Tải bản đầy đủ (.doc) (58 trang)

Giáo án ôn thi lớp 10 (chỉnh sửa thoải mái)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (484.57 KB, 58 trang )

Giáo án ôn thi vào THPT
Là ngời thầy giáo
nên đa học sinh đi tìm chân lý hơn là đ a chân lý đến cho học sinh

Luyện Thi vào lớp 10
Tài liệu lu hành nội bộ
Trang 1
Giáo án ôn thi vào THPT
Chuyên đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử
A. biến đổi đẳng thức
I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng
(a b)
2
= a
2
2ab + b
2
a
2
- b
2
= (a + b)(a - b)
(a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2


b
3
a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab +b
2
)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)

2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab - 2ac + 2bc
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
), mọi n là số tự nhiên
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + - ab

n-2
+ b
n-1
), mọi n lẻ
II. Bài tập
Bài 1 So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005
2
Giải
Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005
2
- 1 < 2005
2
=B. Vậy A < B.
Bài 2 So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1) và B = 2
32
Giải
Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8

+ 1)(2
16
+ 1) = 2
32
-1 < 2
32
= B. Vậy A < B.
Bài 3 So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) và B =3
32
-1
Giải
Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) = 3
32
- 1 = B. Vậy A < B.

Bài 4 Chứng minh rằng: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= (m
2
+ m + 1)
2
, với mọi m.
Giải
VT: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= m
4
+ m
2
+ 1 + 2m
3
- 2m
2

- 2m + 4m
2
+ 4m = m
4
+ 2m
3
+ 3m
2
+ 4m + 1.
VP: (m
2
+ m + 1)
2
= m
4
+ m
2
+ 1 +2m
3
+ 2m
2
+ 2m = m
4
+ 2m
3
+ 3m
2
+ 2m +1.
Bài 5 Chứng minh rằng: a
3

+ b
3
+ c
3
-3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab -ac -bc).
Giải
Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) thay vào VT
VT = (a + b)
3
- 3ab(a + b) + c
3
-3abc = [(a + b)
3
+ c
3
] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)
2
+ c

2
- c(a + b) -3ab] =
(a + b +c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc) = VP.
Bài 6 Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a
5
+ b
5
= (a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2
) - (a + b)
Giải
(a

3
+ b
3
)(a
2
+ b
2
) - (a + b) = a
5
+ a
3
b
2
+ a
2
b
3
+ b
5
- (a - b)= a
5
+ b
5
+a
2
b
2
(a + b) - (a - b) = a
5
+ b

5
Trang 2
Giáo án ôn thi vào THPT
Bài 7 Cho a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c
Hỡng dẫn
Từ: a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b)
2
+(a - c)
2
+ (b - c)
2
= 0 a =

b = c.(đpcm)
Bài 8 Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR
+ + +
=
+ + +
2 2 2
2 2 2
(a b) (b c) (c a)
1
(1 a )(1 b )(1 c )
Hỡng dẫn
Ta có: 1 + a
2
= ab + bc + ca +a
2
= b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b).
Tơng tự: 1 + b
2
= (b + a)(b + c).
1 + c
2
= (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm).
Bài 9
Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a
2
+ 3b
2
=10ab. Chứng minh rằng:

=

+
a b 1
a b 2
.
Giải
Đặt P =
ba
ba
+

thì P > 0 nên P =
2
P
.
Ta có P
2
=
+ +
= = =
+ + + +
2 2 2 2
2 2 2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4
. Vậy P = 1/2.
Bài 10
Cho a + b + c = 1 và
+ + =
1 1 1
0

a b c
. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Giải
Từ: a + b + c = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc) = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
= 1- 2(ab + ac + bc) .
Mặt khác:
+ +
+ + = = + + =
1 1 1 ab ac bc
0 0 ab ac bc 0
a b c abc
. Vậy: a
2

+ b
2
+ c
2
=1.
Bài 11
Cho
+ + =
1 1 1
2
a b c
(1)
và a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
+ + =
2 2 2
1 1 1
2
a b c
Giải
(1)

+ +
+ + + + + = + + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c
2( ) 4 2( ) 4
a b c ab ac bc a b c abc
.
Thay a + b + c = abc vào ta có
+ + + = + + =

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2
a b c a b c
.
Bài 12
Trang 3
Giáo án ôn thi vào THPT
Cho
+ + =
x y z
1
a b c
(1)
, và
+ + =
a b c
1
x y z
(2)
. CMR:
= + + =
2 2 2
2 2 2
x y z
A 1
a b c
Giải
+ +
+ + + + + = = + + =

2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
(2)
:
+ +
=
cxy bxz ayz
0
xyz
. Vậy A = 1.
Bài 13
Cho
+ + =
1 1 1
0
a b c
.
(1)
Chứng minh rằng:
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Giải .
(1)


= + = + + + = + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
Vậy
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Bài 14
Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
=14. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4
= 98.
Giải
Từ: a + b + c = 0 a = -(b + c) a
2
= (b + c)
2

a
2
= b
2
+ c
2
+2bc
a
2
- b
2
- c
2
= 2bc (a
2
- b
2
- c
2
)
2
= 4b
2
c
2
a
4
+ b
4
+ c

4
- 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
= 4b
2
c
2
a
4
+ b
4
+ c
4
= 2a
2
b
2
+
2b
2

c
2
+ 2a
2
c
2
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = a
4
+ b
4
+ c
4
+

2a
2
b
2
- 2b
2
c
2
+ 2a
2

c
2
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
= 14
2
=196.
Vậy a
4
+ b
4
+ c
4
= 98.
Bài 15
Cho xyz = 1, Chứng minh rằng:
+ + =
+ + + + + +

1 1 1
1.
1 x xy 1 y yz 1 z zx
Giải
Ta có:
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 z x 1
1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx
=
+ +
+ + = + = +
+ + + + + + + + + + + + + +
z x 1 z 1 x z 1 xz
z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z
+ + +
= + = =
+ + + + + +
z 1 xz z 1 xz
1.
1 x xz xz 1 z 1 x xz
B. Phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 4
Giáo án ôn thi vào THPT
Bài 1
Phân tích tam thức bậc hai x
2
- 6x + 8 thành nhân tử.
Giải
Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng.

x
2
- 6x + 8 =(x - 3)
2
- 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bài 2
Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 thành nhân tử.
Giải
Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân
tử x - 1.
C
1
: x
3
+ 3x
2
- 4 =x
3
-x
2

+4x
2
- 4=x
2
(x - 1)+4(x
2
-1)=(x-1)(x
2
+ 4x + 4)=(x-1)(x+2)
2
.
C
2
: x
3
+3x
2
- 4 =x
3
-1+3x
2
- 3 = (x-1)(x
2
+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x
2
+ 4x + 4).
Bài 3
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử.
Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x

2
+8x+7)(x
2
+8x +15) +15
Đặt: t = x
2
+8x+7 x
2
+8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t
2
+ 8t +15 =(t + 4)
2
- 1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t
+ 5)(t + 3).
Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x
2
+ 8x + 12)(x
2
+ 8x + 10) = (x
2
+ 6x + 2x + 12)(x
2
+ 8x +10) = (x +
6)(x + 2)(x
2
+ 8x + 10).
BTVN.
Bài 1
Cho x > y > 0 và 2x
2

+ 2y
2
= 5xy, Tính:
x y
P
x y
+
=

. (tơng tự bài 9)
Bài 2
Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz. (tơng tự bài 13)
Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4
=
2
1
(a
2

+ b
2
+ c
2
)
2
. (tơng tự bài 14)
Bài 4
Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng:
+ + =
+ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0.
a b c b c a a c b
Trang 5
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT
Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = - (b + c) ⇒ a
2
= (b + c)
2
⇔ a
2
=b
2
+ c
2
+ 2bc ⇔ b
2

+ c
2
- a
2
= - 2bc
Bµi 5
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
a/ 4x
2
- 3x - 1
b/ x
3
+ 6x
2
+ 11x +6
c/ (x-y)
3
+ (y-z)
3
+ (z-x)
3
Hìng dÉn: x + y + z = 0 ⇒ x
3
+ y
3

+ z
3
= 3xyz
Trang 6

Giáo án ôn thi vào THPT
Chuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
A. Bất đẳng thức
I. Một số tính chất của bất đẳng thức
1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số)
3/ a > b
> >


< <

ac bc nếu c 0
ac bc nếu c 0
(t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng)
4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)
5/
> >

>

> >

a b 0
ac bd
c d 0
(t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều)
6/ a > b > 0


>


>


n n
n n
a b
a b
(n nguyên dơng)
7/
+
>
+ + +
a a
a,b,c R
a b a b c
8/
+
+
> > >
+
a c a a c c
a,b,c,d R
b d b b d d
9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có:
*/ a > 0, b > 0, c > 0.
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b
*/ Nếu a > b > c thì A > B > C

II. Bài tập
Bài 1
Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
a( b + c + d + e)
(1)
.
Giải
(1)
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2
- 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a - 2b)
2

+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2
0. (đpcm)
Bài 2
Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a
2
+ b
2
1/2, b/ a
3
+ b
3
1/4, c/ a
4
+ b
4
1/8
Giải
a/ Từ (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2

+ b
2
) a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1.
Vậy a
2
+ b
2
1/2.
b/ Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
) = a
2
- ab + b
2

Trang 7
Giáo án ôn thi vào THPT
2(a

3
+ b
3
) = 2a
2
- 2ab + 2b
2
= (a - b)
2
+ a
2
+ b
2
a
2
+ b
2

mà a
2
+ b
2
1/2 2(a
3
+ b
3
) 1/2 a
3
+ b
3

1/4. (đpcm)
c/ Từ (a
2
- b
2
)
2
0 a
4
+ b
4
2a
2
b
2
2(a
4
+ b
4
) a
4
+ b
4
+ 2a
2
b
2
= (a
2
+ b

2
)
2
a
4
+ b
4

1
2
(a
2
+ b
2
)
2 (1)
.
Mặt khác: (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2
+ b

2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1
a
2
+ b
2
1/2 (a
2
+ b
2
)
2
1/4 thay vào
(1)
ta có a
4
+ b
4

1
8
.
Bài 3
Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng:
a/
+ +
1 1
(1 )(1 ) 9

a b
; b/
+
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
Giải
a/
+ + + + +
+ + +
1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2
(1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9
a b a b ab ab

1 4ab (a + b)
2
4ab đúng (đpcm).
b/
+
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1)
9 4ab + 8 1 4ab (a + b)
2
4ab đúng (đpcm)
Bài 4
Cho a, b, c R
+
. Chứng minh rằng:

< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Giải

>

+ + +


>

+ + +


>

+ + +

a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c

+ + >
+ + +

a b c
1
a b b c c a
.
Mặt khác:
+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c


+ + <
+ + +
a b c
2
a b b c c a
.
Trang 8
Giáo án ôn thi vào THPT
Vậy:
< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Bài 5
Cho a, b, c, d R
+
. CMR:
< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Giải


< <

+ + + + + +



< <

+ + + + + +


< <

+ + + + + +


< <
+ + + + + +
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1
a b c d c d a c a
b b b 2
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b

< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Bài 6
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a

2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải
*/ CM: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
, nhân cả hai vế với 2 ta có:
2ab + 2bc + 2ca 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
(a-b)
2
+ (a-c)
2
+ (b-c)
2
0, đúng (đpcm)
*/ CM: a
2
+ b

2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có:
a < b + c a
2
< ab + ac
b < a + c b
2
< ab + bc
c < a + b c
2
< ac + bc
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Vậy: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Bài 7
Chứng minh rằng:


+
4
2 ab
ab
a b
với a > 0, b > 0.
Giải
( )
+
+ +
2
4 4 4 4
4
2 1 2 ab
a b 0 a b 2 ab ab
a b ab a b
.
III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)
*/ Với 2 số thực a, b không âm ta có:
+

a b
ab
2
, dấu bằng xảy ra a = b.
*/ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có:
Trang 9
Giáo án ôn thi vào THPT
+ +


3
a b c
abc
3
, dấu bằng xảy ra a = b = c.
*/ Với n số thực a
1
, a
2
, a
n
không âm ta có:
+ + +

1 2 n
n
1 2 n
a a a
a a a
n
, dấu bằng xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
*/ với 4 số thực a, b, c, d ta có:
(ab + cd)

2
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
), dấu bằng xảy ra
=
a c
b d
.
*/ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có:
(ab + cd + ef)
2
(a
2
+ c
2
+ e
2
)(b
2
+ d
2
+ f
2
), dấu bằng xảy ra

= =
a c e
b d f
.
*/ với n cặp số thực a
1
, a
2
, a
n
, b
1
, b
2
, b
n
ta có:
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)

2
(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
n
)(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
n
).
Dấu bằng xảy ra
= = =
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
.
Bài 8
Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng:

a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+
+
1 1 4
x y x y
.
c/
+ +
+ +
1 1 1 9
x y z x y z
.
Giải
a/

+


+


+


x y 2 xy
y z 2 yz
z x 2 xz
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/

+ + +
+
1 1 4 1 1
(x y)( ) 4
x y x y x y


+


+


x y 2 xy
1 1 2
x y
xy

+ +
1 1
(x y)( ) 4
x y
.
c/
+ + + + + +
+ +
1 1 1 9 1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z x y z x y z
. (làm tơng tự)

B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1
Trang 10
Giáo án ôn thi vào THPT
Tìm giá trị lớn nhất của: P =
+
+
2
2
2x 4x 5
x 2x 2
Giải
Ta có:
P =
+ + +
= = + = +
+ + + +
2 2
2 2 2 2
2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1
2 2
x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1
P lớn nhất
+
+
2
1
2
(x 1) 1
lớn nhất, muốn vậy (x


- 1)
2
+ 1 phải nhỏ nhất
mà (x

- 1)
2
+ 1 1 (x

- 1)
2
+ 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3
Vậy P
max
= 3 x = 1.
Bài 2
Cho x
2
+ y
2
= 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y
Giải
Từ (x - y)
2
0 x
2
+ y
2
2xy 2(x

2
+ y
2
) x
2
+ 2xy + y
2
= (x + y)
2
Vậy 2 (x

+ y)
2

+
2 x y 2

P
max
=
2
x = y =
2
2
; P
min
= -
2
x = y = -
2

2
Bài 3
Cho x, y > 0 và x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =

2 2
1 1
(1 )(1 )
x y
Giải
P =
+ + + +
= = =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1)
(1 )(1 )
x y x y x y x y
=
+ + + + + + +
= = = +
2 2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2
1
x y xy xy xy
. (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x) ta có P nhỏ nhất

xy
2
nhỏ nhất xy lớn nhất.
Mà xy = x(1 - x) = - x

2
+ x = -(x - 1/2)
2
+ 1/4 1/4 xy lớn nhất = 1/4 khi x = 1/2 y = 1/2
Vậy P
min
=
+ =
2
1 9
1 1
.
2 2
khi x = y = 1/2.
Bài 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P =
+
+
2 2
4
(x 1)
x 1
Trang 11
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT
Gi¶i
P =
+ + +
= = +
+ + +
2 2 4 2 2

4 4 4
(x 1) x 2x 1 2x
1
x 1 x 1 x 1
Do (x
2
- 1)
2
≥ 0 ⇒ x
4
+ 1 ≥ 2x
2


+
2
4
2x
1
x 1
⇒ P ≤ 2 ⇒ P
max
= 2 ⇔ x = ± 1.
Do 2x
2
≥ 0, x
4
+ 1 ≥ 1 ⇒

+

2
4
2x
0
x 1
⇒ P ≥ 1 ⇒ P
min
= 1 ⇔
=
+
2
4
2x
0
x 1
⇔ x = 0.
Bµi 5
Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña; P =
+ +
(x a)(x b)
x
, víi x > 0.
Gi¶i
Ta cã:
P =
+ + + + +
= = = + + ⇒ ≥ + +
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b 2 ab

x x x
.
VËy P
min
=
+ +
a b 2 ab
, dÊu b»n x¶y ra ⇔
= ⇔ =
ab
x x ab
x
.
Bµi 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
+ + + − +
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9
Gi¶i
Ta cã:
P =
( ) ( )
+ + + − + = + + − = + + −
2 2
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x
≥(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
¸p dông a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0. VËy P
min
= 4 ⇔ (1 + 2x)(3 - 2x) ≥ 0 ⇔

⇔ -1/2 ≤ x ≤ 3/2.
BTVN
Bµi 1
a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: P = 5 - 8x - x
2
.
b/ T×m gi¸ tÞ nhá nhÊt cña: P = 4x
2
- 4x + 11.
c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = x - 5 + x- 10.
Hìng dÉn
Ta cã: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x≥ (x - 5) + (10 - x) = 5
¸p dông a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0. VËy P
min
= 5 ⇔ (x - 5)(10 - x) ≥ 0 ⇔
⇔ 5 ≤ x ≤ 10.
Bµi 2
Trang 12
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT
Cho x, y ∈ R, Chøng minh r»ng: x
2
+ y
2
+ 1 ≥ xy + x + y.
Bµi 3
Cho a, b, c, d ∈ R
+
.
Ch÷ng minh r»ng :
+ + + +

< + + + <
+ + + + + + + +
a b b c c d d a
2 3
a b c b c d c d a d a b
.
Trang 13
Giáo án ôn thi vào THPT
Chuyên đề 3:
Biến đổi căn thức
A/ Biến đổi căn thức
I/ Kiến thức cơ bản
*/


= =

<

2
A nếu A 0
A A
A nếu A 0
*/
= =
1 2 n 1 2 n
ab a. b (a 0,b 0) / a a a a a a
*/
= >
a a

(a 0,b 0)
b
b
*/
=
2
a b a b (b 0)
Trục căn thức ở mẫu
*/
=
a a b
b
b
, (b > 0).
*/
+
= =

+
m m( a b) m m( a b)
,
a b a b
a b a b
II/ Bài tập
Bài 1
Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ A =

6 48 2 27 4 75
b/ B =

+
1
48 2 75 108 147
7
Giải
a/ Ta có: A =
= = =
6 48 2 27 4 75 6 16.3 2 9.3 4 25.3 24 3 6 3 20 3 2 3
b/ Ta có: B =
+ = + =
1 1
48 2 75 108 147 4 3 2.5 3 6 3 .7 3 3
7 7
Bài 2
Trục căn thức ở mẫu:
a/ A =
+
+
1 1
5 2 5 2
b/ B =
+ + +
4
3 5 2 2 5
c/ C =
+ +
3 3
2
2 2 2 4
Giải

a/ A =
+
+ = + =
+
1 1 5 2 5 2 2 5
3 3 3
5 2 5 2
Trang 14
Giáo án ôn thi vào THPT
b/ B =
+ + + +
= = =
+ + +
+ + +
2
4 4(3 5 2 2 5 ) 3 5 2 2 5
(3 5) (2 2 5) 3 5
3 5 2 2 5

+ + +
= =
2
(3 5)(3 5 2 2 5 ) 4 (3 5) (2 2 5)
4 4
c/ Đặt
=
3
2 a
C =


= = = = =
+ + + +
+ +
3 2
3 3
4 3 2 2 3
3 3
2 a a a(a 1) a a
4 2
a a a a a 1 a 1 2 1
2 2 2 4
Bài 3
Rút gọn biểu thức chứa căn:
a/ A =
+
15 6 6 33 12 6
b/ B =
+
8 2 15 8 2 15
c/ C =
+
4 7 4 7
d/ D =
+ + + +
4 10 2 5 4 10 2 5
e/ E =
+ +
4 4
49 20 6 49 20 6
f/ F =

+ + + +
+ + + +
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 2005
Giải
a/ A =
+ = + + + =
15 6 6 33 12 6 9 6 6 6 9 12 6 24
= + + = + + =
2 2
(3 6) (3 2 6) 3 6 2 6 3 3 6.
b/ B =
+ = + + + =
8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3
+ = + =
2 2
( 5 3) ( 5 3) 5 3 ( 5 3) 2 3.
c/ C =
+ + + +
+ = =
8 2 7 8 2 7 7 2 7 1 7 2 7 1
4 7 4 7
2 2 2 2
+ +
= = =
2 2
( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1
2.
2 2

2 2
d/ Do D > 0 nên D =
2
D
D
2
=

+ + + + = + + + +


2
4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 (4 10 2 5 )(4 10 2 5 )
= + = + + = + = + = +
2
8 2 6 2 5 8 2 5 2 5 1 8 2 ( 5 1) 8 2 5 2 6 2 5
Trang 15
Giáo án ôn thi vào THPT
Vậy: D =
+ = + = +
2
6 2 5 ( 5 1) 5 1
e/ Ta có:
+ = + + = + = + = +
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)

= + = = =
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)

Vậy E =
+ + =
3 2 3 2 2 3.
f/ F =

+ + + + =
5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1

4 4 4 4 4
.
Bài 4
Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A =
+ +
x 4 x 4 x 4 x 4
b/ B =
+
2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1
c/ C =
+ +
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
Giải
a/ A =
+ + = + + + +
x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4
= + + = + +
2 2
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2

Nếu

x 4 2 x 4 4 x 8
thì A =
+
x 4 2
+
=
x 4 2 2. x 4
.
Nếu
< < < < < <
0 x 4 2 0 x 4 4 0 x 8
thì A =
+
x 4 2
-
+ =
x 4 2 4
.
Vậy: A =




< <


2. x 4 nếu x 8
4 nếu 0 x 8

.
b/ B =
+ = + +
2 2 2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
-
+
2 2
x 1 2 x 1 1
-
+ = +
2 2 2 2 2 2
( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
Nếu

2 2
x 1 1 0 x 2 x 2 x 2
thì B = 2.
Nếu
< < < <
2 2
x 1 1 0 x 2 2 x 2
thì B = 2.

2
x 1
.
Vậy: B =





< <


2
2 nếu x 2 x 2
2. x 1 nếu 2 x 2
.
c/ C =
+ +
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
=
+ + + +
2 2
x 1 2 x x x x 1 2 x x x
=
+ + = + + =
2 2
( x 1 x) ( x 1 x) x 1 x x x 1 2 x.
Trang 16
Giáo án ôn thi vào THPT
Bài 5
Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn:
a/
+ +




2
x 2 x 1 x 2 x 1 1
(1 )
x 1
x 4(x 1)
b/


+
3
1 1 x x
x x 1 x x 1 1 x
c/
+
+ +
2
1 x 1
:
x x x x x x
d/
+ +

+ +
2 x x 1 x 2
( ):
x x 1 x 1 x x 1
e/
+
+ +
+ +

x 2 x 1 x 1
( ):
2
x x 1 x x 1 1 x
Giải
a/ ĐK:
> >
>




+ > >


2 2
x 1 x 1
x 1
x 2
x 4x 4 0 (x 2) 0
.
A =
+ + + +
=


2 2
2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 1 ( x 1 1) ( x 1 1) x 2
(1 ) .

x 1 x 1
x 4(x 1) (x 2)

=


2
2 x 2
.
x 1
(x 2)
.
Nếu x > 2 A =
=

2
x 1
Nếu 1< x < 2 A =
=

2
1 x
Vậy: A =

>






< <


2
nếu x 2
x 1
2
nếu 1 x 2
1 x
b/ ĐK:


>



x 1
x 1
x 1 0
.
B =
+
=
+
3
1 1 x x x x 1 x x 1 x( x 1)
1 1
x x 1 x x 1 1 x 1 x
=
+ =

2 x 1 x x 2 x 1
.
Trang 17
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT
c/



− ≠
>



 

+ + ≠



+ ≠

2
x 0
x x 0
x 0
x 1
x x x x 0
x 1 0
.
§Æt

= ⇒ =
2
x a x a
⇒ C =
+ + + + +
= =
− + − +
− + +
3 2 2
4 3
2
1 x 1 1 a a a a(a a 1)
:
a a a 1 a(a 1)(a 1)
x x x x x x
=
+ +
= =
+ + + − − −
2
2 2
a a 1 1 1
(a 1)(a a 1)(a 1) a 1 x 1
.
d/ §K:






− ≠ ⇔
 



− ≠

x 0
x 0
x 1 0
x 1
x x 1 0
.
§Æt
= ⇒ =
2
x a x a
⇒ D =
+ + + + +
− = −
− − +
− − + +
2 2
3
2 x x 1 x 2 2a a 1 a a 1
( ) : ( )( )
a 1 a 1 a 2
x x 1 x 1 x x 1
=
+ − + + + + +

= = =
− + + + − + +
+
2 2
2
a(a 2) (a a 1) a a 1 a 1 1 1
.
(a 1)(a a 1) a 2 (a 1)(a 2) a 2
x 2
.
e/ §K:





− ≠ ⇔
 



− ≠

x 0
x 0
x x 1 0
x 1
1 x 0
§Æt
= ⇒ =

2
x a x a

E =
+ − +
+ + = + −
− + + − −
− + + −
2
3 2
x 2 x 1 x 1 a 2 a 1 2
( ) : ( )
2 a 1 a a 1 a 1 a 1
x x 1 x x 1 1 x
=
+ + − − + + − +
= = =
− + + − − + + − + +
+ +
2 2 2
2 2 2
a 2 a(a 1) (a a 1) 2 a 2a 1 2 2 2
(a 1)(a a 1) a 1 (a 1)(a a 1) a 1 a a 1
x x 1
.
Bµi 6
Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ mét sè nguyªn.
a/ A =
+ + − +
4 5 3 5 48 10 7 4 3

b/ B =
− + − + + −
( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128
Trang 18
Giáo án ôn thi vào THPT
c/ C =
+ +

2 3 5 13 48
6 2
Giải
a/ Ta có:
+ = + + = + =
2
7 4 3 (2 3) 10 7 4 3 10(2 3) 20 10 3
+ = = =
+ = =
2
48 10 7 4 3 48 20 10 3 28 10 3 (5 3)
5 48 10 7 4 3 5(5 3) 25 5 3
Vậy A =
+ =
4 5 3
.
b/ Ta có:
= =
2
18 128 18 8 2 (4 2)
+ + = + + = + = +
2

2 12 18 128 2 12 4 2 4 2 3 ( 3 1)
+ + = + = + = + = +
6 2 2 3 ( 3 1) 6 2 4 2 3 6 2( 3 1) 4 2 3 3 1
Vậy: B =
+ = =
( 3 1)( 3 1) 3 1 2
.
c/ Ta có:
+ = + = + + = + + = +
2
13 48 13 4 3 12 4 3 1 (2 3 1) 13 4 3 2 3 1
+ = = = + =
2
5 13 48 5 2 3 1 4 2 3 ( 3 1) 5 13 48 3 1
+ + = + + = + + + =
3 5 13 48 3 3 1 2 3 2 3 5 13 48
+ = + = + =
2
2 2 3 8 4 3 ( 6 2) C 1.
BTVN
Bài 1
Rút gọn biểu thức chứa căn.
a/ A =
+
4 15 4 15 2 3 5
b/ B =

5 3 29 12 5
c/ C =
+


(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
d/ D =
+ + +
+ + +
1 1 1

2 3 3 4 1998 1999
Bài 2
Trục căn thức ở mẫu.
a/ A =
+
3 3
6
2 2 2 4
b/ B =
+ +
3 3
2
4 2 2
Trang 19
Giáo án ôn thi vào THPT
Chuyên đề 4
Phơng trình bậc nhất - Đồ thị hàm số bậc nhất - Hệ phơng trình bậc nhất
I/ Phơng trình bậc nhất
ĐN: Là phơng trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a, b là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Phơng trình ax = -b.
Nếu a 0 x = -b/a

Nếu a = 0 0x = -b
Nếu b = 0 PT vô số nghiệm
Nếu b 0 PT vô nghiệm
II/ Bài tập
Bài 1
Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)
2
+ 3 (1) b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1) (2)
c/ m
2
(x + 1) = x + m (3) d/

+ =

x m x 3
2
x 2 x
(4)
Giải
a/ (1) (m + 2)x = m
2
+ 4m + 4 (m + 2)x = (m + 2)
2
Nếu m + 2 0 m -2 phơng trình có nghiệm: x = m + 2.
Nếu m + 2 = 0 m = -2 0x = 0 0 phơng trình có vô số nghiệm x R.
b/ (2) (3m + 1)x = 5m + 1
Nếu 3m + 1 0 m -1/3 phơng trình có nghiệm:
+
=

+
5m 1
x
3m 1
Nếu 3m + 1 = 0 m = -1/3 phơng trình có dạng: 0x = -2/3 PTVN.
c/ (3) (m
2
- 1)x = m - m
2
(m
2
- 1)x = m(1 - m).
Nếu m
2
- 1 0 phơng trình có nghiệm:
=
+
m
x
m 1
Nếu m
2
- 1 = 0 m = 1.
Nếu m = 1 PT có dạng: 0x = 0 PT có VSN
Nếu m = -1 PT có dạng: 0x = -2 PTVN
d/ ĐK: x 0 và x 2.
(4) x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) (m + 1)x = 6
Nếu m + 1 = 0 m = -1 (4) có dạng: 0x = 6 PTVN
Trang 20
Giáo án ôn thi vào THPT

Nếu m + 1 0 m -1 (4)
=
+
6
x 0
m 1
(Do ĐK m 2

+
6
2 m 2
m 1
)
Kết luận: Nếu m -1 m 2 phơng trình có nghiệm:
=
+
6
x
m 1
Nếu m = -1 m = 2 phơng trình vô nghiệm.
Bài 2
Cho phơng trình: (m + 1)
2
x + 1 - m = (7m - 5)x. (1)
a/ Tìm m để phơng trình vô nghiệm b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Giải
(1) ( m
2
- 5m + 6)x = m - 1 (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
a/ Phơng trình vô nghiệm

+ =

= =



(m 2)(m 3) 0
m 2 m 3.
m 1 0
b/ phơng trình có nghiệm (m - 2)(m + 3) 0 m 2 m -3.
III/ Hệ phơng trình bậc nhất
Bài 3
Cho hệ phơng rình:
+ =


+ =

2x my 1 (1)
mx 2y 1 (2)
.
a/ Giải hệ khi m = 1
b/ Giải và biện luận hệ phơng trình
c/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
d/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng
Giải
a/ khi m = 1 ta có hệ
+ = + = = =




+ = + = + = =

2x y 1 4x 2y 2 3x 1 x 1 3
x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 y 1 3
b/ Từ (1) và (2) 2x + my = mx + 2y (m - 2)(x - y) = 0.
Nếu m = 2 hệ vô số nghiệm
Nếu m 2 x = y thay vào phơng trình (1) ta có: (m + 2)x = 1.
Nếu m = -2 hệ vô nghiệm
Nếu m -2 hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2)
c/ khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số nguyên 1/(m + 2) là
số nguyên
+ = =



+ = =

m 2 1 m 1
m 2 1 m 3
.
Trang 21
Giáo án ôn thi vào THPT
d/ / khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số nguyên dơng 1/(m +
2) là số nguyên dơng m + 2 là ớc số nguyên dơng của 1 m + 2 = 1 m = -1.
Bài 4
Cho hệ phơng rình:
=



= +

(m 1)x my 3m 1 (1)
2x y m 5 (2)
a/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Từ (2) y = 2x - m - 5 thay vào (1) (m - 1)x - 2mx + m
2
+ 5m = 3m -1
(m + 1)x = m
2
+ 2m + 1 (m + 1)x = (m + 1)
2
.
Hệ có nghiệm duy nhất m -1, khi đó: x = m + 1, y = m - 3.
a/ S = x
2
+ y
2
= (m+1)
2
+ (m-3)
2
= 2m
2

- 4m + 10 = 2(m - 1)
2
+ 8. S
min
= 8 m = 1.
b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m
2
-2m -3 = (m - 1)
2
- 4. P
min
= -4 m = 1.
Bài 5
Giải hệ phơng trình:
+

+ =



+

+ =


x y 2x y
7 (1)
7 17
4x y y 7
15 (2)

5 19
Giải
(1) 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 31x - 10y =833.
(2) 19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15 19x + 6y = 365.
Vậy hệ phơng trình
= = =



+ = + = =

31x 10y 833 93x 30y 2499 x 23
19x 6y 365 95x 30y 1825 y 12
.
Bài 6
Giải hệ phơng trình:
+ + =


+ + =


+ + =

x y z 1 (1)
x 2y 4z 8 (2)
x 3y 9z 27 (3)
Giải
Hệ:
+ + = + + = + + = =



+ + = + = + = =


+ + = + = = =

x y z 1 x y z 1 x y z 1 x 6
x 2y 4z 8 y 3z 7 y 3z 7 y 11
x 3y 9z 27 y 5z 19 2z 12 z 6
IV/ Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B(-b/a; 0).
Bài 7
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
Trang 22
Giáo án ôn thi vào THPT
a/ y = 2x - 1 b/ y =

x 1
c/ y =
+
2
2 x 2x 1
d/ y =
+ +
x 1 x 2
e/
+ =
x y 1
BTVN

Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ m
2
x = 9x + m
2
- 4m + 3 b/
+
+ =
+
x m x 2
2
x 1 x
Bài 2 Cho hệ phơng trình:
+ =


=

x my 2
mx 2y 1
.
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0
Bài 3 Vẽ đồ thị các hàm số: a/ y = 2x - x + 3 b/ y = x - 1 - x + 2
Bài 4 Giải hệ phơng trình:
+ + =


+ + =



+ + =

x 2y 3z 11
2x 3y z 2
3x y 2z 3
Hỡng dẫn Cộng 3 phơng trình ta có: x + y + z = 2. x = -2, y = -1, z = 5.
Bài 5 Giải hệ phơng trình:

+ =

+


=



=
+


3
z 2 (1)
2x y
2y 3z 4 (2)
2 3
y (3)
2x y 2

Hỡng dẫn Đặt t =
+
1
2x y
thay vào (1) và (3) ta có:
+ =



=


3t z 2
3
2t y
2
2z + 3y = -1/2 (4).
Từ (2) và (4) ta đực: x = 1/4, y = 1/2, z = -1.
Trang 23
Giáo án ôn thi vào THPT
Chuyên đề 5
Phơng trình bậc 2, định lý viét - Phơng trình bậc cao
I/ Phơng trình bậc 2
ĐN: Phơng trình bậc 2 là phơng rình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0. (a 0)
Trong đó: a, b, c là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Tính biệt thức = b
2

- 4ac
Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x = -b/2a.
Nếu > 0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
+
= =
1 2
b b
x ; x
4a 4a
Chú ý: Nếu b = 2b
'
thì có thể tính

'
= b
'2
- ac
Nếu

'
< 0

phơng trình vô nghiệm.
Nếu

'
= 0

phơng trình có nghiệm kép: x = -b

'
/a.
Nếu

'
> 0

phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
+
= =
' ' ' '
1 2
b b
x ; x
2a 2a
II/ Định lý Viét
Nếu phơng trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt hoặc không thì ta có:
S = x
1
+ x
2
= -b/a; P = x
1
x
2
= c/a.
Chú ý:
Nếu phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x

2
= c/a.
Nếu phơng trình bậc 2 có a - b + c = 0 thì x
1
=-1; x
2
= -c/a.
III/ Bài tập
Bài 1
Cho phơng trình: x
2
- 4x + m + 1 = 0.
a/ Giải phng trình khi m = 2
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x

1
3
+ x
2
3
= 34
Giải
a/ Khi m = 2 PT x
2
- 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x
1
= 1, x
2
= 3.
b/
'
= 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
Khi đó: x
1
2
+ x
2
2
= 10 (x
1
+ x
2
)
2

- 2x
1
x
2
= 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2
Trang 24
Giáo án ôn thi vào THPT
d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3.
x
1
3
+ x
2
3
= 34 (x
1
+ x
2
)[(x
1
+ x
2
)
2
-3x
1
x
2
] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9
Bài 2

Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
sao cho P = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
a/
'

= m
2
- 2m + 1 + m + 3 = m
2
- m + 4 = (m- 1/2)
2
+ 15/4 > 0 với mọi m thì phơng trình luôn có nghiệm.
b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 m = 1. Khi đó phơng trình có dạng: x
2
- 4 = 0 x = 2 x =
-2.
c/ x
1
2
+ x
2
2
10 (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
10 [2(m - 1)]
2
+ 2(m + 3) 10

4m
2
-8m + 4 + 2m + 6 10 4m
2
- 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 m 0.
d/ P = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= [2(m - 1)]
2
+ 2(m + 3) = 4m
2
- 6m + 10 =
(2m - 3/2)
2
+ 31/4 P
min

= 31/4 m = 3/4.
Bài 3
Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 2x
1
2
+ 2x
2
2
- 5x
1
x
2
= 27.
c/ Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
= x
2

2

Giải
a/
'
= m
2
- 2m + 1 = (m + 1)
2
0 với mọi m phơng trình luôn có nghiệm.
b/ 2x
1
2
+ 2x
2
2
- 5x
1
x
2
= 27 2[(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2

] - 5x
1
x
2
= 27 2(x
1
+ x
2
)
2
- 9x
1
x
2
= 27 8m
2
- 9(2m + 1) =
27 8m
2
- 18m - 18 = 0 4m
2
- 9m - 9 = 0
m = 3 m = -3/4.
c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 2x
2
ta có:
x
1

+ x
2
= 3x
2
=2m x
2
=2m/3 (1) và x
1
x
2
= 2x
2
2
= 2m - 1x
2
2
= (2m - 1)/2 (2).
Từ (1) và (2) 4m
2
/9 = (2m - 1)/2 8m
2
- 18m + 9 = 0 m = 3/4 m = 3/2
d/ Ta có: x = m + m + 1 = 2m + 1 x = m - m - 1 = -1
Nếu x
1
= 2m + 1, x
2
= -1 thì ta có: 2m + 1 = 1 m = 0
Nếu x
1

= -1, x
2
= 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)
2
vô lý. Vậy m = 0.
Bài 4
Cho phơng trình: (m - 1)x
2
+ 2(m - 1)x - m = 0.
Trang 25

×