GIAI TOAN 12 TREN MAY TINH

TS Trần Văn Vuông
Giải toán 12 trên máy tính
đồ sơn 2008
1. Giải toán 12 trên máy tính cầm tay
1.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán 1.1.1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x
4
- 8x
3
+ 22x
2
- 24x + 1.
KQ: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (3; +), nghịch biến trên các
khoảng (- ; 1) và (2; 3).
Bài toán 1.1.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số
y = x
4
-3x
2
+ 2x +1.
KQ: y
CĐ
1,3481; y
CT1
- 3,8481; y
CT2
= 1.
Bài toán 1.1.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
1 5 2x x +

.
KQ: max y 2,1213; min y 1,2247.
Bài toán 1.1.4. Tìm gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = x
2
+ 7x - 5 và y =
2
2 3
4
x x
x
+

.
KQ: A(- 6,8715; - 5,8830), B(0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198).
Bài toán 1.1.5. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
= x
3
2x
2
+ 4x - 1

tại điểm A(2; 7 ).
KQ: y = 8x - 9.
Bài toán 1.1.6. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x
3
- 4x
2
+ x - 2 đi qua điểm A(1; - 4).

KQ: y = - 4x ; y =
1 17
4
x
.
1.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài toán 1.2.1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A =
2ln5 4lg7
8
5lg8 9ln 208

+
.
KQ: A 0,0136.
Bài toán 1.2.2. Giải phơng trình 3
2x + 5
= 3
x + 2
+ 2.
KQ: x = - 2.
Bài toán 1.2.3. Giải gần đúng phơng trình 9
x
- 5ì3
x
+ 2 = 0.
KQ: x
1
1,3814; x
2
- 0,7505.

Bài toán 1.2.4. Giải phơng trình
3
2 log
3 81
x
x

=
.
KQ: x =
1
3
.
Bài toán 1.2.5. Giải phơng trình
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
.
KQ: x
1
= 4; x
2
=
3
1
2
.

Bài toán 1.2.6. Giải gần đúng phơng trình
2
2 2
8log 5log 7 0x x =
.
KQ: x
1
2,4601; x
2
0,6269.
1.3. Tích phân và ứng dụng
Bài toán 1.3.1. Tính các tích phân:
a)
2
3 2
1
(4 2 3 1)x x x dx + +

; b)
2
1
3
0
x
x e dx

; c)
2
0
sinx xdx

.
2
KQ: a)
95
6
; b) 0,5; c) 1.
Bài toán 1.3.2. Tính gần đúng các tích phân:
a)
1
2
3
0
2 3 1
1
x x
dx
x
+
+

; b)
2
2
6
cos2x xdx

; c)
2
0
sin
2 cos
x xdx
x

+

.
KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673.
Bài toán 1.3.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = 2x
2
+ 5x - 2 và y = x
3
+ 2x
2
- 2x + 4.
KQ: S = 32,75.
Bài toán 1.3.4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
2
+ 5x - 1 và y = x
3
+ 4x
2
+ 5x - 5 quanh trục hoành.
KQ: V =

729
35
.
1.4. Số phức
Bài toán 1.4.1. Tính
a)
3 2 1
1 3 2
i i
i i
+
+

; b)
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
.
KQ: a)
23 63
26
i+
; b)
29 47
25
i

.
Bài toán1.4.2. Giải phơng trình x
2
- 6x + 58 = 0.
KQ: x
1
= 3 + 7i ; x
2
= 3 - 7i.
Bài toán 1.4.3. Giải gần đúng phơng trình x
3
- x + 10 = 0.
KQ: x
1
- 2,3089; x
2
1,1545 + 1,7316i; x
3
1,1545 - 1,7316i.
Bài toán 1.4.4. Giải gần đúng phơng trình 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 = 0.
KQ: x
1
- 2,62448; x
2
0,5624 + 0,7976i; x
3

0,5624 - 0,797i.
1.5. Phơng pháp toạ độ trong không gian
Bài toán 1.5.1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5;
6; 1), C(- 4; -7; 4).
KQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0.
Bài toán 1.5.2. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3;
5; 6), C(5; - 4; -7), D(9; 0; 1).
KQ:
2 2 2
159 577 355 2142
0
13 13 13 13
x y z x y z+ + + + =
.
Bài toán 1.5.3. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; -7; 5).
3
a) Tính gần đúng độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác.
c) Tính gần đúng diện tích tam giác.
KQ: a) AB 10,0499; BC 7,0711; CA 16,5831.
b) 150
0
44 45;
à
B
12
0
1 38; 17
0
13 37.

c) S 17,3638.
Bài toán 1.5.4. Cho hai đờng thẳng

+ = + =


+ = + + =

1 2
2x 3y 6 0 4x 5y 10 0
d : d :
5y 7z 3 0 x y z 4 0
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đờng
thẳng d
2
.
c) Tìm toạ độ giao điểm M của đờng thẳng d
1
và mặt phẳng (P).
KQ: a) 62
0
23 0; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0;
672 726 459
M ; ;
139 139 139


ữ

.
Bài toán 1.5.5. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5),
C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).
a) Tính tích vô hớng của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
KQ: a)
AB
uuur
.
AC
uuur
= - 50. b)
,AB AC


uuur uuur
= (8; - 4; - 6). c) V = 3.

Bài toán 1.5.6. Cho hai đờng thẳng
= +


= +


=

x 3 4t
: y 2 3t
z 5t
và
=


= +


= +

x 1 2t
d : y 2 7t
z 1 t.
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó.
KQ: a) 69
0
43 56; b) 0,5334.
2. Giải toán 12 trên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8

Phần mềm Maple đợc sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ. Hiện nay
đã có phiên bản Maple 11. Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 đợc sản xuất năm 2002 vì
nó có dung lợng thích hợp với việc giải toán phổ thông. Để sử dụng đợc phần mềm này
4
sau khi đã cài đặt nó vào máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán
học.
2.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2.1.1. Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số
đó, vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ
Cấu trúc lệnh cho hàm số nh sau:
f : =x - > hàm số;
Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, , chứ không nhất thiết là
chữ cái f. Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác. Tại vị trí của
hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số cần cho. Các dấu +, - đợc nhập bình thờng.
Dấu nhân đợc nhập bằng *. Dấu chia đợc nhập bằng /. Luỹ thừa đợc nhập bằng ^.
Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm
a thuộc tập xác định của nó là:
f(a);
Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ
nhật của mặt phẳng toạ độ với x từ a đến b và y từ c đến d nh sau:
plot(f(x),x =a b, y = c d);
Bài toán 2.1.1.1. Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 11x - 6. Tính giá trị hàm số tại x = 2,
m,
3

và vẽ đồ thị hàm số đó với x từ - 5 đến 5, y từ - 5 đến 5.

> f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6;
:= f x + x
3
6 x
2
11 x 6
> f(2);
0
> f(m);
+ m
3
6 m
2
11 m 6
> f(Pi/3);
+
1
27

3
2
3

2
11
3
6
> plot(f(x),x=-5 5,y=-5 5);
5
Bài toán 2.1.1.2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin 2x và y = x

4
- 3x
2
+ 2 trên cùng
một hệ trục toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y từ - 2 đến 6.
> plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4 4,y=-2 6);
2.1.2. Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức
Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức thờng là tập nghiệm của bất phơng
trình hoặc hệ bất phơng trình nào đó.
Bài toán 2.1.2.1. Tìm tập xác định của hàm số y =
2
1
3 x
.
> solve(3-x^2>0,{x});
{ }, < 3 x < x 3
Vậy tập xác định đó là D =
( 3; 3).
Bài toán 2.1.2.2. Tìm tập xác định của hàm số y =
2
3x 5
x 3x 2
2x 1

+ +
+
.
> solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x});
,{ }, <
-1

2
x x 1 { } 2 x
6
Vậy tập xác định đó là D =
[
)
1
;1 2;
2





.
2.1.3. Tìm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của một hàm số, trớc hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm
nghiệm của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm nh sau:
diff(hàm số, đối số);
Tại vị trí của hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí đối`số ta
phải nhập chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là:
solve(đạo hàm, {x});
Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết
quả tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề.
Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo
hàm rồi kết luận về cực trị. Cấu trúc lệnh của đạo hàm cấp 2 nh sau:
diff(hàm số, đối số, đối số);
hoặc diff(hàm số, đối số$2);
Bài toán 2.1.3.1. Tìm các cực trị của hàm số y = x
4

-3x
2
+ 2x +1.
> f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1;
:= f x + + x
4
3 x
2
2 x 1
> diff(f(x),x);
+ 4 x
3
6 x 2
> solve(%,{x});
, ,{ } = x 1 { } = x +
1
2
3
2
{ } = x
1
2
3
2
> diff(f(x),x,x);
12 x
2
6
> g:=x->12*x^2-6;
:= g x 12 x

2
6
> g(1);
6
> g(-1/2+1/2*3^(1/2));
12








+
1
2
3
2
2
6
> simplify(%);
6 6 3
> g(-1/2-1/2*3^(1/2));
7
12

1
2
3
2
2
6
> simplify(%);
+ 6 6 3
> f(1);
1
> f(-1/2+1/2*3^(1/2));
+








+
1
2
3
2

4
3








+
1
2
3
2
2
3
> simplify(%);
+
5
4
3 3
2
> f(-1/2-1/2*3^(1/2));

1
2
3
2
4
3









1
2
3
2
2
3
> simplify(%);

5
4
3 3

2
Nh vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực
tiểu là f(1) = 1 và
1 3 5 3 3
f
2 2 4 2

=
ữ
ữ

. Giá trị cực đại là
1 3 5 3 3
f
2 2 4 2

+ = +
ữ
ữ

.
Có thể yêu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan.
> plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3 3,y=-4 2);
8
2.1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
maximize(f(x),x = a b);
Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
minimize(f(x),x = a b);
Tại vị trí f(x) ta phải nhập biểu thức của hàm số đó. a và b phải là các số cụ thể

chứ không phải chữ cái dùng thay số.
Bài toán 2.1.4.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x + cos2x trên đoạn [0; 1].
> maximize(x+cos(2*x),x=0 1);
+

12
3
2
> minimize(x+cos(2*x),x=0 1);
+ 1 ( )cos 2
Bài toán 2.1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
x 1 5 2x +
.
> > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2);
3 2
2
> minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2);
6
2
2.1.5. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài toán 2.1.5.1. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y =
3 2
2
x 2x 4x 1
x x 2
+
+
.

> (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x-1)/
(x^2+x-2),parfrac,x);
=
+ x
3
2 x
2
4 x 1
+ x
2
x 2
+ + x 3
25
3 ( ) + x 2
2
3 ( ) x 1
Vậy đồ thị hàm số này có ba đờng tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x 3.
2.1.6. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
Đây là việc giải hệ phơng trình.
Bài toán 2.1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x
2
+ 7x - 5 và
y =
2
8 9 11
1
+
+
x x
x

.
9
> solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)});
, ,{ },
=
y 3
=
x 1 { },
=
x 2
=
y 13 { },
=
x -3
=
y -17
Vậy toạ độ ba giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17).
Bài toán 2.1.6.2. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cosx và y = 2x.
> solve({y=cos(x),y=2*x});
{ }, = x ( )RootOf 2 _Z ( )cos _Z = y 2 ( )RootOf 2 _Z ( )cos _Z
> evalf(%);
{ },
=
x 0.4501836113
=
y 0.9003672226
Vậy toạ độ gần đúng (với 4 chữ số thập phân) của giao điểm của hai đồ thị đã cho
là A(0,4502; 0,9004).
2.1.7. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi
qua điểm nào đó khi biết toạ độ của điểm đó

Bài toán 2.1.7.1. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x
3
2x
2
+ 4x - 1

tại điểm A(2; 7 ).
> diff(x^3-2*x^2+4*x-1,x);
+ 3 x
2
4 x 4
> g:=x->3*x^2-4*x+4;
:= g x + 3 x
2
4 x 4
> g(2);
8
> expand(y=8*(x-2)+7);
= y 8 x 9
Bài toán 2.1.7.2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x
3
- 4x
2
+ x - 2 đi qua điểm A(1; - 4).
> f:=x->k*(x-a)+b;
:= f

x

+
k ( )

x a b
> solve(f(1)=-4,{b});
{ } = b + k k a 4
> g:=k->k*(x-a)-k+k*a-4;
:= g

k
+
k ( )

x a k k a 4
> diff(x^3-4*x^2+x-2,x);
+ 3 x
2
8 x 1
> solve({x^3-4*x^2+x-2=k*x-k-4,3*x^2-8*x+1=k});
, ,{ }, = x
3
2
= k
-17
4
{ }, = x 1 = k -4 { }, = x 1 = k -4
> y=g(-17/4);
10
= y +
17 x

4
1
4
> y=g(-4);
= y 4 x
2.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
2.2.1. Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức (số hoặc chữ)
Bài toán 2.2.1.1. Rút gọn biểu thức A =
5 2 6 5 2 6+ +
.
> A:=sqrt(5+2*sqrt(6))+sqrt(5-2*sqrt(6));
:= A 2 3
Bài toán 2.2.1.2. Rút gọn biểu thức B =
4 8
log 8a log 3b
2

.
> B:=2^(ln(8*a)/ln(4)-ln(3*b)/ln(8));
:= B 2









( )ln 8 a

( )ln 4
( )ln 3 b
( )ln 8
> B:=simplify(%);
:= B
2 2 a 3
( )/2 3
3 b
( )/1 3
2.2.2. Giải phơng trình mũ
Bài toán 2.2.2.1. Giải phơng trình 3
2x + 5
= 3
x + 2
+ 2.
> solve(3^(2*x+5)=3^(x+2)+2,{x});
,{ } = x
( )ln 9
( )ln 3

= x
+








ln
2
27
I
( )ln 3
> expand(%);
{ } = x
( )ln 9
( )ln 3
> evalf(%);
{ }
=
x -1.999999999
Nếu ta đặt ẩn phụ rồi mới yêu cầu máy giải phơng trình thì ta đợc nghiệm đúng:
> solve(3*t^2=t+2,{t});

,{ } = t 1 { } = t
-2
3
> solve(3^(x+2)=1,{x});
{ } = x -2
Bài toán 2.2.2.2. Giải phơng trình 9
x
- 5ì3
x
+ 2 = 0.
> solve(t^2-5*t+2,{t});
11
,{ } = t +
5
2
17
2
{ } = t −
5
2
17
2
> solve(3^x=5/2+1/2*17^(1/2),{x});

















= x








ln +
5
2
17
2
( )ln 3
> solve(3^x=5/2-1/2*17^(1/2),{x});

















= x








ln −
5
2
17
2
( )ln 3
2.2.3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh mò
Bµi to¸n 2.2.3.1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
x y
x y

2 3 7
4 9 25.

+ =


+ =


> solve({2^x+3^y=7,4^x+9^y=25});
= y












ln − + e















RootOf − _Z ( )ln 4 ( )ln 2














ln − + e











( )ln 9 ( )ln − + e
_Z
7
( )ln 3
25
7
( )ln 3
,












= x

















ln − + e























( )ln 9
















ln − + e















RootOf − _Z ( )ln 4 ( )ln 2














ln − + e











( )ln 9 ( )ln − + e
_Z
7
( )ln 3
25
7
( )ln 3
25
( )ln 4












> evalf(%);
{ },
=
y 1.261859507
=
x 1.584962503
> s:=2^x;t:=3^y;

:= s 2
x
:= t 3
y
> solve({s+t=7,s^2+t^2=25});
,{ }, = y 1 = x
( )ln 4
( )ln 2
{ }, = y
( )ln 4
( )ln 3
= x
( )ln 3
( )ln 2
2.2.4. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh mò
Bµi to¸n 2.2.4.1. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 4
x
- 3×2
x
+ 2 > 0.
> solve(4^x-3*2^x+2>0,{x});
12
> t:=2^x;
:= t 2
x
> solve(t^2-3*t+2>0,{x});
,{ }
<
x 0 { }
<

1 x
2.2.5. Giải phơng trình lôgarit
Bài toán 2.2.5.1. Giải phơng trình log
2
x + log
4
(2x) = 3.
> solve(ln(x)/ln(2)+ln(2*x)/ln(4)=3,{x});
{ } = x e








( )ln 2 ( )ln 32
( )ln 8
> simplify(%);
{ } = x 2 2
( )/2 3
Bài toán 2.2.5.2. Giải phơng trình log
2
2

x + log
2
(3x) = 5.
> solve((ln(x)/ln(2))^2+ln(3*x)/ln(2)=5,{x});

>
,{ } = x e
( ) + /1 2 ( )ln 2 /1 2 21 ( )ln 2
2
4 ( )ln 2 ( )ln 3
{ } = x e
( ) /1 2 ( )ln 2 /1 2 21 ( )ln 2
2
4 ( )ln 2 ( )ln 3
> evalf(%);
,{ }
=
x 2.665541725 { }
=
x 0.1875791309
2.2.6. Giải phơng trình hỗn hợp
Bài toán 2.2.6.1. Giải phơng trình 2
x
- log
3
(2x) = 4.
> solve(2^x-ln(2*x)/ln(3)=4,{x});
{ } = x ( )RootOf 2
_Z
( )ln 3 ( )ln 2 _Z 4 ( )ln 3
> evalf(%);
{ } = x 2.444843682
> plot(2^x-ln(2*x)/ln(3)-4,x=-1 3,y=-3 1);

2.3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

13
2.3.1. Tính nguyên hàm
Cấu trúc của lệnh tính nguyên hàm của một hàm số là:
int (hàm số, đối số);
Sau khi ghi đầy đủ lệnh trên, trong đó hàm số đợc ghi bằng một biểu thức cụ thể
và đối số đợc ghi bằng một chữ cái thích hợp, và ấn phím Enter thì kết quả sẽ hiện ra nh-
ng không kèm theo hằng số tích phân.
Bài toán 2.3.1.1. Tính nguyên hàm của hàm số (x
2
- 2x + 3)
4
.
> int((x^2-2*x+3)^4,x);
+ + + + 81 x
1
9
x
9
x
8
36
7
x
7
52
3
x
6
214
5

x
5
78 x
4
108 x
3
108 x
2
Nếu muốn kết quả hiện ra có cả ký hiệu của nguyên hàm đó thì cần sửa lại cấu
trúc của lệnh một chút:
> Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x);
= d





( ) + x
2
2 x 3
4
x + + + + 81 x
1
9
x
9
x
8
36
7

x
7
52
3
x
6
214
5
x
5
78 x
4
108 x
3
108 x
2
Bài toán 2.3.1.2. Tính nguyên hàm của hàm số (x
2
+ 2x - 1)e
2x - 3
.
> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-
3),x);
= d




( ) + x
2

2 x 1 e
( ) 2 x 3
x + +
1
8
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
2
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
9
8
e
( ) 2 x 3
> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-
3),x);
= d




( ) + x
2
2 x 1 e
( ) 2 x 3
x + +
1
8

e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
2
e
( ) 2 x 3
( ) 2 x 3
9
8
e
( ) 2 x 3
2.3.2. Tính tích phân
Bài toán 2.3.2.1. Tính
2
3 2
1
(4 2 3 1)x x x dx + +

.
> Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1 2)=int(4*x^3-
2*x^2+3*x+1,x=1 2);
= d




1
2
+ + 4 x
3

2 x
2
3 x 1 x
95
6
Bài toán 2.3.2.2. Tính
2
1
3
0
x
x e dx

.
> Int(x^3*exp(x^2),x=0 1)=int(x^3*exp(x^2),x=0 1);
= d





0
1
x
3
e
( )x
2
x
1

2
14
Bµi to¸n 2.3.2.3. TÝnh
2
0
sinx xdx
π
∫
.
> Int(x*sin(x),x=0 pi/2)=int(x*sin(x),x=0 pi/2);
= d
⌠
⌡

0
π
2
x ( )sin x x −








sin
π
2
1

2
π








cos
π
2
Bµi to¸n 2.3.2.4. TÝnh
1
2
3
0
2 3 1
1
x x
dx
x
− +
+
∫
.
> Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0 1)=int((2*x^2-3*x+1)/
(x^3+1),x=0 1);
= d

⌠
⌡





0
1
− + 2 x
2
3 x 1
+ x
3
1
x − +
2 3 π
9
2 ( )ln 2
Bµi to¸n 2.3.2.5. TÝnh
2
2
6
cos2x xdx
π
π
∫
.
>Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/
2);

= d
⌠
⌡


π
6
π
2
x
2
( )cos 2 x x − − +
7
24
π
1
144
π
2
3
1
8
3
Bµi to¸n 2.3.2.6. TÝnh
2
0
sin
2 cos
x xdx
x

π
+
∫
.
>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0 Pi)=int(x*sin(x)/
(2+cos(x)^2),x=0 Pi);
= d
⌠
⌡




0
π
x ( )sin x
+ 2 ( )cos x
2
x d
⌠
⌡




0
π
x ( )sin x
+ 2 ( )cos x
2

x
> evalf(%);
= 1.367252148 1.367252148
NÕu ®æi biÕn sè t = π - x th× ta cã
2 2
0 0
sin sin
2 cos 2 2 cos
=
+ +
∫ ∫
x xdx xdx
x x
π π
π
.
>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0 Pi)=int(Pi/2*sin(x)/
(2+cos(x)^2),x=0 Pi);
15
= d






0

x ( )sin x
+ 2 ( )cos x

2
x
1
2








arctan
2
2
2
2.3.3. Tính diện tích hình phẳng nhờ tích phân
Bài toán 2.3.3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = 2x
2
+ 5x - 2 và y = x
3
+ 2x
2
- 2x + 4.
> f:=x->2*x^2+5*x-2; g:=x->x^3+2*x^2-2*x+4;
:= f x + 2 x
2
5 x 2
:= g x + + x

3
2 x
2
2 x 4
> solve(f(x)=g(x),{x});
, ,{ }
=
x 1 { }
=
x 2 { }
=
x -3
> S:=Int(abs(f(x)-g(x)),x=-3 2)=int(abs(f(x)-g(x)),x=-
3 2);
:= S = d




-3
2
+ + 7 x 6 x
3
x
131
4
2.3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay nhờ tích phân
Bài toán 2.3.4.1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
2

+ 5x - 1 và y = x
3
+ 4x
2
+ 5x - 5 quanh trục hoành.
> f:=x->x^2+5*x-1;g:=x->x^3+4*x^2+5*x-5;
:= f x + x
2
5 x 1
:= g x + + x
3
4 x
2
5 x 5
> solve(f(x)=g(x),{x});
, ,{ }
=
x 1 { }
=
x -2 { }
=
x -2
> V:=Int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2 1)=int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-
2 1);
:= V = d

-2
1
( ) + 3 x
2
4 x
3
2
x
729
35
2.4. Số phức
2.4.1. Rút gọn các biểu thức có chứa số phức
Bài toán 2.4.1.1. Tính
3 2 1
1 3 2
i i
i i
+
+

.
> (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I);
16
+
23
26
63
26
I
Bài toán 2.4.1.2. Tính

2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
.
> (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2;

29
25
47
25
I
2.4.2. Tìm môđun và acgumen của số phức
Bài toán 2.4.2.1. Tìm môđun và acgumen của số phức z =
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
.
> abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);
122
5
> argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);

arctan
47
29
2.4.3. Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác hoặc dạng mũ
Bài toán 2.4.3.1. Chuyển đổi số phức z = 1 +
3
i sang dạng lợng giác và dạng
mũ.
> 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar);
= + 1 3 I








polar ,2

3
Nh vậy, ta có 1 +

3
i = 2
i
3
cos isin 2e
3 3



+ =
ữ

.
Bài toán 2.4.3.2. Chuyển đổi số phức z =
2
(1 )(5 6 )
(2 )
i i
i
+
+
sang dạng lợng giác và
dạng mũ.
> convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );

polar ,
122
5









arctan
47
29
Nh vậy, ta có
47
iarctan
29
122 47 47 122
z cos arctan isinarctan e .
5 29 29 5


= =
ữ

2.4.4. Giải phơng trình trên tập hợp số phức

Bài toán 2.4.4.1. Giải phơng trình x
2
- 6x + 58 = 0.
> solve(x^2-6*x+58,{x});
17
,{ }
=
x
+
3 7 I { }
=
x
−
3 7 I
Bµi to¸n 2.4.4.2. Gi¶i ph¬ng tr×nh x
3
- x
2
- 2x + 8 = 0.
> solve(x^3-x^2-2*x+8,{x});
, ,{ } = x -2 { } = x +
3
2
1
2
I 7 { } = x −
3
2
1
2

I 7
Bµi to¸n 2.4.4.3. Gi¶i ph¬ng tr×nh x
3
- x + 10 = 0.
> solve(x^3-x+10,{x});














= x − −
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
3
1
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
x
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
6

=







,
1
2 ( ) + 135 3 2022
( )/1 3
+
1
2
I 3












− +
( ) + 135 3 2022

( )/1 3
3
1
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
+







x =







,
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
6
1
2 ( ) + 135 3 2022
( )/1 3
+
1

2
I 3












− +
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
3
1
( ) + 135 3 2022
( )/1 3
−







> evalf(%);

{ } = x -2.308907320 { } = x − 1.154453660 1.731557033 I, ,
{ } = x + 1.154453660 1.731557033 I
Bµi to¸n 2.4.4.4. Gi¶i ph¬ng tr×nh x
4
+ 5x
2
- 36 = 0.
> solve(x^4+5*x^2-36,{x});
, , ,{ } = x -2 { } = x 2 { } = x 3 I { } = x -3 I
Bµi to¸n 2.4.4.5. Gi¶i ph¬ng tr×nh x
4
+ x
3
- 5x
2
- 4 = 0.
> solve(x^4+x^3-5*x^2-4,{x});
{ } = x 2















= x − − −
( ) + 324 12 633
( )/1 3
6
4
( ) + 324 12 633
( )/1 3
1 x =







, ,
( ) + 324 12 633
( )/1 3
12
2
( ) + 324 12 633
( )/1 3
1 + −
18
1
2
I 3













− +
( ) + 324 12 633
( )/1 3
6
4
( ) + 324 12 633
( )/1 3
+







x =








,
( ) + 324 12 633
( )/1 3
12
2
( ) + 324 12 633
( )/1 3
1 + −
1
2
I 3












− +
( ) + 324 12 633
( )/1 3

6
4
( ) + 324 12 633
( )/1 3
−







> evalf(%);
{ } = x 2. { } = x -2.893289196 { } = x − -0.0533554020 0.8297035535 I, , ,
{ } = x + -0.0533554020 0.8297035535 I
2.5. Ph¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian
2.5.1. TÝnh tÝch v« híng, tÝch vect¬, gãc gi÷a hai vect¬ khi biÕt to¹ ®é cña chóng
Bµi to¸n 2.5.1.1. Cho hai vec t¬
(3;7; 5)= −
r
a
vµ
(4; 2;9)= −
r
b
.
a) TÝnh tÝch v« híng cña hai vect¬
r
a
vµ

r
b
.
b) T×m tÝch vect¬ cña hai vect¬
r
a
vµ
r
b
.
c) TÝnh gãc gi÷a hai vect¬
r
a
vµ
r
b
.
> a:=Vector([3,7,-5]);
:= a















3
7
-5
> b:=Vector([4,-2,9]);
:= b














4
-2
9
> a.b;
-47
> with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);
:= c















53
-47
-34
> VectorAngle(a,b);
− π








arccos
47 83 101
8383
19

> evalf(%);
2.109858925
> evalf(%*180/Pi);
120.8860117
> (%-120)*60;
53.160702
> (%-53)*60;
9.642120
Vậy góc giữa hai vectơ này là 120
0
5310.
2.5.2. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng
Bài toán 2.5.2.1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5;
6; 1), C(- 4; - 7; 4).
> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z+1;
:= f

( ), ,x y z
+ + +
a x b y c z 1
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
{ }, , = c
-29
81
= b
1
27
= a
-14
81

> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z-81;
:= f

( ), ,x y z
+ +
a x b y c z 81
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
{ }, , = c 29 = b -3 = a 14
> 14*x-3*y+29*z-81=0;
= +
14 x 3 y 29 z 81 0
2.5.3. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng khi biết phơng trình của chúng
Bài toán 2.5.3.1. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng có phơng trình
2x - 5y + 7z - 8 = 0, x +
13
4
y - 5z + 1 = 0, 12x - 51y - z - 3 = 0.
> solve({2*x-5*y+7*z-8,x+13/4*y-5*z+1,12*x-51*y-z-3});
{ }, , = x
6789
3406
= z
1455
1703
= y
670
1703
2.5.4. Viết phơng trình đờng thẳng, tính góc giữa hai đờng thẳng khi biết phơng trình của
chúng
Bài toán 2.5.4.1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(2; - 5; 6) và B(-

4; 7; 8).
> AB:=Vector([-4-2,7+5,8-6]);
20
:= AB














-6
12
2
> 1/2*AB;

-3
6
1
> (x-2)/(-3)=(y+5)/6,(y+5)/6=(z-6)/1;
, = +
x
3
2
3
+
y
6
5
6
= +
y
6
5
6
z 6
Bài toán 2.5.4.2. Tính góc giữa hai đờng thẳng đờng thẳng có phơng trình
d:
x 3 y 1 z
4 5 3

+
= =
và :
x 7t
y 1 2t
z 9 3t
=


=


= +

> a:=Vector([4,5,3]);b:=Vector([7,-2,3]);
:= a

4
5
3
:= b














7
-2
3
> with(LinearAlgebra):VectorAngle(a,b);

arccos
27 2 62
620
> evalf(%);
1.064508267
> evalf(%*180/Pi);
60.99183095
> (%-60)*60;
59.509857
> (%-59)*60;
30.591420
Vậy góc giữa hai đờng thẳng này là 60
0
5931.
2.5.5. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau khi biết phơng trình của chúng
21
Bài toán 2.5.5.1. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng
= +


= +


=

x 3 4t
: y 2 3t
z 5t
và
=

= +


= +

x 1 2t
d : y 2 7t
z 1 t.
> a:=Vector([4,3,5]);b:=Vector([-2,7,1]);c:=Vector([1-
3,2+2,-1-0]);
:= a














4
3
5

:= b














-2
7
1
:= c

-2
4
-1
> with(LinearAlgebra):m:=CrossProduct(a,b);
:= m














-32
-14
34
> k:=abs(c.m/sqrt(m.m));
:= k
13 66
198
2.5.6. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng khi biết phơng trình của chúng

Bài toán 2.5.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng
x 1 y 2 z 3
2 3 4
+
= =

và
mặt phẳng 5x - 6y + 7z - 9 = 0.
> solve({(x-1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-3)/(-4),5*x-6*y+7*z-9});
{ }, , = x
47
18
= y
5
12
= z
-2
9
2.5.7. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt cầu khi biết phơng trình của chúng
Bài toán 2.5.7.1. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng
x 3 y 4 z 1
2 1 1

= =

và
mặt cầu x
2
+ y
2

+ z
2
- 26 = 0.
> solve({x^2+y^2+z^2-26,(x-3)/2=y-4,y-4=1-z});
,{ }, , = z 4 = y 1 = x -3 { }, , = z 1 = x 3 = y 4
22
Bài toán 2.5.7.2. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng
x 1 y 2 z 3
2 3 4
+
= =

và
mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
+ 5x - 16y + 72z - 19 = 0.
> solve({x^2+y^2+z^2+5*x-16*y+72*z-19,(x-1)/2=(y+2)/3,
(y+2)/3=(z-3)/(-4)});
= z + 6 ( )RootOf , + 29 _Z
2
258 _Z 193 = label _L7 5,{
= x 3 ( )RootOf , + 29 _Z
2
258 _Z 193 = label _L7 ,
= y
9

2
( )RootOf , + 29 _Z
2
258 _Z 193 = label _L7
7
2
}
> evalf(%);
{ }, ,
=
z 0.053193912
=
x 2.473403044
=
y 0.210104566
> solve(29*t^2-258*t+193,{t});
,{ } = t +
129
29
2 2761
29
{ } = t
129
29
2 2761
29
> t1:=129/29+2/29*2761^(1/2);t2:=129/29-
2/29*2761^(1/2);x1:=3*t1;y1:=-6*t1+5;z1:=9/2*t1-
7/2;x2:=3*t2;y2:=-6*t2+5;z2:=9/2*t2-7/2;

:= t1 +
129
29
2 2761
29
:= t2
129
29
2 2761
29
:= x1 +
387
29
6 2761
29
:= y1
629
29
12 2761
29
:= z1 +
479
29
9 2761
29
:= x2
387
29
6 2761
29

:= y2 +
629
29
12 2761
29
:= z2
479
29
9 2761
29
2.5.8. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm khi biết toạ độ của chúng
23
Bài toán 2.5.8.1. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3;
5; 6), C(5; - 4; - 7), D(9; 0; 1).
> f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2+a*x+b*y+c*z+d;
:= f ( ), ,x y z + + + + + + x
2
y
2
z
2
a x b y c z d
> solve({f(2,1,-3),f(3,5,6),f(5,-4,-7),f(9,0,1)});
{ }, , , = b
577
13
= c
-355
13
= a

159
13
= d
-2142
13
> x^2+y^2+z^2+159/13*x+577/13*y-355/13*z-2142/13=0;
= + + + + x
2
y
2
z
2
159
13
x
577
13
y
355
13
z
2142
13
0
2.5.9. Tính một số yếu tố của tam giác khi biết toạ độ các đỉnh của nó
Bài toán 2.5.9.1. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; - 7; 5).
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính các góc của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
> a:=sqrt((5+4)^2+(6+7)^2+(0-5)^2);b:=sqrt((1+4)^2+(-

3+7)^2+(2-5)^2);c:=sqrt((1-5)^2+(-3-6)^2+(2-
0)^2);A:=arccos((b^2+c^2-a^2)/2/b/c);B:=arccos((c^2+a^2-
b^2)/2/c/a);C:=arccos((a^2+b^2-
c^2)/2/a/b);p:=(a+b+c)/2;S:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
:= a 5 11
:= b 5 2
:= c 101
:= A








arccos
31 2 101
505
:= B








arccos
163 101 11

5555
:= C








arccos
56 11 2
275
:= p + +
5 11
2
5 2
2
101
2
S








+ +

5 11
2
5 2
2
101
2








+ +
5 11
2
5 2
2
101
2








+

5 11
2
5 2
2
101
2




:=








+
5 11
2
5 2
2
101
2

( )/1 2
> expand(%);
24
603 2
2

2.5.10. Tính một số yếu tố của hình tứ diện khi biết toạ độ các đỉnh của nó
Bài toán 2.5.10.1. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5),
C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).
a) Tính tích vô hớng của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
d) Tính diện tích tam giác BCD.
e) Tính đờng cao hạ từ A của hình tứ diện ABCD.
> AB:=Vector([-2-1,4+2,-5-3]);
:= AB

-3
6
-8
> AC:=Vector([3-1,-4+2,7-3]);
:= AC

2
-2
4
> AB.AC;
-50
> with(LinearAlgebra):a:=CrossProduct(AB,AC);
:= a














8
-4
-6
> AD:=Vector([5-1,9+2,-2-3]);
:= AD

4
11
-5
> V:=1/6*abs(AD.a);
:= V 3
> BC:=Vector([3+2,-4-4,7+5]);
:= BC

5
-8
12
> BD:=Vector([5+2,9-4,-2+5]);
25