Đề-đáp án HSG toán 9- tỉnh Vĩnh Phúc -2009

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
x x y
y y z
z z x

= −


= −


= −



Câu 2. (3.0 điểm)
Cho tam giác

ABC
và đường tròn
( )O
có đường kính
EF

nằm trên cạnh
BC
(
E

nằm giữa
B và F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh
, AB AC
tại
, Q P
theo thứ tự đó. Các
đường thẳng
, EP FQ
cắt nhau tại
K
. Chứng minh rằng
.AK BC
⊥
Câu 3. (1.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn
4 3 2
9 3 2 2
m m
n n n n

− = + + +
Câu 4. (2.0 điểm)
Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2abc
=
. Chứng minh rằng
3 3 3
a b c a b c b c a c a b
+ + ≥ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5. (1.0 điểm)
Trên bảng hình chữ nhật kích thước
m n×
(m hàng và n cột), mỗi ô ghi một số không âm
sao cho mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một ô chứa số dương. Ngoài ra, nếu ô (i; j) ghi số
dương, thì tổng các số trên hàng i và tổng các số trên cột j bằng nhau.
Chứng minh rằng
m n=
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: …………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
HDC THI HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN
—————
Câu Nội dung Điểm
I.

3.0 điểm
Viết lại hệ dưới dạng:
2 2
2 2
2 2
( 1) 1 (1 ) 1 (1)
( 1) 1 (1 ) 1 (2)
( 1) 1 (1 ) 1 (3)
x y x y
y z y z
z x z x
 
− = − − = −
 
− = − ⇔ − = −
 
 
− = − − = −
 
0.75
Từ (1)&(2) suy ra:
4 2
(1 ) (1 ) 1x y z− = − = −
0.75
Suy ra:
8 4 2
(1 ) (1 ) (1 ) 1x y z x− = − = − = −
0.50
8
1 0

(1 ) 1
1 1
x
x x
x
− =

⇒ − = − ⇒

− =

0.50
1
0
x y z
x y z
= = =

⇒

= = =

0.25
Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm:
( ; ; ) (0; 0; 0)x y z =
hoặc
( ; ; ) (1; 1; 1)x y z =
0.25
II.
3.0 điểm

H
K
F
E
B
C
A
O
Q
P
Gọi H là hình chiếu của K trên BC. Xét trường hợp O nằm trên đoạn HF
Do
90
o
KPF EPF KHF
∠ = ∠ = = ∠
nên tứ giác KHFP nội tiếp. Do đó
1
2
KHP KFP QFP QOP
∠ = ∠ = ∠ = ∠
0.25
0.5
Do AP,AQ là hai tiếp tuyến của (O) nên
1
2
AOP AOQ QOP KHP
∠ = ∠ = ∠ = ∠
Suy ra
1

90 90
2
o o
PAO QOP KHP PHO
∠ = − ∠ = −∠ = ∠
0.5
0.5
Từ đó, tứ giác AHOP nội tiếp, do đó
AH BC⊥
, suy ra
K AH
∈
0.5
Trường hợp O nằm trên đoạn EH chứng minh tương tự. 0.25
Trường hợp
H O
≡
thì tam giác ABC cân tại A, và kết quả hiển nhiên đúng 0.5
III
1.0 điểm
Phương trình đã cho tương đương với
( )
(
)
( )
2 2
4 3 2 4 3 2
4 3 3 1 4 8 4 8 1 2 3 1 4 8 4 8 1
m m m
n n n n n n n n− + = + + + + ⇔ × − = + + + +

0.5
Do
( )
2
2 3 1
m
× −
là số chình phương và
( ) ( )
2 2
2 4 3 2 2
2 2 4 8 4 8 1 2 2 1n n n n n n n n+ < + + + + ≤ + +
nên
( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 2 1 4 ( 1) 0
m
n n n n× − = + + ⇔ − =
0.25
2
Suy ra
1n =
và do đó
1m =
Thử lại và kết luận
0.25
IV
2.0 điểm
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

( )
( )
2
2 2 2
3 a b c a b c
+ + ≥ + +
và
( )
( )
( )
2
2 2 2 3 3 3
a b c a b c a b c+ + ≤ + + + +
0.5
Từ đó
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
3 6
(1)
6
a b c a b c a b c b c c a a b
a b c
a b c b c a c a b
+ + + + + + + + + + +

+ + ≥ =
+ + + + +
≥
0.5
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì
3
3
3 ( )( )( )
3 8 6 (2)
a b c b c a c a b abc b c c a a b
abc abc
+ + + + + ≥ + + +
≥ =
0.5
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh 0.25
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ….
3
2a b c
= = =
0.25
V
1.0 điểm
Ký hiệu số ghi ở ô (i;j) là
i j
a
và gọi
{( ; ) : >0}
ij
S i j a=
. Gọi

,
i j
r c
là tổng các số ghi
trên hàng i và cột j. Vậy
( ; )
i j
r c i j S= ⇔ ∈
Khi đó ta có
( ; ) ( ; )
ij ij
i j S i j S
i j
a a
r c
∈ ∈
=
∑ ∑
0.25
Tính tổng từng vế:
( ; ) 1 1
1
m m
ij
ij
i j S j i
i j
a
VT a m
r r

∈ = =
= = =
∑ ∑ ∑
0.25
( ; ) 1 1
1
n n
ij
ij
i j S i j
i i
a
VP a n
c c
∈ = =
= = =
∑ ∑ ∑
0.25
Suy ra m = n 0.25
V
(Cách2)
+ Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột có tổng các số dương đều bằng s thì ms = ns ⇒ m = n
0.25
+ Nếu m = 1 thì trên mỗi cột có đúng một số dương và tổng các số dương trên mỗi cột
này bằng s = ns (bằng tổng các số dương trên hàng). Do đó n = 1
0.25
+ Trong trường hợp tổng quát, gọi r < m là số hàng có tổng bằng s, còn trên các hàng
khác có tổng khác. Do mỗi cột, mà có giao với r hàng đó tại ô dương có tổng bằng s,
nên giả sử có c cột có tổng bằng s. Thực hiện việc đánh số lại các hàng, cột sao cho r
hàng đầu và c cột đầu có tổng bằng s (không làm thay đổi bản chất của bảng). Khi đó,

những ô của r hàng đầu, không nằm trong c cột đầu và những ô của c cột đầu không
nằm trong r hàng đầu phải chứa số 0. Vậy bảng con
r c×
(gồm giao của r hàng đầu và
c cột đầu thỏa mãn). Suy ra r = c. Nhưng, phần còn lại của bảng, sau khi bỏ đi r hàng
đầu và c cột đầu (kích thước
( ) ( )m r n c− × −
cũng thỏa mãn. Do đó, bằng quy nạp,
được m = n.
0.5
Hết
3