da thi dap an Toan 9 - 41

TRNG THCS VINH THANH
Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm):
Cho biểu thức
86
1
:
1
1
1
2
1










+

+
+
++
=
a

aaa
a
aa
a
M
.
1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tính M khi
627 =a
.
Gii :
1. Điều kiện của a: a>0 và a1.
1
86
.
1)(
)1(2)1(
3

++++
=
aa
aaaaa
M
=
1
86
)1()1(
86)12(
2

++
=
++
+
aaaaa
aa
2.
16)16(627
2
=== aa
.
)67(2
67
86
116627
86
+=

=
++
=M

Câu 2 (2 điểm):
1. Giải phơng trình
224222
2
+=+ xxxx
.
Gii :
- Điều kiện x>2

- Phơng trình tơng đơng với:
022222222 =+++++ xxxxxx
.

( )
022222
2
=+++ xxxx
. Đặt t=
22 + xx
, có phơng trình t
2
+t-2=0



=
=
2
1
t
t
- Với t=1:
122 =+ xx

212 ++= xx
2232 +++= xxx

522 =+x
, ph-

ơng trình này vô nghiệm.
- Với t=-2
222 =+ xx

222 +=+ xx

2242 +=++ xxx

02 =x
, hay x=2, thoả mãn điều kiện.
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ cho parabol (P)
4
2
x
y =
, điểm M(0;-2) và đờng
thẳng d qua I, có hệ số góc k.
1. Chứng minh rằng đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi k,
2. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất.
Gii :
1. Đờng thẳng d có phơng trình: y=kx-2.
GV: KIM THCH ST
1
TRNG THCS VINH THANH
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ x
1
, x
2
là nghiệm phơng trình

4
2
2
x
kx =
,
tơng đơng với x
2
+4kx-8=0, phơng trình này có =4k
2
+8>0 với mọi k, suy ra phơng trình
luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là A, B là ghai điểm phân biệt.
2. Giả sử A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
), với y
1
=kx
1
-2, y
2
=kx
2
-2, khi đó
AB

2
=(x
2
-x
1
)
2
+(y
2
-y
1
)
2
=(x
2
-x
1
)
2
+k
2
(x
2
-x
1
)
2
=(k
2
+1) (x

2
-x
1
)
2
=
(k
2
+1) [(x
2
-x
1
)
2
-4x
1
x
2
].
Theo định lí Viet, x
1
+x
2
=-4k, x
1
x
2
=-8 AB
2
=(k

2
+1)(16k
2
+32)>32.
Dấu (=) xảy ra khi k=0, vậy AB lớn nhất bằng
24
khi k=0.
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (OA<OB), điểm M bất kỳ
trên cạnh Oy, M khác O. Đờng tròn tâm I đờng kính AB cắt các tia MA, MB lần lợt
tại điểm thứ hai là C, D. Tia OD cắt đờng tròn (I)tại điểm thứ hai E.
1. Chứng minh tứ giác OCEM là hình thang.
2. Chứng minh OD.OE+BD.BM=OB
2
.
3. Tìm vị trí điểm M để tứ giác OCEM là hình bình hành.
Gii :
K
E
D
C
I
O
x
y
A
B
M
1. Tứ giác OADM có
MOA=MDA=90

0
, suy ra tứ
giác OADM nội tiếp đờng tròn đ-
ờng kính MA, suy ra
OMA=ODA.
Tứ giác ACED nội tiếp đờng tròn
tâm I, suy ra ODA=ACE, suy
ra OMA=ACE OM//CE tứ
giác OCEM là hình thang,
2. Ta có:
OAEODB

OB
OE
OD
OA
=
OA.OB=OD.OE (1)
OBMDBA

BA
BM
DB
OB
=
BD.BM=OB.OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra
OD.OE+BD.BM=OA.OB+OB.OA=
OB(OA+AB)=OB
2

.
3. CM cắt OE tại H, CE cắt AB tại K.
Tứ giác OCEM là hình bình hành , suy ra OH=HE.
Từ OM//CE, suỷa CEAB
, suy ra CK=KE A là trọng tâm OCE.
Suy ra OK=3AK.
Ta xác định M bằng cách :
- Xác định K : lấy K thuộc cạnh Ox sao cho OK=3AK. Kẻ đờng thẳng qua K, vuông góc
với Ox, đờng thẳng này cắt đờng tròn tâm I tại điểm C (C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB,
không chứa tia Oy). CA căt Oy tại M, M là điểm cần tìm.
Câu 5 (1 điểm):
GV: KIM THCH ST
2
TRNG THCS VINH THANH
Cho hình chóp OABC, có OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một. Từ O kẻ
OH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.
Gii :
O
A
B
C
H
- Ta có OHmp(ABC)BCOH.
- OAmp(OBC)BCOA
suy ra BCmp(OHA).
Vậy AHBC.
Chứng minh tơng tự ta có
BHAC, vậy H là trực tâm tam
giác ABC.
Câu 6 (1 điểm):

Cho hai số x, y lớn hơn 1, thoả mãn điều kiên xy<4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
1
1
1

+

=
yx
M
.
Gii :
- Nhận xét: với mọi a, b dơng ta có
abba 2+
, dấu bằng xảy ra khi a=b.
Ta có
)1)(1(412 . 12)11)(11(4 =++= yxyxyxxy
, vậy
1
)1)(1(
1

yx
, vậy
M=
2
1
1

1
1
2
1
1
1
1




+
yxyx
M=2 khi x=y=2, vậy M đạt giá trị min bằng 2 khi x=y=2.
GV: KIM THCH ST
3