đề thi HSG Nam định 2010

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NAM ĐỊNH Năm học 2009-2010
Đề chính thức Môn : TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Phần 1: Trắc nghiệm trắc quan ( 2 điểm). Các câu dưới đây, mỗi câu có nêu 4 phương án A, B, C,,D trong đó chỉ
có một phương án đúng. Hãy chọn một phương án đúng.
Câu 1: (0,5 đ) Cho tứ diện ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC. Gọi V là thể tích của tứ
diện ADMN. Khi đó thể tích của khối tứ diện ABCD là:
A. 2V B. 4V C. 3V D. 8V/3
Câu 2 ( 0.5 đ) Hàm số:
2
3
1
x
y
x
+
=
+
A. Có giá trị lớn nhất bằng
10
B. Không có giá trị lớn nhất.
C. Có giá trị nhỏ nhất bằng (-1) C. Có giá trị lớn nhất bằng 1
Câu 3 (0.5 đ) Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = x
3
-3x
2
-9x, có phương trình là:
A. y = 8x+3 B. y = 8x-3 C. y = -8x+3 D. y = -8x-3
Câu 4 (0.5 đ) Trong không gian Oxyz, cho mp (P): 3x - y +
6

z+9 = 0 và mặt cầu (S): (x-1)
2
+y
2
+z
2
= 36. Khi đó
(P) cẳt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng:
A. 3. B.2
3
C. 3
3
D. 6
Phần II: Tự luận ( 18 điểm)
Câu 1; ( 6 điểm)
1) Giải pt: 2sin(2x-
6
p
) + 4 sinx + 1 = 0.
2) Giải hpt:
8 2
3 6
x x y y x y
x y
ì
ï
- = +
ï
ï
í

ï
- =
ï
ï
î
3) Giải bất pt:
2
6 6
log log
6 12
x x
x+ £
Câu 2; (5 điểm )
1) Cho hàm số
4
2 3 2
( 2 ) 2 2
4
x
y m m x x= - - - +
( Với m là thm số)
a) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.
b) Khi m= 0 , gọi (C ) là đồ thị của hàm số đã cho. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;2)
và tiếp xúc với ( C) .
2) Tính tích phân: I =
21
3
0
3 1 3 1
dx

x x+ + +
ò
Câu 3: (3 điểm)
1) Trong mp tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x
2
+ y
2
-2x + 2y-2 = 0. Từ điểm M(-2;1) kẻ được hai tiếp tuyến với
(C ) là MA và MB ( với A và B là hai tiếp điểm) . Viết phương trình của tổng quát đường thẳng AB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm: A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3) , M là điểm di động trong
mặt phẳng (ABC), N là điểm thuộc tia OM sao cho ON.OM = 1. Chứng minh điểm N thuộc một mặt cầu cố
định.
Câu IV: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật vớia AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy, góc
giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. trên SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD
tại điểm N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMN.
Câu V ( 2 điểm) Tìm giá tri lớn nhất và giá tri nhỏ nhất của hàm số:

2 2 2
2 4 2
sin os 2 sin
1 4 3(1 4 ) 3(1 4 )
x x x
y c
x x x

p p p
-
= + +
+ + +