SKKN toan 6

II.Nội dung đề tài
Tên đề tài Suy nghĩ từ một bài toán chia hết
Lý do chọn đề tài :
Trong chơng trình lớp 6 có bài tính chất chia hết của một tổng lợng
bài tập nâng cao, khái quát hoá, và phát triển bài toán trong sách giáo
khoa, sách bài tập phần này còn hạn chế do nhiều lý do nhng theo tôi
một trong số các lý do là thời gian phân phối cho tiết học nâng cao cha
có, mà những năm gần đây lại bỏ thi học sinh giỏi các khối 6,7,8 nên
đây cũng là một trở ngại lớn cho cả học sinh và giáo viên khi ôn thi học
sinh giỏi lớp 9. Vì vậy bài viết của tôi nhằm khai thác một số bài toán
chia hết dành cho học sinh khá giỏi lớp 6. Tạo nền tảng vững chắc cho
những năm học tiếp theo, phần nào đó giúp các em yêu thích môn học
hơn
III. Cơ sở lí luận
Các kiến thức cần sử dụng trong phần này gồm
1. a

m

ka

m
2. a

m ,b

m

(a

b)

m
3. (a

b)

m, a

m

b

m
4. Nếu trong một tổng có duy nhất một số hạng không chia hết cho m
,các số hạng còn lại đều chia chia hết cho m thì tổng đó không chia hết
cho m
5. a

m ,b

m

ab

mn
6. a

m

a
n


b
n
(n
N

,n
0

)
7. ab

m, (a,m) = 1

b

m
8. a

m a

n,(m,n) = 1

a

mn
9. Tích của k số liên tiếp bao giờ cũng có một thừa số chia hết cho k

10. (n - 1)(n + 1) = n
2
- 1, mở rộng từ tính chất a(b + c) = ab + ac
11. a
n.m
= (a
n
)
m

III. Phạm vi thực hiện
p dụng cho học sinh khá giỏi lớp 6A năm học 2008-2009


Về lí thuyết tôi dạy 3 tiết ,7 tiết thực hành luyện tập
IV.quá trình thực hiện đề tài
1.Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện
Hầu hết các em thực hiện giải một bài toán đến đáp số là xong , không
chịu đào sâu suy nghĩ , tự hỏi bài toán còn cách giải khác không nếu
thay đổi một trong các điều kiện thì cách giải ra sao ?
Hoặc kết luận bài toán có còn đúng khi ta tổng quát hoá .Tất cả các
vấn đề trên cha có em nào làm đợc
2.Biện pháp thực hiện
Để thực hiện đợc mọi ý tởng trên trong khi giảng dạy cần phải cho
học sinh tự viết , nói theo đúng ý hiểu của mình từ đó giáo viên sẽ phát
hiện đợc chỗ đúng , chỗ sai lầm mà học sinh mắc phải và làm đúng
Tăng khả năng t duy độc lập của HS. Trong mỗi bài toán cần hỏi có
cách giải hay hơn không . Dựa vào bài toán các nhóm thảo luận để xuất
ra bài toán tơng tự
****************

V.NộI DUNG CHI TIếT
Bài toán 1
Chứng tỏ rằng chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n
5
là nh nhau
HD Cần chỉ ra n
5
- n có tận cùng là 0 thì bài toán đã giải quyết xong
cách 1
A = n
5
- n
A = n.n
4
- n
A = n(n
4
-1)
A = n(n
2
-1)(n
2
+1) (t/c 10)
A = n(n-1)(n+1)(n
2
+1)
do n(n-1)

2 (t/c9)

cần chứng tỏ A

5
cách2
A = n
5
- n
A = n.n
4
- n
A = n(n
4
- 1)
A = n(n
2
- 1)(n
2
+ 1) (t/c
10)
A = n(n-1)(n+1)(n
2
+1)
A = n(n-1)(n+1)(n
2
-4+5)


Nếu n = 5k

A

5
Nếu n = 5k +1

n - 1

5

A

5
Nếu n = 5k +2

n
2
+ 1

5

A

5
Nếu n = 5k + 3

n
2
+ 1

5

A

5
Nếu n = 5k + 4

n + 1

5

A

5
Vậy A

5 với mọi n
N


A

10

n
5
- n có tận cùng là 0 ,
hay n
5
và n có chữ số tận cùng là
nh nhau
A =n(n-1)(n+1)(n

2
-4)+5n(n-1)(n+1)
A = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) +
5n(n-1)(n+1)

A

10

n
5
- n có tận cùng là 0 ,
hay n
5
và n có chữ số tận cùng là
nh nhau

GV liệu A có chia hết cho số nào đó lớn hơn 10?
A = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)
Nên A

2 , 3 , 5 mà 2, 3, 5 là các số nguyên tố

A

2.3.5 = 30
Từ suy nghĩ đó ta có bài toán sau
Bài tập 1.1
Chứng tỏ rằng n
5

- n chia hết cho 30 với n là số tự nhiên
Chúng ta khai thác tiếp dựa trên cơ sở
Tích hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8 nên nếu n lẻ thì (n-1)(n+1)
chia hết cho 8 và lúc đó n
2
+ 1 chẵn

(n
2
+ 1)

2
Do đó A

3.5.16 = 240
Ta phát triển thành bài toán sau:
Bài tập 1.2
Chứng tỏ rằng n
5
- n chia hết cho 240 với n là số tự nhiên lẻ
*Liệu ta có thể tổng quát hoá bài toán 1 đợc chăng ?


Chứng tỏ rằng a
n+4
- a
n
chia hết cho 10 với n là số tự nhiên khác 0
Giải
a

n+4
- a
n
= a
n
(a
4
- 1) = a
n-1
.a(a
4
- 1) = a
n-1
(a
5
- a)
Theo bài toán 1 có a
5
- a

10
Vậy a
n+4
- a
n


10
*Sau khi giải quyết đợc bài toán tổng quát, những bài toán phát triển
hoặc cụ thể hoá dới đây tuy trông rất ngốt, nhng sẽ đợc giải quyết

ngắn gọn
Bài tập 1.3
Số sau đây có là số nguyên hay không?
x = 0,8.(1994
1994
-1994
1990
)
Hd giải
p dụng bài toán tổng quát a
n+4
-a
n


10 cho trờng hợp a = 1994, n =
1990

x = 0,8.10k = 8k (k Z)

x Z
Bài tập 1.4
a)Tìm chữ số tận cùng của số
x = (2008
2009
-2008
2005
)(2007
2001
+2007

1993
)
b) Tìm hai chữ số tận cùng của số
y = (2008
2009
-2008
2005
).(1994
1994
-1994
1990
)
Hd Giải
a) p dụng bài toán tổng quát ta thấy (2008
2009
-2008
2005
)

10 nên x có
tận cùng là chữ số 0
b)Tơng tự có (1994
1994
-1994
1990
)

10 ,(2008
2009
-2008

2005
)

10 nên y
có hai chữ số tận cùng là 0

Một số bài tập mở áp dụng bài toán 1 và bài toán tổng quát


Bài tập 1.5 Chứng tỏ rằng n
8
-n
6
-n
4
+n
2


5760 với mọi n là số tự
nhiên lẻ.
Bài tập1.6 Chứng tỏ rằng 5
4n+1
-3
4n+1
-2

240 với mọi n là số tự
nhiên.
Bài tập 1.7 Tìm số d trong phép chia

2009
2001
+2001
2009
cho 240
Bài tập 1.8 tìm 7 chữ số tận cùng của số:
A=(1999
1999
- 1999
1995
)(2001
2001
-2001
1997
)
Bài tập 1.9 chứng tỏ rằng:
a) 10
4n
-1

9999
b) 10
100n+1996
-1

9999
HƯớNG DẫN GIảI
BT 1.5
P= n
8

- n
6
- n
4
+ n
2

=(n
8
- n
4
) - (n
6
- n
2
)
=n
4
(n
4
- 1) - n
2
(n
4
- 1)
=(n
4
-1).(n
4
- n

2
)
=(n
4
- 1). n
2
.(n
2
- 1)
=(n
5
- n). n .(n - 1)(n + 1)
Do n
5
-n

240 (bt 1.2) và n lẻ nên (n-1)(n+1)

8 mà n(n-1)(n+1) có
một số chia hêt cho 3 ,(3,8) = 1 => p

240 . 3 . 8 P

5760
BT 1.6
B=5
4n+1
-3
4n+1
-2

=5(5
4n
-1)-3(3
4n
-1)-2-3+5
=5[(5
n
)
4
-1] - 3[(3
n
)
4
-1]


240

240 (bt 1) B

240
BT 1.7
C= 2009
2001
+2001
2009



= 2009(2009

4 . 500
-1)+2001(2001
4 . 500
-1)+2009 + 2001


240

240 +4010
Do 4010 chia cho 240 d 170
=> C chia cho 240 d 170
 BT 1.8
T×m 7 ch÷ sè tËn cïng cña sè:
P = (1999
1999
- 1999
1995
)
=1999
1995
(1999
4
- 1)
=1999.(1999
2
)
997
.(1999
2
-1)(1999

2
+1).
=1999.
1
. (1999+1)(1999-1).
2
.
=
9
.2000.1998.
2
=
4
.2000
=
8000
Q = 2001
2001
-2001
1997
= 2001
2001
-2001
1997
)
=
1
.(2001
2
+1)(2001

2
-1)
=
1
.
2
.( 2001+1)(2001-1)
=
2
.2002.2000
=
8000
VËy A = P.Q
=
.8000
.
.8000
=
.4000000
Suy ra 7 ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 4000000
 BT 1.9


Chứng tỏ rằng:
a) 10
4n
-1

9999
b) 10

100n+1996
-1

9999

Hd a)Do 10
4
= 9999 + 1 nên khi chia cho 9999 luôn d 1
10
4n
chia cho 9999 luôn d 1
10
4n
- 1

9999

Hd b) tơng tự
VI. KếT QUả THựC HIệN Có SO SáNH ĐốI CHứNG
Qua điều tra kết cho thấy ở nhóm HS mà tôi áp dụng cách làm trên thì
số HS có hứng thú học toán 54% HS khá giỏi bộ môn vợt hơn hẳn so với lớp
cùng khối .Tôi nghĩ đây là kết quả mà một ngời thầy nào khi đứng trên bục
giảng cũng mong đợi điều đó .

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi trong việc giảng dạy bộ môn
Toán .Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và Hội đồng khoa
học.
ngày 14 tháng 5 năm 2009
Ngời viết
ý kiến nhận xét đánh giá và xếp loại của

Hội đồng khoa học cơ sở


Chñ tÞch héi ®ång
(Ký tªn ,®ãng dÊu)