phuong trinh va bpt mu (VD co loi giai)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (235.29 KB, 17 trang )
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
§5:PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỦ
1. CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐẲNG THỨC
Cho a ; b
*
R∈
và m ; n
Z∈
khi đó ta có các tính chất sau
- TC1:
nmnm
aaa
+
=.
- TC2 :
( )
mn
m
n
aa
.
=
- TC3:
( )
nn
n
baba =
- TC4:
nm
n
m
a
a
a
−
=
- TC5:
n
n
n
b
a
b
a
=
- TC6:
m n
a a n m= ⇔ =
2. Chú ý .
Nếu m, n
R∈
thì điều kiện a, b > 0 khi đó các tính chất như trên
II.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
a. PHƯƠNG PHÁP:
Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).
Biến đổi phương trình (1)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
* ;0 1
**
h x p x
h x p x
a a a
x x
ϕ ϕ
= < ≠
⇔
=
khi đó ta có
- PT (*)
( ) ( )
h x p x⇔ =
.
- PT (**)
( )
( ) ( ) ( )
0
1 . 0
x
x h x p x
ϕ
ϕ
>
⇔
− − =
b. Các ví dụ
Giải các phương trình sau
1.
( )
2
1
1
3
2
2 2 4
x
x
x
−
+
=
ĐK :
0
1
x
x
>
≠
. PT
( )
( )
( )
( )
3 1
1
2
3 1
2.2 2 2
1
x
x x
x
x x
+
−
+
⇔ = ⇔ =
−
2 5 3 0 3 9x x x x⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
.
2.
( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ = −
( ) ( )
2
5 6
2
2
3 2 3 2 5 6 0
3
x x
x
x x
x
− −
=
⇔ + = + ⇔ − + = ⇔
=
3.
2x 1
x 1
2
4.9 3.2
+
−
=
⇔
( )
2x 1
2
2 x 1 1
2
3 2
+
−
− −
=
⇔
2x 3
2x 3
2
3 2
−
−
=
⇔
2x 3
3
1
2
−
=
⇔ 2x – 3 = 0 ⇔
3
x
2
=
.
4.
x 2 x x 3 2x
4 10.3 2.3 11.2
+ +
− = −
⇔
x x
27.4 64.3=
⇔
x 3
4 4
3 3
=
⇔ x = 3.
5.
1 1
x x
x 2x 1
2 2
4 3 3 2
− − −
− − −
− = −
⇔
2x 1
2
4 4
3 3
− −
=
⇔
3
x
2
= −
.
6.
1 2 2 1
3 18 .2 .3
x x x x− − +
=
2
2
3 3.18 .3
3
2
x x x
x
⇔ =
4 2 4
3 1
3 .3 3 3 4 2
9 2
x
x x x
x x
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −
.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
1
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
7.
2
x 1 x 1
x x , x 0
+ −
= >
Khi x = 1 PT⇔
2 0
1 1
=
đúng.
Khị x ≠ 1 và x > 0 PT ⇔ x + 1 = x
2
–1 ⇔ x
2
– x – 2 = 0 ⇔ x = 2 ; -1(loại)
Vậy: Nghiệm x = 1 ; 2
8.
x x
x x=
ĐK: x > 0
Khi x = 1 PT ⇔
1 1
1 1=
⇔ 1 = 1 đúng.
Khi x ≠ 1 và x > 0 PT ⇔
x
x
2
x x=
⇔
x
x
2
=
⇔ x
2
– 4x = 0 ⇔ x = 4 ; 0 (loại)
Vậy ghiệm x = 1 ; 4.
9.
10 5
10 15
16 0.125.8
x x
x x
+ +
− −
=
10 5 10 60
4. 3. 4.
3
10 15 10 15
10 60
2 2 2 2 2 4.
10 15
x x x
x x x x
x
x x
+ + +
−
− − − −
+
⇔ = ⇔ = ⇔ =
− −
10.
3 2 1
2 .3 .5 4000
x x x+ − +
=
2
40.2 .3 .5 9.4000 30 900 30 30 2
x x x x x
x⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
11.
( )
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
5 9 5 9
x x x x x x x x
⇔ − = − ⇔ − = −
2 2
2 2
3
3 25 5 125 5 5
5 3
5 9 3 27 3 3
x x
x x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
÷ ÷ ÷
12.
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 4.2 2 4 0 2 .2 4.2 2 4 0 2 2 4 2 4 0
x x x x x x x x x x x x x x x+ − − − −
− − + = ⇔ − − + = ⇔ − − − =
( )
( )
2
2
2
2
2 4 0
2 4 2 1 0
2 1 0
x
x x x
x x
−
−
− =
⇔ − − = ⇔
− =
13.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
8 8 8
log 6 9 log 6 9 log 6 9
2log 1
log 1
2
8
2 3 2 3 2 1 log 6 9 0
x
x
x x x x x x
x
x
x x
− + − + − +
−
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + =
2
6 9 1x x⇔ − + =
c. BÀI TẬP
Giải các phương tình sau
1.
2 128
x
=
HD 128 = 2
7
2.
1
1
3
729
x−
=
HD 729 = 3
6
.
3.
2
4 2 5 3
3 9
x x x− − +
=
ĐS x = 2. 4.
4 6
3 4
5 25
x
x
−
−
=
ĐS x =
7
5
5.
3 4
2 2
3 9
x
x
−
−
=
ĐS
8
7
x =
6.
2 2 1
9.2 8. 3
x x+
=
HD Bình phương 2 vế
7.
5 17
7 3
32 0.25.128
x x
x x
− +
− −
=
ĐS x = 13 8.
2
sin
1
sin 2
os2
2
1
5 4.5 25
25
x
x
c x
+ =
÷
ĐS
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
9.
( ) ( )
4
4
10 3 10 3
x x
x x
−
+
+ = −
10.
( ) ( )
3
3
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
11.
1 1
3 6 .2 .3
x x x x− − +
=
ĐS
2x =
12.
1 2 2 9
3 .2 144
x x x− − −
=
ĐS
19
3
x =
13.
1 1
2 2
3 18 .2 .3
x x
x x
− +
−
=
ĐS x = -1 14.
1 2 2 9
3 .2 12
x x x− − −
=
ĐS x = 5
15.
2 3 2 3 3 3
3 .5 3 .5
x x x x+ +
=
ĐS
3x =
. 16.
3 3 2 2
3 .7 3 .7
x x x x+ +
=
ĐS x = 3
17.
4 4 3 3
2 .7 2 .7
x x x x+ +
=
ĐS x = 2 18. 3
x-1
+3
x
+3
x+1
= 9477 HD9477 = 13.3
6
ĐSx = 7
19.
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x− − +
− = −
ĐS
3x = ±
20.
1 1 2 1 1 1
3.4 3 .9 6.4 2 .9
x x x x+ − + + − +
+ = −
ĐS
1
2
x = −
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
2
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
21.
1 1 3
5 5 2 2
x x x x+ + +
− = +
22.
3 1
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = −
ĐS x =
9
2
9
log
2 2
÷
23.
1 1
2 2
2 2
5 9 3 5
x x
x x
+ −
−
− = −
ĐS x =
3
2
24.
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
+ = +
ĐS x = 0
25.
( ) ( )
2
5 10
2 2
x
x x
x x
+
− −
+ = +
ĐS
1
5
x
x
= −
=
26.
( )
2
4
2
5 4 1
x
x x
−
− + =
ĐS
5 13
2
2
x
x
±
=
= −
27.
( )
2
2
3 3
x x
x x
−
− = −
ĐS
1
2
4
x
x
x
= −
=
=
28.
( )
3
1 1
x
x
−
+ =
ĐS x = 3
29.
2 2
3 2 6 2 5
2 3 3 2
x x x x x x+ + − + −
− = −
ĐS
3
2
4log 2
x
x
=
= −
30.
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
x x
x x
x x
− + − +
+ −
+ = +
HD Biến đổi về tích
( )
( )
3 2
2 1
4 1 2 2
x
x
x
− +
−
− −
31.
2
2 2
( 1)
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
HD
( )
2
2 2
2
2 1 1
2 2 .2
x x
xx x
+
+ + −
=
32.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
HD
2 2 2
2 3 7 3 2 6 5
4 4 4
x x x x x x+ + − + + +
=
33.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
HD
6 2 .3
x x x
=
34.
2 2
log log 3
3 6
x
x+ =
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ.
a. PHƯƠNG PHÁP
Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau
khi biến đổi có dạng
( ) ( )
( )
*
h x g x
a b=
với
0 , 1a b< ≠
ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế của
phương trình (*) khi đó phương trình (*) trở thành:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.log 1
.log 2
a
b
f x g x b
f x a g x
=
=
b. Các ví dụ
Giải các phương trình sau
1.
1
1
3 .2 72
x
x
x
+
−
=
; ĐK x
1≠
PT
1
1
lg 3 .2 lg72
x
x
x
+
−
⇔ =
÷
÷
1
lg3 lg2 lg72
1
x
x
x
+
⇔ − =
−
( ) ( ) ( )
1 lg3 1 lg2 1 lg72x x x x⇔ − − + = −
2
2
lg3 lg108 2lg12 0
lg12
lg3
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
2.
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
+ = +
3 2 3 2 3 2
8.7 8.5 7 5 lg7 lg5 3 .lg7 2 .lg5 0 0
x x x x x x
x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
.
3.
1 2
3.2 5.2 2 21
x x x+ +
+ −
2
6.2 5.2 4.2 21 7.2 21 2 3 log 3
x x x x x
x⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
4.
1
5 . 8 500
x
x
x
−
=
ĐK: x
0≠
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
3
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
PT
( )
1 3 3
3
3 2 3 3
2 2 2
3
5 .2 5 .2 2 5 log 2 log 5 3 log 5
x x x
x x x
x x x
x
x
x
− − −
− −
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
( )
2
2 2
log 5 3log 5 1 3 0x x⇔ − − − =
5
3
1
log
2
x
x
=
=
5.
1 2 1
4.9 3 . 2
x x− +
=
( )
2 1 2 3 2 3
2 1
1 2 2 3 2 3
2 2 2
2 2
3 .3 2 .2 3 2 log 3 log 2
x x x
x
x x
+ − −
−
− − − −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
( )
2
1 3
2 3 log 0 2 3 0
2 2
x x x
⇔ − − = ⇔ − = ⇔ =
÷
.
6.
2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
ĐK: x
1≠ −
PT
( ) ( ) ( )
2 1
lg5 lg2 lg50 1 lg5 2 1 lg2 1 lg50
1
x
x x x x x
x
−
⇔ + = ⇔ + + − = +
+
( ) ( )
2
lg5 lg5 2lg2 lg50 lg2 lg50 0x x⇔ + + − − + =
( )
2
2
lg5 2lg5 1 2 0
1
lg5
x
x x
x
=
⇔ − − − = ⇔
=
7.
2
3 5 6
2 5
x x x− − +
=
( )
( )
2
3 5 6 2
2 2 2 2
log 2 log 5 3 log 2 5 6 log 5
x x x
x x x
− − +
⇔ = ⇔ − = − +
( ) ( )
2
5
3
3 1 2 log 5 0
2 log 2
x
x x
x
=
⇔ − − − = ⇔
= +
8.
1
3 .8 36
x
x
x+
=
ĐK x
1≠ −
PT
( )
3 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
3 .2 3 .2 2 3 log 2 log 3 2 log 3
1
x x x
x x x
x x x
x
x
x
− −
− −
+ + +
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
+
( ) ( )
2
2 2 2
(log 3) 1 log 3 2 1 log 3 0x x⇔ + − + − =
.
9.
2
3 7 12
3 5
x x x− − +
=
( )
( )
2
3 7 12 2
3 3 3 3
log 3 log 5 3 log 3 7 12 log 5
x x x
x x x
− − +
⇔ = ⇔ − = − +
( ) ( ) ( )
3
3 3 4 log 5x x x⇔ − = − −
( ) ( )
3
5
3
3 1 4 log 5 0
4 log 3
x
x x
x
=
⇔ − − − = ⇔
= +
10.
2lg
10
x
x x=
: ĐK x > 0 PT
2lg 2
lg 1
10
lg lg10 2lg lg 1 0
1
lg
10
2
x
x
x
x x x x
x
x
=
=
⇔ = ⇔ − − = ⇔ ⇔
=
=
c. BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1.
2
2
2 3
x x−
=
ĐS
2
2
1 1 log 3
1 1 log 3
x
x
= − +
= + +
2. 2.
2
1 1
2 5
x x− +
=
ĐS
2
2
1 log 5
log 5 2
x
−
=
−
3. 6
x
+ 8 = 2
x + 1
+ 4.3
x
HD
6 3 .2
x x x
=
;
3
log 2x =
4.
2 2 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
x x x x+ + +
+ = −
ĐS
4
9
21
log
62
x =
5.
1 1
1
9
2
x x
x
+ + −
−
=
÷
ĐS
3
log 2x = ±
6. 3
x - 1
= 4.
7. 2
x + 3
+ 3
x - 1
= 2
x -1
+ 3
x
. 8.
4 3
3 4
x x
=
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
4
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
9.
2
1 1
2 5
x x− +
=
.
2
3 7 12
3 5
x x x− − +
=
3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
a. TH
1
. Nếu phương trình có dạng :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2
. . 0
. . . 0
f x f x
f x f x f x
a b c
a b c d
α α
α α α
+ + =
+ + + =
- Phương pháp.
Đặt t =
( )
f x
α
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
3 2
. . 0
. . . 0
a t b t c
a t b t c t d
+ + =
+ + + =
Giải phương trình tìm t
suy ra x.
- Ví dụ
Giải các phương trình sau
1.
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
Giải:
2 2
1 10
9 .3 1 0
9 9
x x x x+ +
− + =
. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1
9
t
t
=
⇔
=
2
2
0
2 0
x x
x x
+ =
⇒ ⇔
+ − =
2 0
1 1
x x
x x
= − =
∨
= − =
2.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
Giải: PT
2
2 2
2
2
4
2 3 2 3.2 4 0
2
x x
x x x x
x x
−
÷
− −
−
⇔ − = ⇔ − − =
Đặt
2
2
x x
t
−
=
ĐK t > 0 PT trở thành
2
1
3 4 0
4
t
t t
t
= −
− − = ⇔
=
Khi t = 4
2
2 4
x x−
⇔ =
2
2 0x x⇔ − − =
1 2x x
⇔ = − ∨ =
3.
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
Giải:
PT
3x 2x x
2.2 7.2 7.2 2 0⇔ − + − =
Đặt
2 , 0
x
t t= >
PT trở thành
3 2
2 7 7 2 0t t t− + − =
2
( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + =
1
1 2
2
t t t⇔ = ∨ = ∨ =
0 1 1x x x⇔ = ∨ = ∨ = −
4. Cho phương trình
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
.Tìm m để PT sau có nghiệm
Giải:
PT
( )
2
2 1 1
1 1
2
3 2 3 2 1 0
x
x
m m
+ −
÷
+ −
⇔ − + + + =
Đặt
2
1
3
x
t
−
=
PT trở thành
2
3 ( 2) 2 1 0t m t m− + + + =
ĐK −1≤ x ≤1
3 9t⇔ ≤ ≤
Ta tìm a để PT
2
3 ( 2) 2 1 0t m t m− + + + =
có nghiệm t thỏa
3 9t≤ ≤
Ta có
( )
2
2 2
3 2 1
3 ( 2) 2 1 0 3 2 1 2
2
t t
t m t m t t t m m
t
− +
− + + + = ⇔ − + = − ⇔ =
−
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số
2
3 2 1
( )
2
t t
f t
t
− +
=
−
với
đường thẳng d: y = m trên đoạn
[ ]
3, 9
.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
5
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
Xét hàm số
2
3 2 1
( )
2
t t
f t
t
− +
=
−
ta có
( )
( )
2
/
2
3 12 3
2
t t
f t
t
− +
=
−
;
( )
/ 2
2 3
4 1 0
2 3
t
f t t t
t
= −
⇔ − + = ⇔
= +
Bảng biến thiên
PT có nghiệm khi
10 6 3 38m+ ≤ ≤
5.
2. 3 3 1
2. 3 3 1 4
4 4
2 2
2 5.2 2 0 5. 1 0
2 2
x x x
x x x x
x x
+ − + +
+ − + + +
+ +
− + = ⇔ − + =
( )
3 2
2
2.
3
5
2 .2 1 0
2
x x
xx
+ − −
− −+
⇔ − + =
( )
3 2
2
2.
3
2.2 5.2 2 0
x x
xx
+ − −
− −+
⇔ − + =
6.
−
−
− + =
3x 1
5 3x
5.2 3.2 7 0
Đặt:
−
=
3(x 1)
t 2
> 0
Khi x ≥ 1 PT trở thành
− + =
12
5t 7 0
t
⇔
+ − =
2
5t 7 t 12 0
⇔
=
= −
t 1
12
t loai
5
⇒
( )
3 x 1
2 1
−
=
⇔ x = 1
Khi x < 1 PT trở thành
− + =7t 7 0
⇔ t = 1 ⇒
( )
3 x 1
2 1
−
=
⇔ x = 1 (loại).
Vậy nghiệm x = 1.
7.
x 2 x 1 x 1
2 2 1 2 1
+ + +
− − = +
Đặt t =
x 1
2
+
> 0 PT trở thành
− − − =t t 1 1 0
Khi t ≥ 1 PT ⇔ 0t + 1 –1 = 0 đúng ∀t ≥ 1 ⇔ ∀x ≥ -1
Khi t < 1 PT ⇔ 2t + 1 = 0 ⇔
−
= =
1
1
t 2
2
> 0 ⇒ x = 2. Vậy nghiệm:
[
)
S 1;
= − ∞
8.
2
9 10 2
2 4
x
x−
+
=
2
2 10.2 144 0
x x
⇔ + − =
Đặt
2
x
t =
PT trở thành t
2
+ 10t -144 = 0
18
8
t
t
= −
⇔
=
8 2 8 3
x
t x⇒ = ⇔ = ⇔ =
9.
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 2
4 1
2 2 2 4.2 1
x x
x x
+ +
+ +
= + − +
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 1
1 1
8.2 2 4.2 4.2 1
x x
x x
+ +
+ +
⇔ = + − +
.
Đặt
2
1
2
x
t
+
=
, t > 0 PT trở thành:
2 2 2
3 10
8. 4. 4. 1 6 1 0
3 10
t
t t t t t t
t
= −
= + − + ⇔ − − = ⇔
= +
.
10.
4 4
1
8.3 9 9
x x x x+ +
+ =
( )
4 4
4 4
2
2
3 3
8.3 .3 9.9 3 0 8. 9 0
3 3
x x
x x x x
x x
⇔ + − = ⇔ − + =
÷
÷
- Bài tập
1.
1
8 3.4 3.2 8 0
x x x+
− − + =
.ĐS
0
2
x
x
=
=
2.
1 3
25 6.5 5 0
x x+
− + =
ĐS x = - 5
3.
2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
− − =
ĐS x =0 4. 4
x
- 6.2
x
+ 8 = 0
5.
2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x− −
− + =
ĐS
1
2
x
x
= ±
= ±
6.
2 2
2 2 1
4 5.2 6 0
x x x x+ − + − −
− − =
ĐS
3
2
x =
7. 8
x
- 7.4
x
+ 7.2
x + 1
- 8 = 0 8.
3 6 3
x x
+ =
9.
2 2
2
2 2 5
x x x x+ − −
+ =
10. 3
x
+ 3
3 - x
= 12
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
6
t - 3 9 +
f
/
(t) + 0 - - 0 + +
26
10 6 3+
38
f(t)
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
11.
2 2
1 1
5 5 24 0
x x+ −
− − =
ĐS
1x
= ±
12.
| 1|
2 2
9 27
x
x
+
−
=
13.
2 2 18 2 6
x x
+ + − =
14.
( )
2
3
2. 0,3 3
100
x
x
x
= +
. HD
( )
3
0,3
10
x
x
=
÷
15.
( )
3 3
5 9.5 27 5 5 64 0
x x x x− −
+ + + − =
16.
3 3
1
2 8.2 6 2 1
2
x x x
x
−
− − − =
÷
17.
2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
x x x x− − +
− + − + =
18.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =
HD
2
2
x−
19.
1 3 1 3
4 14.2 8
x x x x
m
+ + − + + −
− + =
Tìm giá trị m phương trình có nghiệm.
20. 9
x
- 2.3
x
+ 2 = m Tìm giá trị m phương trình có nghiệm x ∈ (- 1;2).
21. 4
x
- 2
x + 3
+ 3 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm x ∈ (1; 3)
22.
2 2
1 - x 1 - x
9 8.3 4
xx
m
++
− + =
Tìm giá trị m phương trình có nghiệm.
23. 9
x
- 6.3
x
+ 5 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 1 nghiệm x ∈ [0; + ∞).
24.
| | | | 1
4 2 3
x x
m
+
− + =
Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.
25. 4
x
- 2(m + 1).2
x
+ 3m - 8 = 0 Tìm giá trị m phương trình có hai nghiệm trái dấu.
26.
2 2
9 4.3 6
x x
m− + =
Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.
b. TH
2
. Nếu phương trình có dạng :
( )
( )
( )
( )
2 2
. . . . 0
f x
f x f x
a b c
α α β β
+ + =
- Phương pháp.
Chia hai vế của phương trình cho
( )
( )
2
2
f x
f x
α
β
khi đó phương trình
( ) ( )
2
0
f x f x
a b c
α α
β β
⇔ + + =
÷ ÷
.
Đặt t =
( )
f x
α
β
÷
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
. . 0a t b t c+ + =
Giải phương trình tìm t
suy ra x.
- Ví dụ .Giải các phương trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Giải
PT
3 2
2 2 2
3. 4 2 0
3 3 3
x x x
⇔ + − − =
÷ ÷ ÷
Đặt
2
3
x
t
=
÷
, t>0 ta có PT trở thành
3 2
3 4 2 0t t t+ − − =
1
2
3
t
t
= −
⇔
=
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x =1.
2.
( )
− − −
+ =
x 1 x x 1 x 1
2 2 3 9
Giải:
PT⇔
( )
−
− −
+ =
x 1
2x 1 x 1
2 2.3 9
⇔
( )
−
− −
+ =
x 1
2x 2 x 1
2.2 2.3 9
⇔
− −
+ =
÷ ÷
2x 2 x 1
2 2
2 1
3 3
Đặt
1
2
3
x
t
−
=
÷
ĐK t > 0 PT trở thành 2t
2
+ t – 1 = 0
1
1
2
t
t
= −
⇔
=
chọn
=
1
t
2
⇒
1
2 1
3 2
x −
=
÷
⇔
1
3
2
2
x −
=
÷
⇔
3
2
1 log 2x − =
⇔
3
2
log 3x =
. Vậy nghiệm
3
2
log 3x =
.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
7
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
- Bài tập
Giải các phương trình sau
1.
x x x
27 12 2.8+ =
.ĐS x = 0. 2.
x x x
8 18 2.27+ =
. ĐS x = 0.
3.
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
4.
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0
x x x
− + =
5. 12.9
x
- 35.6
x
+ 18.4
x
= 0. 6.
1 1 1 2
1
2
25 3.10 2 0
x x x
+ +
+ − =
.
7.
2 2 2
2 6 10 3 5 2 6 10
3 4.15 2.5 0
x x x x x x+ − + − + −
+ − =
8.
3.16 2.81 5.36
x x x
+ =
9.
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
10.
2 4 2 2
3 45.6 9.2
x x x+ +
+ −
ĐS x = -2
11.
1 1 1
5.25 3.10 2.4
x x x
+ −
ĐS x = - 1 12.
1 1 1
49 35 25 0
x x x+ + +
− − =
c. TH
3
.Nếu phương trình có dạng :
( ) ( )
. . 0
f x f x
a b c
α β
+ + =
trong đó
1
αβ
=
.
- Phương pháp
Đặt
( ) ( )
1
f x f x
t
t
α β
= ⇒ =
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
. . 0a t c t b+ + =
Giải phương
trình tìm t suy ra x.
- Ví dụ. Giải các phương trình sau
1.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
Giải
Đặt
( )
2 1
x
t = +
ta được PT
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1
2 1
t
t
= −
⇔
= +
1
1
x
x
= −
⇔
=
2.
( ) ( )
x x
2 3 2 3 14− + + =
Giải
Đặt
( )
= −
x
t 2 3
ĐK t > 0 PT trở thành
+ =
1
t 14
t
⇔ t
2
– 14t + 1 = 0 , ⇔
( )
= ±
2
t 2 3
⇔ x = ± 2
3.
( ) ( )
x x
2 3 2 3 4− + + =
Giải. Đặt
= −
÷
x
t 2 3
ĐK t > 0 PT trở thành t
2
– 4t + 1 = 0 ⇔
= ±t 2 3
⇒ x = ± 2.
- Bài tập
Giải các phương trình sau
1.
( ) ( )
7 4 3 3. 2 3 2 0
x x
+ − − + =
2.
( ) ( )
4 15 4 15 62 0
x x
+ + − − =
.
3.
(
)
(
)
3 3
3 8 3 8 6
x x
+ + − =
4.
(
)
(
)
7 48 7 48 14 0
x x
+ + − − =
5.
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
2
2 3 2 3
2 3
x x x x− + − +
+ + − =
−
6.
( ) ( )
3 5 3 5 7.2
x x
x
+ + − =
7.
( ) ( )
3 2 2 3 2 2 6
x x
x
+ + − =
8.
( ) ( )
1
3 5 1 5 1 2
x x
x+
+ − − =
9.
( ) ( ) ( )
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 0
x x x
+ + + − + − =
10.
( ) ( ) ( )
2 3 2 3 5
x x x
− + + =
11.
( ) ( )
3
7 3 5 7 3 5 2
x x
x
m
+
+ + − =
Tìm giá trị m phương trình có nghiệm
4. ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM LÀ DUY NHẤT
a. Phương pháp
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
8
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
- Nếu phương trình cần giải có dạng
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
f x g x
f x
a b
a g x
=
=
và ta có thể đoán ra được một nghiệm
0
x
α
=
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
( )
f x
y a=
với đồ thị
(C
/
) của hàm số mủ
( )
g x
y b=
- Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
( )
f x
y a=
với đồ thị
(C
/
) của hàm số
( )
y g x=
.
- Từ tính chất
Nếu hàm số
( )
y f x=
là một hàm số đồng biến và hàm số
( )
y g x=
là hàm số nghịch biến hoặc
ngược lại thì (C) và (C
/
) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
- Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệm
0
x
α
=
.
- Chú ý:
Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất
phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt
nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
+ B
1
: Lập bảng biến thiên của hàm số .
+ B
2
: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) .
b. Ví dụ .Giải các phương trình sau
1.
5 12 13
x x x
+ =
( )
5 12
1 1
13 13
x x
⇔ + =
÷ ÷
Phương trình (1) có một nghiệm x = 2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
5 12
13 13
x x
y
= +
÷ ÷
với đường thẳng d:y = 1.
Mà hàm số
5 12
13 13
x x
y
= +
÷ ÷
nghịch biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương
trình có duy nhất nghiệm x = 2.
2.
6 2 32
x x
− =
( )
1
3 1 32 1
2
x
x
⇔ − =
÷
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 2.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
3 1
x
y = −
với đồ thị
(C
/
) của hàm số mủ
1
32
2
x
y
=
÷
.
Mà hàm số
3 1
x
y = −
đồng biến trên R, hàm số
1
32
2
x
y
=
÷
nghịch biến trên R nên (C) cắt (C
/
) tại
duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = 2.
3.
x
1
x 4
3
= +
(1)
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = -1.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
9
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
x
1
y
3
=
với đường
thẳng d:y = x + 4
Mà hàm số
x
1
y
3
=
nghịch biến trên R, hàm số y = x + 4 đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy
nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = -1.
4.
( )
( )
.2 3 2 2 1
x x
x x x= − + −
Giải:
PT
( ) ( ) ( )
2
.2 3 2.2 2 0 2 2 2 1 0
x x x
x x x x x x⇔ + − − + = ⇔ − + − − =
( )
( )
2 2 1 0
x
x x⇔ − + − =
( )
( )
2
2 0
2 1 1
2 1
x
x
x a
x
x
x
=
− =
⇔ ⇔
= −
= −
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
2
x
y =
với đường
thẳng d :y = 1- x .
Mà hàm số
2
x
y =
đồng biến trên R, hàm số
1y x= −
nghịch biến trên R nên dcắt (C) tại duy nhất
một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)
Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là
1
2
x
x
=
=
5.
( ) ( )
2 1 1
3 3 2 2 2 3
x x x x x
x x
− −
+ − = −
Giải:
PT
( )
( )
( )
2 1 1 1 1 2
3 3.3 2.3 2 2 0 3 3 2 2 2 0
x x x x x x
x x x x x x
− − − −
⇔ + + − + = ⇔ + + − + =
( ) ( ) ( )
1
3 1 2 2 2 0
x x
x x x
−
⇔ + + − + =
( ) ( )
1
2 3 1 2 0
x x
x x
−
⇔ + + − =
( )
1
2 0
3 1 2 0
x x
x
x
−
+ =
⇔
+ − =
( )
( )
2
1 2
1
3 3
x
x a
x
=
⇔
+
=
÷
Giải PT (1)
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
2
3
x
y
=
÷
với đường
thẳng d:y =
1 1
3 3
x +
Mà hàm số
2
3
x
y
=
÷
nghịch biến trên R, hàm số y =
1 1
3 3
x +
đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy
nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)
Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là
1
2
x
x
=
=
6.
2
2
2
1
3
x x
x x
x
−
+ +
=
(1)với x > 0
Giải
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
10
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số
( )
2
1x x
f x
x
+ +
=
với đồ
thị (C
/
) của hàm số mủ
( )
2
2
3
x x
g x
−
=
- Xét hàm số
( ) ( ) ( )
2
/ /
2
1
1 1 1
1 ; 1 ; 0
1
x
x x
f x x f x f x
x
x x x
= −
+ +
= = + + = − = ⇔
=
0
lim ; lim
x
x
y y
−
→+∞
→
= +∞ = +∞
Bảng biến thiên:
- Xét hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 / 2 /
3 ; 2 1 3 ln 3; 0 1
x x x x
g x g x x g x x
− −
= = − − = ⇔ =
0
lim 1; lim 0
x
x
y y
−
→+∞
→
= =
Bảng biến thiên:
Dựa vào hai bảng biến thiên ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Khi
0
1
x
x
>
≠
thì
( )
( )
3
3
f x
g x
>
<
nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x = 1
c. BÀI TẬP
1. 4
x
+ (x - 8).2
x
+ 12 – 2x = 0 2. (x + 4).9
x
- (x + 5).3
x
+ 1 = 0
3. 3
x
+ 5
x
= 6x + 2 4. 3
x + 1
= 10 - x.
5.
2 2
2 2
4 ( 7).2 12 4 0
x x
x x+ − + − =
6.
( )
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
7.
( )
25 2 3 5 2 7 0
x x
x x− − + − =
8.
( )
4 11 32 13
x
x x x
+ + =
9.
2
1 3 2
x
x
+ =
10.
2
2 2 2 4
x x
x x
−
+ + = −
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
11
y
x 0 1
y
/
- 0 +
3
y
x 0 1
y
/
+ 0 -
1
0
3
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
§6:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ
TC
1
: Nếu 0 < a < b thì
0
0
m m
m m
a b khi m
a b khi m
< >
> <
TC
2
: Nếu a > 1 thì
n m
a a khi n m< <
TC
3
: Nếu 0 < a < 1 thì
n m
a a khi n m< >
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
a. PHƯƠNG PHÁP
Cho bất phương trình
( ) ( )
( ) ( )
h x p x
h x p x
>
≥
(1) (Trong đó h(x) và p(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).
TH
1
:Biến đổi phương trình (1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
f x g x
f x g x
f x g x
a a
khi a
f x g x
a a
>
>
⇔ ⇔ >
≥
≥
hoặc
TH
2
:Biến đổi phương trình (1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
f x g x
f x g x
a a
khi a
f x g x
a a
<
>
⇔ ⇔ < <
≤
≥
.
b. ví dụ.Giải các bất phương trình sau
1.
2
4 12
1
1
3
x x− −
>
÷
2
4 12 0
2
1 1
4 12 0 2 6
3 3
x x
x x x
− −
⇔ > ⇔ − − < ⇔ − < <
÷ ÷
2.
2
1
2
4
x x− −
≤
⇔
2 2
2
2
1
2 2 2
2
x x x x− − − − −
≤ ⇔ ≤
2
2x x⇔ − − ≤ −
2
2 0x x⇔ − − + ≤
2 1x x
⇔ ≤ − ∨ ≥
3.
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
÷
ĐK: x
2
– 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2. Bpt
2
2 1x x x x⇔ − ≥ − −
- Nếu x ≤ 0 BPT ⇔
2
2 1 2x x x− ≥ −
⇔
2
3 2 1 0x x− + ≤
PTVN.
- Nếu x ≥ 2 BPT ⇔
2
2 1x x− ≥ −
đúng ∀x ≥ 2. Vậy nghiệm x ≥ 2.
4.
2
( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x x
−
−
− + >
⇔
2 2 1 2 4
2 2 .2 2 .2 52
x x x− −
− + >
⇔
2
13
2 4.13
16
x
>
⇔
2 6
2 2
x
>
⇔
x > 3.
5.
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x+ + + + +
− − > −
2 5
x x
⇔ <
⇔
2
1
5
x
<
÷
⇔ x > 0
6.
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x− + −
<
÷ ÷
⇔
6 3
2 1 1x x x− + > −
⇔
3
1 1x x− > −
- Nếu 1 – x < 0 ⇔ x > 1 BPT đúng với ∀x > 1.
- Nếu 1 – x = 0 ⇔ x = 1 BPT ⇔ 0 > 0 sai.
- Nếu 1 – x > 0 ⇔ x < 1 BPT ⇔ -x
3
+ 1 > 1 – x ⇔ 1 + x + x
2
< 1 ⇔ -1 < x < 0 .
Vậy: Nghiệm S = (-1 ; 0) ∪ (1 ; +∞).
7.
25.2 10 5 25
x x x
− + >
Giải BPT ⇔
2 2
2 (5 5 ) 5 5
x x x
− > −
⇔
2
(2 1)(5 5 ) 0
x x
− − >
⇔
2
2 1 0
5 5 0
x
x
− >
− >
(I) hoặc
2
2 1 0
5 5 0
x
x
− <
− <
(II)
(I)⇔
0
2
x
x
>
<
. (II)
⇔
0
2
x
x
<
>
⇒ 0 < x < 2.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
12
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
8.
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +
⇔
( ) ( )
2
2 2
4 2 3 2 2 3 0
x
x x x x− − − − − >
⇔
( )
( )
2
2
2 3 4 2 0
x
x x− − − >
⇔
2
2
2 3 0
4 2 0
x
x x
− − >
− >
(I) hoặc
2
2
2 3 0
4 2 0
x
x x
− − <
− <
(II)
(I)⇔
1 3
2 2
x x
x x
< − ∨ >
< − ∨ >
⇔
2
3
x
x
< −
>
(a)
(II)⇔
1 3
2 2
x
x
− < <
− < <
⇔-1 < x <
3
(b)
Từ (a), (b) ta có tập hợp nghiệm của bất phương trình là D =
( ) ( )
( )
2 1, 3 3,−∞ − ∪ − ∪ + ∞
9.
2 1 1
5 6 30 5 .30
x x x x+ +
+ > +
Giải :BPT ⇔
2 2
5.5 6.6 30 5 .6
x x x x
+ > +
⇔
( ) ( )
2
5 6 5 6 0
x x
− − >
⇔
2
5 6
5 6
x
x
>
>
(I) hoặc
2
5 6
5 6
x
x
<
<
(II)
(I)
⇔
6
5
log 5
1
log 6
2
x
x
<
>
. (II) vônghiệm. Vậy tập hợp nghiệm là
5 6
1
log 6 log 5
2
x< <
Chú ý:
5 6
1
log 6 log 5
2
<
10.
( )
2. 5 24 5 7 5 7
x x x
+ − − ≥ +
Giải .Đk
5
5 7 0 log 7
x
x− ≥ ⇔ ≥
BPT
( ) ( ) ( ) ( )
2. 5 24 5 7 5 7 2. 5 24 2.5 2 5 7 5 7
x x x x x x x
⇔ + ≥ + + − ⇔ + ≥ + + −
2
24 5 49
x
⇔ ≥ −
2 2 4
5 625 5 5 2
x x
x⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Kết hợp Đk ta có tập hợp nghiệm
5
log 7 2x≤ ≤
c. BÀI TẬP
Giải các bất phương trình mũ sau
1.
2
7 12
5 1
x x− +
>
2.
( )
2
7 12
5 1
x x+ +
>
3.
1
4
1 1
2 2
x
≥
÷ ÷
4.
2
3
1 1
5 25
x x+
≤
÷
5.
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x− + −
<
÷ ÷
6.
2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
<
÷ ÷
7.
2
2
40
1
4 3
2
1
3
3
x
x x
−
+ +
<
÷
8.
2
2
9 8 3
7
1
7
7
x x
x
− − +
−
<
÷
9.
( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ ≤ −
10.
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ ≥ −
11.
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ ≥ −
12.
( ) ( )
6 6
1
2 1 2 1
x
x
x
−
−
+
+ ≤ −
13.
2 3 7 3 1
6 2 .3
x x x+ + +
<
14.
2 2 2
3 2 3 3 3 4
2 .3 .5 12
x x x x x x− − − − − −
≥
15.
( )
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− > −
16.
2 1 1
7 2 5.7 2
x x x x+ − −
− > −
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
13
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
17.
3 2 1
2 5 7.2 3.5
x x x x+ − −
− < −
18.
2 1 1
3 7 4.7 34.3
x x x x+ − −
+ ≤ +
19.
25.2 10 5 25
x x x
− + >
20.
2 2 2
2 2
3 3 3
x x x x x x− + +
+ >
21.
3
2 2 9
x x−
+ ≤
22.
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x+ + + + +
− − > −
23.
2 1 2 3 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2
x x x x x x− − − − − −
+ − > + −
24.
2
( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x x
−
−
− + >
25.
( )
13 5 2 13 12 13 5
x x x
− ≤ + − +
26.
2 2 2
2 5 3 2 2 .3 2 5 3 4 .3
x x
x x x x x x x− − + > − − +
27.
2 2
3 5 2 3 3 .5 . 3 5 2 9 .5 .
x x
x x x x x x
− −
+ − + > + − +
HD
5 3 0,
x
x x TXD− > ∀ ∈
3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
a. TH
1
. Nếu bất phương trình có dạng :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
. . 0
. . 0
. . 0
. . 0
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
a b c
a b c
a b c
a b c
α α
α α
α α
α α
+ + >
+ + ≥
+ + <
+ + ≤
- Phương pháp.
Đặt t =
( )
f x
α
ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành
2
2
2
2
. . 0
. . 0
. . 0
. . 0
a t bt c
a t bt c
a t bt c
a t bt c
+ + >
+ + ≥
+ + <
+ + ≤
Giải bất phương trình tìm
t suy ra x.
- Ví dụ. Giải các bất phương trình sau
1.
3 1
1 1
128 0
4 8
x x −
− − ≥
÷
÷
Giải:BPT ⇔
6 3
2 8.2 128 0
x x− −
− − ≥
Đặt
3
2
x
t
−
=
ĐK t > 0
Bất PT trở thành t
2
– 8t – 128 ≥ 0
⇔
(t + 8)(t – 16) ≥ 0 ⇔ t ≥ 16 ⇔
3 4
2 2
x−
≥
⇔
4
x
3
≤ −
2.
1 1
1 2
4 2 3 0
x x
− −
− − ≤
Giải: BPT ⇔
1 1
2.
2 2 12 0
x x
− − ≤
. Đặt
1
2 0
x
t = >
Bất PT trở thành
2
t t 12 0− − ≤
⇔ -3 ≤ t ≤ 4
⇔
0 ≤ t ≤ 4 ⇔
1
0 2 4
x
≤ ≤
⇔
1
2 0
x
− ≤
1 2
0
x
x
−
⇔ ≤
1
0
2
x x⇔ < ∨ ≥
3.
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
Giải: ĐK x + 4
0 4x≥ ⇔ ≥
BPT
( )
( )
2 4
2 4 2 4 4 4
3 3 8.3 9.9 0 3 8.3 9 0
x x
x x x x x x x
− +
− + + + + − +
⇔ − − > ⇔ − − >
Đặt t =
4
3
x x− +
với t > 0.
BPT trở thành
2 4
1
8 9 0 9 3 9
9
x x
t
t t t
t
− +
< −
− − > ⇔ ⇒ > ⇔ >
>
2 4x x⇔ − > +
( )
2
2 0
2 4
x
x x
− >
⇔
− > +
2
2
5
5 0
x
x
x x
>
⇔ ⇔ >
− >
. Vậy x > 5 là tập hợp nghiệm của bất phương trình.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
14
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
4.
2
2
2
2
1
9 2 3
3
x x
x x
−
−
− ≤
÷
Giải:BPT
( )
2
2
2 2
2
3 2.3 3 0
x x
x x
−
−
⇔ − − ≤
Đặt
2
2
3 , 0
x x
t t
−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤ t ≤ 3
⇔
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x
⇔ ≤ ≤
5.
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x+ +
+ ≥ − +
Giải:Đặt t = 2
x
với t > 0 ta có BPT trở thành
30 1 1 2t t t+ ≥ − +
- Khi t =1 thỏa BPT
- Khi t >1 BPT
30 1 3 1t t⇔ + ≥ −
2
1
30 1 9 6 1
t
t t t
>
⇔
+ ≥ − +
2
1
4 0
t
t t
>
⇔
− ≤
1 4t
⇔ < ≤
- Khi t <1 BPT
30 1 1t t⇔ + ≥ +
2
1
1 1
1
30 1 2 1
30
t
t
t
t t t
< −
− ≤ <
⇔ ∨
−
≥
+ ≥ + +
1
1
30
t
−
⇔ ≤ < −
(1)
Hoặc
2
1 1
28 0
t
t t
− ≤ <
− ≤
1 1
0 28
t
t
− ≤ <
⇔
≤ ≤
(2)
- Kết hợp các trường hợp và điều kiện t >0 ta có
0 4t
< ≤
0 2 4 2
x
x⇔ < ≤ ⇔ ≤
6. Định m để bất PT sau có nghiệm
9 .3 3 0
x x
m m− + + ≤
(1)
Giải:
Đặt
3 0
x
t = >
.
Bất PT trở thành: t
2
– mt + m + 3 ≤ 0
( ) ( )
2
2
3
3 1 1 0 1
1
t
t m t m khi t
t
+
⇔ + ≤ − ⇔ ≥ < <
−
hoặc
( )
2
3 1t m t+ ≤ − ⇔
( )
2
3
2 1
1
t
m khi t
t
+
≤ >
−
Xét hàm số
( )
2
3
1
t
f t
t
+
=
−
Ta có
( )
( )
( )
2
/ /
2
1
2 3
; 0
3
1
t
t t
f t f t
t
t
= −
− −
= = ⇔
=
−
- Trên khoảng (0, 1) ta có
( ) ( )
0 1
lim 3, lim
x x
f t f t
+ −
→ →
= − = −∞
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị m để thoả mãn bất phương trình (1)
- Trên khoảng (1,
+∞
) ta có
( ) ( )
1
lim , lim
x
x
f t f t
+
→+∞
→
= +∞ = +∞
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị của là m ≥ 6 thoả mãn bất phương trình (2)
Vậy m ≥ 6 thì BPT có nghiệm .
- Bài tập
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
15
y
t 1 3
+∞
f(t)
/
- 0 +
6
+∞
+∞
y
t 0 1
y
/
- - 0
-3
−∞
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
Giải các bất phương trình sau
1.
9 2.3 15 0
x x
− − >
2.
1
4 2.2 3 0
x x+
− + =
3.
2 1
5 5 4 0
x x+
− − >
4.
49 6.7 7 0
x x
− − <
5.
2 8 5
3 4.3 45 0
x x+ +
+ − >
6.
1 1
3 3 10
x x+ −
+ <
7.
1 1
5 5 24 0
x x+ −
− − >
8.
2 3
2 1
1
2 21. 2 0
2
x
x
+
+
− + ≥
÷
9.
2 1
1
1 1
3 12
3 3
x x
+
+ >
÷ ÷
10.
2 3
4
1
3 35. 6 0
3
x
x
−
−
− + ≥
÷
11.
1
3.7 7 4 0
x x+ −
− + <
12.
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
13.
1
1
11.3 31
5.
4.9 11.3 5
x
x x
−
−
−
≥
− −
14.
2 1
4 7.5 2
5 12.5 4 3
x
x x+
−
≤
− +
b. TH
2
. Nếu bất phương trình có dạng :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
. . 0
. . 0
f x f x
f x
f x f x
f x
a b c
a b c
α αβ β
α αβ β
+ + >
+ + <
- Phương pháp.
Do
( )
( )
( )
( )
2
2
0
0
f x
f x
α
β
>
>
nên chia hai vế của bất phương trình cho
( )
( )
2
2
f x
f x
α
β
khi đó bất phương trình
( ) ( )
( ) ( )
2
2
. . 0
. . 0
f x f x
f x f x
a b c
a b c
α α
β β
α α
β β
+ + >
÷ ÷
⇔
+ + <
÷ ÷
.
Đặt t =
( )
f x
α
β
÷
ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành
2
2
. . 0
. . 0
a t bt c
a t bt c
+ + >
+ + <
Giải bất phương trình
tìm t suy ra x.
- Ví dụ. Giải bất phương trình sau
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥
Giải:
BPT
2
7 7
2 3 1 0
2 2
x x
⇔ + − ≥
÷ ÷
. Đặt
7
2
x
t
=
÷
với t > 0
BPT trở thành 3t
2
+ 2t – 1 ≥ 0
1
1
1
3
3
t
t
t
≤ −
⇔ ⇒ ≥
≥
7 1
2 3
x
⇔ ≥
÷
7
2
log 3x⇔ ≥ −
- Bài tập. Giải các bất phương trình sau
1.
3.4 2.6 9
x x x
− >
2.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + ≤
3.
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x− + + − + + − +
+ ≥
4.
5.36 2.81 3.16 0
x x x
− − ≤
5. 12.9
x+1
- 35.6
x+1
+ 18.4
x+1
≥
0 6.
1
2 1
2
25 3.10 2
x
x x
+
+
+ ≤
.
7.
2 2 2
2 6 10 3 5 2 6 10
3 4.15 2.5
x x x x x x+ − + − + −
+ ≥
8.
1 1 1
3.16 2.81 5.36
x x x+ + +
+ ≤
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
16
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
4. MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
a. Phương pháp
Đối với loại bất phương trình không mẫu mực tuỳ và từng bài mà ta có thể lựa chọn 1 trong các
phương pháp giải sau:
- Phân tích và lập bảng xét dấu của các biểu thức.
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Giã sử cần giải bất phương trình
( ) ( ) ( )
1f x g x>
.Khi đó tập hợp nghiệm của (1) là tập hợp các giá
trị của x sao cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nằm trên đồ thị (C
/
) của hàm số y = g(x)
b. Ví dụ. Giải các bất phương trình sau
1.
1
2 6 11
4
2
x
x
x
−
+ −
>
−
Giải: BPT
1
2 2 3
0
2
x
x
x
−
+ −
⇔ >
−
Khi x < 1 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−
+ − <
− <
suy ra x <1 thỏa BPT.
Khi x =1 không thỏa BPT.
Khi 1< x < 2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−
+ − >
− <
suy ra 1 < x < 2 không thỏa BPT.
Khi x > 2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−
+ − >
− >
suy ra x > 2 thỏa BPT
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x <1 hoặc x > 2
2.
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≥
−
Giải: Đặt
2
( ) 3 3 2
x
f x x
−
= + −
và
( ) 4 2
x
g x = −
Hàm số f(x) nghịch biến và f(2) = 0 , hàm số g(x) đồng biến và
1
0
2
f
=
÷
.
Bảng biết thịên
Từ bảng biến thiên ta có tập hợp nghiệm của bất PT là
1
2
2
x< ≤
.
c. Bài tập. Giải các bất phương trình mủ sau
1.
( )
2
4 2 2
3 4 3 1
x x
x
− −
+ − ≥
HD Xét
2
2
4 0
4 0
x
x
− ≥
− <
2.
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x
−
− +
≤
−
HD xét
0
0 1
1
x
x
x
<
< <
≥
3.
2 2
2 2
4 ( 7).2 12 4 0
x x
x x+ − + − ≥
4.
( )
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x+ − + − ≤
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
17
x - 2 +
f(x) + + 0 -
g(x) - 0 + +
- + 0 -
