Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (521.27 KB, 73 trang )
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Lời nói đầu
Trong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem
là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại
tránh né bởi vì học sinh cha hình thành đợc những phơng pháp giải để học sinh
ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức.
Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phơng pháp
chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải
quyết các bài toán có liên quan. Các bài tập ở đây với độ khó đợc nâng dần lên
nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng
thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú
hơn khi học về bất đẳng thức.
Nội dung của chuyên đề bao gồm:
Phần I - Kiến thức cơ bản cần nắm: Đây là phần tóm tắt một số kiến thức
lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng
minh Bất đẳng thức.
Phần II - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các
phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thờng dùng cho học sinh THCS.
Với mổi phơng pháp có các kiến thức cần nắm, các ví dụ minh hoạ, bài
tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành đợc t duy cảm nhận về
phơng pháp đó.
Phần III - ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày
những ứng dụng phổ biến của chứng minh Bất đẳng thức.
Phần IV - Hớng dẫn, giải các BT áp dụng: Đây là phần giải chi tiết của
các BT áp dụng cho từng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở trên.
Phần V - Bài tập tổng hợp tự giải: Bao gồm các bài tập tổng hợp cho
tất
cả các dạng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức.
Cơ sở lý luận Thực tiễn
Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhng để cho
học sinh hình thành đợc phơng pháp chứng minh cũng nh ứng dụng Bất đẳng thức
trong Toán học thì cha có. Số học sinh hiểu và đợc điểm khá của phần này rất thấp
thậm chí không có, đa số các em chỉ đợc điểm Trung Bình hoặc Yếu. Ngoài ra, số
lợng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức trong kiến thức của ch-
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 1
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
ơng trình THCS rất ít nên học sinh ít thời gian để ý đến các kiến thức mà giáo
viên giảng trong phần này. Do đó học sinh không có hứng thú khi học sinh bắt
gặp dạng toán Bất đẳng thức này. Do thời gian nghiên cứu làm bài đề tài ngắn nên
tôi không thể đa ra đợc số liệu điều tra cụ thể đợc nhng tôi mong rằng qua đề tài
này tôi hi vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho những em có hứng thú học tập bộ
môn Toán nói chung và chuyên đề Bất đẳng nói riêng.
Phần I - kiến thức cơ bản
I Một số bất đẳng thức cần nhớ:
2
0; 0;a a b b b
o Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
321
321
++++
Với
0>
i
a
dấu bằng xảy ra khi
1 2
n
a a a
= = =
o Bất đẳng thức Bunhiacopski:
( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2
nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
Dấu đẳng thức xảy ra <=>
1 2
1 2
n
n
a a a
x x x
= = =
o Bất đẳng thức Trê- b-sép:
Nếu
CBA
cba
3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++
++
Nếu
CBA
cba
3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++
++
Dấu bằng xảy ra khi
==
==
CBA
cba
II - Một số bất đẳng thức phụ đã đợc chứng minh là đúng.
o
xyyx 2
22
+
o
xyyx
+
22
dấu( = ) khi x = y = 0
o
( )
xyyx 4
2
+
o
2
+
a
b
b
a
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 2
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
o
2
1 1 4
( , 0)
1
2 ( 0)
1 4
( , 0)
( )
Khi b c
b c b c
b khi x
b
Khi x y
bc b c
+ >
+
+ >
>
+
III Các bất đẳng thức trong tam giác
IV Các hàm lợng giác thông dụng
V Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: a > b <=> b < a
Tính chất 2: a > b và b > c => a > c
Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c
Hệ quả : a > b <=> a - c > b c
a + c > b <=> a > b c
Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d
a > b và c < d => a - c > b d
Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd
a > b và c < 0 => ac < bd
Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
a > b > 0 => a
n
> b
n
a > b <=> a
n
> b
n
với n lẻ .
VI Các hằng đẳng thức đáng nhớ
VII Các kiến thức về toạ độ vec tơ
VIII Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức:
, ,
, , ,
a a
a b c R
a b a b c
a c a a c c
a b c d R
b d b b d d
+
+
>
+ + +
+
> > >
+
Phần II Các ph ơng pháp chứng minh Bất đẳng
thức
Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức vô cùng đa dạng ở đây tôi xin
trình bày những dạng phơng pháp thông dụng nhất nh sau:
Dạng 1 Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi t ơng đơng
Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ.
Dạng 3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy
Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng
Dạng 5 Ph ơng pháp lợng giác
Dạng 6 Ph ơng pháp chứng minh qui nạp
Dạng 7 Ph ơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 3
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Dạng 8 Ph ơng pháp dùng tam thức bậc hai
Dạng 9 Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu
Dạng 10 - Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác
Dạng 11 Ph ơng pháp đổi biến số
Dạng 12 Ph ơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)
Ngoài các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều
các phơng pháp khác nh: Phơng pháp toạ độ vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá
trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhng do các kiến thức lý thuyết các em cha có nên
tôi chỉ xin trình bày một số phơng pháp nh trên.
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 4
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tơng tơng đơng
Đây là phơng pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng
thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất
đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng.
ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức:
2 2 2
2 ( ) 0a ab b a b+ + = +
2 2 2 2
2 2 2 ( ) 0a b c ab ac bc a b c+ + + + + = + +
Ph ơng pháp:
Khi biến đổi tơng đơng ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong
giả thiết nhằm áp dụng đợc điều kiện của giả thiết để chứng minh đợc bất
đẳng thức đó là đúng.
Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó (
0; 0; 0; 0 ) < >
Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh
Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét
dấu các thừa số đó
Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức
con để đợc điều phải chứng minh.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng tỏ rằng với
, 0a b
thì:
2
( )( ) ( ) (1)ax by bx ay a b xy
+ + +
Giải
2 2 2 2 2 2
2 2
2
(1) 2
( 2 ) 0
( ) 0
abx a xy b yx bay a xy abxy b xy
ab x y xy
ab x y
+ + + + +
+
Bất đẳng thức luôn đúng vì
, 0a b
.
Ví dụ 2:
Cho
0 a b c
<
Chứng minh rằng:
a b c b c a
b c a a b c
+ + + +
Giải
a b c b c a
b c a a b c
+ +
2 2 2 2 2 2
1
( )a c b a c b b c c a a b
abc
= + +
2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b c a
abc
= + +
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 5
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
2 2 2
2
1
( ) ( ) ( )
1
( )( )
1
( )( )( ) 0
c a b ab b a c b a
abc
b a ca cb ab c
abc
b a c b c a
abc
= + +
= + +
=
Vì
0 a b c
<
.
Vậy
a b c b c a
b c a a b c
+ + + +
Ví dụ 3:
Với
, , 0a b c >
chứng minh:
1 1 1
2( )
a b c
bc ca ab a b c
+ + +
Giải
1 1 1
2( )
a b c
bc ca ab a b c
+ + +
2 2 2
2 2 2
2( ) ( 0)
2 2 2 0
a b c bc ac ba do abc
a b c bc ac ab
+ + + >
+ + +
2
( ) 0a b c +
Hiển nhiên đúng.
Vậy
1 1 1
2( )
a b c
bc ca ab a b c
+ + +
.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì :
2 2 2 2
1 (1)a b c d a b c d+ + + + + + +
Giải
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(1) 1 ( ) 0
( ) ( ) ( ) 1 0
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 2 2 2
+ + + + + + +
+ + + +
+ + +
a b c d a b c d
a a b b c c d d
a b c d
Vậy :
2 2 2 2
1a b c d a b c d
+ + + + + + +
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu:
2a b
+
thì
3 3 4 4
a b a b
+ +
(1)
Giải
4 4 3 3
3 3
(1) 0
( 1) ( 1) 0
a b a b
a a b b
+
+
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 6
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
3 3
3 3
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0
a a b b a b a b
a a b b a b
a a a b b b a b
+ + +
+ + +
+ + + + + + +
Suy ra điều phải chứng minh.
Vì:
2 2 2
2 2 2
( 1) 0 ( 1) ( 1) 0
( 1) 0 ( 1) ( 1)
2 2 0
a a a a
b b b b
a b a b
+ + >
+ +
+ +
Bài tập áp dung:
Bài 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng:
4 4
2a b+
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:
1 1 1
2
2
3 2 ( 1)n n
+ + + <
+
Bài 3: Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1 m(n + p + q +1)
Bài 4: Chứng minh rằng:
10 10 2 2 8 8 4 4
(a b )(a b ) (a b )(a b )
+ + + +
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức :
3
33
22
+
+ baba
Trong đó : a > 0 , b > 0
Bài 6: Chứng minh rằng: Với mọi số dơng a, b, c, d ta có:
2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3
+++
+
+
+
+
+
+
+
Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ
Đây là phơng pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức. Chúng ta
dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phơng pháp cho thích hợp.
Ngoài ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức
nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên
tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đ-
ợc BĐT cần chứng minh.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x,y,z ta có:
2 2 2
2 2 2
(
3 3
( )( ) 9
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+
+ + + +
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 7
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Giải
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
3( ) ( )
3(
3
3
x y z x y z
x y z x y z
x y z xyz
xy yz zx xyz
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
Do đó ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
3
3
( ) (( 3 1) )
( )( )
( )(3
3 1 3 1 1 3 3
3 3 9
3
xyz x y z x y z xyz x y z
x y z xy yz zx
x y z xyz
xyz
xyz
+ + + + + + + +
+ + + +
+ +
+ + +
=
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2000 2000 2000
1994 1995 1996 (1)+ <
Giải
2000 2000 2000
1994 1996 1
(1) ( ) 1 ( ) (1 )
1995 1995 1995
+ < = +
Theo bất đẳng thức Becnuli ta có:
2000 2000
1 2000 1994
(1 ) 1 1 ( )
1995 1995 1995
> + > +
Vì:
2000
2000 1994
1 ( )
1995 1995
> >
Ví dụ 3:
Cho
a b 2+ =
Chứng minh rằng:
4 4
a b 2+
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
(1.a 1.b) (1 1 )(a b )
(a b) 2(a b )
4 2(a b )
2 a b
+ + +
+ +
+
+
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a
2
,b
2
ta có:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 8
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
+ + +
+ +
+
+
2 2 2 2 4 4
2 2 4 4
4 4
4 4
(1.a 1.b ) (1 1 )(a b )
2 (a b ) 2(a b )
4 2(a b )
a b 2
Ví dụ 4: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
+ +
Giải
Ta có:
1 1 1 a a b b c c
(a b c)( ) 1 1 1
a b c b c a c a b
a b c a b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a a c c b
+ + + + = + + + + + + + +
= + + + + + +
Vì :
a b
2
b a
+
c a
2
a c
b c
2
c b
+
+
Nên:
a b c a b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a a c c b
+ + + + + +
Ví dụ 5: Cho 4 số dơng a,b,c,d chứng minh rằng:
a b c d
2
b c c d a d a b
+ + +
+ + + +
Giải
áp dụng bất đẳng thức phụ:
2
1 1
(x,y>0)
xy (x y)
+
Ta có:
2 2
2
a c a(d a) c(b c) a c ad bc
4
b c d a (b c)(d a) (a b c d)
+ + + + + +
+ =
+ + + + + + +
Tơng tự:
2 2
2
b d b d ab cd
4
c d a b (a b c d)
+ + +
+
+ + + + +
Cộng vế theo vế ta có:
2 2 2 2
2
a b c d a b c d ad bc ab cd
4
b c c d a d a b (a b c d)
+ + + + + + +
+ + +
+ + + + + + +
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 9
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Ta chứng minh:
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a b c d ad bc ab cd
4 2
(a b c d)
4a b c d ad bc ab cd 2(a b c d)
2a 2b 2c 2d 4ac 4bd 0
(a c) (b d) 0
+ + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + + + +
+ + +
+
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho x,y,z thoã mãn
4
x(x 1) y(y 1) z(z 1)
3
+ +
Chứng minh rằng:
x y z 4
+ +
Bài 2: Cho a>b>c>0 và
1
222
=++ cba
.Chứng minh rằng
3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Bài 3: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x
2
+ y
2
=
22
11 xyyx +
Chứng minh rằng : 3x + 4y
5
Bài 4: Cho a, b, c
0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
6+++++ accbba
Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:
3 (1)p p a p b p c p
< + +
Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
Bài 7 Cho ba số
0,, >cba
.Thoả mãn
abccabcab
=++
Chứng minh rằng:
3
222
222222
+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
(*)
Dạng 3 sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Đây là phơng pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng
minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy . Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT
để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã đợc
chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế
nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho 3 số dơng a,b,c chứng minh rằng:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 10
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
+ +
+ +
3 3
3 3
3 3
3 3
a a a
1 3 (1)
b
b b
b b b
1 3 (2)
c
c c
+ +
3 3
3 3
c c c
1 3 (3)
a
a a
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
3 3 3
3 3 3
a b c a b c a b c
2( ) 3 2( )
b c a b c a b c a
a b c
2( ) 3
b c a
+ + + + + + + +
+ + +
Vậy:
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
Ví dụ 2: Cho a,b,c >0 thoả mãn
1 1 1
2
1 a 1 b 1 c
> >
+ + +
Chứng minh rằng:
1
abc
8
>
Giải
Ta có:
1 1 1 b c
1 1
1 a 1 b 1 c 1 b 1 c
+ = +
+ + + + +
áp dụng bất đẳng thức Côsi:
+ + +
+ + +
1 bc
2
1 a (1 b)(1 c)
1 ac
2
1 a (1 a)(1 c)
+ + +
1 ab
2
1 c (1 a)(1 b)
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 11
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Nhân lại ta đợc:
1 8abc
(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)
+ + + + + +
1
abc
8
Ví dụ 3: Giả sử a,b,c d, là 4 số dơng thoã mãn:
1 1 1 1
3
1 a 1 b 1 c 1 d
+ + +
+ + + +
Chứng minh rằng:
1
abcd
81
Giải
Từ giả thiết ta có:
+ + +
+ + + +
+ + +
+ + + +
1 1 1 1
1 1 1 1 3 4
1 a 1 b 1 c 1 d
a b c d
1
1 a 1 a 1 a 1 a
+ + + + + +
+
+ + + +
+ + + +
= +
+ + + + + +
a(1 b) b(1 a) c(1 d) d(1 c)
1
(1 a)(1 b) (1 c)(1 d)
a b 2ab c d 2cd
1 a b ab 1 c d cd
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2 ab 2ab 2 cd 2cd 2 ab 2 cd
1
1 2 ab ab 1 2 cd cd 1 ab 1 cd
+ +
+ = +
+ + + + + +
4
4 4
4
2
4
4 4
4
abcd abcd
1 2 2 4
1 ab cd abcd 1 ab cd abcd
4 abcd 4 abcd
1
1 2 abcd abcd
(1 abcd)
1 abcd 4 abcd
1 3 abcd
1
abcd
8
=
+ + + + + +
=
+ +
+
+
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng: ( a+ b + c ) (
a
1
+
b
1
+
c
1
) 9 với a,b,c > 0
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2p
Chứng minh rằng:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 12
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
a)
abc
(p a)(p b)(p c)
8
b)
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + + +
Bài 3: Cho a, b, c
0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
5,3111
<+++++
cba
Bài 4:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và 2p là chu vi của một tam giác.
Chứng minh rằng:
( )( )( )
8
abc
p a p b p c
Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng
Đây là phơng pháp chứng minh BĐT dựa vào các phơng pháp chứng minh phản
chứng trong Toán học. Để chứng minh mệnh đề A đúng thì ta giả sử mệnh đề A sai
và chứng minh rằng từ mệnh đề A sai ta suy ra một điều mâu thuẩn để kết luận A
là đúng. Muốn chứng minh bất đẳng thức
A B
đúng, ta giả sử
A B
sai,
tức là
A B<
đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều
mâu thuẩn từ giả thiết. Kết luận
A B
đúng. Điều vô lý có thể là trái với giả
thiết, hoặc là những điều trái ngợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh
là đúng.
Một số hình thức chứng minh bằng phản chứng:
Dùng mệnh đề đảo.
Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho
a,b,c,d R
và
a b 2cd+ =
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng
2 2
c a,d b
Giải
Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa ta đợc :
<
2
c a
và
2
d b<
2
c a 0 <
và
2
d b 0 <
2 2
2 2
2 2
c a d b 0
c d (a b) 0
c d 2cd 0
+ <
+ + <
+ <
Vì a+b =2cd
2
(c d) 0 <
Mâu thuẫn
Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng
Ví dụ 2: Cho 3 số dơng a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong
các bất đẳng thức sau là sai:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 13
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
a(2 a) 1
b(2 b) 1
c(2 c) 1
>
>
>
Giải
Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta đợc
a(2 a)b(2 c)c(2 c) 1 >
Mà
2 2
0 a(2 a) 2a a 1 (a 1) 1 = =
Tơng tự ta có:
0 b(2 b) 1
0 c(2 c) 1
Suy ra:
abc(2 a)(2 b)(2 c) 1
Mâu thuẫn
Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai
Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng có thể chọn đ-
ợc 3 trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab
Giải
Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là
1 2 6
1 a a a 108
Rõ ràng
2 3
a 2; a 3
Với 3 số x,y,z thoã mãn
1 x y z
Ta luôn có x<yz và y<xz. Nếu trong các số a
1
, a
2
,, a
6
không có 3 số nào thoã
mãn a<b<c và c<ab thì có
4 2 3
a a a 6,
=
5 4 3
6 5 4
a a a 6.3 18
a a a 18.6 108
=
=
Trái với giả thiết a
6
<108. Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab
Ví dụ 4: Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:
a b c 0 (1)
ab+bc+ca>0 (2)
abc>0 (3)
+ + >
Chứng minh rằng: a,b,c >0
Giải
Giả sử trong 3 số thực a,b,c đã cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là
a 0
mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán. Ta có:
a 0 a 0
a 0
abc 0
b>0 b<0
a 0 bc 0
c<0 c>0
>
Xét khả năng
a 0; b>0; c<0 a+c<0
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 14
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Ta có:
2
2 2 2
(1) : a b c 0 b>-(a+c) (a+c)b<-(a+c)
(a c)b ca (a c) ac (a ac c )
ab bc ca 0
+ + >
+ + < + + = + +
+ + <
Vì :
2 2
(a ac c 0 a,b,c R)+ + >
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy 3 sô a,b,c đều là số dơng.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho
0 , , 1a b c
< <
.Chứng minh rằng ít nhất có một bất đẳng thức sau đây là sai:
1 1 1
(1 ) ; (1 ) ; (1 )
4 4 4
a b b c c a > > >
Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên.
Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai.
Bài 2:
Cho 25 số tự nhiên
1 2 25
, , ,a a a
thoả mản điều kiện
1 2 25
1 1 1
9
a a a
+ + + =
.
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Dạng 5 Phơng pháp lợng giác
Đây là một trờng hợp đặc biệt của phơng pháp đổi biến số. Đối với học sinh
THCS thì việc sử dụng phơng pháp này là khá mới vì kiến thức cơ bản của phần l-
ợng giác cha đợc nghiên cứu sâu. Cho nên ở phơng pháp này tôi xin trình bày
một số kiến thức lý thuyết và các dạng phơng pháp một cách chi tiết hơn.
Kiến thức cần nhớ:
1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22
=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+
+ tg . cotg = 1 (
2
k
) + 1 + cotg
2
=
)k(
sin
1
2
2. Công thức cộng, công thức hạ bậc, công thức nhân đôi, công thức biến tích
thành tổng và công thức biến tổng thành tích. Chúng ta dựa vào các trơng hợp dới
đây để có thể đổi biến lợng giác một cách chính xác.
Một số phơng pháp lợng giác thờng gặp:
Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì đặt
=
=
cosy
sinx
với [0, 2]
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 15
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Nếu thấy x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0) thì đặt
=
=
cosay
sinax
với [0, 2]
Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi
=
=
Nếu thấy |x| m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi
=
=
Sử dụng công thức:
2
2 2
1 1
1+tg2 = 1 ( )
cos cos 2
tg k
= +
Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2
thì đặt x =
cos
1
với
2
3
,
2
;0
Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
22
mx
thì đặt x =
cos
m
với
2
3
,
2
;0
Sử dụng công thức 1+ tg
2
=
2
cos
1
.
Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với
2
,
2
Nếu x R và bài toán chứa (x
2
+m
2
) thì đặt x = mtg với
2
,
2
Ví dụ 1: Cho
a,b,c,d R
Với
2
a c 1 d=
Và
2
b d 1 c=
Chứng minh rằng
a b 1+
Giải
Với:
2
a c 1 d=
Và
2
b d 1 c=
Ta có:
2 2
2 2
1 d 0 d 1
-1 d 1
-1 c 1
1 c 0 c 1
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 16
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Do đó ta đặt:
d cosb=
và
c cosa=
với
, 0;
2
p
a b
2 2
a c 1 d cos 1 cos cos sina b a b = = =
Và
2 2
b d 1 c cos 1 cos cos sinb a b a= = =
a b cos sin cos sin
sin( ) 1
a b b a
b a
+ = +
= +
Vậy:
a b 1+
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2
2
(1 x )sina 2xcosa
1 x,a R
1 x
+
+
Giải
Đặt
sin
x tg
cos
a
a
a
= =
Với
;
2 2
p p
a
ữ
Thì
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
sin sin
(1 )sina 2 cosa
(1 x )sina 2xcosa
cos cos
sin1 x
(1 )
cos
(cos sin )sina 2sin cos cosa
cos sin
cos2 sina sin2 cosa
a a
a a
a
a
a a a a
a a
a a
+
+
=
+
+
+
=
+
= +
sin(a 2 ) 1a= +
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
x 1<
và n là số nguyên lớn hơn 1 thì ta có bất
đẳng thức:
n n n
(1 x) (1 x) 2+ + <
Giải :
Vì:
x 1<
nên ta đặt
x cost=
với
( )
n n n n
2 n 2 n
n 2 n 2 n n
t ;
(1 x) (1 x) (1 cost) (1 cost)
t t
(2cos ) (2sin )
2 2
t t
2 (cos ) (sin ) 2 (1)
2 2
p p
+ + = + +
= +
+
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 17
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Do
2 2 2 n
2 2 2 n
2 n 2 n
t t t
0 cos 1 cos (cos )
2 2 2
t t t
0 sin t sin (sin )
2 2 2
t t
1 (cos ) (sin )
2 2
< < >
< < >
> +
(1)
đúng
Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
[ ]
)(a)a()a(a 122221111
2332
+++
Giải:
Từ đk |a| 1 nên
Đặt a=cos với [0,]
=
=+
= sina1;
2
cos2a1;
2
sin2a1
2
(1)
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33
+
+
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
+
+
+
+
1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
=
=
+
đúng (đpcm)
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba
22
++++
Bài 2: Cho a, b thoả mãn :
7 12b 5a ++
= 13
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Bài 3:
Chứng minh rằng:
23123223
22
++= aaaA
Bài 4:
Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
+
Bài 5:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 18
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Chứng minh rằng: - 4 A =
2
2
a
1a125
9
1a
Bài 6:
Chứng minh rằng:
c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
++
++
+
++
Bài 7:
Chứng minh rằng:
0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++
(1)
Bài 8:
Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22
++
+
a, b R
Dạng 6 Phơng pháp chứng minh qui nạp
Phơng pháp qui nạp thờng sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc
vào số nguyên dơng n. Ta thực hiện các bớc sau:
Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất.
Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dơng k bất kỳ
Cần chứng minh BĐT cũng đúng với n = k + 1
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
n
2 2n 1> +
Với mọi số dơng
n 3
Giải:
Với n=3 thì
3
2 8 2.3 1 7= > + =
đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k bất kì có nghĩa là:
k
2 2k 1 2.k.2 (2k 1).2> + +
Ta cần chứng minh:
k 1
2 2(k 1) 1
+
> + +
Theo gt quy nạp ta có:
k 1
2 (2k 1)2 4k 2 2k 2k 2 2(k 1) 1
+
+ = + = + + > + +
Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n 2
Ta có:
1 1 1 13
n 1 n 2 2n 24
+ + + >
+ +
Giải:
a. Với n=2 ta có:
1 1 13 14 13
3 4 24 24 24
+ > >
đúng
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 19
( ) ( ) ( )
1 2 1 3 1
( ) ( ) ( )
2 3 2 1
1 1
( )
1 2 2 1
1 1 1 1
( ) ( )
1 3 3 1 1 1
1 1
( ) (1)
1 1
n n n n n n
x x x x x x
n
n n n n n n
x x x x x x
n n
n
n n
x x x x
n n n n
x x x x x x x x
n n
n n
x x x x
n n
n n
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
+ +
+ + + + + +
+ +
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Giả sử với n=k ta có:
1 1 1 13
k 1 k 2 2k 24
+ + + >
+ +
Ta cần chứng minh:
1 1 1 13
k 2 k 3 2k 2 24
+ + + >
+ + +
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
k 2 k 3 2k 2 k 1 2k 2k 1 2k 2 k 1
+ + + = + + + +
+ + + + + + +
Vì :
1 1 13
k 1 2k 24
+ + >
+
Nên:
13 1 1 1 13
24 2k 1 2k 2 k 1 24
+ + =
+ + +
đúng.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trờng hợp tổng quát.
Với
1 2 n n
, a a R , n 2a
thì
1 2
1 2
.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ +
Giải:
Với
n
=2 bất đẳng thức đả đợc chứng minh ở 1. (bất đẳng thức Ơclit)
Nếu
1 2 1 2
1 1n n
x x x x
< <
.
, x
1 2
x R
+
Vậy
, x
1 2
x R
+
thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế phải, ta
đợc)
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
1 1
( )( ) 0
1 1
.
n n
x x x x
n n n n
x x x x x x
+ +
Lấy
n
số thực không âm
, ,
1 2
x x x R
n
+
viết các bất đẳng thức tơng ứng
rồi cộng lại ta đợc:
Từ đó:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 20
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
1 1 1
( 1)( ) ( )
1 2 1 2 3
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) (2)
2 1 3 1 2 1
n n n n n n
n x x x x x x x
n n
n n n n n n
x x x x x x x x
n
n
n
+ + + + + +
+ + + + + + + +
Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với
1n
số thực không
âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì
nói riêng ta có:
1 1 1
2 3
n n n
x x x
n
+ + +
( 1)
2 3
n x x x
n
1 1 1
1 3
n n n
x x x
n
+ + +
( 1)
1 3
n x x x
n
1 1 1
( 1)
1 2 1 1 2 1
n n n
x x x n x x x
n n
+ + +
Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cờng các bất đẳng thức
( 2 )
( 1)( ) ( 1) )
1 2 1 2
n n n
n x x x n n x x x
n
n
+ + +
Trong hệ thức này đặt
, ,
1 1 2 2
n n n
x a x a x a
n n
= = =
ta đợc
1 2
1 2
.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ +
( đpcm )
Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1 2
n
x x x= = =
tức là khi và chỉ khi
1 2
n
a a a= = =
Một số bài tập:
Bài 1:
Chứng minh rằng
nn
1
2
1
2
1
1
1
222
<+++
1;
>
nNn
(1)
Bài 2:
Cho
Nn
và a+b > 0. Chứng minh rằng
n
ba
+
2
2
nn
ba +
(1)
Bài 3: Cho a,b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với c là cạnh huyền
Chứng minh rằng:
2 2 2n n n
a b c n N+
Dạng 7 - Phơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau
Đây là phơng pháp đặc trng cho học sinh THCS vì phơng pháp này áp dụng các
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã đợc học ở lớp 7. Các tính chất đặc biệt th-
ờng gặp trong loại này ta cần lu ý nh:
Kiến thức:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 21
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
, ,
, , ,
a a
a b c R
a b a b c
a c a a c c
a b c d R
b d b b d d
+
+
>
+ + +
+
> > >
+
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho 3 số dơng a,b,c chứng minh rằng
a b c
1 2
a b b c c a
< + + <
+ + +
Giải:
Vì:
a
1
a b
<
+
nên:
a a a c
a b c a b a b c
+
< <
+ + + + +
Tơng tự:
b b b a
a b c b c a b c
+
< <
+ + + + +
c c c b
a b c c a a b c
+
< <
+ + + + +
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta đợc điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho a,b,c,d là các số dơng, chứng minh rằng:
a b b c c d d a
A
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
= + + +
+ + + + + + + +
Giải:
Vì:
a b
1
a b c
+
<
+ +
nên
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
Tơng tự:
b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
c d c d c d b
a b c d c d a a b c d
d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
Cộng lại ta đợc 2<A<3. Suy ra A không thể là số nguyên .
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng:
1 2
a b c a
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
Bài 2:
Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c + d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
d
b
c
a
+
.
Bài 3:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 22
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Cho:
b
a
<
d
c
và b,d > 0 . Chứng minh rằng
b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
Dạng 8 Phơng pháp dùng tam thức bậc hai
Kiến thức:
Cho tam thức bậc hai
( )
cbxaxxf ++=
2
Nếu
0
<
thì
( )
0.
>
xfa
Rx
Nếu
0
=
thì
( )
0.
>
xfa
a
b
x
Nếu
0
>
thì
( )
0.
>
xfa
với
1
xx
<
hoặc
2
xx
>
(
12
xx
>
)
( )
0.
<
xfa
với
21
xxx
<<
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
2 2
x 5y 4xy 2x 6y 3 0+ + + >
Với mọi giá trị của
x,y.
Giải:
Đặt:
2 2
f(x) x (2y 1)2x 5y 6y 3= + +
Ta có:
2 2
2
(2y 1) 5y 6y 3
y 2y 2
( ) 1 2 1
0
f(x)>0
( ) 0
y R
x,y R
D
D
d
D
d
= +
= +
= =
<
<
Ví dụ 2: Cho hai dãy số: a
1
, a
2
, a
n
B
1
, b
2
, b
n
Chứng minh rằng:
n n n
2 2 2
i i i i
1 1 1
( a b ) ( a )( b ) (1)
Giải:
Ta có: (1)
n n n
2 2
i i i i
1 1 1
( a b ) ( a )( b ) 0 (2)
Đặt:
n n n
2 2 2
i i i i
1 1 1
f(x) ( a )X 2( a b )X ( b )= +
Ta có:
n
2
i i
1
f(X) (a X b ) 0=
Với mọi X nên tam thức (X) có
' 0D
Suy ra:
n n n
2 2 2
i i i i
1 1 1
( a b ) ( a )( b ) 0
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 23
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
Tức là (2) đúng nên (1) đúng.
Ví dụ 3:
,x y R
, chứng mih bất đẳng thức sau:
2 4 2 2 2 3
2( 2) 4 4x y x y xy x xy
+ + + +
(1)
Giải:
(1)
2 2 2 2 2
( 1) 4 (1 ) 4 0y x y y x y
+ + +
Đặt
2 2 2 2 2
( ) ( 1) 4 (1 ) 4F x y x y y x y
=
+ + +
2 2 2 2 2 2
'
4 (1 ) 4 ( 1)y y y y
= +
2'
16y =
'
( ) 0
0
,
f x
x y R
y R
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a,b,c,d thoã mãn b < c < d.
Chứng minh rằng
2
(a b c d) 8(ac bd) (1)+ + + > +
Bài 2: Cho các số a , b , c , d , p , q sao cho:
2 2 2 2 2 2
p q a b c d 0+ >
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
(p a b )(q c d ) (pq ac bd) (1)
Dạng 9 Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu
Đây là phơng pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu trong
Toán học.
Chẳng hạn:
a b
>
và
b c
>
thì
a c
>
Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a > c+d , b >c+d. Chứng minh rằng: ab >ad+bc
Giải
Ta có:
+>
+>
dcb
dca
>>
>>
0
0
cdb
dca
(a-c)(b-d) > cd
ab ad bc + cd > cd
ab > ad + bc điều phải chứng minh.
Ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
222
=++
cba
Chứng minh
abccba
1111
<++
Giải
Ta có :( a + b c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2( ab ac bc) > 0
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 24
chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán
ac + bc - ab
2
1
( a
2
+ b
2
+ c
2
)
ac + bc ab
6
5
1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
cba
111
+
abc
1
Ví dụ 3:
Cho
0 , , 1a b c< <
. Chứng minh rằng:
accbbacba
222333
3222 +++<++
Giải
Do a < 1
1
2
<
a
và
Ta có
( )
( )
01.1
2
<
ba
1- b -
2
a
+
2
a
b > 0
1+
2
a
2
b
>
2
a
+ b
mà 0 < a,b < 1
2 3 2 3
a a , b b> >
Từ đó ta suy ra 1+
2 2
a b
3 3
a b> +
Vậy
3 3
a b+
<
2 2
1 a b+
Tơng tự ta có:
3 3
b c+
cb
2
1
+
Và
3 3
c a+
ac
2
1
+
Cộng các bất đẳng thức ta có:
accbbacba
222333
3222
+++++
Ví dụ 4:
Cho
0 , , 1x y z
Chứng minh rằng:
a.
0 1x y z xy yz zx + +
b.
2 2 2 2 2 2
1x y z x y y z z x+ + + + +
Giải
a. Ta có:
(1 ) (1 ) (1 ) 0x y z xy yz zx x y y z z x+ + = + +
(1)
Mặt khác:
(1 )(1 )(1 ) 1 0x y z x y xy yz zx xyz = + + +
Suy ra:
1 1x y z xy yz zx xyz+ +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
0 1x y z xy yz zx + +
b. Ta chứng minh:
2 2 2 2 2 2
1x y z x y y z z x+ +
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 )
x y z x y y z z x x y y z z x
x y y z z x
+ + = + +
+ +
Vì (
2 2 2
, ,x x y y z z
)
1x y z xy yz zx + +
( theo câu a).
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho
0 , , , 1.a b c d< <
Chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 )(1 ) 1a b c d a b c d >
Bài 2:
Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 25
