Tải bản đầy đủ (.doc) (7 trang)

Chuyen de mu va logarit

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (116.87 KB, 7 trang )

Chuyên đề : Phơng trình mũ và phơng trình lôgarít
A. Ph ơng trình mũ.
I. Các dạng phơng trình cơ bản thờng gặp
1. Phơng trình dạng a
f(x)
= b ( 1) ( 0 < a

1 )
- Nếu b

0 phơng trình vô nghiệm
- Nếu b > 0 (1)

f(x) = log
a
b
VD
1
: Giải phơng trình : 3
2x -1
= 6 ( 1)
Giải: (1)

2x -1 = log
3
6


2x = 1 + log
3
6




x = 1 +
2
1
log
3
2
2. Phơng trình dạng a
f(x)
= a
g(x)
(2) ( 0 < a

1)
(2)

f(x) = g(x)
VD
2
: GPT
5
1
2

x
= (
125
1
)

x -1
(1)
Giải :( 1)


5
1
2

x
= 5
-3x + 3


x
2
-1 = -3x + 3


x
2
+ 3x - 4 = 0





=
=
4

1
x
x
3. Phơng trình dạng : [ f(x) ]
g(x)
= [ f(x)]
h(x)
(3)
(3)





>
=
0)(
0)]()(].[1)([
xf
xhxgxf
VD
3
: Giải các phơng trình:
a, x
x + 1
=
x
x
1
2


b,
( )
2
2
2

+
x
x
x
= ( x -2)
11x - 20
c,
3
1
198
2


+
x
x
x
x
= ( x -3)
2
d, (-4x
2
+ 2x +1)

1 -x
=
( )
124
2
1
++

x
x
x
4. Phơng trình dạng: a
f(x)
= b
g(x)
(4) ( 0< a, b

1)
(4)

f(x) = g(x)log
a
b
VD
4
: GPT
2
2
x
= 3

x - 1
II. Các ph ơng pháp giải ph ơng trình mũ
1. Ph ơng pháp biến đổi đ a về các PT cơ bản
Bài tập: Giải các phơng trình sau
1.
)(2
3535
211
2222
+
=
xxxx
3.
816
5
5
10
10
.125,0

+

+
=
x
x
x
x
2. 18
2x

.2
-2x
.3
x+1
= 3
x 1
4.












+
=
7
1
5
2
2314 xx
2.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.
Bài Tập: Giải các phơng trình sau:
1. ( 2 +
3

)
x
+ ( 2 -
3
)
x
= 4 ( ĐHTH.HCM- 94)
2. 125
x
+ 50
x
= 2
3x + 1
( ĐHQGB-98)
3. 25
x
+ 10
x
= 2
2x + 1
( HVNH-98)
4. 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
( ĐHQG-97)
5. ( 5 -
21

)
x
+ ( 5 +
21
)
x
= 2
x + 3
( ĐHQG-D-97)
6. ( 2 +
3
)
x
+ ( 7 + 4
3
).( 2 -
3
)
x
= 4.( 2 +
3
) ( ĐHNNHN-98)
1
7.
1
444
7325623
222
+=+
+++++

xxx
xxx
(HVQHQT-D-99)
8. 4
3 + 2cosx
- 7.4
1 + cosx
- 2 = 0
9. (
347
+
)
cosx
+ (
347

)
cosx
= 4 (ĐHLuật-99)
10. 6.4
x
- 13.6
x
+ 6.9
x
= 0 (ĐHBD-A-2001)
11. 3
2x + 1
= 3
x + 2

+
33
22
.61
+
+
xx
12. (cos72
o
)
x
+ (cos36
o
)
x
= 3.2
-x
13. 2
3x
- 6.2
x
-
2
)1(3
1

x
+
2
12

x
= 1 (ĐHYH N-2000)
14. Cho phơng trình : 4
x
- 4m( 2
x
-1) = 0
a. Giải PT với m = 1.
b. Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm. (ĐHNN-97)
15. Cho phơng trình: 4
x
- m.2
x + 1
+ 2m = 0
a. Giải PT khi m = 2
b. Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
+ x
2
= 3
16.(ĐH Ngoại thơng-98). Tìm m để PT sau có bốn nghiệm phân biệt:

1
24
34
5

1
2
+=






+
mm
x
x
17.(ĐHNN-2000) . Tìm m để PT sau có hai nghiệm trái dấu:
(m + 3).16
x
+ ( 2m -1).4
x
+ m + 1 = 0
18.(ĐHĐL-99) . Cho PT: (
5
+ 1)
x
+ a.(
5
- 1)
x
= 2
x
a. Giải PT khi a =

4
1
b. Tìm mọi giá trị của a để PT có đúng một nghiệm.
19.(ĐHGTVT-95). CMR không có giá trị nào của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm trái
dấu: m.4
x
+ (2m +3).2
x
- 3m + 5 = 0.
20.(ĐHBK-90) .Xác định tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
1
2
2
3
1
2
++=







a
x
a
x
.
3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

- Thờng đợc áp dụng đối với PT vừa có ẩn ở hàm số mũ và vừa chứa ẩn ở hệ số
VD
1
: Giải PT : 9
x
+ 2(x- 2).3
x
+ 2x - 5 = 0 (1) (ĐH Thơng mại- 95)
Giải : Đặt t = 3
x
( t >0) ta đợc PT : t
2
+ 2(x - 2).t + 2x - 5 = 0 (2)
Coi PT(2) là PT bậc hai ẩn t có

,
= (x -3)
2






=
=
xt
loait
25
)(1

- Với t = 5 -2x ta có 3
x
= 5 - 2x (3) .Ta thấy VT(3) là hàm đồng biến trên R còn VP(3) là hàm nghịch biến trên
R , do đó PT(3) có không quá 1 nghiệm.Mặt khác ta thấy x = 1 là nghiệm của (3).Vậy (3) có nghiệm duy nhất x
= 1 do đó PT(1) có nghiệm duy nhất là x = 1.
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 25
x
-2.(3 - x).5
x
+ 2x - 7 = 0 ( ĐHTCKT 97)
2. 4
x
+ (2x - 5).2
x
+ 6x - 24 = 0
4. Ph ơng pháp biến đổi đ a về ph ơng trình tích .
VD: Giải phơng trình: 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
(1) (ĐHQG-D-2000)
Giải: (1)

8(3
x
- 3) - 2
x

.(3
x
- 3) = 0


(3
x
- 3).(8 - 2
x
) = 0







=
=
8
3
2
3
x
x




=

=

3
1
x
x
2
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 12.3
x
+ 3.15
x
- 5
x +1
= 20 (ĐH Huế-D-2001)
2. x
2
.2
x +1
+ 2
23
+
x
= x
2
.2
43
+
x
+ 2

x 1
3. 5
2x +1
+ 7
x +1
- 175
x
- 35 = 0
5. Các ph ơng pháp không mẫu mực
- Sử dụng 2 phơng pháp chính sau:
+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
+) Đánh giá cả hai vế
- Ta sử dụng các kết quả sau:

Xét PT f(x) = a (1) có tập xác định là D ( a là hằng số). Nếu trên D mà f(x) đơn điệu thì nếu (1) có nghiệm
trên D thì nghiệm đó là duy nhất .


Xét PT f(x) = g(x) (2) có tập xác định là D. Nếu f(x) và g(x) có tính
đơn điệu ngợc nhau ở trên D thì PT(2) nếu có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất trên D.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1. 3
x
= -x + 4
2. 2
x
= 1 +
3
2
x

( ĐH Kiến trúc TP.HCM-95)
3. (
23

)
x
+ (
23
+
)
x
= (
5
)
x
(HVQHQT-97)
4. 3
x
+ 4
x
= 5
x

5.
x
x
x
x
x
2

22
4
3
2
2
2
2
+=++
6. 2
x
+ 2
-x
+2 = 4x -x
2
7.
( )
1
22
2
1
2


=+

x
xx
x
8. 4
sinx

- 2
1 + sinx
.cos(xy) +
2
y
= 0
B: Phơng trình lôgarit.
I. Các ph ơng trình cơ bản
1. Phơng trình dạng : log
a
f(x) = b (1)
(1)

f(x) = a
b
2. Phơng trình dạng : log
a
f(x) = log
a
g(x) ( 2) (0< a

1)
(2)



=
>

)()(

0)(
xgxf
xf
hoặc



=
>
)()(
0)(
xgxf
xg
3.Phơng trình dạng: log
f(x)
g(x) = log
f(x)
h(x) (3)
(3)





=
>
<

)()(
0)(

1)(0
xhxg
xg
xf
hoặc





=
>
<
)()(
0)(
1)(0
xhxg
xh
xf
4.Phơng trình dạng: log
a
f(x) = log
b
g(x) (0 < a
1

b
)
- Cách giải: Đặt t = log
a

f(x)





=
=

b
a
t
t
xg
xf
)(
)(


phơng trình ẩn t
Bài tập : Giải các phơng trình sau:
1. log
3
(x
2
+ 4x + 3) = 1
2. log
3
( x
2

- 5x +6) - log
3
(x - 3) = 0
3. log
3
(3
x
- 8) = 2 - x
4. log
2
(152 + x
3
) = 3log
2
( x + 2)
3
5. log
2x - 1
12
2
4
+
+
x
x
= 1
6. log
x +1
(x
2

+ x - 6)
2
= 4
7. log
x + 3






+
x
x
2
213
=
2
1
8. log
2
( 1 +
x
) = log
3
x
9. log
2
(1 +
3

x
) = log
7
x
II. Các ph ơng pháp giải PT lôgarit.
1. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ .
VD: Giải phơng trình: log
2
(4
x + 1
+ 4).log
2
(4
x
+ 1) =
8
1
log
2
1
(1
Giải: (1)

log
2
4(4
x
+ 1) . log
2
(4

x
+ 1) = 3


[ 2 + log
2
(4
x
+ 1) ].log
2
(4
x
+ 1) = 3
Đặt t = log
2
(4
x
+ 1), ta có PT: (t + 2).t = 3


t
2
+ 2t - 3 = 0





=
=

3
1
t
t
- Với t = 1

log
2
(4
x
+ 1 ) = 1


4
x
+ 1 = 2


4
x
= 1
0
=
x
- Với t = -3

log
2
(4
x

+ 1) = -3


4
x
+ 1 =
8
1
(vô nghiệm)
2. Ph ơng pháp lôgarit hoá.
VD: Giải các phơng trình sau:
1.
x
x 2
log
4

=
2
)1(3
log
4

x

2. x
lgx
= 1000x
2


3.
11
1
11
1
2
lg
3lg
3
2
++

+
=
++
xx
x
x
x

4.
11
3lg
2
2
lg

=

xx

xx

3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn .
VD: Giải các phơng trình sau:
1. (x + 2)
016)1()1(4)1(
loglog
3
2
3
=++++
xxx

2.
062)1(
loglog
2
2
2
=++
xxxx

4 .Ph ơng pháp không mẫu mực.
VD: Giải các phơng trình sau:
1. log
2
(2 - x
2
) + log
3

(3 - x
2
) + log
4
(4 - x
2
) = x
2
- 4x +7
2. 2
2x +1
+ 2
3 - 2x
=
)444(
4
2
3
log
+
xx

3. log
3
(x
2
+ x +1) - log
3
x = 2x - x
2


4. lg(x
2
- x - 12) + x = lg(x + 3) + 5
Bài tập tổng hợp
Giải các ph ơng trình sau:
1. log
5
x + log
3
x = log
5
3.log
9
225 (ĐHYHN-1999)
4
2. 2lg(x - 1) =
2
1
.lgx
5
- lg
x
(§H-1970)
3. 2
)112(.
logloglog
33
2
9

−+=
xxx
(§HXD –1998)
4. log
x +3
(3 -
x
x
2
21
+−
) =
2
1
( §HQG-96)
5. log
2
(x
2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3 (§HQG-A-98)
6. log
5
(5
x

-1).log
25
(5
x + 1
- 5) = 1 ( §HSP Hµ Néi 2 -98)
7. log
a
(ax).log
x
(ax) =
)
1
(
log
2
a
a
(§HSP Vinh-98)
8. log
4
(x + 1)
2
+ 2 =
x

4
log
2
+ log
8

(4 + x)
3
(§HBK-2000)
9. log
2
(x
2
- x + 1) + log
2
(x
2
+ x + 1) = log
2
(x
4
+ x
2
+ 1) + log
2
(x
4
- x
2
+ 1)
(HVQHQT-D-2000)
10. lg
4
(x - 1)
2
+ lg

2
(x - 1)
3
= 25 (§H Y Hµ Néi –2000)
11. log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
x) = 2 (§H Ngo¹i Ng÷-2000)
12. log
27
(x
2
- 5x + 6)
3
=
2
1
2
1
log
3

x
+ log
9

(x - 3)
2
(HVCTQG-2001)
13.
2).
2
2
().22(
2
22
2
22
loglogloglogloglog
=+++
xx
x
x
xx
xx
(§HTS-
2001)
14. log
2
(log
3
x) = log
3
(log
2
x) (§H Ngo¹i Th¬ng HN-95)

15. log
2
(x -
1
2

x
).log
3
(x +
1
2

x
) = log
6
(x -
1
2

x
) (HVKT MËtM·-99)
16. log
5
x = log
7
(x + 2) (§HQGHN-B-2000)
17. log
7
x = log

3
(
x
+ 2 ) (§H KiÕn Tróc – 2000)
18. log
2
x + 2log
7
x = 2 + log
2
x.log
7
x (HVNH-2001)
19. log
2
(3x - 1) +
2
1
log
)3(
+
x
= 2 + log
2
(x + 1) (§HAN –2001)
20.
3)4(2
loglog
2
2

=+
x
x
(HVCNBCVT-99)
21. log
3x + 7
(9 + 12x + 4x
2
) + log
2x + 3
(6x
2
+ 23x + 21) = 4 ( §HKTQD-2001)
22. log
4
(x -
1
2

x
).log
5
(x +
1
2

x
) = log
20
(x -

1
2

x
) (§HSP Vinh-2001)
23. log
x
(x + 1) - lg4,5 = 0 (§HNT-94)
24.
0.40.14
logloglog
4
3
16
2
2
=+−
x
xx
x
xx
(§HCS –2001)
25.
2)2(
loglog
2
2
=++
+
xx

x
x
(§H N«ng nghiÖp HN-2001)
26. x.
15.16
22
2
loglog
+=
xx
x
( §HQG-B-96)
27. 2
05
log
2
log
82
3
=−+

xx
xx
(§HTHHN-94)
28 . x +
xx
53
loglog
22
=

(§HNT-96)
29.
36
4
)100lg(lg
)10lg(
2
.2
xx
x
=−
(§H B¸ch khoa Hµ Néi-99)
30.
2
)3(
log
5
+
x
= log
2
x (§HTL-99)
31. log
2
(4
x
+ 4) = x -
log
2
1

(2
x + 1
- 3 ) (§HC§-2001)
32. log
2
(3.2
x
- 1) = 2x + 1 (§H§N-97)
5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×