phương pháp hàm số giải hệ phương trình phần 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015!



Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
5 4 10 6
2
, (1)
4 5 8 6, (2)

+ = +


+ + + =


x xy y y
x y

(
)
; ∈
ℝ
x y

Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
4
.
5

≥ −
x
N
ế
u
0 0
= ⇒ =
y x không thỏa mãn (2).
Nếu
0
≠
y . Chia cả hai vế của (1) cho
5
y
ta được
5
5
( )
     
+ = + ⇔ =
     
     
x x x
y y f f y
y y y

Xét hàm số
5 4
( ) '( ) 5 1 0, ,
= + ⇒ = + > ∀ ∈

ℝ
f t t t f t t t suy ra
( )
f t
đồng biến tên
ℝ

Ta có
2
( )
 
= ⇔ = ⇔ =
 
 
x x
f f y y x y
y y
.
Khi đó
2
(2) 4 5 8 6 4 5 8 2 4 37 40 36
⇔ + + + = ⇔ + + + + + + =
x x x x x x

2
2 2
2
23
23 5 0
2 4 37 40 23 5

5
4(4 37 40) (23 5 )
9 378 369 0

− ≥
≤


⇔ + + = − ⇔ ⇔
 
+ + = −


− + =

x
x
x x x
x x x
x x

23
1 1
5
1; 41

≤

⇔ ⇒ = ⇒ = ±



= =

x
x y
x x

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 1) và (1; −1).
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau :
(
)
( )
3 3
8 8
5 5 1
1 2
x x y y
x y

− = −


+ =



H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
Từ (2) suy ra :
, 1
x y
≤
.
Từ (1) ta xét hàm số :
[
]
3 2
( ) 5 '( ) 3 5 0 1;1
f t t t f t t t= − ⇒ = − < ∀ ∈ −

Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến . Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x = y.
Khi đó (2) trở thành :
( )
8
8 8 8 8 8
1 1 1 1 1 1
; ; ; ;
2
2 2 2 2 2
x x x y
   
= ⇔ = ± ⇒ = − −
   
   

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình :
3 3
6 6
3 3
1
x x y y
x y

− = −


+ =



H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
H
ọ
c sinh gi
ả
i ví d
ụ
2, t
ừ

đ
ó suy ra cách gi
ả
i ví d
ụ
2.

Ví dụ 4:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−

+ − + = +



+ − + = +



H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
12. PP HÀM SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015!
Đặt u = x – 1 ; v = y – 1 khi đó hệ có dạng :
2
2
1 3
1 3
v
u
u u
v v

+ + =



+ + =



Tr
ừ
hai ph
ươ
ng trình v
ế
v
ớ
i v
ế
ta có ph
ươ
ng trình :
2 2
1 3 1 3
u v
u u v v
+ + + = + + +
(*)
Xét hàm s
ố
:
2
2
( ) 1 3 '( ) 1 3 ln3 0

1
u u
u
f u u u f u
u
= + + + ⇒ = + + >
+
. Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n .
Để
có (*) thì ch
ỉ
x
ả
y ra khi u = v. Thay vào (1) ta có
(
)
(
)
2 2 2
1 3 ln 1 ln3 ( ) ln 1 ln3
u
u u u u u f u u u u⇔ + + = ⇔ + + = ⇒ = + + −
2
2 2

1
1
1
'( ) ln3 ln3 0
1 1
u
u
f u u
u u u
+
+
⇔ = − = − < ∨
+ + +
. Ch
ứ
ng t
ỏ
hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n . Nh
ư
ng ta l
ạ
i có f(0)=0
vì v
ậ

y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m u = 0 và v = 0. Do
đ
ó h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t : x = y = 0.
Ví dụ 5:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7

x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =



Hướng dẫn giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
3 5
,
4 2
x y
≤ ≤
.
Đặ
t :
( )
2
1
5 2 5
2

t y y t
= − ⇒ = − , thay vào (1) c
ủ
a h
ệ
ta có :
2
3 3 3
5
4 3 8 2
2
t
x x t x x t t
 
−
⇔ + = − ⇔ + = +
 
 
.
Xét hàm s
ố

3 2
( ) '( ) 3 1 0 ( )
f u u u f u u u f u
= +
⇒
= + > ∀
⇒ đồ
ng bi

ế
n
Do
đ
ó :
2
5 4
5 2 2
2
x
y x y
−
− = ⇔ = .
Thay vào ph
ươ
ng trình (2) c
ủ
a h
ệ
ta
đượ
c
2
2
2
5 4 3
( ) 4 2 3 4 0 0;
2 4
x
g x x x x

 
−
 
= + + − = ∀ ∈
 
 
 
 

D
ễ
th
ấ
y x = 0 và x = 3/4 không là nghi
ệ
m .
Ta xét :
( )
2 2
5 4 4 3
'( ) 8 8 2 4 4 3 0 0;
2 4
3 4 3 4
g x x x x x x x
x x
   
= − − − = − − < ∨ ∈
   
− −
   

,
v
ớ
i :
1 1
0 ; 0
2 2
g x y
 
= ⇒ = =
 
 
là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

Ví dụ 6:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3 2

2 2
3 ( 3) (1)
( 1) 2 5 0 (2)

= − + +


+ + + + + − =


x x y y
y y x y x

Hướng dẫn giải:
PT

3 3
(1) 3 3
x x y y
⇔ + = +

Xét hàm
3
( ) 3
f t t t
= +
. Hàm s
ố

đồ

ng bi
ế
n. T
ừ
(1)
( ) ( )
f x f y x y
⇒ = ⇒ =

Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số C/m PT (2) có 1 nghiệm duy nhất
1 1
x y
= ⇒ =
.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3 3
3 ( 1) 9( 1) (1)
1 1 1 (2)
x x y y
x y

− = − − −


+ − = −



Hướng dẫn giải:
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có

1; 1 1
x y
≥ − ≥

(
)
3
3
(1) 3 1 3 1
⇔ − = − − −
x x y y
, xét hàm số
3
( ) 3
f t t t
= −
trên
[1; )
+∞

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015!
Hàm số đồng biến trên
[1; )
+∞
, ta có
( ) ( 1) 1
f x f y x y
= − ⇒ = −

Với
1
x y
= −
thay vào (2) giải được
1; 2
x x
= =

1 2
,
2 5
x x
y y
= =
 
⇒
 
= =
 

Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y


− − + = + −


+ − + =



Hướng dẫn giải:
Từ phương trình (2)
2 2
1 1
1
2 2
   
⇒ − + + =
   
   
x y nên
3 1 1 3
1 ; 1
2 2 2 2
− ≤ − ≤ − ≤ + ≤
x và y
3 3
(1) ( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1)
x x y y
⇔ − − − = + − +

nên xét
3

( ) 12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
 
−
 
 

Ch
ỉ
ra f(t) ngh
ị
ch bi
ế
n. Ta có
( 1) ( 1) 1 1
f x f y x y
− = + ⇒ − = +

Nghi
ệm
1 3 3 1
( ; ) ; ; ;
2 2 2 2
x y
   

= − −
   
   

Ví dụ 9:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
1
3 2 2 3
1
6 6 6
+

− = − +



− = + − −

x y
e e e y x

x y xy x y xy

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

3
1 1
2 1

− = −



= +

x y
x y
y x

Bài 2:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

2
1 1
2 1 0

− = −



− − =

x y
x y
x xy

Bài 3:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình

2 1 2
2 1 2

+ − =


+ − =


x y
y x

Bài 4:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình







=−+
=−+
22
22
xy
yx

Bài 5:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

1 7 4
1 4

+ + − =


+ + − =


x y

y x y

Bài 6:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình






=−++
=−++
479
479
xy
yx

Bài 7:

[ĐVH].
Gi
ả

i h
ệ
ph
ươ
ng trình

2 3 4 6
2
2 2
( 2) 1 ( 1)

+ = +


+ + = +


x y y x x
x y x

Bài 8:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

( )
(2 2) 2 1 ( 3) 2 0
8 4 2 2 1

+ + + − − =


+ − − − =


x x y y
x y y

Bài 9:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

3 3 2
2
3 4 2
1 2 1


+ = + + +


− − = − −


y y x x x
x y y

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015!
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2 2
91 2 1
91 2 2
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +



Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( )

3
4
1 1
1

− − = −


− =


x y x
x y

Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
8 2 2 3 2

+ = +



+ − + = −

x y
y x
x y y

Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3

2
2
log log (4 ) 10
2

− = −


+ =


x y
e e x y
x
y


Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3
4 2
2
2 3

− = −



= +

x y

x y
x y

Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3
2(2 1) 2 1 (2 3) 2
4 2 2 4 6

+ + + = − −


+ + + =


x x y y
x y

Bài 16: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3
2 1 0
(3 ) 2 2 2 1 0

− + =


− − − − =


x y
x x y y

Bài 17: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
3
3
8 2 ( 4) 3 0
8 2 3 7

+ − + + =


+ − − + =


x x y y
x x y y

Bài 18: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2
2 1
2
log 3log 2

− = −


+ = −


x y
e e x y

x y

Bài 19: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2
1 1
log ( 3) 2

− = −



+ + − =

x y
x y
xy x y

Bài 20: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2
(3 ) 2 2 2 1 0
2 2 (2 1) 1

− − − − =


− − − =


x x y y
x y