Đề và hướng dẫn chấm: Chuyên Nga-Pháp - Lam sơn

Đề thi vào lớp chuyên Nga - Pháp
Trờng Lam sơn - Năm học :2000-2001

Bài 1 : 2 điểm
Cho 2 số : x
1
=
2
12 +
, x
2
=
2
12
a, Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x
1
và x
2.
b,Tính : x
3
1
+x
3
2
.
Bài 2 : 2điểm :
Xét biểu thức : A = y
2
- 5xy +6x
2
a, Phân tích A thành nhân tử .

b, Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn điều kiện :
x- y +1 = 0 và A = 0
Bài 3 : 2điểm :
Cho a,b c là 3 số dơng và
bca
211
=+
. Chứng minh BĐT :

4
22


+
+

+
bc
bc
ba
ba
Bài 4: 2.5điểm :Giải hệ phơng trình :
x
3
+y
3
=1
x
5
+y

5
= x
2
+y
2
Bài 5 : 2.5điểm :
Cho góc xOy và một đờng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc đó tại Avà B .Qua A kẻ đờng
thẳng song song với OB cắt đờng tròn tại điểm C . Gọi K là trung điểm của đoạn OB . Đ-
ờng thẳng AK cắt đờng tròn tại điểm E.
a,Chứng minh:ba điểm O , E , C thẳng hàng.
b, Đờng thẳng AB cắt OC tại điểm D. Chứng minh :

DC
DE
OC
OE
=
Hớng dẫn chấm Toán (Chuyên Nga -Pháp )
2000-2001
Bài 1: 2điểm :
Câu a: 1 điểm :
Ta có: x
1
x
2
=
4
1
; x
1

+x
2
=
2
(0.25đ)
Vậy pt bậc 2 có 2 nghiệm là 2 số đã cho là :
x
2
-
2
x +
4
1
=0

4x
2
- 4
2
x +1 = 0 . (0.75đ)
Câu b :1điểm :
Ta có : x
3
1
+ x
3
2
= (x
1
+x

2
)[(x
1
+x
2
)
2
- 3x
1
x
2
] (0.5đ)
=







4
1
22
=
4
27
( 0.5đ)
Bài 2: 2điểm :
Câu a : 1điểm:
Ta có : A =y

2
-2xy - 3xy +6x
2
= y(y -2x) - 3x(y -2x) = (y -2x)(y - 3x) (1đ)
Câu b : 1điểm :
Ta có A = 0

y-2x =0
y - 3x = 0 (0.25đ)
Do đó để thoả mãn đk bài toán ta phải có 2 hệ pt sau :
y - 2x = 0 y - 3x = 0
x-y + 1 = 0
(1)
x - y + 1 = 0
(2)
(0.25đ)
Hệ (1) có nghiệm x=1 ; y = 2 (0.25đ)
Hệ (2) có nghiệm x=
2
1
; y =
2
3
(0.25đ)
Bài 3: 2điểm :
Ta có :
bca
211
=+

b =
ca
ac
+
2
(0.5đ)
Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành :

4
2
2
2
2
2
2

+

+
+
+
+

+
+
ca
ac
c
ca
ac

c
ca
ac
a
ca
ac
a


4
2
3
2
3
2
2
2
2

+
+
+
c
acc
a
aca


1+
4

2
3







+
c
a
a
c


2+
c
a
a
c
(1đ)
BĐT cuối cùng suy ra đpcm. (0.5đ)
Bài 4: 1.5điểm:
Hệ đã cho tơng đơng với :
x
3
+ y
3
= 1

x
5
+ y
5
=(x
2
+ y
2
)(x
3
+y
3
)


x
3
+y
3
= 1 (1)
x
2
y
2
(x+y0 =0 (2) (0.5đ)
Xảy ra các trờng hợp sau :
+ Nếu x = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc y = 1 (0.25đ)
+Nếu y = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc x = 1 (0.25đ)
+Nếu x + y = 0

x = - y

x
3
+y
3
= 0 nên (1) không thoả mãn (0.25đ)
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là :(x= 0;y = 1) ;(x= 1;y= 0) (0.25đ)
Bài 5: 2.5điểm :
Câu a: 1.5điểm :
Ta cã ∆EBK ~∆KAB (v× cã gãc AKB chung gãc EBK = gãc KAB (cïng ch¾n cung
BE ).Suy ra:

OK
KA
KF
OK
KAKEOKKAKEKB
KB
KA
KE
KB
=⇒=⇒=⇒=
22
mµ gãc OKA chung
⇒
∆EKB ~∆KAB
⇒
gãc EOK =gãc OAK (1) (0.5®)
ta l¹i cã : gãc OAK = gãc ACE

(cïng ch¾n cung AE)(2)
Tõ (1) vµ (2)suy ra :
Gãc EOK =gãc ACE (0.5®)
XÐt ∆OEK vµ ∆AEC
Ta suy ra :gãc OEK = gãc AEC A
C
suy ra O,E,Ccòng th¼ng hµng(0.5®)
C©u b: 1®iÓm:
Qua E kÎ ®êng th¼ng // víi OB
I E H
c¾t AO t¹i I,c¾tAB t¹i H O


B

Ta cã : EI =EH (1) (0.25®)
MÆt kh¸c
)3();2(
AC
EH
DC
DE
AC
IE
OC
OE
==
(0.5®)
Tõ (1) ,(2)vµ (3)ta cã :
DC

DE
OC
OE
=
(®pcm)