Bài tập phương trình lượng giác pps

THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
Chuyên đề I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.
2sin 3x 3
6
π
 
− =
 ÷
 
b.
( ) ( )
0 0
sin 2x 45 c x 60 0os− + + =
c.
tan3x cot 2x=
d.
( )
x
cot c
2
0
os 2x-30= −
e.
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
g.
4s inx+cosx = 2 sin x

h.
2
cos( ) sinx x=
Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
a.
0
tan(2x 15 ) 1− =
, với
( )
0 0
x 180 ;90∈ −
b.
s 3cinx = osx
, với
2
x ;
3
π
 
∈ − π
÷

 

Bài 3. Giải các phương trình
a.
2
c c
2
os os x-

2 4
 
π π
 
=
 ÷
 
 
 
b.
( )
sin c 1os2xπ =
c.
( )
tan c 1
4
osx+sinx
π
 
=
 
 
c. 3sinx + 4cosx = 5
Bài 4*. a. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
(
)
2
c 3x 9x 160x 800 1
8
os

π
 
− + + =
 
 
b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
2
cos (3 9 16 80) 1
4
x x x
π
 
− − − =
 
 
(ĐH An Ninh-2000)
II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 5. Giải các phương trình
a.
3 tan3x 3 0− =
b.
( )
( )
s 2c 0inx+1 os2x - 2 =
c.
2
3 2 7 os2x - 3 = 0+sin x c
d.
2
3 4 3 0− + =cot x cot x

Bài 6. Giải các phương trình
a.
cos2x - sinx +2 =0
b.
2 2 2 3
+ =
tan x cot x
c.
2
2
cos2x + sin x cosx +1 = 0+
d.
2
4 2 8 9 0
2
sin x cos x+ − =
Bài 7. a. Tìm các nghiệm của phương trình
2
3 3 0sin x sin x+ =
thỏa mãn
2 4
3 3
x ;
π π
 
∈
 
 
b. Tìm m để phương trình
( )

2
2 1mtan x m t anx - 2 = 0+ −
, có nghiệm duy nhất
2 2
x ;
π π
 
∈ −
 ÷
 
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c)
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a.
3cosx + 4sinx = -5
b.
5 2 6 13
2
sin x cos x− =
c.
3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x
d.
sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = +
e.
(3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − =
g.
2cos cos( ) 4sin 2 1
3
x x x
π
+ + =

Coppyright© Hoàng Đức Trường
1
THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
Bài 9. Giải phương trình:
a.
2 2
cos 2 3 sin cos 3sin 1x x x x+ + =
.
b.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + =
. (HV CNBCVT-2001).
c.
cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = −
.
d.
2
4sin ( ) sin 2 1
6
x x
π
+ + =
e.
2
2sin(2 ) 4sin 1
6
x x
π
+ + =
Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :

a.
2 2
2sin ( ) 2cos cos 2
6
y x x x
π
= + + +
b.
2sin( )cos( ) sin 2
6 3
y x x x
π π
= + + +
c.
2sin(2 ) 4cos cos( )
3 3
y x x x
π π
= + + +
d.
6 6
sin cos sin 4y x x x= + +
.
Bai 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
a.
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x

+ +
=
+ +
. b.
sin
cos 3
x
y
x
=
+
c.
2
4sin
2 sin(2 )
6
x
y
x
π
=
+ +
.
Bài 11’. Tìm các giá trị của x để
1 sin
2 cos
x
y
x
+

=
+
là số nguyên.
IV. Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx
Bài 12. Giải các phương trình:
a.
2
6 2
2
sin x sinxcosx - cos x+ =
b.
2
2 2 3 2 2
2
sin x sin2xcos2x + cos x− =
c.
2 3 6
2
cos x sinxcosx = 3 + 3+
d.
2
4 3 3 2 2 4
2
sin x sin x cos x+ − =
e.
( ) ( )
4 4 1
3
s inxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x +
2 2

π π
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Bài 13. Giải các phương trình
a.
( )
2
3 8 9 0
2
sin x s inxcosx + 8 3 cos x+ − =
b.
2
1
2
2
2
sin x sin2x - cos x+ =
c.
( ) ( )
2
2 3 3 1 1
2
sin x s inxcosx + 3 cos x+ + − = −
d. 4sinx + 6cosx =
1
cosx
Bài 14. Giải các phương trình

a.
2
2 4 3
3
sin x cos x sinx+ =
b. 2sin
3
x = cos3x
c.
3
2
4
sin x s inx
π
 
+ =
 ÷
 
d. 2sin
3
x = cosx
e.
3 3
sin cos sin cosx x x x+ = −
g.
1
1 2
t anx
sin x
1+tanx

−
= +
Bài 15. Giải các phương trình
a.
2 3 6
3
sin x sin x sin x cos x+ =
b.
3
4 0sin x sin x cosx− + =
c.
3
4 3
3 2
cos x sin x cosxsin x s inx=0− − +
d.
3 2
sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x+ = +
e.
3
cos2 sin cos cos sinx x x x x+ = +
g.
3
sin 3 cos cos sinx x x x+ = +
Coppyright© Hoàng Đức Trường
2
THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
V. Phương trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx
Bài 16. Gải các phương trình
a.

( )
3 2 2 3 0s inx+cosx sin x+ + =
b.
s inx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
c.
( )
2 12 12 0sin x s inx - cosx− + =
d.
3 3
1sin x cos x+ =
e. 1 + sin
3
2x + cos
3
2x =
3
4
2
sin x
g.
3
4
3
sin x sin x cos x
π
 
+ = +
 ÷
 
h.

1 t anx = 2 2 s inx+
i. sinx +
1
s inx
+ cosx +
1
cos x
=
10
3
Bài 17. Giải các phương trình
a.
sin cos 4sin 2 1x x x− + =
b.
sin 1 cos 1 1x x+ + + =
c.
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
. d.
2 sin 3 cos3 sin cosx x x x+ − = +
.
e.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +

.g.
cos sin sin cos 1x x x x+ + =
.(ĐH QGHN 97)
Bài 18. Giải các phương trình
a.
( ) ( )
t anx+7 t anx + co t x+7 cot x = -14
b.
( )
2 2
1
tan cot t anx + cotx 1
2
x x+ − =
c.
2 2
tan cot t anx + cotx 2x x+ − =
` d.
3 3 2 2
tan cot tan cot 1x x x x+ + + =
e.
3 3
1
tan cot 3
sin 2
x x
x
+ + =
g.
3 tan 3 cot 4x x+ + + =

.
VI. Phương trình lượng giác khác
Bài 19. Giải các phương trình
a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x
c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
e. tanx + tan2x = tan3x g.
2
sinx+sin3x+sin5x
tan 3
osx+cos3x+cos5x
x
c
=
Bài 20. Giải các phương trình
a.
2 2 2
5 2 3sin x sin x sin x+ =
b.
3
3 4 5
2
2 2 2
cos x cos x cos x+ + =
c. 8cos
4
x = 1 + cos4x d. sin
4
x + cos
4
x = cos4x

e. 3cos
2
2x - 3sin
2
x + cos
2
x g. sin
3
xcosx - sinxcos
3
x =
2
8
h.
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
i. tanx + tan2x = sin3xcosx
Bài 21.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình
a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15
0
)cot(x - 15
0
) =
1
3
c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin
4
x + 5cos
4
x - 3 = 0

e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin
2
x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x
h. sin
2
xtanx + cos
2
xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx
i. sin
2
x + sinxcos4x + cos
2
4x =
3
4
.
VII. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình lượng giác
1. Đặt ẩn phụ
Áp dụng cho các loại phương trình :
• Phương trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượng giác
• Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
Coppyright© Hoàng Đức Trường
3
THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
• Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t =
sinx cosx
±
) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t
=
tanx cotx±

)
• Một số phương trình khác…….
VD1. Giải phương trình :
x
2 osx = 2tan
2
c+
(đặt
x
t an
2
t =
)
VD2. GPT :
2
sinx + 3 osx + 3
sinx + 3 osx
c
c
=
VD3. GPT :
2
2
4 2
2 os 9 os 1
os os
c x c x
c x c x
   
+ + − =

 ÷  ÷
   
(HD : Đặt t =
2
os
os
c x
c x
−
)
VD4 . GPT :
6 6
sin cos sin 2 1x x x+ + =
(đặt t sin2x)
VD5.
3
8 os os3x
3
c x c
π
 
+ =
 ÷
 
(Đặt t =
3
x
π
+
).

VD6.
2 2
sin 2 sin sin 2 sin 1 0x x x x+ − + − + =
Bài tập vận dụng :
Bài 22. Giải các phương trình lượng giác sau
1.
1 3sin 2 2 tanx x+ =
2.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 tanxx− + = +
3.
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c− =
4.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
5.
2
4
tan 5 0
cos
x
x
− + =

6.
2
2
4 2 2
cos cos 3 0
cos 3 cos
x x
x x
 
+ − + − =
 ÷
 
7.
( )
2 2
2
4
4 tan 10 1 tan tan 0
cos
x x x
x
+ + + =
8.
2
cos cos cos sin 1x x x x+ + + =
9.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x

π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
10.
2
cos9 2cos 6 2 0
3
x x
π
 
+ + + =
 ÷
 
2. Biến đổi lượng giác
• Sử dụng công thức hạ bậc
• Đưa về phương trình tích
VD1:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
VD2:
2 2
21
sin 4 cos 6 sin 10
2
x x x
π
 
− = +

 ÷
 
VD3:
2
3 4
1 2cos 3cos
5 5
x x
+ =
VD4:
3
2sin cos 2 cos 0x x x+ + =
VD5:
2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
VD6:
2 2
7
sin cos 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
 
− = − −
 ÷
 
Coppyright© Hoàng Đức Trường
4
THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11

Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phương trình
1.
3 3 3
cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= +
2.
2 2
1 sin sin sin cos 2cos
2 2 4 2
x x x
x x
π
 
+ − = −
 ÷
 
3.
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4sin 2 cos 2
x x x x
x x
+ +
=
+
4.
cos cos3 2cos5 0x x x
+ + =
5.

sin 3 sin5
3 5
x x
=
6.
( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x+ + − + =
3.Phương pháp không mẫu mực
Vd1 :
4 4
sin cos cos2x x x+ =
Vd2 :
2008 2009
sin cos 1x x+ =
Vd3 :
( )
sin 3 cos sin 3 2x x x+ =
Vd4 :
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x+ =
Vd5 :
2
8cos 4 cos 2 1 sin 3 1 0x x x+ − + =
Bài tập vận dụng
Bài 24 : Giải các phương trình
1.

2
cos 4 3cos 4sin
2
x
x x− =
2.
3 3
cos sin
2cos 2
cos sin
x x
x
x x
−
=
+
3.
( )
2 2
4 cos 3cos 1 2 3 tan 3tan 0x x x x+ + + + =
4.
2 2 2 2
2sin cos 4 sin cos 4x x x x= +
5.
( )
2
2 sin cos 2 cot 2x x x+ = +
VIII. Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH
1.
1 1 7

4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(ĐH A-2008)
2.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin .cosx x x x x x− = −
(DH B-2008)
3.
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(ĐH D-2008)
4.
( ) ( )
2 2

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(ĐH A - 2007)
5.
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
(ĐH B - 2007)
6.
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
(ĐH D - 2007)
7.
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x
x
+ −
=
−
(ĐH A - 2006)
8.

cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
(ĐH B - 2006)
Coppyright© Hoàng Đức Trường
5
THPT LÊ XOAY BÀI TẬP LUYỆN TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11
9.
cos3 cos 2 cos 1 0x x x
+ − − =
(ĐH D - 2006)
10.
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
(ĐH A - 2005)
11.
1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + =
(ĐH B - 2005)
12.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π

   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
(ĐH D - 2005)
13. Tam giác ABC không tù thỏa mãn đk:
( )
cos2 2 2 cos cos 3x B C+ + =
. Tính các góc của tam
giác (ĐH A - 2004)
14.
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
(ĐH B - 2004)
15.
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
(ĐH D - 2004)
16.
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(ĐH A - 2003)

17.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
(ĐH B - 2003)
18.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(ĐH D - 2003)
19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt:
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +

 ÷
+
 
(ĐH A - 2002)
20.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
(ĐH B - 2002)
21.
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x
− + − =
(ĐH D - 2002)
22.
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
23.
( )
2
2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = +
24.
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
π π
   

− − − =
 ÷  ÷
   
25.
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
26.
2 2 sin cos 1
12
x x
π
 
− =
 ÷
 
27.
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −

28.
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
29. Cho phương trình
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
m
x x
+ +
=
− +
(m là tham số).
a. Giải phương trình với m =
1
3
b. Tìm m để pt có nghiệm
30.
2
1
sin

8cos
x
x
=
31.
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Coppyright© Hoàng Đức Trường
6