HSG Toán 7 có đáp án

Trờng THCS quang trung
TP Thanh Hoá
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Năm học:2004 -2005
Thời gian làm bài :120 Phút.
***
Bài I : ( 1điểm) Tìm x để :
a, 2
|
x - 1
|
= 2
4
. 64
b, A = x
2
- 2x có giá trị âm .
Bài II:(5điểm) :
Bài1:(1,5điểm) : Cho x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 4 , z tỉ lệ thuận với y
theo hệ số tỉ lệ là
4
1
4
. Xét mối quan hệ x và z? Tìm hệ số tỉ lệ ?
Bài2:(2điểm) : Chứng minh rằng nếu :
3
3
2
2

+

=

+
b
b
a
a
thì :
32
ba
=
.
Bài 3:(1,5điểm): Cho a; b; c là các số khác 0 . Xác định dấu của c , biết 2a
3
bc trái
dấu với - 3a
5
b
3
c
2
?
Bài III :(4điểm):
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ
lệ thuận với 1; 2 và 3.
Bài IV:(8điểm)
Bài1: (3điểm)
Cho tam giác ABC có : - = 20
o
. Vẽ tia phân giác BD ( D

AC) . Tính số đo
các góc ADB và góc CDB ?
Bài2: (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A ; = 75
o
. Từ C vẽ CH

AB (H

AB).
Chứng minh : AB = 2 CH .
Bài V: (2điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = | x - 2006 | + | x - 1 | .
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Thời gian : 90 phút - năm học 2001-2002
Bài I : ( 1,5 điểm )
Cho 2 số a và b trái dấu , 3a
2
b
2002
và - 19 a
5
b
2004
cùng dấu . Xác định dấu
của a và b ?
Baì II : ( 2,5 điểm )
Tính giá trị của : A = (
2

2
1
- 1) (
2
3
1
- 1) (
2
4
1
-1) (
2
100
1
- 1)
Bài III : ( 3 điểm )
Tìm x; y ; z biết :
a: 2x =3y ; 5y =7z và 3x +5z - 7y =30
b:
2
x
=
3
y
=
5
z
và xyz = 810
Bài IV : ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có: = 90

0
; AC AB.Đờng phân giác AD .Qua D vẽ đờng
vuông góc với BC cắt AC ở E .
Chứng minh : DB =DE ?

Hớng dẫn chấm toán 7 (Học sinh giỏi)
Năm học :2004 - 2005:
Bài I:(1điểm)
a, 2
|
x - 1
|
= 2
4
. 64


| x - 1 | = 10
* x - 1 =10

x = 11
* x - 1 = - 10

x = - 9 . Vậy x

- 9; 11
b, A = x
2
- 2x có giá trị âm

A = x(x-2) <

x và x-2 trái dấu nhau.
Nhng x > x-2 , nên : x > 0 và x- 2 < 0 hay x > 0 và x < 2 .
Vậy 0 < x < 2 Thì A có giá trị âm .
Bài II:
Bài 1:(1,5 điểm):
Vì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 4

x =
y
4

y =
x
4
(1)
Vì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là
4
1
4


z =
4
1
4
y (2)
Từ (1) và (2) có :z =
4

1
4
.
x
4
=
xx
174
.
4
17
=

Vậy z tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là : - 17.
Bài 2:(2 điểm):
Từ :
3
3
2
2

+
=

+
b
b
a
a

3
2
3
2


=
+
+
b
a
b
a
.
TheoT/c dãy các tỉ số bằng nhau ta có:
3
2
3
2


=
+
+
b
a
b
a
=
3

2
6
4
33
22
)3()3(
)2()2(
==
++
++
=
+
+
bb
aa
bb
aa
. (1)
Từ :
b
a
b
a
b
a
=
+
+
==
+

+
33
22
3
2
3
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
323
2 ba
b
a
==
(ĐPCM)
Bài 3:( 1,5điểm):
Vì : 2a
3
bc trái dấu với -3a
5
b
3
c
2
nên ( 2a
3
bc )(-3a
5
b
3

c
2
) < 0
Tức là : - 6a
8
b
4
c
3
< 0
Mà a
8
b
4
> 0 với mọi a,b khác 0 . Suy ra : - 6c
3
< 0

c
3
> 0

c > 0
Vậy : c > 0
BàiIII: (4điểm):
Gọi 3 chữ số của số phải tìm là : a ; b ; c.(a,b,c có vai trò nh nhau).
Vì số đó chia hết cho 18 nên số đó phải chia hết cho 2 và cho 9
(do 2 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau)
*Do số đó chia hết cho 9 , nên (a+b+c)

9 (1)
Mà : 1
++
cba
27 (2)
(do : 1
9

a
; 0

b
9

0

c
9

; nếu coi a là chữ số hàng trăm , điều này
không làm mất tính tổng quát)
Từ (1)và (2) ta có: a+b+c

{9;18;27} (3)
Theo đầu bài lại có :
321
cba
==
=
6321

cbacba ++
=
++
++
(4)
Từ (3)và (4) có : a+b+c =18

321
cba
==
=
3
6
18
321
==
++
++ cba


a=3; b = 6; c = 9
Nhng vì số đó còn phải chia hết cho 2 nữa nên chữ số tận cùng phải là : 6
Vậy số cần tìm là :396 ; 936 .
Bài IV: B
Bài1: (3điểm)
1 2
GT ABC; - =20
0
BD là phân giác của B
KL ADB =? ; CDB =?

2 1
A D C
Chứng minh :
Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có : D
1
= + B
1

= D
1
- B
1
D
2
= +B
2

= D
2
- B
2

- = (D
1
- B
1
) - (D
2
- B
2

) =D
1
- B
1
- D
2
+ B
2
= D
1
- D
2
= 20
0
(1)(vì B
1
=B
2
(gt))
Mà D
1
+D
2
=180
0
(2)
Từ (1)và (2) ta tính đợc : D
1
= 100
0

; D
2
=80
0
A
Bài 2:(5điểm)
1
ABCcân tại A
GT = 75
o
K E
CH

AB
( H

AB )

KL AB =2 CH H

1


1

B C
Chứng minh :
Trên nửa mp có chứa điểm A bờ là BC lấy điểm E sao cho EBC đều .
Lấy K là trung điểm của AB .
* AEB = AEC (c.c.c)

1
= 15
0
= B
1


EAB cân tại E.


EK

AB (T/c Tam giác cân)
* Xét BCH và EBK có : H = K = 1v
BC = EB (cạnh của đều EBC)

1
= B
1
= 15
o
( Do
1
= 90
o
- 75
o
; B

1
=75
o
- 60
o
)
Vậy BCH = EBK (Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông)

CH = BK mà BK =
2
1
AB (K là trung điểm của AB)


CH=
2
1
AB hay AB = 2 CH (Đpcm)
Bài V: (2điểm):
Ta có : A = |x - 2006 |+|x - 1|=|x - 2006| + |1 - x|


|x - 2006 + 1 - x|


2005.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất là 2005 khi x- 2006 và 1- x cùng dấu
tức là : 1
2006 x
.

Ghi chú : Bài hình mà h/s không vẽ hình hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm cả
bài hình đó.
Các bài tập H/s có cách giải khác mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa
của bài đó.