Đề thi HSG Nam định 2002

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 10, 2002
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 10
Năm học 2002
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (3 điểm).
Giải phương trình sau:
Câu II (6 điểm)
1) Cho a, b là 2 số không âm. Chứng minh:
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.
Câu III (8 điểm)
Cho tam giác ABC là tam giác đều có các cạnh bằng 1. Một đường thẳng thay đổi
cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng
chu vi của tứ giác BCNM. Gọi S
1
, S
2
lần lượt là diện tích của tam giác AMN và tứ
giác BCNM.
1) Chứng minh tỏ rằng AM + AN không đổi.
2) Chứng minh rằng: .
3) Chứng minh rằng:
Câu IV (3 điểm).
Cho a, b và c là 3 số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

--------------------------------------------------------HẾT---------------------------------