Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (232.6 KB, 26 trang )
1
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
A– TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất
Dạng:
ax b 0
+ = (1)
Cách giải và biện luận
Hệ số Kết luận
a
≠
0
(1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
= −
b ≠ 0 (1) vô nghiệm
a = 0
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
2. Phương trình bậc hai
Dạng
2
ax bx c 0
+ + =
(với a
≠
0) (1)
Cách giải và biện luận
2
b 4ac
∆ = −
∆ = −∆ = −
∆ = −
Kết luận
0
∆ >
(1) có hai nghiệm phân biệt
1,2
b
x
2a
− ± ∆
=
0
∆ =
(1) có một nghiệm kép
b
x
2a
= −
0
∆ <
(1) vô nghiệm
3. Đònh lý Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai
(
)
2
ax bx c 0 , a 0
+ + = ≠
có hai nghiệm
1 2
x , x
thì
1 2
b
x x
a
+ = −
và
1 2
c
x x
a
=
.
Nếy hai số u, v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u, v là nghiệm
của phương trình
2
x Sx P 0
− + =
.
II.
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối
Tùy theo phương trình, ta có những phương pháp:
+ Dùng đònh nghóa, hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trò tuyệt
đối rồi giải các phương trình trên từng miền đã chỉ ra. Nghiệm của
phương trình đã cho là hợp các nghiệm nhận được.
+ Bình phương hai vếu với điều kiện hai vế không âm để khủ dấu giá
trò tuyệt đối.
2
+ Chú ý:
Dạng
2 2
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
=
Dạng
ax b cx d
+ = +
+ = ++ = +
+ = +
. Ta có:
( )
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
+ = +
+ = + ⇔
+ = − +
hoặc
( ) ( )
2 2
ax b cx d ax b cx d+ = + ⇔ + = +
2. Phương trình chứa ẩn dưới căn
Phương pháp chung: Bình phương hai vế cu
ûa phương trình để dần
mất căn thức. Bình phương hai vế của phương trình là phép biến
đổi tương đương nếu hai vế của phương trình đều không âm.
Trương hợp riêng: Dạng
A B
=
Cách giải 1:
Đặt điều kiện A ≥ 0.
Bình phương hai vế: (Phương trình hệ quả). Giải và tìm nghiệm
Thử lại các nghiệm vừa tìm được.
Cách giải 2:
Biến đổi tương đương:
2
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
=
3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Điều kiện xác đònh của phương trình: Mẫu thức khác 0.
Quy đồng mẫu thức, khử mẫu và giải phương trình.
Đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm.
3
BÀI TẬ
P
B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TẬP TỰ LUẬN
I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Bài 1: Giải và biện luận phương trình: 3mx + m
2
(x – 1) + 1 = (m
2
+ 3)x (1)
Giải
Ta có:
3mx + m
2
(x – 1) + 1 = (m
2
+ 3)x
⇔ 3mx + m
2
x – m
2
+ 1 = m
2
x + 3x
⇔ 3(m – 1)x = m
2
– 1
Biện luận:
+ Trường hợp 1: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.
(1) có nghiệm duy nhất:
2
m 1
x
3(m 1)
−
=
−
=
1
(m 1)
3
+
. Tập nghiệm: S
=
{
}
1
(m 1)
3
+
+ Trường hợp 2: m – 1 = 0 ⇔ m = 1
(1) ⇔ 0x = 0 (nghiệm đúng với mọi x ∈
ℝ
). Tập nghiệm: S = 3.
Bài 2:
Giải và biện luận phương trình:
2
a
x 1
=
−
. (1)
Giải
Điều kiện xác đònh: x ≠ 1.
(1) ⇔
(
)
2 a x 1 ax a 2
= − ⇔ = +
+ Trường hợp 1: a
≠
0
(1)
⇔
a 2
x
a
+
=
Giá trò
a 2
x
a
+
=
là nghiệm của phương trình (1)
⇔
a 2
1 a 2 a
a
+
≠ ⇔ + ≠
(luôn luôn đúng với mọi a)
Suy ra: Với a
≠
0, (1) có nghiệm duy nhất
a 2
x
a
+
=
. Tập nghiệm
{
}
a 2
S
a
+
=
+ Trường hợp 2: a
=
0
(1)
⇔
0x
=
2
⇔
Phương trình (1) vô nghiệm. Tập nghiệm S
=
∅
.
Bài 3:
Giải phương trình:
2x 1 x 2
− = −
(1)
Giải
4
Cách 1
: Biến đổi tương đương
Phương trình (1) ⇔
( ) ( )
( )( )
2 2
x 2 0
x 2
2x 1 x 2 2x 1 x 2 0
2x 1 x 2
− ≥
≥
⇔
− + − − − + =
− = −
( )( )
x 2
x 2
x 1
3x 3 x 1 0
x 1
≥
≥
=
⇔ ⇔
− + =
= −
⇔ x ∈ ∅
Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm S = ∅.
Cách 2: Bình phương hai vế. Giải phương trình. Thử nghiệm
2x 1 x 2
− = −
⇒
2 2 2
4x 4x 1 x 4x 4 x 1 x 1
− + = − + ⇔ = ⇔ = ±
Thay x = ± 1 vào (1):
Cả hai
2 1 1 2 và 2 1 1 2
− = − − − = − −
đều là đẳng thức sai.
Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm S = ∅.
Bài 4: Giải phương trình:
3x 4 x 2
+ = −
Giải
Cách 1:
( )
x 3
3x 4 x 2
3x 4 x 2
1
3x 4 x 2
x
2
= −
+ = −
+ = − ⇔ ⇔
+ = − −
= −
Tập nghiệm của phương trình:
{
}
1
S 3;
2
= − −
Cách 2:
( ) ( )
2 2
2
x 3
3x 4 x 2 3x 4 x 2 2x 7x 3 0
1
x
2
= −
+ = − ⇔ + = − ⇔ + + = ⇔
= −
T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a phương trình:
{
}
1
S 3;
2
= − −
Bài 5:
Giải phương trình:
2
x 4x 1 x 2
− + = +
(1)
Giải
Cách 1: Biến đổi tương đương
Pt(1) ⇔
( )
2
2
x 2 0
x 2
3
x
8x 3
8
x 4x 1 x 2
+ ≥
≥ −
⇔ ⇔ = −
= −
− + = +
Tập nghiệm:
{
}
3
S
8
= −
.
5
Cách 2
: Bình phương hai vế. Giải phương trình và thử nghiệm.
Pt(1) ⇔
( )
2
2
3
x 4x 1 x 2 8x 3 x
8
− + = + ⇔ = − ⇔ = −
Thay
3
x
8
= −
vào phương trình (1) :
2
3 3 13 3 13
VT 4 1 , VP 2
8 8 8 8 8
= − − − + = = − + =
⇒
3
x
8
= −
thỏa (!).
Tập nghiệm:
{
}
3
S
8
= −
.
Bài 6:
Giải phương trình:
( )( )
x 4 2x 7 17
x 6 2x 5 x 6 2x 5
− +
− =
− + − +
(1)
Giải
Điều kiện xác đònh của phương trình:
x 6
x 6 0
2
2x 5 0
x
5
≠
− ≠
⇔
+ ≠
≠ −
(1) ⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
x 4 2x 5 2x 7 x 6 17
− + − + − =
⇔
2x 5
= −
⇔
5
x
2
= −
(loại)
Tập nghiệm của (1):
S
= ∅
II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1:
Giải phương trình:
( )
2
1 3 1
2 x 1 x 1 4
+ =
− −
(1)
Giải
Điều kiện xác đònh: x ≠ ± 1.
Khi đó: (1) ⇔
(
)
2
2 x 1 12 x 1
+ + = −
⇔
2
x 3
x 2x 15 0
x 5
= −
− − = ⇔
=
(thỏa điều kiện xác đònh)
Vậy: Tập nghiệm
{
}
S 3 ; 5
= −
Bài 2: Giải phương trình:
2
5x 2 2x 0
− − =
(1)
Giải
2
(1) 5x 2 2x
⇔ − =
Nhận xét:
2
2x 0 ; x
≥ ∀ ∈
ℝ
.
6
Do đó:
( )
2
2
2
2
2x 5x 2
2x 5x 2 0
(1)
2x 5x 2
2x 5x 2 0
= −
− + =
⇔ ⇔
= − −
+ − =
⇔
( )
1
x 2 hoặc x
2
5 41
x
4
= =
− ±
=
Tập nghiệm của (1) là
1 5 41
S ; 2 ;
2 4
− ±
=
Cũng có thể bình phương hai vế rồi đưa vế phương trình tích.
Bài 3:
Giải phương trình:
2 2
x x 1 2x 3 x
− − = − − (1)
Giải
2 2
x x 1 2x 3 x
− − = − − ⇔
2 2
2
2 2
x 2
x x 1 2x 3 x
2x 3x 4 0 (*)
x x 1 2x 3 x
=
− − = − −
⇔
− + =
− − = − + +
Nhận xét: phương trình (*) vô nghiệm. Vậy:
{
}
S 2
=
Bài 4:
Giải phương trình:
10x 6 9 x
+ = −
(1)
Giải
Dùng biến đổi tương đương:
10x 6 9 x
+ = −
⇔
( )
2
9 x 0
10x 6 9 x
− ≥
+ = −
2
x 9
x 9
x 3
x 3
x 28x 75 0
x 25
≤
≤
=
⇔ ⇔ ⇔ =
− + =
=
Dùng phương trình hệ quả và thử nghiệm
Điều kiện: 10x + 6
≥
0
⇔
3
x
5
≥ −
.
Bình phương hai vế:
2
x 3
x 28x 75 0
x 25
=
− + =
⇒
=
Cả hai giá trò
x 3
x 25
=
=
đều thỏa điều kiện xác đònh. Thay từng giá trò x vào phương
trình đã cho, ta chỉ nhận được nghiệm x = 3.
Bài 5:
Cho
phương trình:
2
x x m 1 0
+ + − =
(1)
a. Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm.
b. Xác đònh m để phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
c.
Đònh m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:
(
)
1 2 1 2
x x 3 x x 5 0
+ + + =
.
7
Giải
a.
Phương trình có hai nghiệm
Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0 ⇔
5
m
4
≤
b.
Phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia
Khi
5
m
4
≤
phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x , x
. Ta có:
1 2
x x 1
+ = −
Giả sử
1 2
x 2x
=
. Khi đó:
2 2 2
1
2x x 1 x
3
+ = − ⇔ = −
. Suy ra:
1
2
x
3
= −
Mặt khác:
1 2
x x m 1
= −
. Ta có:
1 2 11
. m 1 m
3 3 9
− − = − ⇔ =
c.
Phương trình có hai nghiệm thỏa :
(
)
1 2 1 2
x x 3 x x 5 0
+ + + =
(*)
Ta có:
1 2 1 2
x x 1 và x x m 1
+ = − = −
Thay vào (*) ta được:
(
)
m 1 3 1 5 0 m 1 0 m 1
− + − + = ⇔ + = ⇔ = −
.
Giá trò m = –1 thỏa điều kiện
5
m
4
≤
nên nhận đựơc.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Bài 1:
Giải và biện luận phương trình: (m
2
– 1)x = m(m + 1)(m + 2).
Bài 2:
Giải và biện luận phương trình:
2m 1
m 2
x 1
−
= −
−
Bài 3:
Giải phương trình:
x 2 5 x
− = −
Bài 4:
Giải phương trình
2x 3 4 3x
− = +
Bài 5:
Giải phương trình:
2
x x 169 17
− + =
Bài 6:
Giải phương trình:
2
2
x 2 1 2x x 4
1
2x 3 2x 3 4x 9
+ − −
− = −
− + −
II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1:
Giải phương trình:
1 4x 3
x
x 1 x 1
−
+ =
− −
Bài 2:
Giải phương trình:
2
x 3x 2 x 2
− + = −
Bài 3:
Giải phương trình:
2
x 1 x 3
− = +
Bài 4:
Giải phương trình:
2
3x 9x 7 2x 3
− + = −
Bài 5:
Tìm m để phương trình
(
)
(
)
2
m 1 x 3 m 2 x m 0
+ + − + =
có một nghiệm bằng –2.
Tính nghiệm còn lại.
8
Hướng dẫn và đáp số
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Bài 1: (m
2
– 1)x = m(m + 1)(m + 2) (1)
Trường hợp 1:
2
m 1 0 m 1 và m 1
− ≠ ⇔ ≠ ≠ −
.
(1) có nghiệm duy nhất
(
)
m m 2
x
m 1
+
=
−
Trường hợp 2:
2
m 1 0 m 1 hoặc m 1
− = ⇔ = −
+ Khi m
=
1: Phương trình (1)
⇔
0x
=
6 (vô nghiệm)
+ Khi m
=
–1: Phương trình (1)
⇔
0x
=
0. (Phường trình có nghiệm tùy ý)
Bài 2:
2m 1
m 2
x 1
−
= −
−
(1)
Điều kiện xác đònh: x ≠ 1.
Khi đó: (1) ⇔
(
)
(
)
m 2 x 3 m 1
− = −
+ Trường hợp 1: m –2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2
Pt(1) ⇔
(
)
3 m 1
x
m 2
−
=
−
Giá trò
(
)
3 m 1
x
m 2
−
=
−
là nghiệm của phương trình (1)
⇔
(
)
3 m 1
1
1 m
m 2 2
−
≠ ⇔ ≠
−
Suy ra: Với
1
m 2 và m
2
≠ ≠
thì (1) có nghiệm duy nhất
(
)
3 m 1
x
m 2
−
=
−
.
+ Trường hợp 2: m = 2
Pt(1) ⇔ 0x = 3 ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 3:
x 2 5 x
− = −
(1)
Cách 1: Biến đổi tương đương
Phương trình (1) ⇔
( ) ( )
( )
2 2
5 x 0
x 5
3 2x 7 0
x 2 5 x
− ≥
≤
⇔
− =
− = −
⇔
7
x
2
=
Cách 2: Bình phương hai vế. Giải phương trình. Thử nghiệm
Pt(1)
⇒
( ) ( )
2 2
7
x 2 5 x 6x 21 x
2
− = − ⇔ = ⇔ =
Thay x =
7
2
vào (1). Ta được
7 7
2 5
2 2
− = −
là đẳng thức đúng.
Vậy phương trình (1) có nghiệm
7
x
2
=
9
Bài 4:
2x 3 4 3x
− = +
(1)
Cách 1:
( )
x 7
2x 3 4 3x
2x 3 4 3x
1
2x 3 4 3x
x
5
= −
− = +
− = + ⇔ ⇔
− = − +
= −
Cách 2:
( ) ( ) ( )( )
2 2
x 7
2x 3 4 3x 5x 1 x 7 0
1
x
5
= −
− = + ⇔ + − − = ⇔
= −
Bài 5:
( )
2 2
2
2
x 17
x 17
x x 169 17 x 169 x 17
34x 120
x 169 x 17
≥
≥
− + = ⇔ + = − ⇔ ⇔
=
+ = −
Tập nghiệm
S
= ∅
Bài 6:
2
2
x 2 1 2x x 4
1
2x 3 2x 3 4x 9
+ − −
− = −
− + −
(1)
Pt(1)
⇔
( )( )
2
x 2 1 2x x 4
1
2x 3 2x 3 2x 3 2x 3
+ − −
− = −
− + − +
Điều kiện xác đònh:
3
x
2
≠ ±
(1) ⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
x 2 2x 3 2x 3 4x 9 2x x 4 0
+ + − − − − + − − =
⇔
7
4x 14 0 x
2
+ = ⇔ = −
(nhận)
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1:
1 4x 3
x
x 1 x 1
−
+ =
− −
Điều kiện xác đònh:x ≠ 1.
Phương trình biến đổi thành
(
)
( )
2
x 1 loại
x 5x 4 0
x 4 nhận
=
− + = ⇔
=
Bài 2:
2
x 3x 2 x 2
− + = −
(1)
(1)
( )
2
2
2
2
x 2
x 2
x 3x 2 x 2
x 4x 4 0
x 3x 2 x 2
x 2x 0
≥
≥
− + = −
− + =
⇔ ⇔
− + = − −
− =
⇔
x 2
x 2
x 2
x 0
≥
=
⇔ =
=
Bài 3:
2
x 1 x 3
− = +
⇔
2 2
2 2
x 1 x 3 x x 4 0
x 1 x 3 x x 2 0 (*)
− = + − − =
⇔
− = − − + + =
Phương trình (*) vô nghiệm. Do đó:
1 17
S
2
±
=
Bài 4:
2
3x 9x 7 2x 3
− + = −
( )
( )
2
2
2x 3 0
1
3x 9x 7 2x 3
− ≥
⇔
− + = −
10
2
3
x
3
x
2
x 2
2
x 1
x 3x 2 0
x 2
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ =
=
− + =
=
Bài 5:
(
)
(
)
2
m 1 x 3 m 2 x m 0
+ + − + =
(1)
Phường trình (1) có một nghệim x = –2 ⇔
(
)
(
)
(
)
+ + − − + =
4 m 1 3. 2 m 2 m 0
⇔
− + = ⇔ =
m 16 0 m 16
.
Khi đó:
1 2
m
x x
m 1
=
+
. Với
= = −
1
m 16 và x 2
.
Ta được: − = ⇔ = −
2 2
16 8
2x x
17 17
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1–
Nối liên kết mỗi phương trình cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở cột (II).
(I) (II)
1
9x 7 x 2
x 36
2 7
+ −
− − =
x = 3
A
2
7x 10 4
1
7x 6 5x
−
= −
−
x =
1
2
B
3
2x 1 x 1
− = −
x = 0
C
4
4 x x 3
− = +
x ∈ ∅
D
5
x 4 x 4
− = +
x = 9
E
2–
Cho phương trình
3 x m
− =
. Khẳng đònh nào sau đây sai ?
A. Tập xác đònh của phương trình D =
ℝ
.
B. Nếu m = 0 thì phương trìnhcó nghiệm duy nhất x = 3.
C. Nếu m > 0 thì phương trình có hai nghiệm là
x 3 a
= ±
.
D. Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm.
E. Có hai khẳng đònh sai.
3–
Cho phương trình
2
x 2x 3
3
x 1
+ −
=
−
. Khẳng đònh nào sau đây là sai ?
A. Khi x ≠ 1 thì phương trình có nghóa.
B. Phương trình có hai nghiệm là 0 và 1
C. Phương trình chỉ có nghiệm là x = 0.
D. Khi x ≠ 1 thì phương trình viết được thành
2
x x 0
− =
E. Phương trình đã cho tương đương với phương trình
3 2
x x 0
− =
11
4– Kết quả nào sau đây là tập nghiệm của phương trình:
2x 1 x 3
− = +
?
A. x = 4 B. x =
2
3
−
C. x
= –4 D. x = 4 và x =
2
3
−
E. x = –4 và x =
2
3
−
5–
Đáp số nào sau đây là nghiệm của phương trình
11 4x 2x 3
− = +
?
A.
4
x 7 hay x
3
= − =
B. x = 7
C. x = 4 D.
4
x 7 hay x
3
= =
E. Một kết quả khác
6–
Cho phương trình
2mx 4 6
+ =
.Phương trình vô nghiệm khi:
A. m = 2 B. m = 0
C. m = 1 D. m = –1
E. Một kết quả khác
7
– Với giả thiết là phương trình ở câu
6
. Phương trình có nghiệm khi :
A. m ≠ 2 B. m ≠ 1
C. m ≠ 0 D. m ≠ –1
E. Một kết quả khác
8 –
Với giả thiết là phương trình ở câu
6
, khi m = 1 thì nghiệm của phương trình là:
A. x = 1 hoặc x = –5 B. x = –1 hoặc x = –5
C. x = 5 hoặc x = –1 D. x = 1 hoặc x = 5
E. Một kết quả khác
9
– Cho phương trình
(
)
2
m x 1 m 5m 6 x
+ − = − . Với giá trò nào của m được cho sau
đây thì phương trình có nghiệm duy nhất ?
A. m = 2 B. m = 3
C. m = 2 hoặc m = 3 D. m ≠ 2 và m ≠ 3
E. Một kết quả khác
10 – Cho phương trình
2
m x 3x 2m 2x
+ = +
. Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. Khi m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất
2
2m
x
m 1
=
+
B. Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất
2
2m
x
m 1
=
+
C. Khi m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m
D. Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất x
= 2m + 1
E. Tất cả các khẳng đònh đều sai
12
Cho phương trình :
(
)
(
)
2
m x 2x 1 m 4 2m x 2
− + = − +
. Dùng giả thiết này để trả lời
các câu 11, 12, 13.
11 – Phương trình vô nghiệm khi m có giá trò:
A. m = –2 B. m = 1
C. m = 2 D. m = –1
E. Một kết quả khác
12 – Với giá trò nào của m được cho sau đây thì phương trình có nghiệm tùy ý ?
A. m = –2 B. m = 1
C. m = 2 D. m = –1
E. Một kết quả khác
13 – Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm là :
A. x = –2 B. x = 1
C. x = 2 D. x = –1
E. Một nghiệm khác
Trả lời trắc nghiệm
1– Đáp án
(
)
1; E
,
(
)
2; A
,
(
)
3; D
,
(
)
4; B
,
(
)
5; C
2– Đáp án E
3– Đáp án B
4– Đáp án D
2x 1 x 3
− = +
⇔
( ) ( )
( )( )
2 2
x 3 0
x 3
2x 1 x 3 2x 1 x 3 0
2x 1 x 3
+ ≥
≥ −
⇔
+ + + + − − =
− = +
( )( )
x 4
x 3
2
3x 2 x 4 0
x
3
=
≥ −
⇔ ⇔
+ − =
= −
(vì thỏa điều kiện x ≥ −3)
Tập nghiệm của (1):
{
}
2
S 4;
3
= −
5–
Đáp án D.
11 4x 2x 3
− = +
⇔
4
11 4x 2x 3
x
3
11 4x 2x 3
x 7
− = +
=
⇔
− = − −
=
6–
Đáp án B
2mx 4 6
+ =
⇔
2mx 4 6 2mx 2
2mx 4 6 2mx 10
+ = =
⇔
+ = − = −
Phương trình vô nghiệm khi m
= 0.
7–
Đáp án C.
13
Phương trình bậc nhất có nghiệm trong hai trường hợp: (nghiệm duy nhất hoăc vô
số nghiệm). Đối với phương trình đã cho chỉ xảy ra trường hợp có nghiệm duy
nhất. Khi đó: m
≠ 0.
8– Đáp án A.
Với m = 1. Ta có:
2mx 2 x 1
2mx 10 x 5
= =
⇔
= − = −
9–
Đáp án D.
(
)
2
m x 1 m 5m 6 x
+ − = − ⇔
(
)
2
m 5m 6 x m 1
− + = −
Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔
2
m 5m 6 0 m 2 và m 3
− + ≠ ⇔ ≠ ≠
.
10–
Đáp án B
2
m x 3x 2m 2x
+ = +
⇔
(
)
2
m 1 x 2m
+ =
Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất
2
2m
x
m 1
=
+
11–
Đáp án C
(
)
(
)
2
m x 2x 1 m 4 2m x 2
− + = − +
⇔
(
)
2
m 4 x m 2
− = +
Khi m = 2, phương trình thành 0x = 4 (vô nghiệm)
12–
Đáp án A
Khi m = –2, phương trình thành 0x = 0 (luôn luôn nghiệm đúng)
13–
Đáp án D.
C– BÀI TẬP CÓ ĐIỂM THƯỞNG
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1:
Giải và biện luận phương trình
(
)
3 2
m x m 4 4m x 1
− − = −
.
Bài 2:
Giải phương trình :
2
3 2x 4x 9 2x
+ − + =
Bài 3:
Giải phương trình
3 2
3 7 3x 17
x 3 x 1 x 4x 3x
− −
+ =
+ + + +
Bài 4:
Giải phương trình :
2
x x 3 x 1 0
− − + + =
Bài 5:
Giải phương trình
2
7x 12x 5 3x 5
− + = −
Bài 6:
Cho phương trình
(
)
2
x 2 m 2 x 4m 5 0
− + + + =
.
a.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa
1 2
x x 2
− =
14
Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1: Phương trình
(
)
3 2
m x m 4 4m x 1
− − = −
(1)
Phương trình (1) ⇔
(
)
(
)
(
)
2
m m 2 m 2 x m 2
− + = −
Trường hợp 1:
(
)
(
)
m m 2 m 2 0 m 0 , m 2
− + ≠ ⇔ ≠ ≠ ±
.
Phương trình có nghiệm duy nhất:
( )
m 2
x
m m 2
−
=
+
Trường hợp 2:
(
)
(
)
m m 2 m 2 0 m 0 hoặc m 2 hoặc m 2
− + = ⇔ = = = −
.
Khi m
=
0: (1)
⇔
0x
=
4 : Phương trình (1) vô nghiệm.
Khi m
=
2: (1)
⇔
0x
=
0 : Phương trình (1) luôn luôn nghiệm đúng.
Khi m
=
–2: (1)
⇔
0x
=
16 : Phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 2:
Phương trình :
2
3 2x 4x 9 2x
+ − + =
(1)
( )
( )
2
2
2
2x 3 0
1 4x 4x 9 2x 3
4x 4x 9 2x 3
− ≥
⇔ − + = − ⇔
− + = −
( )
2
2
3
2x 3 0
x
2
4x 4x 9 2x 3
8x 0
− ≥
≥
⇔ ⇔
− + = −
=
Phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 3:
3 2
3 7 3x 17
x 3 x 1 x 4x 3x
− −
+ =
+ + + +
(1)
Tập xác đònh
{
}
D \ 0 ; 1; 3
= − −
ℝ
Phương trình biến đổi thành
+ + =
2
10x 27x 17 0
⇔
(
)
( )
= −
= −
x 1 loại
17
x nhận
10
Bài 4:
2
x x 3 x 1 0
− − + + =
(
)
2
1 x x 3 x 1
⇔ − − = − −
⇔
2
2
x 1
x 1
x 2 0 x 2
x 2x 4 0
x 1 5
≤ −
≤ −
− = = ±
⇔
− − =
= ±
Với x ≤ –1, ta nhận được nghiệm
x 2
x 1 5
= −
= −
15
Bài 5:
2
7x 12x 5 3x 5
− + = −
(1)
( )
( )
2
2
2
5
3x 5 0
x
3
1
7x 12x 5 3x 5
x 9x 10 0
− ≥
≥
⇔ ⇔
− + = −
− + =
⇔
5
x
9 41
3
x
2
9 41
x
2
≥
+
⇔ =
±
=
Bài 6:
Phương trình
(
)
2
x 2 m 2 x 4m 5 0
− + + + =
(1)
a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0 ⇔
2
m 1
m 1 0 m 1
m 1
< −
− > ⇔ > ⇔
>
b.
Phương trình có hai nghiệm thỏa
1 2
x x 2
− =
Phương trình có hai nghiệm thỏa
1 2
x x 2
− =
thì hai nghiệm không thể trùng
nhau. Do đó:
∆
’ > 0
⇔
m 1
m 1
< −
>
Khi đó:
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x 2 x x 2x x 4 x x 4x x 4
− = ⇔ + − = ⇔ + − =
(*)
Với:
(
)
1 2
1 2
x x 2 m 2
x x 4m 5
+ = +
= +
(*) ⇔
(
)
(
)
2
4 m 2 4 4m 5 4
+ − + =
2
m 2 0 m 2
⇔ − = ⇔ = ±
(thỏa điều kiện ∆’ > 0)
16
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
A– TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y dạng:
ax by c
+ =
(1)
Với a, b, c là các hệ số và a, b không đồng thời bằng 0
Nghiệm của (1) là
(
)
0 0
x ; y
sao cho
0 0
ax by c
+ =
.
Ghi chú:
c ≠ 0 vô nghiệm
a = b = 0
c = 0 nghiệm (x; y) tùy ý
a ≠ 0, b = 0
Nghiệm có dạng
( )
c
; y , với y
a
∈
ℝ
a = 0, b ≠ 0
( )
c
x; , với x
b
∈
ℝ
a ≠ 0, b ≠ 0
Nghiệm có dạng
c ax
x;
b
−
, (x∈
ℝ
)
hoặc
( )
c by
; y , với y
a
−
∈
ℝ
Biểu diễn hình học của tập nghiệm của (1) là một đường thẳng
trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
(x, y là hai ẩn số), (các chữ còn lại là hệ số)
Nghiệm của hệ là cặp số
(
)
0 0
x , y
nghiệm đúng đồng thời cả hai
phương trình.
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Dạng
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
x, y,z là ba ẩn số. Các chữ còn lại là hệ số.
Nghiệm của hệ là bộ ba số
(
)
0 0 0
x , y , z
nghiệm đúng đồng thời cả
ba phương trình của hệ.
17
B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Giải phương trình: 3x – 5y = 4.
Giải
Cách 1: Với x ∈ ℝ, ta có: 3x – 5y = 4 ⇔
3x 4
y
5
−
= .
Phương trình vô số nghiệm dạng:
x
3x 4
y
5
∈
−
=
ℝ
Tập nghiệm: S =
3x 4
x; x
5
−
∈
ℝ
Cách 2: Với y ∈ ℝ, ta có: 3x – 5y = 4 ⇔
5y 4
x
3
+
= .
Phương trình vô số nghiệm dạng:
y
5y 4
x
3
∈
+
=
ℝ
Tập nghiệm: S =
5y 4
y; x
3
+
∈
ℝ
.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d):
3x – 5y = 4 ⇔
3x 4
y
5
−
= .
Bài 2: Giải hệ phương trình:
4x 7y 1
x 3y 14
+ =
− = −
(*)
Chú ý:
Xét hệ
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
(*)
Phương pháp Gau-xơ: Khử bớt một ẩn từ một trong hai phương trình của hệ để hệ (*)
có dạng
1 1 1
a x b y c
0 my n
+ =
+ =
hoặc
2 2 2
mx 0 n
a x b y c
+ =
+ =
Như vậy ta tính được giá trò của một ẩn. Rồi tìm giá trò của ẩn còn lại.
* Ngoài ra, ta còn các hương pháp đã học ở lớp dưới:
Phương pháp cộng đại số: Nhân lần lượt hai phương trình với các số thích hợp để có
thể khử được x (nhằm tính y) hoặc khử được y (nhằm tính x). Tổng quát:
Hệ (*)
⇔
(
)
( )
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1
a b a b x c b b c
a b a b y a c a c
− = −
− = −
Giải
Phương pháp Gau-xơ
Nhân phương trình (2) cho –4 rồi cộng với phương trình (1). ta có:
O
1
1
18
4x 7y 1 4x 7y 1 y 3 x 5
x 3y 14 19y 57 4x 7.3 1 y 3
+ = + = = = −
⇔ ⇔ ⇔
− = − = + = =
Tập nghiệm:
(
)
{
}
S 5; 3
= −
Phương pháp cộng đại số:
Để tính x: Hệ (*)
⇔
12x 21y 3
19x 95 x 5
7x 21y 98
+ =
⇒ = − ⇔ = −
− = −
Để tính y: Hệ (*)
⇔
4x 7y 1
19y 57 y 3
4x 12y 56
+ =
⇒ = ⇔ =
− + =
Tập nghiệm:
(
)
{
}
S 5; 3
= −
Bài 3:
Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm
x 3y m
mx 6y 1
− =
+ =
(*)
Giải
Nhân (1) cho 2, cộng hai phương trình cho nhau vế theo vế.
x 3y m
mx 6y 1
− =
+ =
⇔
( )
x 3y m
m 2 x 2m 1
− =
+ = +
Hệ (*) vô nghiệm khi phương trình :
(
)
m 2 x 2m 1
+ = +
vô nghiệm
⇔
m + 2
=
0
⇔
m
=
–2.
Bài 4:
Giải hệ phương trình: (*) :
x y z 2 (1)
x 2y 3z 1 (2)
2x y 3z 1 (3)
+ + =
+ + =
+ + = −
Giải
Nhân (1) với –1, cộng với (2) vế theo vế. Nhân (1) với –2, cộng với (3) vế theo vế.
(*)
⇔
x y z 2
y 2z 1 (4)
y z 5 (5)
+ + =
+ = −
− =
Nhân (5) với 2, cộng với (4) vế theo vế. Ta được:
(*)
⇔
x y z 2
y 2z 1
3z 6
+ + =
+ = −
= −
Ta có: z
=
–2. Thế ngược lên trên, suy ra: y
=
3 và x
=
1.
Vậy Tập nghiệm của hệ là
(
)
{
}
S 1; 3; 2
= −
19
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
7x 11y 36
x 3y 8
− =
− =
Bài 3:
Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm
mx y 2
x y 3
+ =
− =
(*)
Bài 4:
Giải hệ phương trình: (*)
x y z 11
2x y z 5
3x 2y z 24
+ + =
− + =
+ + =
Hướng dẫn và đáp số
Bài 1:
Giải phương trình 2x – y
=
0.
Phương trình có vô số nghệim.
Nghiệm có thể biểu diễn ở hai dạng:
x
y 2x
∈
=
ℝ
hoặc
y
x
2
y
=
∈
ℝ
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d): y = 2x.
Bài 2: Giải hệ phương trình
7x 11y 36
x 3y 8
− =
− =
Phương pháp Gau-xơ:
7x 11y 36 7x 11y 36 x 2
x 3y 8 10y 20 y 2
− = − = =
⇔ ⇔
− = = − = −
Bài 3:
mx y 2
x y 3
+ =
− =
⇔
( )
mx y 2
m 1 x 5
+ =
+ =
Hệ phương trình vô nghiệm khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1.
Bài 4:
x y z 11
2x y z 5
3x 2y z 24
+ + =
− + =
+ + =
⇔
x y z 11 x y z 11 x 4
3y z 17 3y z 17 y 5
y 2z 9 5z 10 z 2
+ + = + + = =
+ = ⇔ + = ⇔ =
+ = = =
Vậy Tập nghiệm của hệ là
(
)
{
}
S 4; 5; 2
=
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1– Cặp số nào được cho sau đây là nghiệm của phương trình
2x 3y 1 0
− − =
?
A.
(
)
1;1
B.
(
)
2; 1
C.
(
)
3; 2
D.
(
)
1; 2
E. Không có cặp số nào là nghiệm
1
1
O
20
2– Cặp số
(
)
1; 2
là nghiệm của phương trình nào được cho sau đây ?
A. 4x + 3y – 2 = 0 B. –4x – 3y + 2 = 0
C. 4x – 3y + 2 = 0 D. 4x – 3y – 2 = 0
E. 4x + 3 y + 2 = 0
3– Hãy nối liên kết mỗi phương trình được cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở
cặp (II).
Phương trình Nghiệm
1 x – 2y + 1 = 0
(
)
1; 3
A
2 2x – y + 1 = 0
(
)
1; 0
B
3 x + 2y – 1 = 0
(
)
1;1
C
4 x – 2y – 1 = 0
(
)
1; 3
− −
D
5 2x – y – 1 = 0
(
)
3; 1
E
4– Phương trình
3x 4y 1 0
+ − =
có tập nghiệm là tập nào sau đây ?
A.
x
3x 1
y
4
∈
+
=
ℝ
B.
1 4y
x
3
y
+
=
∈
ℝ
C.
x
3x 1
y
4
∈
−
=
ℝ
D.
4y 1
x
3
y
−
=
∈
ℝ
E.
x
1 3x
y
4
∈
−
=
ℝ
Cho phương trình
(
)
(
)
2
m m 1 x m 1 y m 1 0
− + − + − =
.Dùng giả thiết này để trả lời các
câu 5, 6, 7.
5–
Khi m = 0. Nghiệm của phương trình là:
A. Cặp số
(
)
x;1 , x
∈
ℝ
. B. Cặp số
(
)
x; 1 , x
− ∈
ℝ
.
C. Cặp số
(
)
1; y , y
− ∈
ℝ
. D. Cặp số
(
)
1; y , y
∈
ℝ
.
E. Phương trình vô nghiệm.
6–
Khi m = 1. Tập nghiệm của phương trình là:
A. Tập hợp rỗng.
B. Tập các cặp số
(
)
x; 0
, với mọi x ∈
ℝ
.
C. Tập các cặp số
(
)
0; y
, với mọi y ∈
ℝ
.
D. Tập các cặp số
(
)
x; y
, với mọi x, y ∈
ℝ
.
E. Một tập hợp khác.
21
7– Khi m
= –1. Tập nghiệm của phương trình là:
A. Cặp số
(
)
x;1 , x
∈
ℝ
. B. Cặp số
(
)
x; 1 , x
− ∈
ℝ
.
C. Cặp số
(
)
1; y , y
− ∈
ℝ
. D. Cặp số
(
)
1; y , y
∈
ℝ
.
E. Phương trình vô nghiệm.
8– Nối liên kết mỗi hệ phương trình được cho ở cột (I) với nghiệm tương ứng của nó
được cho ở cột (II).
Phương trình Nghiệm
1
2x – 3y + 6 = 0
3
x; x 3 , x
2
− ∈
ℝ
A
2
3x + 2y + 6 = 0
3
y 3; y , y
2
− + ∈
ℝ
B
3
2x + 3y – 6 = 0
3
x; x 3 , x
2
− − ∈
ℝ
C
4
2x – 3y – 6 = 0
2
x; x 2 , x
3
− ∈
ℝ
D
5
3x – 2y – 6 = 0
3
y 3; y , y
2
− ∈
ℝ
E
9–
Cho hệ phương trình :
x my 3
mx 4y 6
+ =
+ =
. Khẳng đònh nào sau đây là sai ?
A. Khi m = 1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)
B. Khi m = 0. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3;
3
2
).
C. Khi m = 2. Hệ phương trình có nghiệm tùy ý (x; y)
D. Khi m = –2. Hệ phương trình vô nghiệm.
E. Có một trong các khẳng đònh trên là sai.
Cho hệ :
(
)
( )
3x m 1 y m 1
m 1 x y 3
+ − = +
+ + =
. Dùng giả thiết này để trả lời các câu 10, 11, 12.
10–
Với giá trò nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm ?
A. m = 1. B. m = –1
C. m = 2 D. m = –2
E. m = –4
11–
Với giá trò nào của m thì hệ phương trình vô số nghiệm ?
A. m = 1. B. m = –1
C. m = 2 D. m = –2
E. m = –4
22
Trả lời trắc nghiệm
1– Đáp án B. Thay từng cặp số vào phương trình.
2– Đáp án C. Thay từng cặp số vào phương trình.
3– Đáp án
(
)
1; C
,
(
)
2; A
,
(
)
3; B
,
(
)
4; E
,
(
)
5; D
4– Đáp án E.
5– Đáp án B. Khi m = 0. Phương trình thành 0x = y + 1.
Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ và y = –1.
6– Đáp án D. Khi m = 1. Phương trình thành 0x + 0y = 0 nên phương trình nghiệm
đúng với mọi x, y ∈ ℝ.
7– Đáp án D. Khi m = –1. Phương trình thành 0y = 2 – 2x.
Phương trình nghiệm đúng khi x = 1, ∀y ∈ ℝ
8– Đáp
(
)
1; E
,
(
)
2; C
,
(
)
3; B
,
(
)
4; D
,
(
)
5; A
9– Đáp án C. Với hệ
x my 3
mx 4y 6
+ =
+ =
Khi m
=
2. Ta có: x + 2y
=
3 .
Do đó: hệ phương trình vô số nghiệm
(
)
3 2y; y , y
− ∈
ℝ
. Không phải nghiệm tùy ý.
10–
Đáp án D. m
=
–2
11–
Đáp án C. m
=
2
C– BÀI TẬP CÓ ĐIỂM THƯỞNG
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1:
Cho hai phương trình:
4x + y
=
5 (1)
3x – 6y
=
1 (2)
a.
Giải phương trình (1) và giải phương trình (2).
b.
Tìm nghiệm chung của (1) và (2).
Bài 2:
Giải và biện luận hệ phương trình:
mx y 2
x y 3
+ =
− =
(m: tham số)
Bài 3:
Tìm m để hệ phương trình sau đây vô nghiệm:
2
2x (9m 2)y 3m
x y 1
+ − =
+ =
Bài 4:
Giải hệ phương trình: (*)
2x 3y 5z 13
4x 2y 3z 3
x 2y 4z 1
+ − =
− − =
− + + = −
23
Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
a. Nghiệm cỉa (1)
x
y 4x 5
∈
= − +
ℝ
hay
( )
{
}
1
S x; 4x 5 x
= − + ∈
ℝ
Nghiệm của (2)
x
3x 1
y
6
∈
−
=
ℝ
hay
2
3x 1
S x; x
6
−
= ∈
ℝ
.
b. Nghiệm chung của (1) và (2) là nghiệm của hệ:
4x 3y 5
3x 6y 1
+ =
− =
Tập nghiệm chung: S = S
1
∩ S
2
=
1
1;
3
Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình:
mx y 2
x y 3
+ =
− =
(m: tham số)
mx y 2
x y 3
+ =
− =
⇔
( )
mx y 2 (1)
m 1 x 5 (2)
+ =
+ =
Biện luận:
+ Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ –1: Phương trình (2) có nghiệm duy nhất
5
x
m 1
=
+
.
Thay
5
x
m 1
=
+
vào (1), ta được
2 3m
y
m 1
−
=
+
.
Hệ có nghiệm duy nhất
5 2 3m
;
m 1 m 1
−
+ +
+ Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = –1. Phương trình (2) vô nghiệm. Do đó hệ vô nghiệm
(Cũng có thể thay m = –1 vào hệ đã cho để chứng minh hệ vô nghiệm)
Bài 3:
(
)
(
)
( )
2
2
2
2x 9m 2 y 3m
2x 9m 2 y 3m
x y 1
9m 4 y 3m 2
+ − =
+ − =
⇔
+ =
− = −
Hệ vô nghiệm ⇔
2
9m 4 0
2
m
3
3m 2 0
− =
⇔ = −
− ≠
Bài 4:
Giải hệ phương trình
2x 3y 5z 13
4x 2y 3z 3
x 2y 4z 1
+ − =
− − =
− + + = −
2x 3y 5z 13
4x 2y 3z 3
x 2y 4z 1
+ − =
− − =
− + + = −
⇔
73z 73 x 1
6y 13z 1 y 2
x 2y 4z 1 z 1
= − =
+ = − ⇔ =
− + + = − = −
24
ÔN TẬP CHƯƠNG III
BÀI TẬP
A– KIẾN THỨC CƠ BẢN
B– CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải và biện luận phương trình :
(
)
m x 1 x 2m 7
− = + −
(1)
Giải
(
)
(
)
1 m 1 x 3m 7
⇔ − = −
+ m
≠
1 : Phương trình có nghiệm duy nhất :
3m 7
x
m 1
−
=
−
+ m = 1 : (1) ⇔ 0x = –4 : phương trình vô nghiệm.
Bài 2:
Giải và biện luận phương trình:
(
)
2 2
x 2 m 1 x m 4m 0
− + + + =
(1)
Giải
Ta có: ∆’ = 1 – 2m.
1
m
2
>
: phương trình vô nghiệm.
1
m
2
=
: phương trình có nghiệm kép
3
x m 1
2
= + =
1
m
2
>
: phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x m 1 1 2m
= + ± −
Bài 3: Cho phương trình
(
)
2 2
x 2 m 1 x m 2m 3 0
− + + + − =
. Đònh m để phương trình có
một nghiệm là –1. Tìm nghiệm còn lại.
Giải
Phương trình có nghiệm x = –1 ⇔
( )
2
m 0
1 2 m 1 m 2m 3 0
m 4
=
+ + + + − = ⇔
= −
Các kiến thức chủ điểm bắt buộc học sinh phải làm được:
Giải và biện luận phương trình bậc nhất
Giải và biện luận phương trinh bậc hai.
Đònh lý Vi-ét
Một số dạng phương trình thường gặp đưa được về phương trình
bậc nhất hoặc bậc hai.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
25
Ta có:
(
)
1 2
x x 2 m 1
+ = +
⇔
(
)
2
x 2 m 1 1 2m 3
= + + = +
, (vì
1
x 1
= −
)
+ Khi m = 0. Ta có:
2
x 3
=
+ Khi m = –4. Ta có:
2
x 5
= −
.
Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 29 và tích của chúng là 198
Giải
Ta có:
x y 29
xy 198
+ =
=
Theo đònh lý Vi-ét đảo; x, y là nghiệm của phương trình
2
X 29x 198 0
− + =
.
Hai số phải tìm là 18 và 11.
Bài 5: Bằng phương pháp khử dần ẩn số, giải hệ phương trình:
x 7y 14
2x 3y 6
− =
− =
Giải
x 7y 14 x 7y 14 x 0
2x 3y 6 11y 22 y 2
− = − = =
⇔ ⇔
− = − = = −
Bài 6: Giải phương trình
x 11 x 1
+ = −
(1)
Giải
( )
2
2
x 1
x 1 0
x 1
x 2
(1)
x 3x 10 0
x 11 x 1
x 5
≥
− ≥
≥
= −
⇔ ⇔ ⇔
− − =
+ = −
=
⇔ x = 5.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Giải và biện luận phương trình :
(
)
2
m x 1 2m x 1
+ + = −
Bài 2: Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2m -1 và 3.
Bài 3: Cho phương trình
(
)
2
x 2 m 1 x 4m 3 0
− + + − =
a. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm
b. Đònh m để phương trình có tích của hai nghiệm bằng 5. Khi đó, tính tổng của
hai nghiệm.
Bài 4: Gọi
1 2
x , x
là hai nghiệm của phương trình
2
x 3x 24 0
− − =
. hãy tính giá trò của
biểu thức
1 2
1 1
P
x x
= + .
Bài 5:
Xác đònh a để hệ phương trình sau vô nghiệm:
2x 3y a
4x 6y 3a 1
− =
− + = +
Bài 6:
Gảii phương trình
2
2x x 1 x 1
− + = −
(1)
