Chuyen de mu va logarit

Chuyên đề : Phơng trình mũ và phơng trình lôgarít
A. Ph ơng trình mũ.
I. Các dạng phơng trình cơ bản thờng gặp
1. Phơng trình dạng a
f(x)
= b ( 1) ( 0 < a

1 )
- Nếu b

0 phơng trình vô nghiệm
- Nếu b > 0 (1)

f(x) = log
a
b
VD
1
: Giải phơng trình : 3
2x -1
= 6 ( 1)
Giải: (1)

2x -1 = log
3
6


2x = 1 + log
3
6

x = 1 +
2
1
log
3
2
2. Phơng trình dạng a
f(x)
= a
g(x)
(2) ( 0 < a

1)
(2)

f(x) = g(x)
VD
2
: GPT
5
1
2

x
= (
125
1
)

x -1
(1)
Giải :( 1)


5
1
2

x
= 5
-3x + 3


x
2
-1 = -3x + 3


x
2
+ 3x - 4 = 0





=
=
4

1
x
x
3. Phơng trình dạng : [ f(x) ]
g(x)
= [ f(x)]
h(x)
(3)
(3)





>
=
0)(
0)]()(].[1)([
xf
xhxgxf
VD
3
: Giải các phơng trình:
a, x
x + 1
=
x
x
1
2

b,
( )
2
2
2

+
x
x
x
= ( x -2)
11x - 20
c,
3
1
198
2


+
x
x
x
x
= ( x -3)
2
d, (-4x
2
+ 2x +1)

1 -x
=
( )
124
2
1
++

x
x
x
4. Phơng trình dạng: a
f(x)
= b
g(x)
(4) ( 0< a, b

1)
(4)

f(x) = g(x)log
a
b
VD
4
: GPT
2
2
x
= 3

x - 1
II. Các ph ơng pháp giải ph ơng trình mũ
1. Ph ơng pháp biến đổi đ a về các PT cơ bản
Bài tập: Giải các phơng trình sau
1.
)(2
3535
211
2222
+
=
xxxx
3.
816
5
5
10
10
.125,0

+

+
=
x
x
x
x
2. 18
2x

.2
-2x
.3
x+1
= 3
x 1
4.












+
=
7
1
5
2
2314 xx
2.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.
Bài Tập: Giải các phơng trình sau:
1. ( 2 +
3

)
x
+ ( 2 -
3
)
x
= 4 ( ĐHTH.HCM- 94)
2. 125
x
+ 50
x
= 2
3x + 1
( ĐHQGB-98)
3. 25
x
+ 10
x
= 2
2x + 1
( HVNH-98)
4. 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
( ĐHQG-97)
5. ( 5 -
21

)
x
+ ( 5 +
21
)
x
= 2
x + 3
( ĐHQG-D-97)
6. ( 2 +
3
)
x
+ ( 7 + 4
3
).( 2 -
3
)
x
= 4.( 2 +
3
) ( ĐHNNHN-98)
1
7.
1
444
7325623
222
+=+
+++++

xxx
xxx
(HVQHQT-D-99)
8. 4
3 + 2cosx
- 7.4
1 + cosx
- 2 = 0
9. (
347
+
)
cosx
+ (
347

)
cosx
= 4 (ĐHLuật-99)
10. 6.4
x
- 13.6
x
+ 6.9
x
= 0 (ĐHBD-A-2001)
11. 3
2x + 1
= 3
x + 2

+
33
22
.61
+
+
xx
12. (cos72
o
)
x
+ (cos36
o
)
x
= 3.2
-x
13. 2
3x
- 6.2
x
-
2
)1(3
1

x
+
2
12

x
= 1 (ĐHYH N-2000)
14. Cho phơng trình : 4
x
- 4m( 2
x
-1) = 0
a. Giải PT với m = 1.
b. Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm. (ĐHNN-97)
15. Cho phơng trình: 4
x
- m.2
x + 1
+ 2m = 0
a. Giải PT khi m = 2
b. Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
+ x
2
= 3
16.(ĐH Ngoại thơng-98). Tìm m để PT sau có bốn nghiệm phân biệt:

1
24
34
5

1
2
+=






+
mm
x
x
17.(ĐHNN-2000) . Tìm m để PT sau có hai nghiệm trái dấu:
(m + 3).16
x
+ ( 2m -1).4
x
+ m + 1 = 0
18.(ĐHĐL-99) . Cho PT: (
5
+ 1)
x
+ a.(
5
- 1)
x
= 2
x
a. Giải PT khi a =

4
1
b. Tìm mọi giá trị của a để PT có đúng một nghiệm.
19.(ĐHGTVT-95). CMR không có giá trị nào của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm trái
dấu: m.4
x
+ (2m +3).2
x
- 3m + 5 = 0.
20.(ĐHBK-90) .Xác định tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
1
2
2
3
1
2
++=







a
x
a
x
.
3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

- Thờng đợc áp dụng đối với PT vừa có ẩn ở hàm số mũ và vừa chứa ẩn ở hệ số
VD
1
: Giải PT : 9
x
+ 2(x- 2).3
x
+ 2x - 5 = 0 (1) (ĐH Thơng mại- 95)
Giải : Đặt t = 3
x
( t >0) ta đợc PT : t
2
+ 2(x - 2).t + 2x - 5 = 0 (2)
Coi PT(2) là PT bậc hai ẩn t có

,
= (x -3)
2






=
=
xt
loait
25
)(1

- Với t = 5 -2x ta có 3
x
= 5 - 2x (3) .Ta thấy VT(3) là hàm đồng biến trên R còn VP(3) là hàm nghịch biến trên
R , do đó PT(3) có không quá 1 nghiệm.Mặt khác ta thấy x = 1 là nghiệm của (3).Vậy (3) có nghiệm duy nhất x
= 1 do đó PT(1) có nghiệm duy nhất là x = 1.
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 25
x
-2.(3 - x).5
x
+ 2x - 7 = 0 ( ĐHTCKT 97)
2. 4
x
+ (2x - 5).2
x
+ 6x - 24 = 0
4. Ph ơng pháp biến đổi đ a về ph ơng trình tích .
VD: Giải phơng trình: 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
(1) (ĐHQG-D-2000)
Giải: (1)

8(3
x
- 3) - 2
x

.(3
x
- 3) = 0


(3
x
- 3).(8 - 2
x
) = 0







=
=
8
3
2
3
x
x




=

=

3
1
x
x
2
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 12.3
x
+ 3.15
x
- 5
x +1
= 20 (ĐH Huế-D-2001)
2. x
2
.2
x +1
+ 2
23
+
x
= x
2
.2
43
+
x
+ 2

x 1
3. 5
2x +1
+ 7
x +1
- 175
x
- 35 = 0
5. Các ph ơng pháp không mẫu mực
- Sử dụng 2 phơng pháp chính sau:
+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
+) Đánh giá cả hai vế
- Ta sử dụng các kết quả sau:

Xét PT f(x) = a (1) có tập xác định là D ( a là hằng số). Nếu trên D mà f(x) đơn điệu thì nếu (1) có nghiệm
trên D thì nghiệm đó là duy nhất .


Xét PT f(x) = g(x) (2) có tập xác định là D. Nếu f(x) và g(x) có tính
đơn điệu ngợc nhau ở trên D thì PT(2) nếu có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất trên D.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1. 3
x
= -x + 4
2. 2
x
= 1 +
3
2
x

( ĐH Kiến trúc TP.HCM-95)
3. (
23

)
x
+ (
23
+
)
x
= (
5
)
x
(HVQHQT-97)
4. 3
x
+ 4
x
= 5
x

5.
x
x
x
x
x
2

22
4
3
2
2
2
2
+=++
6. 2
x
+ 2
-x
+2 = 4x -x
2
7.
( )
1
22
2
1
2


=+

x
xx
x
8. 4
sinx

- 2
1 + sinx
.cos(xy) +
2
y
= 0
B: Phơng trình lôgarit.
I. Các ph ơng trình cơ bản
1. Phơng trình dạng : log
a
f(x) = b (1)
(1)

f(x) = a
b
2. Phơng trình dạng : log
a
f(x) = log
a
g(x) ( 2) (0< a

1)
(2)



=
>

)()(

0)(
xgxf
xf
hoặc



=
>
)()(
0)(
xgxf
xg
3.Phơng trình dạng: log
f(x)
g(x) = log
f(x)
h(x) (3)
(3)





=
>
<

)()(
0)(

1)(0
xhxg
xg
xf
hoặc





=
>
<
)()(
0)(
1)(0
xhxg
xh
xf
4.Phơng trình dạng: log
a
f(x) = log
b
g(x) (0 < a
1

b
)
- Cách giải: Đặt t = log
a

f(x)





=
=

b
a
t
t
xg
xf
)(
)(


phơng trình ẩn t
Bài tập : Giải các phơng trình sau:
1. log
3
(x
2
+ 4x + 3) = 1
2. log
3
( x
2

- 5x +6) - log
3
(x - 3) = 0
3. log
3
(3
x
- 8) = 2 - x
4. log
2
(152 + x
3
) = 3log
2
( x + 2)
3
5. log
2x - 1
12
2
4
+
+
x
x
= 1
6. log
x +1
(x
2

+ x - 6)
2
= 4
7. log
x + 3






+
x
x
2
213
=
2
1
8. log
2
( 1 +
x
) = log
3
x
9. log
2
(1 +
3

x
) = log
7
x
II. Các ph ơng pháp giải PT lôgarit.
1. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ .
VD: Giải phơng trình: log
2
(4
x + 1
+ 4).log
2
(4
x
+ 1) =
8
1
log
2
1
(1
Giải: (1)

log
2
4(4
x
+ 1) . log
2
(4

x
+ 1) = 3


[ 2 + log
2
(4
x
+ 1) ].log
2
(4
x
+ 1) = 3
Đặt t = log
2
(4
x
+ 1), ta có PT: (t + 2).t = 3


t
2
+ 2t - 3 = 0





=
=

3
1
t
t
- Với t = 1

log
2
(4
x
+ 1 ) = 1


4
x
+ 1 = 2


4
x
= 1
0
=
x
- Với t = -3

log
2
(4
x

+ 1) = -3


4
x
+ 1 =
8
1
(vô nghiệm)
2. Ph ơng pháp lôgarit hoá.
VD: Giải các phơng trình sau:
1.
x
x 2
log
4

=
2
)1(3
log
4

x

2. x
lgx
= 1000x
2

3.
11
1
11
1
2
lg
3lg
3
2
++

+
=
++
xx
x
x
x

4.
11
3lg
2
2
lg

=

xx

xx

3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn .
VD: Giải các phơng trình sau:
1. (x + 2)
016)1()1(4)1(
loglog
3
2
3
=++++
xxx

2.
062)1(
loglog
2
2
2
=++
xxxx

4 .Ph ơng pháp không mẫu mực.
VD: Giải các phơng trình sau:
1. log
2
(2 - x
2
) + log
3

(3 - x
2
) + log
4
(4 - x
2
) = x
2
- 4x +7
2. 2
2x +1
+ 2
3 - 2x
=
)444(
4
2
3
log
+
xx

3. log
3
(x
2
+ x +1) - log
3
x = 2x - x
2

4. lg(x
2
- x - 12) + x = lg(x + 3) + 5
Bài tập tổng hợp
Giải các ph ơng trình sau:
1. log
5
x + log
3
x = log
5
3.log
9
225 (ĐHYHN-1999)
4
2. 2lg(x - 1) =
2
1
.lgx
5
- lg
x
(§H-1970)
3. 2
)112(.
logloglog
33
2
9

−+=
xxx
(§HXD –1998)
4. log
x +3
(3 -
x
x
2
21
+−
) =
2
1
( §HQG-96)
5. log
2
(x
2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3 (§HQG-A-98)
6. log
5
(5
x

-1).log
25
(5
x + 1
- 5) = 1 ( §HSP Hµ Néi 2 -98)
7. log
a
(ax).log
x
(ax) =
)
1
(
log
2
a
a
(§HSP Vinh-98)
8. log
4
(x + 1)
2
+ 2 =
x
−
4
log
2
+ log
8

(4 + x)
3
(§HBK-2000)
9. log
2
(x
2
- x + 1) + log
2
(x
2
+ x + 1) = log
2
(x
4
+ x
2
+ 1) + log
2
(x
4
- x
2
+ 1)
(HVQHQT-D-2000)
10. lg
4
(x - 1)
2
+ lg

2
(x - 1)
3
= 25 (§H Y Hµ Néi –2000)
11. log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
x) = 2 (§H Ngo¹i Ng÷-2000)
12. log
27
(x
2
- 5x + 6)
3
=
2
1
2
1
log
3
−
x
+ log
9

(x - 3)
2
(HVCTQG-2001)
13.
2).
2
2
().22(
2
22
2
22
loglogloglogloglog
=+++
xx
x
x
xx
xx
(§HTS-
2001)
14. log
2
(log
3
x) = log
3
(log
2
x) (§H Ngo¹i Th¬ng HN-95)

15. log
2
(x -
1
2
−
x
).log
3
(x +
1
2
−
x
) = log
6
(x -
1
2
−
x
) (HVKT MËtM·-99)
16. log
5
x = log
7
(x + 2) (§HQGHN-B-2000)
17. log
7
x = log

3
(
x
+ 2 ) (§H KiÕn Tróc – 2000)
18. log
2
x + 2log
7
x = 2 + log
2
x.log
7
x (HVNH-2001)
19. log
2
(3x - 1) +
2
1
log
)3(
+
x
= 2 + log
2
(x + 1) (§HAN –2001)
20.
3)4(2
loglog
2
2

=+
x
x
(HVCNBCVT-99)
21. log
3x + 7
(9 + 12x + 4x
2
) + log
2x + 3
(6x
2
+ 23x + 21) = 4 ( §HKTQD-2001)
22. log
4
(x -
1
2
−
x
).log
5
(x +
1
2
−
x
) = log
20
(x -

1
2
−
x
) (§HSP Vinh-2001)
23. log
x
(x + 1) - lg4,5 = 0 (§HNT-94)
24.
0.40.14
logloglog
4
3
16
2
2
=+−
x
xx
x
xx
(§HCS –2001)
25.
2)2(
loglog
2
2
=++
+
xx

x
x
(§H N«ng nghiÖp HN-2001)
26. x.
15.16
22
2
loglog
+=
xx
x
( §HQG-B-96)
27. 2
05
log
2
log
82
3
=−+
−
xx
xx
(§HTHHN-94)
28 . x +
xx
53
loglog
22
=

(§HNT-96)
29.
36
4
)100lg(lg
)10lg(
2
.2
xx
x
=−
(§H B¸ch khoa Hµ Néi-99)
30.
2
)3(
log
5
+
x
= log
2
x (§HTL-99)
31. log
2
(4
x
+ 4) = x -
log
2
1

(2
x + 1
- 3 ) (§HC§-2001)
32. log
2
(3.2
x
- 1) = 2x + 1 (§H§N-97)
5