Ôn tập nguyên hàm tích phân

Xin chµo C¸c Em häc
Xin chµo C¸c Em häc
sinh!
sinh!





C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
I. Ph ¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
II. Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n
tõng phÇn

Ph ơng pháp đổi biến số
Ph ơng pháp đổi biến số

Đổi biến số dạng 1:
+Quy tắc:
B ớc 1: Chọn ( một cách thích hợp )
B ớc 2: - Lấy vi phân
- Đổi cận : Giả sử

Khi đó


B ớc 3: Tính
( )x u t=
'( )dx u t dt=
x a t
x b t


= =
= =
( ). '( )I f ut u t dt


=

( ). '( )I f ut u t dt


=

( )
b
a
I f x dx=

Tính
Tính

§æi biÕn sè d¹ng 1
§æi biÕn sè d¹ng 1
•
Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon u(t)
2 2
a x−
[ ]
sin , - ;
2 2
cos , 0;
x a t t
x a t t
π π
π

 
= ∈

 
 


= ∈

2 2
a x+
( )
, - ;
2 2

cot , 0;
x atgt t
x a gt t
π π
π

 
= ∈
 ÷

 


= ∈

2 2
( )a x+
DÊu hiÖu C¸ch chän




Bµi 1:
Bµi 1:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n sau
c¸c tÝch ph©n sau
1
2

3
1
0
1I x x dx= −
∫
2
3
2
1
2 2
dx
I
x x
=
− +
∫
I. Ph ¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
2
2
2
1

4
dx
I
x
=
−
∫
1

2
4
0
1I x x dx= +
∫
2
3
( 1 )t x= −
( 2sin )x t=
( )x tgt=
( 1 )x tgt− =
2
2
1
( 1) 1
dx
x
=
− +
∫
2
( 1)t x= +

Bµi gi¶i
Bµi gi¶i
§Æt:
2 3 2 2 3
3
1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = −
Ta cã:

2
2 3xdx t dt= −
0 1
1 0
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
VËy:
0
2
1
1
3
( )
2
I t t dt= −
∫
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
3
0
3
2

t dt=
∫
4 1
0
3
8
t=
2
3
2
xdx t dt⇒ = −
3
8
=

C¸ch 2
C¸ch 2
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
1
2 2
3
0
1

(1 ) (1 )
2
x d x= − − −
∫
4
2 1
3
0
3
(1 )
8
x= − −
3
8
=

2
2
2
1
dx

4
I
x
=
−
∫
2sin , t - ;
2 2

x t
π π
 
= ∈
 
 
2
6
2
2
2cos
4 4sin

tdt
I
t
π
π
=
−
∫
1 ; 2
6 2
2cos
x t x t
dx tdt
π π
= ⇒ = = ⇒ =
=
§Æt:

Ta cã:
VËy:
2
2
6
2cos
2 1 sin
tdt
t
π
π
=
−
∫
2
6
2cos
=
2cos
tdt
t
π
π
∫
2
2
6
6
2 6 3
dt t

π
π
π
π
π π π
= = = − =
∫

1 , t ;
2 2
x tgt
π π
 
− = ∈ −
 ÷
 
( )
2
2
1 0
1
1
co
; 2
4
s
dx dt tg t dt
x
x t x t
π

= = +
= ⇒ = = ⇒ =
§Æt:
Ta cã:
VËy:
2
2
4 4
4
0
2 2
1 0 0
(1 )
( 1) 1 1 4
dx tg t
dt dt t
x tg t
π π
π
π
+
= = = =
− + +
∫ ∫ ∫
2 2
3
2 2
1 1

2 2 ( 1) 1

dx dx
I
x x x
= =
− + − +
∫ ∫

1
2
4
0
1I x x dx= +
∫
, ;
2 2
x tgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
0 0
1
4
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
2

1
cos
dx dt
t
=
§Æt:
Ta cã:
VËy:
4
2
4
2
0
1
1
cos

I tgt tg t dt
t
π
= +
∫
4
4
0
(cos )

cos
d t
t

π
= −
∫
2
4
0
sin
cos
xdx
x
π
=
∫
4
0
3
1
3cos t
π
=
2 2 1
3
−
=

1
2
4
0
1I x x dx= +

∫
2
1t x= +
2 2
1t x⇒ = +
2 2tdt xdx=
§Æt:
Ta cã:
xdx tdt⇒ =
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
VËy:
2
4
1
.I t tdt=
∫
2
2
1
t dt=
∫
3 2
1
1
3

t=
1
(2 2 1)
3
= −




Bµi 2:
Bµi 2:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n sau
c¸c tÝch ph©n sau
1
5 3
0
1, 1x x dx−
∫
3
2
2
0
sin cos
3,
1 cos
x x
dx
x

π
+
∫
1
3 2
0
5, 1x x dx−
∫
3
2 3
0
1
6,
(1 )
dx
x+
∫
1
1 3ln .ln
4,
e
x x
dx
x
+
∫
3
2
0
1

2,
1
x
dx
x
+
+
∫
3
( 1 )t x= −
( 1)t x= +
2
( cos 1)t x= +
( 1 3ln )t x= +
( sin )x t=
2
( 1 )t x= −
( )x tgt=




Bạo lực
Bạo lực

Ph ơng pháp tích phân từng phần
Ph ơng pháp tích phân từng phần

Sử dụng công thức:
b b

b
a
a a
udv uv vdu=

B ớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
1 2
( ) ( ). ( )
b b
a a
I f x dx f x f x dx= =

B ớc 2: Đặt:
1
2
( )
( )
u f x
du
dv f x dx v
=
=




= =


B ớc 3: áp dụng (1) ta có:

b
b
a
a
I uv vdu=

(1)


Khi sử dụng ph
ơng pháp tích
phân từng phần
cần chú ý:
1, Lựa chọn
phép đặt dv
sao cho v đ ợc
xác định một
cách dễ dàng
2, Tích phân
sau phải đơn
giản hơn tích
phân tr ớc
( )
b
x
a
P x e dx


Một số dạng cơ bản:

sin
b
x
a
e xdx



( )ln ( )
b
a
P x f x dx

( )sin
b
a
P x xdx


}
Đặt:
( )u P x=
Đặt:
Đặt:
ln ( )u f x=
sin
x
e
u
x

=






Bµi 3:
Bµi 3:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n sau
c¸c tÝch ph©n sau
1
2
1
0
ln(3 )I x x dx= +
∫
ln 2
3
0

x
I xe dx
−
=

∫
II. Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
4
2
0
cos2I x xdx
π
=
∫
2
4
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
2
( ln(3 )u x= +
( )u x=
2
( )
x
u e=
( )u x=

Bµi gi¶i
Bµi gi¶i
1

2
1
0
ln(3 )I x x dx= +
∫
2
2
2
2
ln(3 )
3
2
x
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=


= +

+
⇒
 
=



=


1
2 3
2 1
1 0
2
0
ln(3 )
2 3
x x
I x dx
x
= + −
+
∫
§Æt:
1
2
0
1 3
ln 4 ( )
2 3
x
x dx
x
= − −
+

∫
2
2 1
0
1 3
ln 4 ( ln 3 )
2 2 2
x
x= − − +
1 1 3 3 3 1
ln 4 ln 4 ln3 2ln 4 ln3
2 2 2 2 2 2
 
 
= − − − = − −
 ÷
 
 
 
VËy:

4
2
0
cos2I x xdx
π
=
∫
1
cos2

sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=


⇒
 
=
=



4
4
2 0
0
1 1
sin 2 sin 2
2 2
I x x xdx
π
π
= −
∫

4
0
1 1
. sin cos2
2 4 2 4
x
π
π π
= +
1 1
(cos cos0)
8 4 2 8 4
π π π
= + − = −
§Æt:
VËy:

ln 2
3
0

x
I xe dx
−
=
∫
x x
u x du dx
dv e dx v e
− −

= =
 
⇒
 
= = −
 
ln 2
ln 2
3 0
0
x x
I xe e dx
− −
= − +
∫
ln 2 ln 2
0
ln 2
x
e e
− −
= − −
ln 2 0
1
ln 2 ( )
2
e e
−
= − − −
1 1 1 1

ln 2 1 ln 2
2 2 2 2
= − − + = −
§Æt:
VËy:

2
4
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
2
2
2
1
sin 2
cos2
2
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=


=

⇒
 
=
= −



2 2
4 0
0
1
cos2 cos 2
2
x x
I e x e xdx
π
π
= − +
∫
2 '
4
1 1
2 2
e I
π
= − + +
' 2

4
0
( cos 2 )
x
I e xdx
π
=
∫
§Æt:
VËy:

' 2
4
0
cos2
x
I e xdx
π
=
∫
2
2
2
1
cos2
sin 2
2
x
x
du e dx

u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
=



' 2 2
4 0
0
1
sin 2 sin 2
2
x x
I e x e xdx
π
π
= −
∫
4
I= −
2

4 4
1 1
2 2
I e I
π
= − + −
2
4
1
2 (1 )
2
I e
π
⇒ = −
2
4
1
(1 )
4
I e
π
⇒ = −
§Æt:
Ta cã:
VËy:
TÝnh:

Bµi 4:
Bµi 4:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n sau
c¸c tÝch ph©n sau
1
2
1

( 1)
e
e
lnx
I dx
x
=
+
∫
1
2
3
0
( 2 )
x
I x x e dx= +
∫
2
2
2

0
sin
2
x
I x dx
π
=
∫
2
2
4
0
cos
x
I e xdx
π
=
∫
( Sö dông pp tõng phÇn )
( ln )u x=
2
( 2 )u x x= +
2
( )u x=
( )
x
u e=

•
Yêu

Víi
( )
a
a
I f x dx
−
=
∫
x t= −
2
0
( )I f x dx
π
=
∫
Cã thÓ ®Æt
Víi Cã thÓ ®Æt
2
x t
π
= −
Víi
Víi
Víi
0
( )I f x dx
π
=
∫

2
0
( )I f x dx
π
=
∫
( )
b
a
I f x dx=
∫
Cã thÓ ®Æt
Cã thÓ ®Æt
Cã thÓ ®Æt
x t
π
= −
2x t
π
= −
x a b t= + −