bai toan chung minh ve su song song

Chúng tôi đưa bài tiểu luận này nhằm mục đích trình bày một số
vấn đề cơ bản về các bài toán chứng minh sự song song trong chương trình
Toán học ở trường THCS. Trước tiên là để có được một chuyên đề dùng
cho bản thân tham khảo và làm tài liệu hỗ trợ cho việc giảng dạy, sau đó là
để trao đổi với bạn bè, đặc biệt là phục vụ cho các bạn sinh viên trong dợt
thực tập sư phạm sắp tới.
Tiểu luận gồm bốn chương:
 Chương 1: Các phướng pháp chứng minh hai đường thẳng song
song. Ở Chương này chúng tôi đã nghiên cứu cơ sở lí thuyết về sự
song song, từ đó đưa ra các cách chứng minh và một số bài toán
minh hoạ.
 Chương 2: Bài tập tổng hợp.
 Chương 3: Một số chú ý khi dạy chứng minh.
 Chương 4:Dựng hình.
Với nội dung trên, tiểu luận còn giúp cho bạn đọc hiểu rõ hơn về vị
trí quan trọng của các bài toán chứng minh sự song song trong hệ thống các
bài toán chứng minh của chương trình Toán PTCS
Chúng tôi ý thức rõ rằng lần đầu tiên làm tiểu luận đối với một sinh
viên gặp rất nhiều khó khăn. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng trong quá trình
nghiên cứu nhưng chắc chắn tiểu luận vẫn còn thiếu sót, có những vấn đề
cần phải xem xét và tranh luận. Vì vậy chúng tôi mong nhận được những ý
kiến đóng góp và nhận xét quý báu của thầy cô và các bạn.
Thành phố Nha Trang, tháng 11, năm 2005.
Sinh viên thực hiện
Dương Thị Mộng Thùy-Nguyễn Thị Hạnh Thủy
3
Lôøi noùi ñaàu
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu 3
Chương 1: Các phương pháp chứng minh

hai đường thẳng song song 5
1.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa hai đường
thẳng song song 5
1.2Phương pháp 2: Sử dụng định lí về sự nhạn biết hai đường
thẳng song song. 6
1.3 Phương pháp 3: Sử dụng một đường thẳng
thứ ba làm trung gian 8
1.4 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường trung bình. 12
1.5 Phương pháp 5: Sử dụng tính chất của
các tứ giác đặc biệt. 14
1.6 Phương pháp 6: Sử dụng định lí đảo của định lí Talet 16
Chương 2: Bài tập tổng hợp. 20
Chương 3: Một số chú ý khi dạy chứng minh.
3.1 Dạy học vẽ hình 21
3.2 Dạy học ghi giả thiết kết luận 21
3.3 Dạy học chứng minh 21
Chương 4: Dựng hình. 24
Lời kết. 26
Mục lục tham khảo 27
4
1.1 PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng
song song
Ví dụ: Cho hai đường thẳng a // b. Từ một điểm O khơng thuộc a và
khơng thuộc b kẻ đường thẳng c song song với a. Hỏi đường thẳng c có
song song với b khơng ?
Phân tích, tìm cách giải:
Theo định nghĩa muốn chứng minh a // b ta cần chứng minh a và b
khơng có điểm chung. Để chứng minh trực tiếp điều này rất khó vì vậy ta
phải sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng tức là phải giả sử a và b
có một điểm chung để từ đó đưa ra điểu vơ lý.

Lời giải: (tham khảo [5])
Giả sử rằng c khơng song song với b
tức là c cắt b tại một điểm là S. Như vậy
qua điểm S ở ngồi a có hai đường thẳng
c và b song song với a. Điều này trái với
tiên đề Ơcơlit. Vậy a // b.
Nhận xét: Trong chương trình THCS, bài tốn trên được giới thiệu
cho học sinh dưới hình thức là một hệ quả của tiên đề Ơcơlit được cơng
nhận mà khơng phải chứng minh. Bạn đọc hãy thử suy nghĩ xem tại sao
SGK lại khơng chứng minh hệ quả này. Liệu trong q trình giảng dạy ta có
nên coi đây là một bài tập cho học sinh hay khơng ?
Theo chúng tơi, vì phương pháp này khơng được ứng dụng nhiều trong việc
chứng minh song song, vả lại nó mang tính trừu tượng cao nên ít được nhắc
đến trong chương trình.
5
Định nghĩa hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song
song là hai đường thẳng khơng có điểm chung.
Cơ sở lí thuyết
PHẦN 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG
MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
a
b
c
S
Bình luận phương pháp:
Qua quá trình nghiên cứu chúng tôi nhận thấy SGK và sách bài tập
không có bài tập nào để vận dụng phương pháp này cho việc chứng minh
hai đường thẳng song song. Tuy nhiên ở một số sách tham khảo vẫn có xuất
hiện nhưng với số lượng rất ít. Mặc dù vậy chúng tôi vẫn đưa ra vì đây
được coi là một trong những phương pháp để chứng minh hai đường thẳng

song song.
1.2 PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng định lí về sự nhận biết hai
đường thẳng song song
Ví dụ : Cho tam giác ABC có = 40
o
. Gọi Ax là tia phân giác của góc
ngoài ở đỉnh A. Hãy chứng tỏ rằng Ax // BC.
Phân tích, tìm cách giải:
Muốn chứng minh Ax // BC ta cần tìm ra một
cát tuyến tạo với hai đường thẳng này một trong các yếu tố sau:
1.Các góc so le trong( so le ngoài) bằng nhau, hoặc
2.Các góc đồng vị bằng nhau, hoặc
3.Các góc trong(hoặc ngoài) cùng phía bù nhau.
Ở đây kết hợp với giả thiết Ax là
tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A
ta có lời giải như sau:
6
Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến :
Các góc so le trong (so le ngoài) bằng nhau, hoặc
Các góc đồng vị bằng nhau, hoặc
Các góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau thì chúng song song với
nhau.
Cơ sở lí thuyết
CB
ˆ
ˆ
=
2
1
40

0
D
x
A
C
B
Lời giải:
CAD là góc ngoài của tam giác ABC nên
CAD = B + C = 40
0
+40
0
= 80
0
Ta có Ax là tia phân giác của góc CAD nên
=
2
1
CAD =
2
1
.80
0
= 40
0
Hai đường thẳng Ax và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau
nên Ax // BC.
Nhận xét: Điều kiện không thể thay đổi của bài toán là tam giác
ABC cân ở đỉnh A và Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A, những
điều kiện còn lại của bài toán có thể thay đổi được.

Ta có thể phát triển bài toán bằng cách thay đổi điều kiện =40
0
bởi =100
0
từ đó ta có bài toán tổng quát như sau:
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng một tam giác cân tại đỉnh nào thì
tia phân giác góc ngoài ở đỉnh đó sẽ song song với cạnh đáy.
Bình luận phương pháp:
- Cơ sở lí thuyết của phương pháp này được đưa ra ở lớp 7.Tuy nhiên,
phương pháp này chỉ dùng nhiều cho việc tính số đo góc vì ở lớp này học
sinh chỉ mới làm quen với khái niệm hai đường thảng song song.
- Trong một số bài toán với những hình vẽ phức tạp học sinh rất dễ
mắc sai lầm trong việc xác định vị trí các cặp góc.Vì vậy muốn sử dụng tốt
phương pháp này người dạy cần rèn luyện cho học sinh khả năng quan sát,
xác định vị trí các cặp góc để đưa ra được dự đoán đúng, định hướng cho
việc chứng minh.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:Cho góc xOy = 110
0
.Trên cạnh Ox lấy điểm A và trên cạnh OB
lấy điểm B.Từ A kẻ tia Az nằm trong góc xOy sao cho góc OAz = 130
0
.Từ
B kẻ tia Bt nằm trong xOy sao cho góc OBt = 120
0
.Chứng minh rằngAz//Bt
Bài 2: Trên tia Ot của góc xOy ta lấy một điểm B. Qua trung điểm M
của đoạn thẳng OB kẻ đường thẳng vuông góc với Ot, cắt cạnh Oy tại E.
Chứng minh rằng hai tia EB và Ox song songvới nhau.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Một

cát tuyến qua A cắt đường tròn thứ hai tại M, N. Một cát tuyến qua B cắt
đường tròn thứ nhất tại C, D Chứng minh CM // DN.
Chú ý: Trường hợp hai cát tuyến CD và MN cắt nhau tai một điểm
thuộc miền trong của (O) hoặc (O’) thì ta chứng minh được .
7
C
A
ˆ
ˆ
1
=
AA
ˆˆ
21
=
CB
ˆ
ˆ
=
A
ˆ
DC
ˆ
ˆ
=
m
n
C
D
A

B
m'
n'
DCA
ˆ
BAC
ˆ
1.3 PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng một đường thẳng thứ ba
làm trung gian
(Vai trò trung gian ở đây được hiểu là hai đường thẳng cần chứng
minh cùng vuông góc hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba ).
1.3.1 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng
thứ ba
Ví dụ: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B trên đường thẳng đó. Trong
cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy lấy hai điểm C và D. Biết rằng
= 115
0
, = 65
0
. Hỏi các đường trung trực của AB và CD có cắt nhau
không? Vì sao?
Phân tích, tìm cách giải:
Để giải được bài toán này, đầu
tiên ta sử dụng phương pháp trực
quan để đưa ra dự đoán cho câu trả
lời. Sau đó mới tiến hành chứng
minh.
Nhìn hình ta thấy mm’ // nn’ ta
cần chỉ ra một đường thẳng cùng vuông góc với mm’ và nn’
Cái khó ở bài toán này là có đến hai đường thẳng cùng vuông góc với

mm’ và nn’. Vì vậy trong khi giải ta phải cố định một đường để chứng
minh.Tránh tình trạng đi lan man, lạc hướng.
Lời giải:
Vì hai đường thẳng AB và CD cắt AC tạo thành hai góc trong cùng phía
bù nhau nên ta có:
8
Sử dụng hệ quả của định lí về đường thẳng song song: Hai
đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
ab
bc
Cơ sở lí thuyết
 a // b
DCA
ˆ
BAC
ˆ
+ = 115
0
+ 65
0
= 180
0
Do đó CD // AB
Gọi nn’ là đường trung trực của đoạn thẳng CD thì nn’
⊥
CD.
Vì AB // CD mà nn'
⊥
CD nên nn’

⊥
AB.
đường trung trực của AB là mm’ nên mm’
⊥
AB.
Vì nn’
⊥
AB và mm’
⊥
AB suy ra mm’ // nn’.
1.3.2 Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng
thứ ba.
Ví dụ: Trong hình bên cho số đo các góc BAx = 135
0
, góc ABC = 70
0
,
góc BCy = 25
0
. Chứng minh rằng: Ax // Cy.
Lời giải:
Có nhiều cách khác nhau để đi đến lời giải bài toán, sau đây chỉ nêu ra
hai cách để bạn đọc cùng tham khảo.
 Cách 1:
Kẻ Bz // Ax
Theo tính chất hai đường thẳng song song thì:
BAx + ABz = 180
0
ABz = 180
0

– Bax
= 180
0
– 135
0
= 45
0
Suy ra CBz = ABC – Abz
= 70
0
– 45
0
= 25
0
Các đường Cy và Bz cắt đường thẳng BC tạo thành hai góc so le trong
CBz = BCy = 25
0
Do đó Bz // Cy
Ta có Bz // Ax
Bz // Cy
Suy ra Ax // By.
9
Sử dụng hệ quả của tiên đề Ơcơlit: Hai đường thẳng cùng song song với
một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
a // c
b // c
Cơ sở lí thuyết
 a // b
z
x

y
B
A
C
1
2
1
A
ˆ
1
A
ˆ
2
A
ˆ
1
A
ˆ
2
CC
ˆˆ
21
+
CC
ˆˆ
21
+
A
ˆ
2

C
ˆ
2
C
A
ˆ
ˆ
1
1
+
Vấn đề chính khi sử dụng phướng pháp này là chúng ta phải phát hiện
được và chính xác đường thẳng dùng làm trung gian. Mà có lúc nó đã xuất
hiện ngay trong bài toán, cũng có khi ta phải làm xuất hiện nó bằng cách kẻ
thêm đường phụ.
 Cách 2:
Kéo dài tia AB cắt Cy tại D
Ta có ABC = BCD + CDB
CDB = ABC – BCD
= 70
0
– 25
0
= 45
0
Mặt khác xAB + CDB = 180
0
Như vậy Ax và Cy cắt AD tạo thành cặp góc trong cùng phía bù nhau, do
đó Ax // Cy.
Khai thác bài toán:
Ở đây thay vì cho BCy = 25

0
ta có thể cho BCt =135
0
hoặc bỏ đi số đo của
các góc xAB, ABC, BCt và thay bằng điều kiện “rộng hơn” là xAB + ABC
+ BCt = 360
0
ta vẫn có Ax // Ct, vậy ta được bài toán tổng quát hơn.
Bài toán tổng quát:
Cho hình bên biết:
xAB + ABC + BCt =360
0
Chứng minh: Ax // Ct.
Lời giải:
Nối A và C.
Ta có xAB + ABC + BCt = 360
0
Mà xAB = +
BCt =
Suy ra + + ABC+ = 360
0
Mặt khác trong tam giác ABC có:
+ ABC + = 180
0
(1)
Từ (1) và (2) suy ra = 180
0
(2)
Mà hai góc này là các góc trong cùng phía bù nhau nên Ax // Ct.
Nhận xét: Trên đây ta đã tổng quát hoá bài toán bằng cách thay các

điều kiện trong bài toán bởi điều kiện “rộng hơn”. Chẳng hạn thay
xAB = 135
0
, ABC =70
0
, BCy = 25
0
bởi điều kiện xAB +ABC + BCt = 360
0
.
(tham khảo thêm [5]-mục lục tham khảo). Nếu bài toán tổng quát vẫn đúng,
10
y
x
B
A
C
D
x
t
B
A
C
x
t
B
A
C
ta có bài toán mạnh hơn bài toán ban đầu đúng với một lớp đối tượng rộng
hơn. Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đi đến công thức tổng quát, có thể sáng

tạo ra các bài toán mới, các định lí mới. Qua đó người dạy có thể rèn luyện
và phát triển cho học sinh khả năng tư duy tổng quát hoá đồng thời kích
thích tính tò mò và óc sáng tạo cho học sinh.
Bình luận phướng pháp:
Cơ sở lí thuyết của phướng pháp này được đưa ra ở lớp 7 nhưng việc
sử dụng nó trong hệ thống bài tập ở lớp này không được phổ biến. Tuy
nhiên phương pháp này được sử dụng khá nhiều ở các lớp trên. Chính vì
vậy người dạy nên rèn luyện cho học sinh sử dụng tốt phương pháp này bởi
vì đây sẽ là nền tảng cho việc sử dụng sau này.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E theo thứ tự
là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.
a) Chứng minh rằng AH = BE
b) Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh
rằng DI // EK.
Bài 2: Trên hai cạnh AB và AC của tam giác cân ABC, ta dựng về phía
ngoài của tam giác hai hình vuông ABDF và ACGH. Nối DG và FH.
Chứng minh DG // FH.
Bài 3: Cho tam giác ABC, AM, BN, CD là các trung tuyến đồng quy tại G.
Gọi DF lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AG và BG.
Chứng minh: a) DF // MN
b) DN // FM
1.4 PHƯƠNG PHÁP 4: Sử sụng tính chất đường trung bình.
11
1. Đường trung bình của tam giác:
Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh thì
song song với cạnh thứ ba.
2. Đường trung bình của hình thang:
Trong một hình thang, đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh
bên thì song song với hai đáy.

Cơ sở lí thuyết
Trong chương trình THCS chỉ đề cập đến hai loại đường trung bình
trên mà không quan tâm đến đường trung bình của các loại hình khác như:
hình thoi, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông(vì những hình này là
các trường hợp đặc biệt của hình thang). Điều đó làm một số học sinh hiểu
lầm chỉ có tam giác và hình thang mới có đường trung bình. Khi gặp một
số bài toán về hình bình hành, hình thoi…học sinh không tận dụng triệt để
các tính chất của đường trung bình để làm bài.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh
bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm hai
đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Lời giải:
Xét hình thang ABCD có AB // CD
AE = ED
EF // AB // CD
Vì
∆
ACD có AE = ED, EK // DC
nên AK = KC
Tương tự,
∆
ABD có AE = ED, EI // AB nên BI = ID.
Như vậy, EF đi qua trung điểm của BC, của AC và của BD.
 Chú ý : Qua bài toán trên, ta kết luận được đường trung bình của hình
thang thì đi qua trung điểm của hai đường chéo.
Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD. Các tia BA và CD cắt nhau tại E, DA
và CB cắt nhau tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng EC, EA, AF, FC. Chứng minh PN // QM.
Phân tích, tìm lời giải:
Ta sẽ sử dụng tính chất

đường trung bình để chứng
minh song song. Tuy nhiên
điều này lại không giúp ta
chứng minh trực tiếp PN
//QM mà phải thông qua
chứng minh PQMN là hình
bình hành.
Tóm tắt lời giải:
Trong
∆
EAC có NA = NE
12
=> BF = FC
=> MN là đường trung bình của
∆
EAC
K
F
E
A
B
C
D
I
Q
P
N
M
A
D

F
C
E
B
ME = MC
Suy ra MN // AC và MN = ½ AC
Trong
∆
FAC có PA = PF
QF = QC
Suy ra PQ // AC và PQ = ½ AC
Từ (1) và (2) suy ra PQ // MN và PQ = MN
Do đó PQMN là hình bình hành nên PN // MQ
 Chú ý : “Trong các bước trung gian, người ta thường sử dụng thêm
tính chất đường trung bình trong tam giác (song song với cạnh thứ
ba) và đường trung bình trong hình thang (song song với hai đáy ).”
1
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các
cạnh DC, CA, DB và AB
Chứng minh: MN // PQ.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD.Gọi E,F,I theo thứ tự là trung điểm của AD,BC,
AC.
Chứng minh rằng: a) EI // CD, IF // AB
b) EF
≤

2
CDAB +
Bài 3: Cho hình thang ABCD( AB // CD). Các đường thẳng AD và BC cắt

nhau tại điểm E. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
AE, BE, AC, BD.
Chứng minh: MN // PQ.
1
Trích dẫn [5]-mục lục tham khảo.
13
=> PQ là đường trung bình của
∆
FAC
14