt hiệu quả cao.
3. Những kiến nghị
Việc đa 5 phơng pháp phân tích cơ bản vào chơng trình toán THCS là
rất quan đúng với đối tợng học sinh lớp 8 để phát triển t duy toán học nhất là
đối với việc giải phơng trình nên chăng chúng ta đa ra thêm một số phơng
pháp nữa để học sinh tham khảo và vận dụng.
Sín Chéng, ngày 20 tháng 02 năm 2009

Ngời viết
11