Chuyên đề Mũ và lôgarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.95 KB, 10 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN
GV: LÊ MINH HƯỞNG
*****===*****
CHUYÊN ĐỀ:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
NĂM HỌC: 2009-2010
PHƯƠNG TRÌNH-BẤT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
A. MỤC TIÊU :
• Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ
thi THPT
• Không đầu tư nhiều thời gian vào chuyên đề này vì học sinh còn chuẩn bị cho
các bộ môn khác
• Từ bài tập cơ bản nâng lên các bt mức độ cao hơn
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Lũy thừa:
nnn
n
n
n
nmnm
nm
n
m
nmnm
xyyx
y
x
y
x
xx
x
x
x
xxx
)(.
)(
)(
.
.
=
=
=
=
=
−
+
Logarit:
01log
1log
log
1
log
loglog
logloglog
)(logloglog
=
=
=
=
=−
=+
a
a
a
a
aa
aa
aaa
a
xx
xx
y
x
yx
xyyx
α
α
α
α
C. NỘI DUNG CHÍNH:
PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT
Dùng đễ ôn tập trong chương trình bồi dưởng sọc sinh yếu , ôn thi tốt nghiệp THPT
I)Phương trình mũ
Dạng cơ bản
αα
a
xf
xgxf
Logxfa
xgxfaa
=⇔=
=⇔=
)(
)()(
)(
)()(
Tập trung vào bốn dạng thường gặp sau đây:
1)Tích qui về cùng cơ số
Khi giài ta dựa theo dạng cơ bản đễ lấy nghiệm
TD Giải các phương trình sau đây
a) 2
x+1
.4
x-1
.
x
x
16
8
1
1
=
−
2
446
22
433221
=⇔
=−⇔
=⇔
+−−++
x
xx
xxxx
3
2
9
4
2
1
9
4
942
242
422
43
43.3.3
27
4
9.3)
3
333
3
3
22
322
1
LogLogx
LogLogL ogx
Logx
Logx
b
x
xxx
x
xx
==⇔
=−=⇔
−=⇔
=+⇔
=⇔
=⇔
=
+
−
−
2) Tổng qui về cùng cơ số
Thông thường ta đưa về cơ số nguyên dương bé nhất và thu gọn thành phương trình
bậc hai
TD Giải các phương trình sau đây ;
−=
=
⇔
=−+
>=
=+
3
2
06:
)0(2
642)
2
t
t
ttptr
ttĐăt
a
x
xx
Do t > 0 nên ta chỉ nhận nghiệm t = 2
Suy ra 2
x
= 2 . KQ x = 1
xxx
b 8.21227) =+
Chia hai vế cho 8
x
ta được phương trình
2
2
3
2
3
2
8
12
8
27
3
=
+
⇔
=
+
xx
xx
Đặt
x
t
=
2
3
( t > 0 )
Ptr : t
3
+ t - 2 = 0
Ta được nghiệm duy nhất t = 1
1
2
3
=
⇔
x
KQ x = 0
3) Tích chứa cơ số khác nhau
Dùng phương pháp logarit hóa ( Lấy log hai vế theo cơ số thích hợp )
TD Giải các phương trình
a)
12.3
2
=
xx
Đặt t = a
x
( t > 0 )
Suy ra a
nx
= t
n
Nếu a.b = 1
Đặt t = a
x
thì b
x
= 1
/ t
11
Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2
Ta được phương trình
023
2
22
=+
xx
LogLog
⇔
03
2
2
=+ xxLog
−=
=
⇔
=+⇔
3
0
0)3(
2
2
Logx
x
xLogx
−−
=
=
⇔
=−−+⇔
+=+⇔
+=+⇔
=⇔
=
5
51
1
05log1)5(log
5log15log
5252
)5.2()5.2(
105.2)
2
2
2
2
2
22
2
2222
22
2
2
2
Log
Log
x
x
xx
xx
LogLogLogLog
LogLog
b
xx
xx
xx
4) Tổng không đưa về được cùng cơ số
Tính nhẩm tìm nghiệm x
0
của phương trình
Chứng tỏ nghiệm đó là duy nhất
TD Giải các phương trình:
a) 2
x
+ 3
x
= 5
Phương trình nhận nghiệm x = 1
2
x
+ 3
x
= 5
⇔
2
x
+ 3
x
- 5 = 0
Xét hàm số f(x) = 2
x
+ 3
x
– 5 ( xác định với mọi x )
Ta có f
/
(x) = 2
x
ln2 + 3
x
ln3 > 0
)( x∀
Suy ra đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
b) 2
x
+ 3
x
= 5
x
Phương trình nhận nghiệm x = 1
Chia hai vế của phương trình cho 3
x
xx
xx
xgxf
ptr
=+
=
=+
3
5
)(&1
3
2
)(
3
5
1
3
2
:
Cả hai hàm số đều có tập xác định là R
0
3
5
ln
3
5
)(&0
3
2
ln
3
2
)(
//
>
=<
=
xx
xgxf
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến
Do đó đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại mọt điểm duy nhất
KL phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1
II) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
DẠNG CƠ BẢN :
α
α
axfxfLog
xgxf
xg
xf
xgLogxfLog
aaCho
a
aa
=⇔=
=
>
>
⇔=
≠>
)()(
)()(
0)(
0)(
)()(
1&0
Ta tập trung vào ba dạng sau đây :
1) Tổng qui vế cùng cơ số
Thu gọn về dạng cơ bản
TD Giải các phương trình
a)
6
11
842
=++ xLogxLogxLog
ĐK x > 0. Đưa về cơ số 2 , ta được phương trình
2
1
6
11
6
11
6
11
)
3
1
2
1
1(
6
11
3
1
2
1
2
2
2
222
=⇔
=⇔
=⇔
=++⇔
=++
x
xLog
xLog
xLog
xLogxLogxLog
−=
=
⇔
=−+⇔
=+⇔
=+
>
=++
)(9
3
0276
27)6(
3)6(log:
0:
3)6(log2log)
2
3
93
loaix
x
xx
xx
xxptr
xđk
xb
x
2) Đặt ẩn phụ : Khi trong ptr chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa
tích hoặc thương
TD: giải ptr:
1
log5
1
log1
2
) =
−
+
+ xx
a
Đk:
≠
≠
>
−1
5
10
10
0
x
x
x
Đặt t = logx
Ptr :
1
5
1
1
2
=
−
+
+ tt
Thu gọn:
065
2
=+− tt
==⇔=
==⇔=
⇔
=
=
⇔
1000103log
100102log
3
2
3
2
xx
xx
t
t
3)log2)(log1()
42
=−+ xxb
Đk:
0>x
Đặt
xt
2
log=
Ptr :
3)
2
1
2)(1( =−+ tt
Thu gọn:
023
2
=+− tt
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
4
2
2log
1log
2
1
2
2
x
x
x
x
t
t
3) Tổng cơ số khác nhau :
Tìm nghiệm x
0
Chứng tỏ ptr có một nghiệm duy nhất x
0
TD: giải ptr:
3)1(loglog
32
=−+ xx
ĐK :
1
>
x
Ptr có nghiệm x = 4
Ptr :
03)1(loglog
32
=−−+ xx
Xét hs
3)1(loglog)(
32
−−+= xxxf
TXĐ:
);1( ∞=D
03ln
1
1
2ln
1
)(
/
>
−
+=
xx
xf
Suy ra hs f(x) đồng biến
Do đó ptr có duy nhất một nghiệm x = 4
Bài tập tương tự:
Bài 1: giải các ptr mũ:
a.
4
2
525.5
+
−
=
x
xx
b.
279.3
2
=
xx
c.
31
128.25,032
−+
=
xx
d.
2655
31
=+
−− xx
e.
xxx
96.24.3 =−
f.
14842 =++
xxx
g.
0273.43
582
=+−
++ xx
h.
6)12()12( =−++
xx
i.
xxx
543 =+
j.
2543 =+
xx
k.
07.365.3575
22
=+−−
xxxx
l.
xxxx
)5,0(241252.3)5,0(88
331
−=++
++
Bài 2: giải các ptr logarit:
a.
2
5
logloglog
4
3
82
=++ xxx
b.
[ ]
1)1(log
3
=−xx
c.
1)1(loglog
55
=−+ xx
d. log(
)3log()76
2
−=+− xxx
e.
15log).5(log
22
5
=
x
x
f.
364log16log
2
2
=+
x
x
g.
07log7log
914
=+
+ xx
h.
2)652(log
2
5
=−−
−
xx
x
i.
)12log()2021log(1)10log(5log −−−=−++ xxx
j.
4loglog3log
22
−=− xxx
k.
0
6
7
log2log
4
=+− x
x
e.
x
x
x
x
8log
4log
2log
log
16
8
4
2
=
III) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Khi giải chủ yếu xét theo tính đơn điệu của hàm số mũ
Các dạng cũng tương tự như phương trình mũ
TD1 Giải các bất phương trình sau đây (Dạng
ba
xf
>
)(
)
>
<
⇔
>−⇔
>+−⇔
>⇔
>
+−
+−
2
0
02
222
33
93)
2
2
222
22
2
2
x
x
xx
xx
a
xx
xx
9
50
log
9
50
2
502.9
252.4
2
2
2522)
2
21
≥⇔
≥⇔
≥⇔
≥+⇔
≥+
+−
x
b
x
x
x
x
xx
3log
3
3
2
3.32
32)
3
2
1
<⇔
>
⇔
>⇔
>
+
x
c
x
xx
xx
TD2 Giải các bất phương trình (Dạng đặt ẩn phụ )
a) 4
x
– 3.2
x
+ 2 > 0
Đặt t = 2
x
( t > 0)
Phương trình: t
2
– 3t + 2 > 0
>
<
⇔
>
<
⇔
>
<
⇔
1
0
22
12
2
1
x
x
t
t
x
x
b) 2
x+1
+ 2
-x
– 3 < 0
0322.2 <−+⇔
−xx
Đặt t = 2
x
( t > 0 )
Bất phương trình :
03
1
2 <−+
t
t
01
12
2
1
1
2
1
0132
2
<<−⇔
<<⇔
<<⇔
<+−⇔
x
t
tt
x
IV) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Khi giải ta cũng dựa theo tính chất đơn điệu của hàm số Logarit1
Chú ý các dạng thường gặp sau đây
<<<<
>>>
⇔>
<<<
>>
⇔>
)10()()(0
)1(0)()(
)()(*
)10()(
)1()(
)(*
akhixgxf
akhixgxf
xgLogxfLog
akhiaxf
akhiaxf
xfLog
aa
a
α
α
α
TD Giải các phương trình :
[ ]
3
41
045
2)2()3(
1)2()3(
3
2
3
02
03
:
1)2()3()
2
2
22
>
≤≤⇔
≤+−⇔
≤−−⇔
≤−−⇔
>⇔
>
>
⇔
>−
>−
≤−+−
xĐKDo
x
xx
xx
xxLogBptr
x
x
x
x
x
ĐK
xLogxLoga
Nên bất phương trình có nghiệm :
43 ≤< x
)86()114()
2
2
1
2
1
++<+ xxLogxLogb
Do cơ số a < 1 .Nên bất phương tương đương với
−==<−+
−=−=>++
−=>+
⇔
++>+
>++
>+
)3,1(032
)2,4(086
)
4
11
(0114
86114
086
0114
2
2
2
2
xxxx
xxxx
xx
xxx
xx
x
x
∞−
-4 -3
4
11
−
-2 1
∞
114 +x
- - - 0 + + +
86
2
++ xx
+ 0 - - - 0 + +
32
2
−+ xx
+ + 0 - - - 0 +
Chọn nghiệm thuộc miền mang dấu
−
+
+
Kết quả: nghiệm của ptr: là
)1;2(−=S
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Giải các bất ptr mũ:
a.
2833
12
≤+
−+ xx
b.
43.2
12
>
−+ xx
c.
448222
322212
≥++
−−− xxx
d.
0439
1
>−+
+xx
e.
05252
1121
>++−
+−++ xxxx
f.
455
12
+>
+ xx
g.
0322
1
<−+
−xx
h.
1)1(
2
2
>−
− xx
x
Bài 2: Giải các bất ptr logarit :
a)
)1(log)53(log
33
+>− xx
b)
3log)2(loglog
2,052,0
<−− xx
c)
06log5log
3
2
3
≤+− xx
d)
[ ]
11(loglog
2
2,02
<−x
e)
0)2(log2)56(log
3
2
3
1
≥−++− xxx
f)
2
1
log1
log1
2
4
≤
+
−
x
x
g)
2)366(log
1
5
1
−≥−
+ xx
h)
)2log()2log(
22
−>−+ xxx
V) Một số pt & bptr mũ, log trong đề thi TNPTvà ĐH
1) Tốt nghiệp phổ thông
Giải các phương trình sau đây :
a) 2
x+2
– 9.2
x
+ 2 = 0 (2006)
b)
)2007(5)4(
24
=+ xLogxLog
c) 3
2x+1
- 9.3
x
+ 6 = 0 (2008)
d) 25
x
- 6.5
x
+ 5 = 0 (2009)
2) Đại học
e) Giải phương trình
)2006(0422.42
2
22
D
xxxxx
=+−−
−+
f) Giải bất phương trình
)2006()12(124)1444(
2
555
BLogLogLog
xx
++<−+
=
g) Giải bất phương trình
)2007(2)32()34(2
3
13
AxLogxLog ≤++−
h) Giải phương trình
)2007(0
32.4
1
2)272.154(
22
DLogLog
x
xx
=
−
+++
i) Giải bất phương trình
)2008(0
4
2
67,0
B
x
xx
LogLog <
+
+
j) Giải bất phương trình
)2008(0
23
log
2
2
1
D
x
xx
≥
+−
HẾT
