CHUYEN DE PHUONG TRINH BAC HAI (Cuc hay)

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phơng tr×nh
x 2 + m(m + 1) x + 5m + 20 = 0

Cã mét nghiÖm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình
(1)
x 2 + mx + 3 = 0
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình
(1)
x2 8x + m + 5 = 0
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phơng trình trong trờng hợp này.
Bài tập 4 : Cho phơng tr×nh
(1)
(m − 4) x 2 − 2mx + m − 2 = 0
a) m = ? th× (1) cã nghiƯm là x = 2 .
b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phơng trình
(1)
x 2 − 2(m + 1) x + m − 4 = 0
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phơng trình (1) CMR : M = ( 1 − x2 ) x1 + ( 1 − x1 ) x2 kh«ng phơ
thc m.
Bài tập 6 : Cho phơng trình
(1)

x 2 2(m − 1) x + m − 3 = 0
a) Chøng minh (1) có nghiệm với mọi m.
2
b) Đặt M = x12 + x2 ( x1 , x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình
x 2 + ax + b 1 = 0(1);
x 2 + bx + c − 1 = 0(2);
x 2 + cx + a − 1 = 0(3).

Chøng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phơng trình
(1)
x 2 ( a − 1) x − a 2 + a − 2 = 0
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm tr¸i dấuvới mọi a.
2
b) x1 , x2 là nghiệm của phơng tr×nh (1) . T×m min B = x12 + x2 .
Bài tập 9: Cho phơng trình
(1)
x 2 2(a 1) x + 2a − 5 = 0
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi a.
b) a = ? thì (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x1 < 1 < x2 .
2
c) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x12 + x2 = 6.
Bài tập 10: Cho phơng trình
(1)
2 x 2 + (2m − 1) x + m − 1 = 0
a) m = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n 3 x1 − 4 x2 = 11 .
b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiƯm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 kh«ng phơ thc m.

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11: Cho hai phơng trình
x 2 (2m + n) x 3m = 0(1)
x 2 − ( m + 3n) x 6 = 0(2)

Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

(1)
điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là
ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0)

kb 2 − (k + 1) 2 ac = 0(k ≠ 0)

Bµi tËp 13: Cho phơng trình
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x1 − 2 x2 = 0 .
c) T×m mét hƯ thøc giữa x1 , x2 độc lập với m.
Bài tập 14: Cho phơng trình
(1)
x 2 (2m + 3) x + m 2 + 3m + 2 = 0
a) Chøng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m ®Ĩ phong tr×nh cã hai nghiƯm ®èi nhau .
c) T×m một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phơng trình
(1)
(m 2) x 2 + 2(m − 4) x + (m − 4)(m + 2) = 0

a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
b) Giả sử phơng trình cã hai nghiƯm x1 , x2 . T×m mét hƯ thức giữa x1 , x2 độc lập với m.
mx 2 + 2(m − 4) x + m + 7 = 0

c) TÝnh theo m biĨu thøc A =

d) T×m m ®Ĩ A = 2.

1
1
+
;
x1 + 1 x2 + 1

Bµi tËp 16: Cho phơng trình

(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt víi mäi .
x 2 − mx − 4 = 0

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

2( x1 + x2 ) + 7
.
2
x12 + x2

c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình x 2 + kx + 7 = 0 cã hai nghiƯm h¬n kém nhau
một đơn vị.

Bài tập 18: Cho phơng trình
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.
Bài tập 19: Cho phơng trình
(1)
x 2 ( m + 1) x + m = 0
a) CMR phơng rình (1) luôn có nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
2
b) Gäi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tính x12 + x2 theo m.
x 2 − ( m + 2) x + m + 1 = 0

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
2
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x12 + x2 = 5.
Bài tập 20: Cho phơng trình
(1)
x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 3m = 0
a) Giải phơng trình (1) với m = -3.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình
(1)
x 2 12 x + m = 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mÃn x2 = x12 .
Bài tập 22: Cho phơng trình

(1)
(m 2) x 2 2mx + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n ( 1 + 2 x1 ) ( 1 + 2 x2 ) = −1 .
Bµi tËp 23: Cho phơng trình
(1)
x 2 2(m 1) x + m 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = 5.
b) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm ph©n biƯt víi mäi m.

c) TÝnh A =

1 1
+ 3 theo m.
x13 x2

d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 24: Cho phơng trình
(1)
(m 2) x 2 − 2mx + m − 4 = 0
a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình khi m =

3
.
2

c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.

Bài tập 25: Cho phơng trình
(1)
x 2 + px + q = 0

(

)

a) Giải phơng trình khi p = 3 + 3 ; q = 3 3 .
b) T×m p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm : x1 = −2, x2 = 1
c) CMR : nÕu (1) có hai nghiệm dơng x1 , x2 thì phơng tr×nh qx 2 + px + 1 = 0 cã hai nghiệm dơng x3 , x4
d) Lập phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ 3 x1va3x2 ;
Bµi tËp 26: Cho phơng trình

1
1
x
x
; 1 và 2
2 và
2
x1
x2
x2
x1

(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn : x1 x2 = 1 ;
2

c) Tìm m để x12 + x2 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình
(1)
x 2 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0
a) Gi¶i phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng tr×nh (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 . T×m GTNN cđa biĨu thøc
x 2 − (2m − 1) x − m = 0

2
A = x12 + x2 + 10 x1 x2

Bài tập 28: Cho phơng trình

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
(1)

(m + 1) x 2 − (2m − 3) x + m + 2 = 0

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 . H·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm kia.
Bµi tËp 29: Cho phơng trình
(1)
x 2 2(m 2) x + ( m 2 + 2m − 3) = 0
T×m m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt thoả mÃn
Bài tập 30: Cho phơng trình

1 1 x1 + x2

+ =
x1 x2
5

cã 3 m 2 = 16n.
CMR hai nghiÖm của phơng trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiƯm kia.
Bµi tËp 31 : Gäi x1 , x2 lµ các nghiệm của phơng trình 2 x 2 3 x 5 = 0 . Không giải phơng trình ,
x 2 + mx + n = 0

h·y tÝnh : a)

1 1
+ ;
x1 x2

b) ( x1 − x2 ) 2 ;

c)

x3 +x3
1
2

d) x1 x2

Bài tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a) 3 và 2 3 ;
b) 2 - 3 vµ 2 + 3 .
Bài tập 33 : CMR tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiƯm lµ :
a) 3 − 5 ;

3+ 5

b)

2+ 3
;
2− 3

c)

2+ 3

Bài tập 33 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a) Bình phơng của các nghiệm của phơng trình x 2 2 x 1 = 0 ;
b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình x 2 + mx − 2 = 0
Bµi tËp 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phơng trình
x 2 + mx + n = 0 cịng lµ m vµ n.
Bµi tËp 35: Cho phơng trình
(1)
x 2 2mx + (m 1)3 = 0
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình
phuơng nghiệm còn lại.
Bài tập 36: Cho phơng trình

(1)
2 x2 5x + 1 = 0
x2 + x2 x1 ( Víi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Tính x1

Bài tập 37: Cho phơng trình

(1)
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 ).
2
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả m·n x12 − x2 = 1
(2m − 1) x 2 − 2mx + 1 = 0

Bµi tËp 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số).
Chứng minh rằng phương trình ln luụn cú nghim.

Bài tập 39:
Tìm các giá rị của a ®Ĩ ptr×nh :
(a 2 − a − 3) x 2 + ( a + 2 ) x − 3a 2 = 0
Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?

Bài tập 40

Xác định giá trị của m trong phơng trình bậc hai :

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
x2 8x + m = 0
để 4 + 3 là nghiệm của phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đà cho còn

một nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn lại ấy?

Bài tập 41: Cho phơng trình : x 2 2(m + 1) x + m − 4 = 0

(1) , (m là tham số).

1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt mọi m.
3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất ( x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/ ) .

Bài tập 42:
Cho phng trình
1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2
2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bµi tËp 43:

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x 1 x2 - x1 - x2 t giỏ tr nh nht.

Bài tập 44:
Cho phơng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 3 = 0
1) Giải phơng trình với m = 3
2) Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 45:

Cho phơng trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2

1
=0
2

(1)

1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối
bằng nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:
x1 =

4
3+ 5

vµ x 2 =

4
3− 5

4

 4   4 
 +

1) TÝnh : P = 

 

 3+ 5  3 5

4

2
Bài tập 47: Tìm m để phơng trình : x − 2 x − x − 1 + m = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt.

Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau :

x 2 (2m − 3) x + 6 = 0
2 x2 + x + m − 5 = 0

( x lµ Èn , m là tham số )

Tìm m để hai phơng trình đà cho có đúng một nghiệm chung.
Bài tập 49:
Cho phơng tr×nh : x 2 − 2(m + 1) x + m 2 − 1 = 0 víi x lµ Èn , m là tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đà cho kho m = 0.

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
2) Tìm m để phơng trình đà cho có hai nghiệm dơng x1 , x2 phân biệt thoả mÃn điều kiện
2
x12 x2 = 4 2

Bài tập 50:

Cho phơng trình :

( m + 2 ) x 2 + ( 1 − 2m ) x + m − 3 = 0 ( x lµ Èn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -

9
2

2) CMR phơng trình đà cho có nghiệm với mọi m.
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 52: Cho phơng tr×nh x2 + x – 1 = 0 .
a) Chøng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu .
b) Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình . HÃy tính giá trị biểu thức :
P = x18 + 10 x1 + 13 + x1

Bài tập 53: Cho phơng trình víi Èn sè thùc x:
x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài tập 54:
Cho phơng trình : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
2
2
b) Tìm m để 2 nghiƯm x1 , x2 cđa (1) tho¶ m·n : x1 + x2 = 14 .
Bµi tËp 55:
a)
Cho a = 11 + 6 2 , b = 11 − 6 2 . CMR a, ,b là hai nghiệm của phơng trình bËc hai víi
hƯ sè nguyªn.
b)
Cho c = 3 6 3 + 10, d = 3 6 3 − 10 . CMR c 2 , d 2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình bậc hai
với hệ số nguyên.
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :
x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + m + 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số).

1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n :
x1 + x2 = 3 .
3)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y =
2
x + 2(m + 1) x + m 2 + m + 1 chứa đoạn [ 2;3] .
Bài tập 57:Cho phơng tr×nh : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài tập 58: Cho phơng trình : x 2 + 6 x + 6a − a 2 = 0.
1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm.
2) Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phơng trình này. HÃy tìm giá trị của a sao cho x2 = x13 − 8 x1
Bµi tËp 59:
Cho phơng trình :
mx2 -5x ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
a) Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Trong trờng hợp phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 , hÃy tính theo m giá trị của
2
biểu thức B = 10 x1 x2 − 3( x12 + x2 ) . Tìm m để B = 0.
Bài tập 60:
a)

Cho phơng trình : x 2 − 2mx + m2 − 1 = 0 ( m lµ tham sè ,x lµ Èn sè). Tìm tất cả các giá trị
nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiÖn 2000 < x1 < x2 < 2007
b)
Cho a, b, c, d ∈ R . CMR Ýt nhÊt mét trong 4 phơng trình sau có nghiệm
ax 2 + 2bx + c = 0;
bx 2 + 2cx + d = 0;
cx 2 + 2dx + a = 0;
dx 2 + 2ax + b = 0;

Bµi tËp 61:
1)
Cho a, b , c, là các số dơng thoả mÃn đẳng thức a 2 + b 2 − ab = c 2 . CMR phơng trình
x 2 2 x + (a c)(b c) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2)
Cho phơng tr×nh x 2 − x + p = 0 cã hai nghiệm dơng x1 , x2 . Xác định giá trÞ cđa p khi
4
5
x14 + x2 − x15 − x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 62: Cho phơng trình : (m + 1 ) x2 – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.
Bài tập 63: Cho phơng trình : x 2 3 y 2 + 2 xy − 2 x − 10 y + 4 = 0 (1)
1)
T×m nghiƯm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mÃn x 2 + y 2 = 10
2)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai Èn x :
a1 x 2 + b1 x + c1 = 0 vµ a2 x 2 + b2 x + c2 = 0
Cã nghiÖm chung. CMR : ( a1c2 − a2c1 ) 2 = ( a1b2 − a2b1 ) ( b1c2 b2c1 ) .
Bài tập 65: Cho phơng trình bËc hai Èn x :

x 2 − 2(m − 1) x + 2m 2 − 3m + 1 = 0

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤ m ≤ 1
b) Gäi x1 , x2 lµ nghiệm của phơng trình , chứng minh : x1 + x2 + x1 x2
Bài tập 66: Cho phơng trình bËc hai Èn x :

9
8

2 x 2 + 2mx + m 2 2 = 0

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm.
b) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình , tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc :
A = 2 x1 x2 + x1 + x2 4 .
Bài tập 67: Cho phơng trình bËc hai Èn x :
(m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0 víi m ≠ 1. (1)
a) CMR (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m.
b) Gäi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình (1) , tìm m để x1 x2 > 0 vµ x1 = 2 x2
Bµi tËp 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phơng trình
x 2 + (a + b + c) x + ab + bc + ac = 0 v« nghiƯm .

GV: Ngun Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :
ax 2 + bx + c = 0(1);
cx 2 + dx + a = 0(2).

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 ≥ 4 .

Bài tập 70: Cho các phơng trình bậc hai Èn x :
x 2 + bx + c = 0 có các nghiệm x1 , x2 ; phơng trình x 2 − b 2 x + bc = 0 cã c¸c nghiƯm x3 , x4 .
BiÕt x3 − x1 = x4 x2 = 1 . Xác định b, c.
Bài tập 71 : Giải các phơng trình sau

a)
b)
c)
d)
e)

3x4 - 5x2 +2 = 0
x6 -7x2 +6 = 0
(x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = 0
(x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24
3x2+ 3x =
x 2 + x +1
1
)-4(
x

f) (x +
g)
h)

x+

1
x

) +6 =0

1 − 2x 2 = x −1
4 x − 20 = x − 20
2
x 4
x
48
+ 2 = 10( − )
3 x
3 x

i)

Bài tập 72. giải các phơng trình sau.

a) x2 - 5 x - 5 =0
b) - 5 .x2- 2 x +1=0
c) ( 1 - 3) x 2 − ( 3 + 1) + 3 = 0
d)5x4 - 7x2 +2 = 0
e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = 0
f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16
g) 2x2+ 2x =
x 2 + x +1 .
Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) cã hai nghiƯm lµ x 1 , x 2 .
1/ không giải phơng trình tính giá trị của các biÓu thøc sau:
A=

1
x1

2

+

1
x2

2

; B=

4 − x1
x1

2

+

4 − x2
x2

2

; C = x15 + x2 5 ;

7

D = x1 + x 2

7

2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3
b) u =

1
1
,v=
.
x1 − 1
x2 1

Bài tập 74 . Cho hai phơng trình : x2- mx +3 = 0 vµ x2- x +m+2= 0 .

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung.
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
Bài tập 75. Cho phơng trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Tìm a sao cho

1
1
+ <3 .
x1 x 2

c) T×m mét hƯ thức độc lập giữa x1, x2.

Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= 0 .

a) Giải phơng trình với m =- 2 .
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa C = x1 2 + x 2 2
Bµi tËp 77:

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
Cho phơng trình mx2 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có
giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 cđa PT (1) cã hai nghiƯm tho¶ m·n x1 + 4x2
=3
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
Bài tập 78: Cho phơng trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị của m để

nghiệm x1 ;x2 của PT thoả mÃn điều kiện x12 + x22 = 1
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m 1)x2 – 2x + 3 = 0
Bµi tËp 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m 3) = 0
Tìm các GT của m để PT cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n :
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
5

Bµi tËp 81 .Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 có các nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên

hệ giữa x1; x2 độc lập với m .

Bài tập 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1)

a) Chøng minh (1) cã nghiƯm víi mọi a
b) Với mọi giá trị của a thì (1) cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2
c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = 6.
Bµi tËp 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = 0 (1)
mx2 + 10x – 1 = 0 (2) ( m khác không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn điều kiện 6x1 + x2
=5
Bài tập 84: Cho Phơng trình x2 2(m+1) x – 3m2 – 2m – 1 = 0 (1)
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) cã hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 + 3x2 = 5
4) Tìm các GT m để PT (1) cã hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = m2 – 2m +
3.
Bµi tËp 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = 0
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng các nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Không giải PT lập phơng trình bậc hai có các
nghiệm y1 ; y2
a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x2 (m – 1) x – m2 +m – 2 = 0
a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đà cho cã hai nghiƯm tr¸i dÊu víi mäi GT cđa m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đà cho là x1 ; x2 .Tìm m để hai nghiệm đó thoả mÃn
3

3

x1 x2
ữ + ữ đạt GTLN
x2 x1

Bài tập 88: Cho Phơng tr×nh : x2 – mx – m – 1 = 0 (*)

a) C/mr PT (*) cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi GT cđa m ; tÝnh nghiƯm kÐp ( nếu có )
của PT và GT m tơng ớng .
b) §Ỉt A = x12 + x22 – 6x1.x2
1) Chøng minh A = m2 -8m + 8
2) T×m m sao cho A= 8
3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng .
GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


Chuyên đề: Phơng trình bậc hai
Bài tập 89: Cho phơng tr×nh x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 = 0 (1)

a) C/mr PT(1) cã nghiƯm víi mäi a
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x1 ,x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2
c) Víi giá trị nào của a thì phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn
x12 + x22 =6
Bài tập 90: Cho phơng trình : x2 2(m+1)x + m – 4 = 0 ( *)
a) Chøng minh (*) cã hai nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x1 ; x2 lµ nghiƯm cđa PT (*)
Chøn minh r»ng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1

Bài tập 91: Cho phơng trình : x2 (1- 2n) x + n – 5 = 0
a) Gi¶i PT khi m = 0
b) Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm với mọi giá trị của n
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm cảu PT đà cho
Chứng minh rằng biểu thức : x1(1 + x2) + x2(1 +x1)
Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình x2 + ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên
Chứng minh rằng a2 + b2 là hợp số
Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0
vô nghiệm
Bài tập 94: Cho các phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a.c

≠ 0) vµ cx2 + dx + a = 0 có các
nghiệm x1; x2 và y1 ; y2 tơng ớng C/m x12 + x22 + y12 + y22 ≥ 4

Bµi tập 95: Cho các phơng trình x2+ bx +c =0 (1) và x2 +cx +b = 0 (2)

Trong đó

1 1 1
+ =
b c 2

Bµi tËp 96: Cho p,q lµ hai số dơng .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

px2 + x +q = 0 và x3 ; x4 là nghiệm của phơng trình qx2 + x + p = 0
C/m :
x1.x2 + x3 .x4 ≥ 2
Bµi tËp 97: Cho a,b,c lµ ba sè thùc bÊt kú .Chøng minh rằng ít nhất một trong ba phơng
trình sau có nghiÖm :

x 2 + ax + b − 1 = 0; x 2 + bx + c − 1 = 0; x 2 + cx + a − 1 = 0

Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = 0 (1)

a) C/m phơng trình luôn luôn có nnghiệm
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để 2(x12 + x22 ) = 5x1x2
Bài tập 99: Cho phơng trình x2 + a1x + b1 = 0 (1) ; x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Có các hệ số thoả mÃn a1a2 ≥ 2 ( b1 + b2 ) .Cmr Ýt nhất một trong hai phơng trình trên
có nghiệm
Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :

(

)

a 2 x 2 + b2 + a 2 − c 2 x + b2 = 0

Vô nghiệm
Nếu a + b > c và a b > c
Bài tập 101: Cho hai phơng trình :
x2 + mx + 1 = 0 (1)
x2 + x + m = 0 (2)

GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình


a) Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình trên tơng đơng
Bài tập 102: Cho phơng trình: x2 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)
a) C/mr phơng trình (1) luôn có nghiệm

Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a2 + b2 + c2 = 14
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x2 + ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0 cã
nghiƯm chung th× : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0
Bµi tËp 104: Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2
nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x1 , x2 là hai nghiệm của hai phơng trình x2 + ax + bc = 0 vµ x2 , x3 lµ hai
nghiệm của phơng trình x2 + bx + ac = 0 ( víi bc kh¸c ac ) . Chøng minh x1, x3 là nghiệm
của phơng trình x2 + cx + ab = 0 .
Bài tập 106: Cho phơng trình x2 + px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phơng trình
(1) biết rằng khi thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phơng trình :
x2 p2x + pq = 0
Bài tập 107: Chứng minh rằng phơng trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
Luôn có nghiệm với mọi a,b,c.
Bài tập 108: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0
T×m GTLN cđa biĨu thøc A = x1 x2 − 2 x1 − 2 x2
Bµi tËp 109: Cho a

≠ 0 .G/s x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình

x 2 ax −

1
=0
2a 2

Chøng minh r»ng :

x 41 + x2 4 2 + 2
1
Bài tập 110 Cho phơng trình x 2 − ax + 2 = 0 .Gäi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

a
4
4
Tìm GTNN của E = x1 + x2

Bài tập 111: Cho phơng trình x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0

a) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm kép
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm lớn hơn 1
Bài tập 112.Cho phơng tr×nh : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả m·n :

x1 x2 −5
+ =
x2 x1
2