Luyện tập : Tích vô hướng của hai véc tơ

Chuyên đề
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Tích có hướng của hai vectơ và áp dụng
A. Kiến thức cơ bản
Cho , A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
)
• cùng phương .
•
• Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ và thì
Với ,
• Ba vectơ đồng phẳng .
• Diện tích tam giác ABC là: , ϕ là góc giữa hai vectơ
.
• Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là :
1
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;a x y z b x y z
= =
r r

( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 2 2
. 0.
, ; ;
B A B A B A
a b x x y y z z a b x x y y z z
a x y z AB x x y y z z
y z z x x y
a x y z a b
y z z x x y
= + + ⊥ ⇔ + + =
= + + = − + − + −
 
 
= + + =
 ÷
 
 
r r r r
r
r r r
,a b

r r
, 0a b
 
⇔ =
 
r r r
, , ,a b a a b b
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
a
r
b
r
, . .sina b a b
ϕ
 
=
 
r r r r
0, 0a b
≠ ≠
r r r r
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
.

.
a b x x y y z z
a b
x y z x y z
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
, ,a b c
r r r
, . 0a b c
 
⇔ =
 
r r
Δ
1 1
S , . .sin
2 2
ABC
AB AC AB AC
ϕ
 
= =
 
uuur uuur uuur uuur
,AB AC
uuur uuur

. ' ' ' '
V , . '
ABCD A B C D
AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
1
• Thể tích tứ diện ABCD là: .
B. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho
A. 1. B. 2. C. – 5. D. – 2.
PA: C.
Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho . Hãy chọn kết
luận đúng trong các kết luận sau:
A. . B. . C. . D. .
PA: D.
Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC: A(1; 1; 1), B(4; 1; 0), C(2; 1; 4). Kết luận
nào sau đây là sai?
A. B. AB = AC. C. . D. .
PA: D.
Câu 4: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2; 1; 0), B(-3; 0; 4), C(0; 7; 3). Khi đó,
A. . B. . C. . D. .
PA: A.
Câu 5: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: .
Kết luận sai là:
2
1
V , .

6
ABCD
AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
( ) ( )
1;2; 1 , 2;1;5 . .a b a b
= − = − =
r r r r
, ,i j k
r r r
( )
2;0; 2a
= −
r
. 2a i
= −
rr
. 2a j
=
r r
. 0a k
=
r r
( )
. 0a i j k+ + =
r r r r
. 0.AB AC

=
uuur uuur
1
cos
2
B
=
3
cos
2
C
=
( )
cos ,AB BC =
uuur uuur
14
3 2. 59
−
14
18. 59
14
14. 57
−
14
14. 57
( ) ( )
3 1
1; 1;1 , 3;2; 1 , ; 1;
2 2
a b c

 
= − = − = − −
 ÷
 
r r r
2
A. . B. . C. . D. .
PA: B.
Câu 6: Trong không gian cho các vectơ , trong đó: ,
Kết luận nào sau đây là sai?
A. . B. . C. . D. .
PA: D.
Câu 7: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vectơ cùng phương . Mệnh
đề sai là:
A. Tồn tại duy nhất số thực k sao cho: . B. .
C. . D. .
PA: A.
Câu 8: Trong không gian cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = SC.
G là trọng tâm tam giác ABC. Kết luận đúng là:
A. . B.
C. D.
PA: C.
Câu 9: Trong không gian cho tam giác nhọn ABC, . Chọn mệnh đề sai trong các
mệnh đề sau:
A. . B. .
3
( )
. 0a b c =
r r r r
( )

. 0b c a =
r r r r
, . 0b c a
 
=
 
r r r
, . 0a b c
 
=
 
r r r
, , ,a b c d
r r r ur
0a
≠
r r
;a b⊥
r r
, ,c a b
 
=
 
r r r
2 3 .d a b
= +
ur r r
. 0a c
=
r r

. 0d c
=
ur r
( )
. 0a b d
=
r r ur r
( )
. 0a d b
=
r ur r r
( ) ( )
; ; ; '; '; 'a x y z b x y z
= =
r r
a kb
=
r r
, 0a b
 
=
 
r r r
: : ': ': 'x y z x y z
=
, . 0a b c c
 
= ∀
 
r r r r

( )
. 0SA SB SC
=
uur uur uuur
, . 0.SA SB SC
 
=
 
uur uur uuur
, . 0.GA GB GC
 
=
 
uuur uuur uuur
, . 0.GA GB GS
 
=
 
uuur uuur uuur
( )
·
,BA AC
ϕ
=
.
cos
.
BA AC
BA AC
ϕ

=
uuur uuur
.
cos
.
AB AC
AB AC
ϕ
=
uuur uuur
3
C. . D. .
PA: A.
Câu 10:
Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ Trong các vectơ có toạ độ
dưới đây, vectơ nào vuông góc với cả hai vectơ trên?
A. (5; - 1; 1). B. . C. . D. (3; 0; 1).
PA: B.
C. bài tập tự luận
Các bài tập sau xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho trước.
Bài 1. Cho các vectơ . Tìm:
Giải: a) .
b) .
c) .
Bài 2. Cho tam giác ABC với A(1; 0; 3), B( 2; 2; 4), C( 0; 3; -2).
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác.
b) Tính góc C của tam giác.
Giải:
4

,
sin
.
AB AC
AB AC
ϕ
 
 
=
uuur uuur
,
sin
.
BA AC
BA AC
ϕ
 
 
=
uuur uuur
( ) ( )
1;2; 3 , 2;0;5 .a b
= − =
r r
11
5; ; 2
2
 
− −
 ÷

 
6
3;4;
5
 
−
 ÷
 
( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 , 3;2; 1a b c
= − = − = −
r r r
( ) ( )
) . ) . ) , .a a b c b b c a c a b c
 
 
r r r r r r r r r
( ) ( )
( )
( )
. 4.1 0. 1 1 1 3 . 3 9;6; 3a b a b c c= + − + − = ⇒ = = −
r r r r r r
( ) ( )
( )
( )
. 4.3 0.2 1 1 13 . 13 13; 13;13b c b c a a= + + − − = ⇒ = = −
r r r r r r
( ) ( )
, 1;5;4 , . 1.3 5.2 4. 1 9a b a b c
   

= ⇒ = + + − =
   
r r r r r
4
a) Ta có hay tam giác ABC vuông tại A
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm I của BC. Toạ độ I là:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BI = .
b)
. Từ đó tính ra góc C.
Bài 3. Cho ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 0; 1), C(1; 1; 2). Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra
độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác.
Giải:
⇒
Mặt khác, ⇒ Độ dài đường cao kẻ từ A của tam
giác là .
Bài 4. Cho tam giác ABC với A= (1; 1; 0), B = (3; -1; 1), C = (5; 1; 3). Tính độ dài đường phân
giác trong của góc A.
5
( ) ( )
1;2;1 , 1;3; 5 . 0AB AC AB AC AB AC
= = − − ⇒ = ⇒ ⊥
uuur uuur uuur uuur
5
1; ;1
2
I
 
=
 ÷
 

41
2
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1; 3;5 , 2; 1;6
1 3 5 35, 2 1 6 41
CA CB
CA CB
= − = −
⇒ = + − + = = + − + =
uuur uuur
( )
. 35 35
cos cos ,
. 41
35. 41
CA CB
C CA CB
CA CB
⇒ = = = =
uuur uuur
uuur uuur
( ) ( ) ( )
2; 1;1 , 1;0;2 , 2;3; 1 , 14AB AC AB AC AB AC
   
= − − = − ⇒ = − − ⇒ =
   
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1 14
,
2 2
ABC
S AB AC
∆
 
= =
 
uuur uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
C B C B C B
BC x x y y z z
= − + − + − =
2. 14 14
3
3
ABC
S
AH
BC
∆
= = =
5
Giải: Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A ⇒ D là điểm chia đoạn BC theo tỉ số
.
Từ giả thiết suy ra
.

⇒ ⇒ Toạ độ của điểm D là:
.
Vậy độ dài đường phân giác trong góc A là .
Bài 5. Cho bốn điểm A = (0; -1; 0), B = (0; 0; 2), C = (1; 0; 0), D = (-1; 1; - 2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Chứng minh rằng AC ⊥ BD.
c) Tính góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện.
d) Tính thể tích tứ diện và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện.
Giải:
a) Ta có
⇒
⇒ hay ba vectơ không đồng
phẳng ⇒ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (đpcm).
6
DB AB
k
DC AC
= − = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 1 0 3, 5 1 1 1 3 0 5AB AC
= − + − − + − = = − + − + − =
3
5
k = −
3 3 3
3 .5 1 .1 1 .3
5 5 5
0; 4; 2
3 3 3

1 1 1
5 5 5
x y z
− − − −
= = = = = = −
− − −
( )
0;4; 2D
⇒ = −
14AD
=
( ) ( ) ( )
0;1;2 , 1;1;0 , 1;2; 2AB AC AD
= = = − −
uuur uuur uuur
( )
1 2 2 0 0 1
, ; ; 1;2; 1
1 0 0 1 1 1
AB AC
 
 
= = −
 ÷
 
 
uuur uuur
( ) ( ) ( )
, . 1. 1 2.2 2 . 1 5 0AB AC AD
 

= − + + − − = ≠
 
uuur uuur uuur
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
6
b) hay AC ⊥ CD (đpcm).
c) Gọi α là góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện

⇒ . Từ đó tìm được α.
d) Thể tích tứ diện .
Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện ⇒
Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 2; 0), B(3; 0; -1), C(0; 4; 2), D(-2; 6; 3).
ABCD là:
A. tứ diện đều. B. hình chữ nhật.
C. hình thoi. D. hình bình hành.
Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3), D(- 2; 2; - 2).
Thể tích tứ diện ABCD bằng:
A. 16. B. 8. C. . D. .
Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 2), B(- 1; 5; - 6), C(7; 0; 4). Diện tích
tam giác ABC bằng:
A. 12. B. 12 . C. 36. D. .
7
( ) ( )
1;1; 4 , 1;1;0 . 0BD AC AC BD
= − − = ⇒ =
uuur uuur uuur uuur
( ) ( )
0;1;2 , 2;1; 2 . 3
5, 9 3

AB CD AB CD
AB CD
= = − − ⇒ = −
= = =
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
.
3
1
cos
3 5 5
AB CD
AB CD
α
−
= = =
uuur uuur
uuur uuur
1 5
, .
6 6
V AB AC AD
 
= =
 
uuur uuur uuur
( ) ( ) ( )
1;0; 2 , 1;1;4 , 2; 2;1BC BD BC BD
 
= − = − ⇒ = −

 
uuur uuur uuur uuur
5
3.
3 5
6
1
3
,
2
ABCD
BCD
V
AH
S
BC BD
∆
= = =
 
 
uuur uuur
8
3
4
3
5
12 3
7
Câu 4: Trong không gian cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Kết luận nào sau đây là
sai?

A. . B. .
C. . D. .
Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho tứ diện ABCD, biết ,
. Nếu G là trọng tâm của tứ diện thì độ dài của AG là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho tứ diện ABCD, biết:
và điểm , Mệnh đề sai là:
A. Điểm M thuộc mặt phẳng (BCD).
B. Với mọi điểm I ta đều có: .
C. .
D.
Câu 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
cho 3 điểm ,
. Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toạ độ là:
A. . B. . C. . D. .
Phương án đúng: 1D, 2C, 3B, 4D, 5D, 6A, 7A
II. Bài tập tự luận
Bài 1. Chứng minh rằng:
8
, 2 ,AB AC MA MB
   
=
   
uuur uuur uuur uuur
, ,MA MC MB MA

   
=
   
uuur uuur uuur uuur
, 2 ,CA C B MC CA
   
=
   
uuur uuur uuur uuur
, ,CA MB CA MC
   
=
   
uuur uuur uuur uuur
A(3; 0; 1)
B(-1; 4; 1), C(6; 7; 3), D(1; -5; 5)
3
2
10
4
25
4
9
4
A(6; -2; 3),
B(0; 1; -6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)
M(3; 0; -1)
( )
1
IM = IA + IB + IC + ID

4
uuur uur uuur uur uur
MB.DC + BC.DM + CM.DB = 0
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
MA + MB + MB + MD = 0
uuuur uuur uuuur uuuur r
A(4; 2; -1), B(3; 0; 2)
C(18; -2; 1)
21 3
; 1;
2 2
 
−
 ÷
 
( )
11; 0; 0
( )
1; 2; 1
−
7 3
; 1;
2 2
 
−
 ÷
 
8
Bài 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A = (1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5;
2; - 6). Tính độ dài đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

Bài 3. Cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(a; a; a) với a là hằng số, a ≠ 0. Chứng
minh rằng OD ⊥ (ABC) với mọi giá trị của a.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’(0; 0; 3).
a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, CD, DD’. Chứng minh rằng bốn điểm M, N,
P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ).
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của A’D’ và B’B.
a) Chứng minh rằng MN ⊥ AC’.
b) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với (A’BD).
c) Tính góc giữa MN và CC’.
Hướng dẫn giải.
Bài 1. a) Giả sử . Khi đó, ta có
b) Chứng minh tương tự.
Bài 2. Gọi D’ là chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC ⇒ D’ chia đoạn BC theo
tỉ số . Từ đó tìm được toạ độ D’ là :
9
) , , ) , , ,a a b b a b a b a b a b
λ λ λ
         
= − = =
         
r r r r r r r r r r
( ) ( )
; ; , '; '; 'a x y z b x y z
= =
r r
( )
( )

, ; ; ' ' ; ' ' ; ' '
' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
' '; ' ' ; ' ' ; ; ,
y z z x x y
a b yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
y z z x x y
y z yz z x x z x y xy b a
y z z x x y
 
 
= = − − −
 ÷
 
 
 
 
= − − − − = = −
 ÷
 
 
r r
r r
' 1
' 3
D B AB
k
D C AC
= = =

11 1 7
' ; ;0 ' 3.
2 2 2
D AD
 
⇒ =
 ÷
 
9
Bài 3. Ta có OD ⊥ (ABC) ⇔ OD ⊥ AB và OD ⊥ AC ⇔ Vectơ cùng phương với vectơ
.
⇒ Vectơ cùng phương
với vectơ hay OD ⊥ (ABC) (đpcm)
Bài 4.
a) Toạ độ các đỉnh còn lại: D = (-1; 2; 0), B’ = (1; 0; 3), C’ = (0; 2; 3), D’ = (-1; 2; 3).
b)
⇒
⇒ ⇒ Ba vectơ đồng phẳng ⇔ Bốn
điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Gọi H là chân đường cao hạ từ C’ tới mặt phẳng (MNPQ) thì khoảng cách từ C’ đến (MNPQ) là
độ dài AH.
Ta có .

⇒ .
10
OD
uuur
,AB AC
 
 

uuur uuur
( ) ( ) ( ) ( )
2;2;0 , 2;0;2 , 4;4;4 . ; ;AB AC AB AC OD a a a
 
= − = − ⇒ = =
 
uuur uuur uuur uuur uuur
OD
uuur
,AB AC
 
 
uuur uuur
1 1 1 3
;0;3 , ;1;0 , ;2;0 , 1;2;
2 2 2 2
M N P Q
       
= = = − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( ) ( )
3 3
0;1; 3 , 1;2; 3 , ;2;
2 2
MN MP MQ
 
= − = − − = − −
 ÷
 

uuuur uuur uuuur
( )
3 3
, . 3;3;1 . ;2; 0
2 2
MN MP MQ
 
 
= − − =
 ÷
 
 
uuuur uuur uuuur
, ,MN MP MQ
uuuur uuur uuuur
'
1 1 9 3
, . ' .
6 6 2 4
C MNP
V MN MP MC
 
= = =
 
uuuur uuur uuuur
1 19
,
2 2
MNP
S MN MP

∆
 
= =
 
uuuur uuur
'
3
2 19
C MNP
MNP
V
AH
S
∆
= =
10
Bài 5. Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox là tia AB, tia Oy là tia AD và tia Oz là tia
AA’. Khi đó, A = (0; 0; 0), B = (a; 0; 0), C = (a; a; 0), D = (0; a; 0), A’ = (0; 0; a), B’ = (a; 0; a),
C’ = (a; a; a), D’ = (0; a; a). Do đó, ,
a) ⇔ MN ⊥ AC’
b)
⇒ AC’ ⊥ A’B, AC’ ⊥ A’D ⇒ AC’ ⊥ (A’BD)
c) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng MN và CC’. Khi đó, ta có:
⇒ α = 45
0
.
11
;0; , ;0;
2 2
a a

M a N a
   
= =
 ÷  ÷
   
( )
;0; , ' ; ; . ' 0
2 2
a a
MN AC a a a MN AC
 
= − = ⇒ =
 ÷
 
uuuur uuuur uuuur uuuur
( ) ( )
' ;0; '. ' 0; ' 0; ; '. ' 0A B a a AC A B A D a a AC A D
= − ⇒ = = − ⇒ =
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
( )
' 0;0;CC a
=
uuuur
2
2
2
. '
2
2
cos

2
. '
.
2
a
MN CC
MN CC
a
a
α
−
⇒ = = =
uuuur uuuur
uuuur uuuur
11