Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân ppt

PHÂN LOẠI BÀI TẬP
CHƯƠNG III.
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN.
Tên bài Bài tập dành cho HS TB – Yếu Bài tập dành cho HS Khá – Giỏi
PP quy nạp
Bài 1 (SGK_82). CMR với n

N*, ta có
đẳng thức:
(3 1)
)2 5 8 3 1
2
n n
a n
+
+ + + + − =
1 1 1 1 2 1
)
2 4 8 2 2
n
n n
b
−
+ + + + =
2 2 2 2
( 1)(2 1)
) 1 2 3
6
n n n
c n
+ +

+ + + + =
Bài 2 (SGK_82). CMR với n N*, ta có:
a) n
3
+ 3n
2
+ 5n chia hết cho 3.
b) 4
n
+ 15n – 1 chia hết cho 9.
c) n
3
+ 11n chia hết cho 6.
Bài 3 (SGK_82). CMR với mọi số tự nhiên
n 2, ta có đẳng thức:
a) 3
n
> 3n +1.
b) 2
n + 1
> 2n + 3.
Bài 4 (SGK_83). Cho
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)
n
S
n n
= + + +
+

với n N*.
a) Tính S
1
, S
2
, S
3
.
b) Dự đoán công thức tính tổng S
n
và chứng
minh bằng quy nạp.
Bài 1.1 (BT_94). Chứng minh các đẳng thức
sau (với n N*).
a)
( )
(3 1)
2 5 8 3n – 1
2
n n
+
+ + + + =
.
b)
1
1
3 9 27 3 (3 3)
2
n n+
+ + + + = −

.
Bài 1.5 (BT_95). Với giá trị nào của số tự
nhiên n ta có:
Bài 5 (SGK_83). CMR số đường chéo của
một đa giác lồi n cạnh là
( 3)
2
n n
−
.
Bài 1.2 (BT_94). Chứng minh các đẳng
thức sau (với n N*)
2
2 2 2 2
(4 1)
)1 3 5 (2 1)
3
n n
a n
−
+ + + + − =
2 2
3 3 3 3
( 1)
) 1 2 3
4
n n
b n
+
+ + + + =

Bài 1.3 (BT_95). Chứng minh với mọi n
N*, ta có
a) 11
n +1
+ 12
2n – 1
chia hết cho 133.
b) 2n
3
– 3n
2
+ n chia hết cho 6.
Bài 1.4 (BT_95). Chứng ming các bất đẳng
thức sau (với n N*).
a) 2
n + 2
> 2n + 5.
b) sin
2n
α + cos
2n
α 1.
Bài 1.7 (BT_95). Cho n số thực a
1
, a
2
, a
3
,
…, a

n
thỏa mãn điều kiện – 1< a
i


0 với
1,i n
=
. CMR với với n N*, ta có
(1 + a
1
)(1 + a
2
)…(1 + a
n
) 1 + a
1
+ a
2
+ …
+ a
n
Bài 1.8 (BT_95). CMR với số thực thực a
1
,
a
2
, a
3
, …, a

n
(với n N*), ta có
|a
1
+ a
2
+ + a
n
| |a
1
| +|a
2
| + … +|a
n
|.
Bài 2(BT_122). Chứng minh các đẳng thức
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 1
a) 2
n
> 2n + 1. b) 2
n
> n
2
+ 4n + 5.
c) 3
n
> 2
n
+ 7n ?
Bài 5 (SGK_107). Chứng minh rằng với mọi

n
*
N
∈
, ta có:
a) 13
n
– 1 chia hết cho 6.
b) 3n
3
+ 15 chia hết cho 9.
Bài 1(BT_121). CMR:
a) n
5
– n chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên
liên tiếp chia hết cho 9.
Bài 3 (BT_122). Chứng minh các bất đẳng
thức
a) 3
n – 1
> n(n + 2) với n 4.
b) 2
n – 3
> 3n – 1 với n 8.
sau với n

N*.
a)
1 1 1

A
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
n
n n n
= + + +
+ +
( 3)
4( 1)( 2)
n n
n n
+
=
+ +
b)
( 1)
B 1 3 6 10
2
n
n n
+
= + + + + +
( 1)( 2)
6
n n n
+ +
=
Dãy số Bài 1(SGK_92). Viết năm số hạng tổng quát
u
n
cho bởi công thức.

a)
2 1
n
n
n
u
=
−
b)
2 1
2 1
n
n
n
u
−
=
+
c)
1
1
n
n
u
n
 
= +
 ÷
 
d)

2
1
n
n
u
n
=
+
Bài 2(SGK_92). Cho dãy số (u
n
), biết:
u
n
= –1, u
n+1
= u
n
+ 3 với
3n ≥
.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u
n
= 3n – 4.
Bài 4(SGK_92). Xét tính tăng, giảm của dãy
số (u
n
) biết:
a)
1

2
n
u
n
= −
b)
1
1
n
n
u
n
−
=
+
Bài 3(SGK_92). Dãy số (u
n
) cho bởi:
u
1
= 3; u
n + 1
=
2
1 , 1n n+ ≥
.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u
n

và chứng minh công thức bằng quy nạp.
Bài 5(SGK_92). Trong các dãy số (u
n
) sau,
dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn
trên.
a) u
n
= 2n
2
– 1.b)
1
( 2)
n
u
n n
=
+
c)
2
1
2 1
n
u
n
=
−
d)
sin cos
n

u n n
= +
.
Bài 2.2(BT_106). Cho dãy số (u
n
)
với u
n
= n
2
– 4n + 3.
a) Viết công thức truy hồi của dãy số.
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 2
c)
( 1) (2 1)
n n
n
u
= − +
d)
2 1
5 2
n
n
u
n
+
=
+
Bài 2.1(BT_106). Viết năm số hạng đầu và

khảo sát tính tăng, giảm của dãy số (u
n
), biết
a) u
n
= 10
1 – 2n
. b) u
n
= 3
n – 7
.
c)
2
2 1
n
n
u
n
+
=

3
d)
2
n
n
n
n
u

=
Bài 2.5 (SGK 106) . Cho dãy số (u
n
) được
xác định bằng công thức
1
1
5
3 2
n n
u
u u n
+
=


= + −


a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Chứng minh dãy số tăng.
Bài 6(SGK_107). Cho dãy số u
n
, biết rằng u
1

= 2, u
n+1
= 2u
n

– 1 với
1n
≥
.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh rằng u
n
= 2
n – 1
+ 1 bằng
phương pháp quy nạp.
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới.
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã
cho.
Bài 2.3(BT_106). Cho dãy số (u
n
)
với u
n
= 1 + (n – 1)2
n
.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Tìm công thức truy hồi.
c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới.
Bài 2.4(BT_106). Dãy số (u
n
) được xác
định bằng công thức
1

3
1
1
( 1)
n n
u
u u n n
+
=


= + ≥

a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số.
Bài 2.6(BT_107). Tìm công thức số hạng
tổng quát của các dãy số sau:
a)
1
1
2
1
2 ( 1)
n
n
u
u n
u
+
=




= − ≥


b)
1
1
2
1
n n
u
u u
+
=


= −

c)
1
1
1
2
3
n n
u
u u
+


=



=

Bài 2.7(BT_107). Dãy số (x
n
) được biểu
diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí
hiệu là A:
A = {A
0
, A
1
, A
2
, …, A
n
, …}
Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số.
Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai
đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.
Đặt u
n
là số các tam giác được tạo thành từ
B và n + 1 điểm A
0
, A

1
, A
2
, …A
n
rồi lập
dãy số (u
n
).
a) Tính u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 3
b) CMR
2
n 1
u
n
C
+
=
và u
n+1
= u

n
+ n + 1.
Bài 2.8(BT_107). Cho dãy số (u
n
) thỏa mãn
điều kiện
*n N
∀ ∈
thì 0 < u
n
< 1 và
1
1
1
4
n
n
u
u
+
< −
.
Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bài 7(SGK_107). Xét tính tăng, giảm, bị
chặn của các dã số (u
n
), biết:
a)
1
u n

n
= +
b)
1
1
( 1) sin
n
u
n
−
= −
c)
1u n n
= + −
Cấp số
cộng
Bài 1(SGK_97). Trong các dãy số sau, dãy số
nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công
sai của nó.
a) u
n
= 5 – 2n. b)
1
2
n
n
u
= −
c) u
n

= 3
n
d)
7 3
2
n
n
u
−
=
Bài 2(SGK_97). Tìm số hạng đầu và công sai
của cấp số cộng sau, biết:
a)
1 3 5
1 6
0
17
u u u
u u
− + =


+ =

b)
7 3
2 7
8
75
u u

u u
− =


=

Bài 3(SGK_97). Trong các bài toán về cấp số
cộng, ta thường gặp năm đại lượng u
1
, d, n, u
n
,
S
n
.
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại
lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng
để có thể tìm được các đại lượng còn lại.
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích
hợp vào ô trống.
u
n
d u
n
n S
n
Bài 4(SGK_98). Trên mặt sàn tầng một của
một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu
thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21
bậc, mỗi bậc cao 18 cm.

a) Viết công thức tìm độ cao của một bậc
tùy ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của mặt sàn tầng hai so với
mặt đất.
Bài 5(SGK_98). Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa,
đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ
đanh chuông báo giờ và số tiếng rung bằng
số giờ.
Bài 3(SGK_107). Cho hai cấp số cộng có
cùng số hạng. Tổng các số hạng tương ứng
của chúng có lập thành cấp số hạng không.
Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa.
Bài 8(SGK_107). Tìm số hạng đầu u
1
và
công sai d của các cấp số cộng (u
n
) biết:
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 4
-2 55 20 530
-4 15 120
3
4
27
7
12 72
2 -5 -5 -205
Bài 1(SGK_107). Khi nào thì cấp số cộng là
một dãy số tăng, giảm, không tăng không
giảm.

a)
1 5
4
5 10 0
14
u u
S
+ =


=

b)
4 2
7 15
2 2
60
1170
u u
u u
+ =



+ =


Bài 10(SGK_108). Cho tứ giác ABCD có
số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số
cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết răng góc

C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ
giác.
Bài 13(SGK_108).CMR nếu các số a
2
, b
2
,
c
2
lập thành một cấp số cộng (abc 0) thì
các số
1 1 1
, ,
b c c a a b
+ + +
cũng lập thành một
cấp số cộng.
Bài 4(BT_122). Cho dãy số (u
n
)
1 2
1 1
1, 2
2 1 ( 2)
n n n
u u
u u u n
+ −
= =



= − + ≥

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Lập dãy số (v
n
) với v
n
= u
n+1
– u
n
, chứng
minh dãy số v
n
là cấp số cộng.
c) Tìm công thức tính u
n
theo n.
Bài 10(BT_123). Có thể có một tam giác
vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành
một cấp số cộng hay không ?
Bài 11(BT_123). Tính tổng
a)
2 3
1 3 5 2 1

2 2 2 2
n
n

−
+ + + +
.
b) 1
2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … + (-1)
n – 1
n
2
.
Bài 12(BT_123). Tìm m để phương trình x
4
– (3m + 5)x
2
+ (m + 1)
2
= 0 có 4 nghiệm lập
thành một cấp số cộng.
Cấp số
nhân
Bài 1(SGK_103). Chứng minh các dãy số Bài 5(SGK_104). Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh
X là 1,4%. Biết rắng số dân của tỉnh hiện
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 5
3

.2
5
n
 
 ÷
 
;
5
2n
 
 ÷
 
;
1
2
n
 
 
−
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
là các cấp số nhân.
Bài 2(SGK_103). Cho cấp số nhân (u
n
), với
công bội q.
a) Biết u

1
= 2, u
6
= 486. Tìm q.
b) Biết
2
3
q
=
,
4
8
21
u
=
. Tìm u
1
.
c) Biết u
1
= 3, q = -2.
Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy.
Bài 3(SGK_103). Tìm các số hạng của cấp số
nhân (u
n
) có năm số hạng, biết:
a) u
1
= 3, u
5

= 7.
b) u
4
– u
2
= 25 và u
3
– u
1
= 50.
Bài 4(SGK_104).Tìm cấp số nhân có 6 số
hạng, biết rằng tổng của năm số hạngđầu là
31 và tổng năm số hạng sau là 62.
Bài 2(SGK_107) Cho cấp số nhân có u
1
< 0
và công bội q. Hỏi các số hạng khác nhau sẽ
mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) q > 0. b) q< 0.
Bài 4(SGK_107). Cho hai cấp số nhân có
cùng số hạng. Tích các số hạng tương ứng của
chúng có lập thành cấp số hạng không.
Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa.
Bài 9(SGK_107). Tìm số hạng đầu u
1
và
công bội q của các cấp số nhân (u
n
) biết:
a)

6
7
5 192
384
u
u
=


=

b)
4 2
5 3
72
144
u u
u u
− =


+ =

c)
2 5 4
6 3 5
10
20
u u u
u u u

+ − =


+ − =

Bài 4.1(BT_120).Các dãy số (u
n
) sau đây, dãy
nay là 1,8 triều người. Hỏi với mức tăng
như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì số dân
của tỉnh X là bao nhiêu.
Bài 6(SGK_104). Cho hình vuông C
1
có
cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của
hình vuông thành 4 phần băng nhau và nối
liền các điểm chia một cách thích hợp để có
hình vuong C
2
. Từ hình vuông C
2
lại làm
tiếp để được C
3
,… Tiếp tục lặp lại quá trình
trên, ta nhận được dãy hình vuông C
1
, C
2
,…

C
n
. Gọi a
n
là số cạnh của hình vuông C
n
.
Chứng minh rằng dãy số (a
n
) là một cấp số
nhân.
Bài 11(SGK_108). Biết rằng ba số x, y, z
lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z
lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội
của cấp số nhân.
Bài 4.7(BT_121). Cho dãy số (u
n
)
1
1
0
2 3
( 1)
4
n
n
n
u
u
u n

u
+
=


+

= ≥

+

a) Lập dãy số (x
n
) với
1
3
n
n
n
u
x
u
−
=
+
.
b) Tìn công thức tính x
n
và u
n

theo n.
Bài 4.8(BT_121). Ba số khác nhau có tổng
bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp
của một cấp số nhân, hoặc coi là các số
hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một cấp
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 6
số nào là cấp số nhân
a) u
n
= (- 5)
2n + 1
. b) u
n
= (-1)
n
3
3n + 1
.
c)
1
2
1
2
n n
u
u u
+
=



=

. d)
1
1
1
2
5
n n n
u
u u u
+
=



= +


Bài 4.2(BT_120). Cấp số nhân (u
n
) có
1 5
2 6
51
102
u u
u u
+ =



+ =

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số
nhân.
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ
bằng 3069 ?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
Bài 4.3(BT_120). Tìm số các số hạng của cấp
số nhân (u
n
), biết
a) q = 2, u
n
= 96, S
n
= 189.
b) u
1
= 1, u
n
= 1/8, S
n
= 31/8.
Bài 4.4(BT_120). Tìm số hạng đầu và công
bội của cấp số nhân (u
n
), biết

5 1

4 2
15
)
6
u u
a
u u
− =


− =


2 4 5
3 5 6
10
)
20
u u u
b
u u u
− + =


− + =

Bài 4.5(BT_121). Bốn số hạng lập thành một
cấp số cộng lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7,
2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số
đó.

Bài 4.6(BT_121). Viết bốn số xen giữa các số
số cộng. Tìm các số đó.
Bài 4.9(BT_121). Cho cấp số nhân a, b, c,
d. CMR
a)
2 2 2 3 3 3
3 3 3
1 1 1
( )a b c a b c
a b c
+ + = + +
.
b) (ab + bc + cd)
2

= (a
2
+ b
2
+ c
2
)(b
2
+ c
2
+ d
2
).
Bài 4.10(BT_121). Một cấp số cộng và một
cấp số nhân có các số hạng đều dương. Biết

rằng các số hạng thứ nhất và thứ hai của
chúng trùng nhau. Chứng minh mọi số hạng
của cấp số cộng không lớn hơn số hạng
tương ứng của cấp số nhân.
Bài 5(BT_122). Cho dãy số (u
n
)
1
1
1
3
( 1)
( 1)
3
n
n
u
n u
u n
n
+

=



+

= ≥



a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Lập dãy số (v
n
) với
v
n
n
u
n
=
. Chứng
minh dãy số (v
n
) là cấp số nhân.
c) Tìm công thức tính u
n
theo n.
Bài 6(BT_122). Ba số có tổng là 217 có thể
coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số
nhân, hoặc các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ
44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 7
5 và 160 để được một cấp số nhân. nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng
của chúng là 820.
Bài 7(BT_123). Một cấp số cộng và một
cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số
hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số
hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 còn các
số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các số ấy.

Bài 8(BT_123). CMR nếu ba số lập thành
một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số
cộng thì ba số ấy bằng nhau.
Bài 9(BT_123). Cho cấp số nhân (u
n
)
có công bội là q và số các số hạng là chẵn.
Gọi S
c
là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và
S
l
là tổng các số hạng có chỉ số lẻ.
CMR
C
l
S
q
S
=
.
Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 8