TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (HAY)

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

2
3 2 4 2
3x 2 x 2x + 3
a)y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c) y d) y
x 1 x 1
+ −
= − + = =
+ +
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3
2
2 2
x x x
a) y 25 x b) y c) y d) y
x 100
16 x x 6

= − = = =
+
− −
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) Hàm số
2
y x 1 x= + −
đồng biến trên khoảng
1
1;
2
 
−
 ÷
 
và nghịch biến trên khoảng
1
;1
2
 
 ÷
 
.
b) Hàm số
2
y x x 20= − −
nghịch biến trên khoảng
( )
; 4−∞ −
và đồng biến trên

khoảng
( )
5;+∞
.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
[ ]
5
a) y x sin x, x 0;2 b) y x 2cosx, x ;
6 6
π π
 
= − ∈ π = + ∈
 ÷
 
Bài 4. Chứng minh rằng:
a)
( )
f x cos2x 2x 3= − +
nghịch biến trên R.
b)
( )
2
f x x cos x= +
đồng biến trên R.
Giải:
a) Ta có:
f '(x) 2(sin 2x 1) 0, x R= − + ≤ ∀ ∈
và
f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z
4

π
= ⇔ = − ⇔ = − + π ∈
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn
( )
k ; k 1
4 4
π π
 
− + π − + + π
 
 
và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi
( )
x k ; k 1 , k Z
4 4
π π
 
∈ − + π − + + π ∈
 ÷
 
.
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn
( )
k ; k 1 , k Z
4 4

π π
 
− + π − + + π ∈
 
 
.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x;
f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z
4
π
= ⇔ = ⇔ = + π ∈
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn
( )
k ; k 1
4 4
π π
 
+ π + + π
 
 
và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi
( )
x k ; k 1 , k Z
4 4
π π
 
∈ + π + + π ∈
 ÷
 

.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn
( )
k ; k 1 , k Z
4 4
π π
 
+ π + + π ∈
 
 
.
Vậy hàm đồng biến trên R.
VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Nếu
f '(x) 0, x K≥ ∀ ∈
thì f(x) đồng biến trên K.
 Nếu
f '(x) 0, x K≤ ∀ ∈
thì f(x) nghịch biến trên K.
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có biệt thức
2
b 4ac∆ = −
. Ta có:

a 0
f (x) 0, x R

0
>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤


a 0
f (x) 0, x R
0
<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các
bước sau:
 B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
 B2. Lý luận:
Hàm số đồng biến trên K
f '(x,m) 0, x K⇔ ≥ ∀ ∈

( )
m g(x), x K m g(x)⇔ ≥ ∀ ∈ ≤
 B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 1
Với giá trị nào của a, hàm số
( )

3 2
1
f (x) x 2x 2a 1 x 3a 2
3
= − + + + − +
nghịch biến trên R ?
Giải:
TXĐ: R
Ta có:
2
f '(x) x 4x 2a 1
= − + + +
,
2a 5∆ = +
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
5
f '(x) 0, x R 0 a
2
≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ ≤ −
.
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 2
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
Bài 2
Với giá trị nào của m, hàm số
( )
3 2
f (x) mx 3x m 2 x 3

= − + − +
nghịch biến trên R ?
Giải:
TXĐ: R
Ta có:
2
f '(x) 3mx 6x m 2
= − + −
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
2
f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R
= − + − ≤ ∀ ∈
• m = 0, khi đó f’(x) =
1
6x 2 0 x
3
− − ≤ ⇔ ≥ −
: không thỏa
x R
∀ ∈
.
•
m 0≠
, khi đó
m 0
f '(x) 0, x R
9 3m(m 2) 0
<

≤ ∀ ∈ ⇔


∆ = − − ≤



2
m 0
m 0
m 1
m 1 v m 3
3m 6m 9 0
<
<


⇔ ⇔ ⇔ ≤ −
 
≤ − ≥
− + + ≤


Vậy, với
m 1
≤ −
thì thỏa mãn bài toán.
Bài 3
Với giá trị nào của m, hàm số
( )
2
3x mx 2

f x
2x 1
− + −
=
−
nghịch biến trên từng khoảng xác định
của nó.
Giải:
TXĐ:
1
D R \
2
 
=
 
 
Đạo hàm:
( )
2
2
6x 6x 4 m
f '(x)
2x 1
− + + −
=
−
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
1
f '(x) 0, x
2

≤ ∀ ≠
2
1 11
6x 6x 4 m 0, x ' 9 6(4 m) 0 m
2 2
⇔ − + + − ≤ ∀ ≠ ⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ ≥
Bài 4
Định m để hàm số
mx 1
y
x m
+
=
+
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải:
TXĐ:
{ }
D R \ m
= −
Đạo hàm:
( )
2
2
m 1
y'
x m
−
=
+

. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi
2
y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1> ∀ ≠ − ⇔ − > ⇔ < − >
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
Bài 5
Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= − − + − +
đồng biến trên
[
)
2;
+∞
.
Giải:
Ta có:
( ) ( )
2
y' mx 2 m 1 x 3 m 2
= − − + −
Hàm số đồng trên
[

) ( ) ( )
2
2; y' 0, x 2 mx 2 m 1 x 3 m 2 0, x 2
+∞ ⇔ ≥ ∀ ≥ ⇔ − − + − ≥ ∀ ≥
( )
2
2
6 2x
m x 2x 3 2x 6 0, x 2 m , x 2
x 2x 3
−
⇔ − + + − ≥ ∀ ≥ ⇔ ≥ ∀ ≥
− +
(vì x
2
– 2x + 3 > 0)
Bài toán trở thành:
Tìm m để hàm số
( )
2
6 2x
f x m, x 2
x 2x 3
−
= ≤ ∀ ≥
− +
Ta có
( )
( )
( )

2
2
2
2
2x 12x 6
f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6
x 2x 3
− +
= = ⇔ − + = ⇔ = ±
− +
BBT:
x
2
3 6
+

+∞
f’(x) 0
f(x)
2
3
0
Ta cần có:
[
)
2;
2
max f (x) m m
3
+∞

≤ ⇔ ≥
. Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 6
Tìm m để hàm số
2
mx 6x 2
y
x 2
+ −
=
+
nghịch biến trên nửa khoảng
[
)
1;
+∞
.
Giải:
Ta có:
( )
2
2
mx 4mx 14
y'
x 2
+ +
=
+
Hàm số nghịch biến trên
[

)
2
1; y' 0, x 1 mx 4mx 14 0, x 1
+∞ ⇔ ≤ ∀ ≥ ⇔ + + ≤ ∀ ≥
( )
2
2
14
m x 4x 14, x 1 m , 1
x 4x
−
⇔ + ≤ − ∀ ≥ ⇔ ≤ ∀ ≥
+
Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số
( )
2
14
f x m, x 1
x 4x
−
= ≤ ∀ ≥
+
Ta có:
( )
2
2
14(2x 4)
f '(x) 0, x 1
x 4x
+

= ≥ ∀ ≥
+
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 4
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
x 1
+∞
f’(x)
f(x)
0
14
5
−
Ta cần có:
[
)
1;
14
min f (x) m m
5
+∞
≥ ⇔ ≤ −
. Vậy
14
m
5
≤ −
là các giá trị cần tìm của m.

Bài tập tự giải:
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
( )
3 2
1
f x x ax 4x + 3
3
= + +
đồng biến trên R
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số
m
y x 2
x 1
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3. Định a để hàm số
( )
( )
2 3 2
1
y a 1 x a 1 x 3x 5
3
= − + + + +
luôn đồng biến trên R ?
ĐS:
a 1 v a 2
≤ − ≥
Bài 4. Cho hàm số
( )

2
m 1 x 2x 1
y
x 1
− + +
=
+
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng
khoảng xác định của nó.
ĐS:
1 m 2
≤ ≤
Bài 5. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
y x m 1 x m 2 x m
= − + + − + +
. Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch
biến trên R với mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x
3
– 2x
2
+ mx – 4 đồng biến trên khoảng
( )
0;
+∞
.
ĐS:

4
m
9
≥
.
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx
3
– 6x
2
+ (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).
ĐS:
9
m
10
≥
.
Bài 8. Cho hàm số
2
x 2mx m 2
y
x m
− + +
=
−
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;
+∞

.
VẤN ĐỀ 3:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:
 f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
a; b
thì
( ) ( ) ( )
[ ]
f a f x f b , x a; b≤ ≤ ∀ ∈
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 5
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
 f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
a; b
thì
( ) ( ) ( )
[ ]
f a f x f b , x a; b≥ ≥ ∀ ∈
Bài 1
Cho hàm số
( )
f x 2sin x tan x 3x
= + −
.
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng

0;
2
π
 
÷

 
.
b) Chứng minh rằng:
2sin x tan x 3x, x 0;
2
π
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
.
Giải:
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
và có
( ) ( )
2
2 2

1 cosx 2cosx 1
1
f '(x) 2cosx 3 0, 0;
cos x cos x 2
− +
π
 
= + − = > ∀∈
 ÷
 
. Do đó, hàm số f đồng
biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
(đpcm).
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,
x 0; 2sin x tan x 3x, x 0;
2 2
π π
   
∀ ∈ ⇔ + > ∀ ∈
 ÷  ÷
   
(đpcm).
Bài 2

a) Chứng minh rằng hàm số
( )
f x tan x x
= −
đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
.
b) Chứng minh rằng
3
x
tan x x , x 0;
3 2
π
 
> + ∀ ∈
 ÷
 
.
Giải:
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2
π
 

÷

 
và có
2
2
1
f '(x) 1 tan x 0,
cos x
= − = >
x 0;
2
π
 
∀ ∈
 ÷
 
. Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
.
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,
x 0; tan x x, x 0;
2 2
π π

   
∀ ∈ ⇔ > ∀ ∈
 ÷  ÷
   
.
Xét hàm số
3
x
g(x) tan x x
3
= − −
trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
. Hàm số này liên tục trên nửa
khoảng
0;
2
π
 
÷

 
và có đạo hàm
2 2 2

2
1
g'(x) 1 x tan x x 0, x 0;
cos x 2
π
 
= − − = − > ∀ ∈
 ÷
 
, do
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh
.
Trang 6
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn
tan x x, x 0;
2
π
 
> ∀ ∈
 ÷
 
.
Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷


 
nên g(x) > g(0) = 0
x 0;
2
π
 
∀ ∈
 ÷
 
3
x
tan x x , x 0;
3 2
π
 
⇔ > + ∀ ∈
 ÷
 
(đpcm).
Bài 3
Chứng minh rằng :
2(x 1)
ln x
x 1
−
>
+
, với mọi x > 1.
Giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

2(x 1)
ln x 0, x 1
x 1
−
− > ∀ >
+
Xét hàm số
( )
2(x 1)
f (x) ln x , x 0;
x 1
−
= − ∈ +∞
+
. Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2 2
x 1
1 4
f '(x) 0, x 0;
x
x 1 x x 1
−
= − = ≥ ∀ ∈ +∞
+ +
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

( )
0;
+∞
nên cũng đồng biến trên khoảng
( )
1;
+∞
. Vậy ta
luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1. Đó cũng là điều phải chứng minh.
Bài tập tự giải:
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin x x, x 0
< ∀ >
và
sin x 0, x 0
< ∀ <
b)
2
x
cosx 1 , x 0
2
> − ∀ ≠
c)
3
x
sin x x , x 0
6
> − ∀ >
và

3
x
sin x x , x 0
6
< − ∀ <
d)
sin x tan x 2x, x 0;
2
π
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
e)
2x
sin x , x 0;
2
π
 
> ∀ ∈
 ÷
π
 
f)
tan x sin x>
với
0 x
2
π
< <

Bài 2. Cho hàm số
( )
4
f x x tan x, x 0;
4
π
 
= − ∈
 
π
 
.
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn
0;
4
π
 
 
 
.
b) Từ đó suy ra rằng:
tan x x, x 0;
4 4
π π
 
≤ ∀ ∈
 
 
.
Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh

.
Trang 7