Giao an on tot nghiep -Tich phan

Ng y so¹n: .à …………
Ngµy gi¶ng: ………
 C¸c ph¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm
I. Mơc tiªu.
-Gióp häc sinh hƯ thèng ho¸ toµn bé c¸c kiÕn thøc vỊ nguyªn hµm cđa mét hµm sè.
-VËn dơng b¶ng nguyªn hµm t×m ®ỵc nguyªn hµm cđa mét hµm sè.
-Sư dơng thµnh th¹o ph¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè vµ ph¬ng ph¸p tõng phÇn.
II. Néi dung.
Hoa  
 

-GV gäi hs ®øng dËy
nh¾c l¹i b¶ng c¸c
nguyªn hµm c¬ b¶n
GV cho hs lªn b¶ng
lµm
-Sư dơng c¸c nguyªn
Hµm c¬ b¶n
-Cho häc sinh nhËn
xÐt
1.TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
a.Kiến thức cần nắm vững :
Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên
hàm.
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ
CẤP THƯỜNG GẶP
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ
HP :
( )

u u x
=
1
2
2
1, .
2, , 1.
1
3, ln , 0.
4, .
5, , 0 1.
ln
6, cos . sin
7, sin . cos
8, tan
cos
9, cot
sin
x x
x
x
dx x C
x
x dx C
dx
x C x
x
e dx e C
a
a dx C a

a
x dx x C
x dx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
α
α
α
α
+
= +
= + ≠ −
+
= + ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫
( )
1
2
2
1, .
2, , 1.
1
3, ln , 0.
4, .
5, , 0 1.
ln
6, cos . sin
7, sin . cos
8, tan
cos
9, cot
sin
u u
u
u
du u C
u
u du C
du
u C u u x
u
e du e C

a
a du C a
a
u du u C
u du u C
du
u C
u
du
u C
u
α
α
α
α
+
= +
= + ≠ −
+
= + = ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
b.Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó
vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng
⇒
kết quả.
Ví du 1 : Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x
3
– 3x +
x
1
b) f(x) =
x
2
+
x
3

c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4
x cosx
Giải

1
-t×m nguyªn hµm cã
®iỊu kiƯn
-GV híng dÉn häc
sinh gi¶i
-Ph©n tÝch ®Ĩ ®a vỊ
nguyªn hµm c¬ b¶n
-Khi ®ỉi biÕn sè th× ta
ph¶i xem xÐt nªn ®Ỉt
c¸i g× ®Ĩ ®a vỊ tÝch
ph©n ®¬n gi¶n
-Sư dơng nguyªn hµm
tõng phÇn
a)
= = − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x C
b)
= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
x x
2 3
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln2 ln3
x x

x x
f x dx dx dx dx C
c)
+ +
= = = +
∫ ∫ ∫
6
5 5
(5 3) (5 3)
( ) (5x+ 3) (5x+ 3)
5 30
d x x
f x dx dx C
d)
= = = +
∫ ∫ ∫
5
4 4
sin
( ) sin x cosx sin x (sin )
5
x
f x dx dx d x C
Ví du 2 ï: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
Giải
Ta có F(x)= x –
1

3
cos3x + C. Do F(
6
π
) = 0
⇔

6
π
-
1
3
cos
2
π
+ C = 0
⇔
C = -
6
π
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
π
.
VÝ dơ 3: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè.

2
2 1
)
2
2 3 5
)
2 1
x
a dx
x
x x
b dx
x
−
+
− +
−
∫
∫

2
2
1
)
3 2
3 2
)
4 4
c dx
x x

x
d dx
x x
− +
−
+ +
∫
∫
c. T×m nguyªn hµm b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè:
Ph¬ng ph¸p gi¶i: ®Ỉt t=u(x)
VÝ dơ 4. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè

3
1
)
3 1
3
)
2 1
a dx
x
b dx
x
+
−
∫
∫

3
2 1`

)
1
3 1
)
1 2
x
c dx
x
x
d dx
x
−
−
+
+ +
∫
∫
d. T×m nguyªn hµm b»ng ph¬ng ph¸p tõng phÇn:
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sư dơng c«ng thøc:
= −
∫ ∫
. . .u dv u v v du
VÝ dơ 5. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè

) 2 .cos
) ( 1) sin 2
a x xdx
b x xdx+
∫
∫

2
) (2 1)
ln
)
x
c x e dx
x
d dx
x
+
∫
∫

Cu ! 
2
Bài tập đề nghò:
1. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y.

3
2
2 2 2
. (2 3 5) . . .
2
3
. sin . . ( 5) . .
2
2 1
x x
x

a x x dx b dx
x
x
c dx d e e dx e dx
x
− +
+
+
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin
2
x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng
−
3
8
khi x=
π
3

3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(
=
1
) 0
2

4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =

3 2
2
2 3 3 1
2 1
x x x
x x
+ + −
+ +
, biết F(
1
1)
3
=
Ng y so¹n: .à …………
Ngµy gi¶ng: ………
"# C¸c ph¬ng ph¸p tÝch ph©n-§ỉi biÕn sè
I. Mơc tiªu.
-Gióp häc sinh tÝnh ®ỵc tÝch ph©n cđa mét sè hµm ®¬n gi¶n.
-Sư dơng thµnh th¹o ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n b»ng c¸ch ®ỉi biÕn sè .
II. Néi dung.
Hoa 
 


1/Các kiến thức cần nắm vững :
3
GV nh¾c l¹i kiÕn
thøc vỊ tÝch ph©n
GV híng dÉn vµ
gäi häc sinh lªn

b¶ng lµm
-Sư dơng c¸c tÝnh
chÊt cđa tÝch ph©n
vµ nguyªn hµm c¬
b¶n
-GV nh¾c l¹i c¸c
bíc ®ỉi biÕn sè
d¹ng 1
GV híng dÉn häc
sinh gi¶i
-Lu ý c¸c trêng
hỵp ®ỉi biÕn d¹ng
1 thêng gỈp
-GV nh¾c l¹i c¸c
bíc tÝch ph©n d¹ng
2
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân.
Phương pháp tính tích ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè.
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng
bảng nguyên hàm thường dùng
⇒
kết quả.
Ví dụ : Tìm tích phân các hàm số sau:
a/
3
3

1
( 1)x dx
−
+
∫
b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
π
π
−
−
∫
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
Giải
a/
3
3

1
( 1)x dx
−
+
∫
=
3
3 3
4
3
1 1
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
− −
−
+ = + = + − − =
∫ ∫
b/
π π π
π π π
π
π
− − −
−
− = − = + =
∫ ∫ ∫

4 4 4
4 4 4
2 2
4
4
4 1
( 3sin ) 4 3 sin (4tan 3cos )
cos cos
x dx dx xdx x x
x x
=
π π π π
+ − − + −
(4 tan 3cos ) [4 tan( ) 3cos( )]
4 4 4 4
=8
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
=
1
2
1x dx
−
−
∫

+
2
1
1x dx−
∫
=
1
2
(1 )x dx
−
−
∫
+
2
1
( 1)x dx−
∫
=(x-
2 2
1 2
2 1
) ( )
2 2
x x
x
−
+ −
=5
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:

b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)
⇒
dx =
u (t). dt
′
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t =
β
( chọn
α
,
β
thoả đk đặt ở trên)
b3: Viết
b
a
f(x)dx
∫
về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :

1
2
0
1 x dx−
∫
§Ỉt x = sint
⇒
dx = cost.dt. Víi x
∈
[0;1] ta cã t
∈
[0; ]
2
π
§ỉi cËn: x = 0
⇒
t = 0 ; x= 1
⇒
t =
2
π
VËy
1
2
0
1 x dx−
∫
=
2 2
2

2
0
0 0
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
π π
π
= + +
∫ ∫
=
4
π
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

2 2
a x−
thì đặt x=
a
sint t
∈

[ ; ]
2 2
π π
−
4


2 2
a x+
thì đặt x=
a
tgt t
∈

( ; )
2 2
π π
−

2 2
x a−
thì đặt x=
sin
a
t
t
∈

[ ; ]
2 2
π π
−
\
{ }
0
Dạng 2: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx

b
a
ϕ ϕ
∫
bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:
b1: Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
'( ). dxx
ϕ
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
t =
ϕ
(a) ; x = b
⇒
t =
ϕ
(b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :
a/
1
2
0
2 1

1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
b/
1
2
0
3. .J x x dx= +
∫
Giải:

a/ Đặt t = x
2
+ x +1
⇒
dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =1 ; x = 1
⇒
t = 3. Vậy I=
3
3
1
1

ln ln3
dt
t
t
= =
∫
b/ Đặt t=
2
3x +

⇒
t
2
= x
2
+ 3
⇒
tdt = x dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =
3
; x = 1
⇒
t = 2 . Vậy J =
2
2
3
2
3

3
1
(8 3 3)
3 3
t
t dt = = −
∫
Cu ! 
Bài tập đề nghò: Bµi 1. TÝnh các tích phân sau:
1/I=
π
+
∫
2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
+
∫
1
0
( 2)
x
e dx
3/K=
+
∫
1
2
0

(6 4 )x x dx

Bµi 2. Tính các tích phân sau:
1/
π
∫
2
sin
0
.cos .
x
e x dx
2/
+
∫
1
0
1
x
x
e
dx
e
3/
+
∫
1
1 ln
e
x

dx
x
4/
+
∫
1
2 5
0
( 3)x x dx

Ng y so¹n: .à …………
Ngµy gi¶ng: ………
$%
C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n-Tõng phÇn
I. Mơc tiªu.
-Gióp häc sinh tÝnh ®ỵc tÝch ph©n cđa mét sè hµm ph©n thøc h÷u tØ.
-Sư dơng thµnh th¹o ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tõng phÇn .
II. Néi dung.
Hoa  
 

1/ Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
5
GV nh¾c l¹i
c«ng thøc tÝnh
tÝch ph©n tõng
phÇn vµ c¸c b-
íc tÝnh tÝch
ph©n tÝch ph©n
tõng phÇn

Nªn ®Ỉt u=?
dv=?
GV híng dÉn
vµ gäi häc sinh
lªn b¶ng lµm
GV híng dÉn
häc sinh c¸ch
ph©n tÝch ®Ĩ ®a
vỊ nguyªn hµm
c¬ b¶n
Công thức từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân
b
a
vdu
∫
suy ra kết quả.
Chú ý:
a) Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho
b

a
vdu
∫
dễ tính hơn
∫
b
a
udv
nếu khó
hơn phải tìm cách đặt khác.
b) Khi gặp tích phân dạng :
( ). ( ).
b
a
P x Q x dx
∫
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e
ax+b
, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta
đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I=
2
0
.cos .x x dx
π
∫
b/J=

1
.ln .
e
x x dx
∫
Giải
a/ Đặt :
cos . sin
u x du dx
dv x dx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
Vậy I=x cosx
2
0
π
-
2
0
sin .x dx
π
∫
= cosx
2
0

π
= -1
b/ Đặt :
2
1
.
ln
.
2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=

=


⇒
 
=


=



Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e
x e e e
dx xdx x
x
+
= − = − =
∫ ∫
2/ Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi
tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
3ln

2
1
1))12ln(
2
1
()
12
1
1(
12
2
2
1
2
1
2
1
+=−+=
−
+=
−
∫∫
xxdx
x
dx
x
x
=
1
ln3

2
.
6
Gv híng dÉn vµ
gäi häc sinh
lªn b¶ng lµm
Gv híng dÉn
GV híng dÉn
Gv híng dÉn
b/
2ln
6
23
)1ln4
23
()
1
5
4(
1
13
0
1
23
0
1
2
0
1
3

−=−+++=
−
+++=
−
++
−
−−
∫∫
xx
xx
dx
x
xxdx
x
xx
b) Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
*Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
dx
xx
x
∫
−−
−
2
1
2
6
)1(5

Giải
Đặt
( )
2
5 1
6
x
x x
-
- -
=
5 5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
- - + +
= + =
+ - + - + -

⇒
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2
⇒
A=3. cho x=3
⇒
B=2.
Vậy ta có:
dx
xx
x

∫
−−
−
2
1
2
6
)1(5
=
27
16
ln)3ln22ln3()
3
2
2
3
(
2
1
2
1
=−++=
−
+
+
∫
xxdx
xx
* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=

dx
xx
x
∫
++
+
1
0
2
44
12

Giải
CI:
∫∫∫∫
−
+
+−
+−
=
+−
+
+−
−
=
+−
+
1
0
2

1
0
2
2
2
1
0
2
1
0
2
)2(
5
44
)44(
)
44
5
44
42
(
44
12
x
dx
xx
xxd
dx
xxxx
x

dx
xx
x

=(ln
2
5
4 4 )
2
x x
x
− + −
−
1
0
5
ln4
2
= −

CII: Đặt
2 2 2 2
2 1 2 1 ( 2)
( 2) 2 1
4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
+ + - +
= = + = Û - + = +

- + - - - -

⇔
Ax -2A+B= 0
⇔

2 2
2 1 5
A A
A B B
= =
 
⇔
 
− + = =
 
Vậy
dx
x
x
dx
xx
x
)
)2(
5
2
2
(
44

12
2
1
0
1
0
2
−
+
−
=
+−
+
∫∫
=
1
0
5
(2ln x-2 - )
x-2
=
5
ln4
2
−
*Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
dx
xx
x

∫
−
++
−
0
1
2
42
32

Giải :
I=
J
xx
xxd
dx
x
dx
xx
x
5
42
)42(
3)1(
5
42
22
0
1
2

2
0
1
2
0
1
2
−
++
++
=
++
−
++
+
∫∫∫
−−−
Ta có
∫
−
++
++
0
1
2
2
42
)42(
xx
xxd

=
0
2
1
4
ln/x +2x+4/ ln4 ln3 ln
3
−
= − =

Tính J=
dx
x
∫
−
++
0
1
2
3)1(
5
Đặt x+1=
3tgt
(t
∈
;
2 2
π π
−
 

 
 
)
⇒
dx=
2
3(1 )tg t dt+
. Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
6
π

7
Gv nh¾c l¹i c¸c
d¹ng tÝch ph©n
l¬ng gi¸c thêng
gỈp
GV híng dÉn
vµ gäi häc sinh
lªn b¶ng lµm

⇒
J=
2
6 6
2
0 0
3(1 ) 3 3
1
(3 3 ) 3 3 6
tg t

dt dt
tg t
π π
π
+
= = −
+
∫ ∫
. Vậy I= ln
4
5(
3
−
3
3 6
π
−
)
3/ Tính tích phân hàm vô tỉ:
 Dạng1:
+
∫
( , )
b
n
a
R x ax b dx
Đặt t=
n
ax b+

 Dạng 2:
+
+
∫
( , )
b
n
a
ax b
R x dx
cx d
Đặt t=
n
ax b
cx d
+
+
Ví dụ: Tính tích phân I =
1
3
0
1 xdx−
∫
Giải
Đặt t =
3
1 x−

⇔
t

3
= 1-x
⇔
x= 1-t
3

⇒
dx= -3t
2
dt.
Đổi cận:
x=0
⇒
t=1; x=1
⇒
t=0. Vậy I=
1
0 1
4
2 3
1 0
0
3
.( 3 ) 3 3
4 4
t
t t dt t dt− = = =
∫ ∫
4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
 Dạng:

sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx
β β β
α α α
∫ ∫ ∫
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi
giải.
 Dạng:
sin ; cos
n n
xdx xdx
β β
α α
∫ ∫
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi
biến.
Ví dụ :
2 1 2 2
2 2
sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx
1 cos2
cos (cos )
2
n n n
n
n n
xdx x xdx x xdx
x
xdx x dx dx
β β β

α α α
β β β
α α α
+
= = −
+
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 Dạng:
(sin ).cos R x xdx
β
α
∫
Đặc biệt:
2 2 1
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =sinx
 Dạng:
(cos ).sin R x xdx
β

α
∫
Đặc biệt:
2 1 2
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
 Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
8
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
b/
2
2
0
sin xdx
π
∫
c/
2

3
0
cos xdx
π
∫
d/
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
Giải
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
=
π
π
+ = − + =
∫
4
2
0
0
1 1 cos4 cos2 1
(sin4 s 2 ) ( )

2 2 4 2 2
x x
x in x dx

b/
π π
π
π
−
= = − =
∫ ∫
2 2
2
2
0
0 0
1 cos2 1 sin2
sin ( )
2 2 2 4
x x
xdx dx x
c/I=
2
3
0
cos xdx
π
∫
=
π π

= −
∫ ∫
2 2
2 2
0 0
cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx
đặt u=sinx
⇒
du = cosx dx. x=0
⇒
u=0 ; x=
π
2

⇒
u=1
Vậy: I=
− = − =
∫
1
3
1
2
0
0
2
(1 ). ( )
3 3
u
u du u

d/J=
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
=
π π
= −
∫ ∫
2 2
2 2 2 2
0 0
cos sin .cos . (1 sin )sin .cos .x x x dx x x x dx
đặt u=sinx
⇒
du = cosx dx. x=0
⇒
u=0 ; x=
π
2

⇒
u=1
VËy: J=
− = − = − =
∫ ∫
1 1
3 5

1
2 2 2 4
0
0 0
2
(1 ) . ( ). ( )
3 5 15
u u
u u du u u du

Cu  !:
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
Bµi 1 : 1/
∫
1
3
0
.
x
x e dx
2/
π
∫
4
2
0
cos
x
dx
x

3/
∫
1
ln .
e
x dx
4/
−
∫
5
2
2 .ln( 1).x x dx
5/
π
∫
2
0
.cos .
x
e x dx

Bµi 2 : 1/ I=
+ −
∫
2
3 2
2
1
2 3x x x
dx

x
2/ J=
+ +
+
∫
4
2
3
2 5 3
1
x x
dx
x

9
Bµi 3 : 1/ I=
− +
∫
1
2
0
1
5 6
dx
x x
2/ I=
−
− +
∫
5

2
4
1 2
6 9
x
dx
x x
3/ I=
4
2
2
3 1
4 8
x
dx
x x
−
− +
∫

Bµi 4: 1/
−
∫
1
3
0
. 1x xdx
2/
−
−

∫
1
2
2
x
dx
x

Bµi 5 : 1/
π
∫
4
0
cos .x dx
2/
π
∫
2
3 3
0
sin .cos .x x dx
3/
2
4 4
0
sin .cos .x x dx
π
∫
4/
2

6
1
sin
dx
x
π
π
∫
.
Ng y so¹n: .à …………
Ngµy gi¶ng: ………
&
'()*+,,-,.,/01,2*+,3,4(56789:
I. Mơc tiªu.
-TÝnh ®ỵc diƯn tÝch h×nh ph¼ng
-TÝnh ®ỵc thĨ tÝch khèi trßn xoay quay trục Ox .
II. Néi dung.
Hoa  
 

GV nh¾c l¹i c¸c kiÕn
thøc vỊ diƯn tÝch
h×nh ph¼ng vµ c¸ch
tÝnh diƯn tÝch h×nh
ph¼ng
1/ Diện tích hình phẳng:
a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :

( )
b
a
S f x dx
=
∫
b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi
đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a;
10
GV nªu c¸c trêng
hỵp tÝnh diƯn tÝch
h×nh ph¼ng giíi h¹n
bëi hai ®êng cong
GV híng dÉn häc
sinh lµm
Gv híng dÉn häc
sinh lµm
x=b là :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là:
[ ( ) ( )]
b
a
S f x g x dx
= −
∫
TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x
1
∈
(a;b). Khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là:
1
1
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
x
b b
a a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
= − = − + −
∫ ∫ ∫
TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x
1
; x
2
∈
(a;b). Khi đó diện tích

hình phẳng cần tìm là:
[ ] [ ] [ ]
1 1 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + −
∫ ∫ ∫
x x x
a x b
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự
trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = sinx trên đoạn
[0;2
π
] và Ox.
Giải:
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=
( )
π π
∈ 0;2
vậy diện tích hình phẳng cần tìm
là:
S =
π π π
π
= +
∫ ∫ ∫
2 2

0 0
sin sin sinx dx xdx xdx
=
π π
π
+
2
0
cos cosx x
= 4
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
): y = x
2
–2 x , và (P
2
) y= x
2
+ 1 và
các đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
Pthđgđ : x
2
–2 x = x
2
+ 1
Û
2x +1= 0
Û
x = -1/2 .

Do đó :S=
∫ ∫∫
−
−
−
−
+−−++−−=+−−
2
1
1
2
2
2
1
222
2
1
22
))1()2(())1()2(()1()2( dxxxxdxxxxdxxxx
=
∫∫
−
−
−
+++
2
2
1
2
1

1
)12()12( dxxdxx
=
( ) ( )
1
2
2 2
2
1
1
2
x x x x
-
- -
+ + +
=
1 25 13
4 4 2
+ =
(dvdt)
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4 x , và đường thẳng (d):
2x+y-4 = 0.
Giải:
11
Ta có (P): y
2
= 4 x
⇔

x =
2
4
y
và (d): 2x+y-4 = 0
⇔
x=
4
2
y−
.
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là:
2
4
y
=
4
2
y−
⇔

2
4
y
y
=


= −


Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
2 2
2 2 2 3
2
4
4 4
4
( ) (2 ) (2 ) 9
2 4 2 4 4 12
y y y y y y
dy dy y
−
− −
−
− = − − = − − =
∫ ∫

2/ Thể tích của một vật thể tròn xoay
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C)
có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung
quanh trục ox là:
2
( )
b
a
V f x dx
=Π
∫

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay

xung quanh trục ox tạo ra.
Giải:
Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x
2
+ y
2
= R
2

⇒
y
2
= R
2
-x
2
Thể tích khối cầu là : V=
( )
2 2
R
R
R x dx
π
−
−
∫
=
3
2
3

R
R
x
R x
π
−
 
−
 
 
=
3
3
2
2
3
R
R
π
 
−
 
 
=
3
4
3
R
π
(đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x
2
–2x
Giải:
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :
2 2
2 2 4 3 2
1 1
( 2 ) ( 4 4 )S x x dx x x x dx
π π
− −
= − = − +
∫ ∫

=
5
2
4 3
1
4
( )
5 3
x
x x
π
−
− +
=
18

5
π
(đvtt)
Bài tập đề nghò:
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x
2
- 2x và trục
hoành.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H):
+
=
1x
y
x
và các đường
thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x
4
- 4x
2
+5 và
đường thẳng (d): y=5.
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x
3
–3 x , và y = x .
5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =
4
π

b/ y = sin
2
x ; y = 0 ; x = 0 ; x =
π

12
c/ y =
2
x
xe
; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
Bµi tËp thªm vÒ tÝch ph©n
Bµi 1. TÝnh: a,
1
2
0
1
3 2
dx
x x− +
∫
b,
1
2
0
7 13
4 5
x
dx

x x
−
− −
∫
Gi¶i a,
4 4 4
2
3 3 3
1 1 1 1
( )
3 2 ( 1)( 2) 2 1
dx dx dx
x x x x x x
= = −
− + − − − −
∫ ∫ ∫
4
4
(ln 2 ln 1) ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2ln 2 ln 3 ln
3
3
= − − − = − − + = − =x x
b,
1 1 1
2
0 0 0
7 13 10 11
4 5 3( 1) 3( 5)
x
dx dx dx

x x x x
−
= +
− − + −
∫ ∫ ∫
1 1
10 11 10 11 11 1
ln( 1) ln 5 ln 2 ln 4 ln 5 (10ln 2 11ln 20)
0 0
3 3 3 3 3 3
= + + − = + + = +x x
Bµi 2. TÝnh: a,
3
3
0
sin
cos 2
x
dx
x
π
+
∫
b,
1
0
1x xdx−
∫
c,
2

1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
Gi¶i. a,
3
3
0
sin
.
cos 2
x
dx
x
π
+
∫
§Æt
cos sint x dt xdx
= ⇒ = −
. §æi cËn
1
0 1;
3 2
= ⇒ = = ⇒ =x t x t
π

1
1 1
3 2 2
3 2
1 1
0 1
2 2
sin (1 ) 4 3 3
(2 )
cos 2 2 2 2
− − − −
= − = = − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
x t dt t
dx dt t dt
x t t t
π
2
1
1 1 5
(2 3ln 2 ) 2 3ln 3 (1 3ln )
1
2 2 8 2
2
= − − + = − − − − −
t
t t
5 6
3ln

8 5
= −
b,
1
0
1x xdx−
∫
§Æt
2
1 1 2 2t x t x tdt dx dx tdt= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
§æi cËn
0 1; 1 0= ⇒ = = ⇒ =x t x t
1 0 1
2 2 4
0 1 0
1 (1 ) 2 (2 2 )x xdx t t tdt t t dt− = − − = −
∫ ∫ ∫
3 5
1
2 2 2 2 4
( )
0
3 5 3 5 15
t t= − = − =
c,
2
1
1 ln
e
x

dx
x
+
∫
§Æt
1
lnt x dt dx
x
= ⇒ =
§æi cËn
1 0; 1= ⇒ = = ⇒ =x t x e t
. VËy:
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
=
1
3
2
0
1
4
(1 ) ( )
0

3 3
t
t dt t+ = + =
∫
Bµi 3. TÝnh: a,
1
0
x
xe dx
∫
b,
1
0
( 1)x sinxdx+
∫
c,
1
ln
e
xdx
∫
Gi¶i a,
1
0
x
xe dx
∫
§Æt
x x
u x du dx

dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
. VËy:
1
0
x
xe dx
∫
=
1
0
1 1
( ) 1 1
0 0
x x x
xe e dx e e e e− = − = − + =
∫
13
b,
2
0
( 1)x sinxdx
π
+
∫

. §Æt
1
cos
u x du dx
dv sinxdx v x
= + =
 
⇒
 
= = −
 
2 2
0 0
( 1) (( 1) ) cos 1 2
2 2
0 0
x sinxdx x cosx xdx sinx
π π
π π
+ = − + + = + =
∫ ∫
c,
1
ln
e
xdx
∫
. §Æt
1
lnu x

du dx
x
dv dx
v x

=
=


⇒
 
=


=

. VËy:
1
ln
e
xdx
∫
=
1
( ln ) 1
1 1
e
e e
x x dx e x− = − =
∫

Bµi 4. TÝnh tÝch ph©n sau:
1
2
0
2 4
1
x x
dx
x
+ +
+
∫
.
Gi¶i:
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1
2 4 3 3 1
( 1 ) ( 1) 3ln 1 1 3ln 2
0 0
1 1 1 2 2
 
+ +
= + + = + + = + + + = + +
 ÷
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫
x x x

dx x dx x dx dx x x
x x x
Bµi 5. TÝnh tÝch ph©n sau:
1
3
0
2 2
2
x x
dx
x
− +
−
∫
Gi¶i:
( )
1 1 1 1
3
2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x x
dx x x dx x x dx dx
x x x
− +
 
= − − + + = − − + + =
 ÷

− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫

3
2
1 1
1 2
2 2 ln 2 1 2 2ln 2 2 ln 2
0 0
3 3 3
x
x x x
 
= − − + − − = − − + + = +
 ÷
 
Bµi 6. TÝnh tÝch ph©n sau:
2
2
0
1
4
dx
x +
∫
.
Gi¶i: §Æt
( )
2 2 2 2 2

2
4
2 tan 4 tan 4 4 4 tan 4 1 tan =
cos
= ⇒ = ⇒ + = + = +x t x t x t t
t
2
2 tan 2 .
cos
∗ = ⇒ =
dt
x t dx
t
0 0; 2 .
4
∗ = ⇒ = = ⇒ =x t x t
π
Ta cã:
2
2
4 4
2 2
0 0 0
1 cos 1 1 1
.2 = .
4
4 4 cos 2 2 2 4 8
0
t dt
dx dt t

x t
π π
π
π π
= = = =
+
∫ ∫ ∫
Bµi 7. TÝnh tÝch ph©n sau:
3
2
2
0
9
dx
x−
∫
.
Gi¶i: §Æt
( )
2 2 2 2 2 2
3sin 9sin 9 9 9sin 9 1 sin 9cosx t x t x t t t∗ = ⇒ = ⇒ − = − = − =
2 2
9 9cos 3 cos .x t t⇒ − = =
3
3sin 3cos 0 0; .
2 6
x t dx tdt x t x t
π
∗ = ⇒ = ∗ = ⇒ = = ⇒ =
Khi ®ã

3
6 6
2
2
0 0 0
1
3cos .
6
3 cos 6
9
0
dx
tdt dt t
t
x
π π
π
π
= = = =
−
∫ ∫ ∫
Bµi 8. TÝnh tÝch ph©n sau:
( )
cos
0
sin
x
e x xdx
π
+

∫
.
14
Giải: Ta có:
( )
cos cos
0 0 0
sin sin .sin+ = + = +

x x
e x xdx e xdx x xdx I J

( )
( )
cos cos cos cos cos0
0 0
1
sin cos .
0
= = = = =

x x x
I e xdx e d x e e e e
e



0
.sinJ x xdx

=

Đặt
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= =



= =

( ) ( )
0 0
.sin cos cos cos 0.cos 0 sin
0 0
J x xdx x x xdx x



= = + = + =

Vậy:
( )
cos
0
1
sin
x
e x xdx I J e

e


+ = + = +

Bài 9. Tính tích phân sau:
( )
6
0
sin 6 sin 2 6x x dx



.
Giải:
( ) ( )
6 6 6 6 6
0 0 0 0 0
1
sin 6 sin 2 6 sin 6 sin 2 6 cos 4 cos8 6
2
x x dx x xdx dx x x dx dx

= = =

sin 4 sin8 3 3 3 3
6
6 6
4 8 8 16 16
0 0

x x
x



= + =
ữ

Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
y = x
2
+ 1 , x + y = 3.
Giải: Đặt : f
1
(x) = x
2
+ 1 , f
2
(x) = 3 - x.
Xét phơng trình : f
1
(x) - f
2
(x) = 0 x = -2 , x = 1.
Vậy diện tích cần tìm là: S=
1 1 1
2 2
1 2
2 2 2
9

f (x) - f (x) 2 ( 2) .
2
dx x x dx x x dx

= + = + =

Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
y = x
2
+ 2, y = 3x.
Giải S =
6
1
23
2
1
2
=+

dxxx
Bài 13. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau :
y = 0, y =
xx sin
, x = 0, x =
2

.
Giải: V =

2

0
sin


xdxx
Đặt :



=
=
xdxdv
xu
sin




=
=
xv
dxdu
cos
V =

2
0
sin

xdxx
=












2
0
2
0
cos)cos(



xdxxx
= .
15