Bài tập phương trình vô tỷ

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I,CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1,Phương pháp biến đổi tương đương
Ta sử dụng các phép bến đổi sau:
.
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇔ = ≥
( với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa )
.
2
( ) 0, ( )
( ) ( )
( ) ( )
g x g x
f x g x
f x g x

≥ ∃

= ⇔

=



.
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
f x
f x g x h x g x
f x g x f x g x h x


≥

+ = ⇔ ≥


+ + =

2, Phương pháp đặt ẩn phụ
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
+ Nếu bài toán chứa
( )f x
và f(x) có thể đặt
( )f x
= t, đk tối thiểu t
0
≥
, khi đó f(x) = t
2
+ Nếu bài toán có chứa
( ), ( )f x g x
và
( ). ( )f x g x k const= =
có thể đặt
( )f x
= t với điều
kiện tối thiểu là t
0
≥
; khi đó

( )
k
g x
t
=
+ Nếu bài toán chứa
2 2
a x−
có thể đặt
sin ,
2 2
x a t t
π π
= − ≤ ≤
; hoặc
cos , 0x a t t
π
= ≤ ≤
+ Nếu bài toán có chứa
2 2
x a−
có thể đặt
; ,0 0,
sin 2 2
a
x t
t
π π
−
   

= ∈ ∪
÷ 
 
   
hoặc
, 0, ,
2 2
a
x t
cost
π π
π
   
= ∈ ∪
÷ 
 
   
+ Nếu bài toán có chứa
2 2
x a+
có thể đặt
; ;
2 2
x tant t
π π
−
 
= ∈
 ÷
 

Hoặc
( )
cot ; 0,x a
α α π
= ∈
+ Nếu bài toán có chứa
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
có thể đặt x = a.cos2t
+Nếu bài toán có chứa
( )( )x a b x− −
có thể đặt x = a + (b - a).sin
2
t
3, Phương pháp hàm số
Hướng 1:
+ Chuyển pt về dạng f(x) = k
+ Xét hsố y = f(x). Dùng lập luận chứng minh hsố là đơn điệu (gsử đồng biến)
+ Nhận xét
• Với x = x
0
0
( ) ( )f x f x k⇔ = =

• Với x > x
0

0
( ) ( )f x f x k⇔ > =
, do đó phương trình vô nghiệm
• Với x < x
0

0
( ) ( )f x f x k⇔ < =
, do đó phương trình vô nghiệm
Vậy x = x
0
là nghiệm duy nhất.
Hướng 2:
+ Chuyển pt về dạng f(x) = g(x)
+ Xét hsố y = f(x) và hsố y = g(x). Chứng minh hsố y = f(x) là đồng biến còn hsố y = g(x) là
hàm hằng hoặc nghịch biến
+ Xác định x
0
sao cho f(x
0
) = g(x
0
). Vậy x
0
là nghiệm duy nhất của pt.
4, Phương pháp đánh giá
Ta đánh giá 2 vế của pt dựa vào tính chất của bất đẳng thức để tìm nghiệm của pt.

II,Bài tập
1, Giải các pt:
1,
2 3 0x x− + =
2,
4 1 1 2x x x+ − − = −
3,
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0x x x x− + − − − =
4,
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =
5,
2 2
1 1 (1 2 1 )x x x+ − = + −
6,
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
7,
2
4 1 4 1 1x x− + − =
(HVNH khối D – 2001)
8,
2 2
1 1 1 1x x x x x x+ − + − + + + + =
9,
2
2 5 1 2x x x− + + − =
10,
2 1 3 4 1 1x x x x− − + + − − =
11,

2 2
3 2 1x x x x− + − + − =
(ĐHNT-99)
12,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
(HVKTQS-99)
13,
2
2
1 1
3
x x x x+ − = + −
(NVNH-2000)
14,
3
2 1 1x x− = − −
(ĐHTCKT – 2000)
15,
3
3
1 2 2 1X X+ = −
16,
2
2
( 1 1 2).log ( ) 0x x x x− + + − − =
(ĐHQG – 98)
17,
1 2 2 1 2 2 1x x x x− + − − − − − =
(ĐHSP Vinh khối D – 2000)

18,
2 2
11 31x x+ + =
19,
2
( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = +
20,
2
2 1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − =