SKKN Toán 6

oán học là chìa khoá của ngành khoa học. Môn toán là một môn khoa
học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con ngời. Với một xã hội
mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển nh hiện nay thì môn toán lại
càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học .
T
Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học
sinh hồi tởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã
học một cách thích hợp. Qua đó rèn trí thông minh sáng tạo, tính tích cực
hoạt động nhằm phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 6 tôi thấy rằng tính chất chia hết
của một tổng (một hiệu, một tích ) tuy chỉ cung cấp một lợng kiến thức nhỏ
nhng lại đợc ứng dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài tập.
Chính vì thế tôi đã viết sáng kiến kinh ngiệm áp dụng tính chất chia
hết của một tổng vào giải toán
cơ sở lý luận và thực tiễn
Tính chất chia hết của một tổng đợc học ở bài 10 chơng I số học lớp 6.
Đây là cơ sở lý luận để giải thích đợc các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,
9. Nó còn đợc vận dụng để giải quyết một lợng lớn các bài tập liên quan
đến chia hết.
Để giải quyết các bài tập này ngời học sinh phải nắm chắc và vận dụng
kiến thức một cách linh hoạt, uyển chuyển, qua đó mà học sinh có khả
năng phát triển t duy, đặc biệt là t duy sáng tạo.
Tính chất chia hết của một tổng không chỉ đợc ứng dụng trong tập hợp
số tự nhiên mà còn đợc mở rb ộng trong tập hợp số nguyên. Vì vậy muốn
nắm chắc đợc tính chất này trong tập hợp số tự nhiên học sinh có thể vận
dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong trơng trình THCS.
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng
bài tập liên quan đến tính chất chia hết của một tổng (một hiệu ). Ngoài ra
mở rộng đối với một tích trong chơng I số học lớp 6. Mỗi dạng bài tập đều
có ví dụ minh hoạ và ví dụ kèm theo.Tuy nhiên việc mắc phải những sai sót
là điều không tránh khỏi.

thực trạng việc học toán của học sinh lớp 6
1
Học sinh khối 6 là một khối mới bắt đầu cách học mới của cấp THCS.
Các em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu các phép toán
cụ thể. Năng lực t duy logic của các em cha phát triển cao. Do vậy việc áp
lý thuyết để làm bài tập toán đối với các em là một điều khó. Hầu hết chỉ
có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hớng yêu cầu của bài
toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm và thực
hiện phép toán nh thế nào.
Phần kiến thức tính chất chia hết của một tổng là một phần kiến thức rất
quan trọng trong lớp 6 nói riêng và bậc trung học cơ sở nói chung. Nhng
nhiều khi các em thuộc lý thuyết toán nhng lại cha biết áp dụng vào bài tập
cụ thể nh thế nào, các em cha biết t duy để đi từ kiến thức tổng quát vào
bài tập cụ thể. Do vậy giáo viên cần hớng dẫn để các em hiểu và áp dụng đ-
ợc tính chất đã học vào làm bài tập cụ thể.
Mặt khác tính tự giác học tập đối với học sinh lớp 6 cha cao, vì vậy cần
cho các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể dới sự hớng
dẫn của giáo viên để các em có thể hiểu và nắm chắc kiến thức đợc học
một cách có hệ thống để giúp các em học tốt trong các năm học sau.
i. kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa:
- Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0, nếu có số tự nhiên x sao cho
b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x.
2. Tính chất chia hết của tổng và hiệu:
2
mambmba
mbmambac
mbambma
mbambmab
mbambma

mbambmaa






+
+
/

/
/
+
/

+
;)(
;))(
)(;
)(;)
)(;
)(;)
3. Tính chất chia hết của một tích:
a. Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
b. Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
ii. các dạng
bài tập .
DạNG 1:
Bài tập trắc nghiệm nhằm củng cố lí thuyết.

Bài tập 1: Điền dấu '' X '' vào ô thích hợp trong các câu sau:
CÂU Đúng sai
a) Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6 thì
tổng chia hết cho 6.
b) Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết
cho 6 thì tổng không chia hết cho 6.
c) Nếu tổng của hai số chia hết cho 5 và một
trong hai số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia
hết cho 5.
d) Nếu hiệu của hai số chia hết cho 7 và một
trong hai số đó chia hết cho 7 thì số còn lại chia
hết cho 7.
Bài tập 2: Khoanh tròn trớc câu trả lời đúng
1) Xét biểu thức 864 + 14
a) Giá trị của biểu thức chia hết cho 2
b) Giá trị của biểu thức chia hết cho 3
c) Giá trị của biểu thức chia hết cho 6
d) Giá trị của biểu thức chia hết cho 7
2) Nếu a chia hết cho 6 và b chia hết cho 8 thì (a + b) chia hết cho?
a) 2, 3, 6
b) 3, 6
c) 6, 9
d) 6, 18
3) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì:
a) a = c.
b) a chia hết cho c.
c) không kết luận đợc gì.
d) a không chia hết cho c.
DạNG 2 :
Không tính toán , xét xem một tổng (hiệu) có chia hết

cho một số hay không ?
Bài tập 1: áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia
hết cho 8 không?
a) 48 + 56 + 112
b) 160 47

3
nmba
nb
ma







nn
babac

)
Giải
áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:
8)1125648(
8112
856
848

++






8)47160(
847
8160







Bài tập 2: Không thực hiện phép tính hãy chứng tỏ rằng:
a) 34.1991 chia hết cho 17.
b) 2004. 2007 chia hết cho 9.
c) 1245. 2002 chia hết cho15.
d) 1540. 2005 chia hết cho 14.
H ớng dẫn:
Ta có tính chất sau:
Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia
hết cho số đó.
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
a) 1.2.3.4.5.6 + 42
b) 1.2.3.4.5.6 - 32

H ớng dẫn :
* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia
hết cho 5. Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến
cách giải tơng tự nh bài tập 1.
Bài tập 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 3.4.5 + 6.7
b) 7.9.11.13 2.3.4.7
c) 3.5.7 + 11.13.17
d) 164354 + 67541
*Nhận xét: Để chứng tỏ một tổng (hiệu) là hợp số ta chỉ cần chỉ ra rằng
tổng (hiệu) đó chia hết cho một số khác 1 và chính nó.
Giải:
Mà tổng này lớn hơn 3 nên suy ra tổng này là hợp số
Gợi ý:
b) Hiệu chia hết cho 7 và hiệu lớn hơn 7
c) Tích 3.5.7 là một số lẻ, tích 11.13.17 là một số lẻ, mà
tổng hai số lẻ là một số chẵn nên suy ra tổng chia hết cho 2 và tổng lớn hơn
2
4
cbacNcbaca .)0(,,;

3) 6.7 3.4.5(
36.5
35.4.3
)


+

a
d) Tổng này có chữ số tận cùng là 5. Vậy nó chia hết cho 5 và nó lớn
hơn 5.
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng:
Giải:
Ta có:
Dạng 3:
Tìm số x (hoặc tìm chữ số x)
Bài tập 1: Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2
b) A không chia hết cho 2
*Nhận xét: 3 số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2. Muốn tổng
A chia hết cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2. Muốn tổng A không
chia hết cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2.
Bài tập 2: Tìm chữ số x để:
*Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3. Vậy
Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x.
*Giải: Ta có:
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn:
[ ]
)2.(1321
++
x
biết 32

x

49
Giải

Ta có:
5
Naa
+
;7)7.49(
2

Naa
Naa
+




;7)7.49(
77
,7.49
2
2



3)1243(

x
343 x
343
312
3)1243(

x
x





}{
8,5,2
90
3)7(3)43(
=




+++
x
x
xx
Vậy:
{ }
47;40;33

x
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên x sao cho :
H ớng dẫn

Từ đó ta tìm đợc x.
Bài tập 5: Tìm số tự nhiên x sao cho :

)13()72(
++
xx
H ớng dẫn: Ta thấy
Từ đó ta tìm đợc x.
Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x sao cho :

H ớng dẫn
Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần
tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số
Ta có:
6
{ }
47;40;33

x
)148()260( xx
+

[ ]






++

+

1480
)148(174
)148()26()148(
)148()26(
)148()148(
x
x
xxx
xx
xx




[ ]
)2(3
)2()42()72(
)2()72(
)2()42(
)2()2.(2)2()2(
+
+++

++
++

++++
x
xxx
xx
xx
xxxx





)13()75(
++
xx
)(**)13()2115()13()75.(3)13()75(
)(*)13()515()13()13.(5)13()13(
++++++
++++++
xxxxxx
xxxxxx


{ }
7)2.(13
721
7)2.(1321

+



++
x
x
{ }
49;42;352
512344932
7)2(713
+



+
+
/
x
xx
x
Từ (*) và (**) suy ra
Từ đó ta tìm đợc x.
Bài tập tơng tự
Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên x để
Một số bài tập nâng cao
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3)

7.
Giải
Cách1:
Vì (4,7) =1 nên (n - 1) chia hết cho 7.
Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
Cách 2:
Vì (18,7) =1 nên (n-1) chia hết cho 7
Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
* Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi
đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1.
Bài tập 2: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) .Chứng minh
rằng (10a + b) chia hết cho 13.
Giải
Đặt : a + 4b = x
10a + b = y
Ta biết x chia hết cho 13 cần chứng minh y chia hết cho 13
Cách 1: Xét biểu thức
10x y = 10 ( a + 4b ) ( 10a + b ) =
10a + 40b 10a b = 39b
7
[ ]
)13(16
)13()515()2115(
+
+++
x
xxx


[ ]

[ ]
[ ]
)15(42)15()
)2(4)2()
)1();1(7)1()
)0(;4)4)(
2
2
2
++
++
+
+
xxd
xxc
xxxb
xxa




7)1.(4
744
7734
734
714
73414
7318

+
+



++

+
n
n
n
n
n
nn
n
7)1.(18
71818
721318
7318

+
+
n
n
n
n
Vậy
Cách 2: Xét biểu thức
4y x = 4 ( 10a + b ) ( a + 4b ) = 40a + 4b a 4b =
39a
Vậy

Cách 3: Xét biểu thức
3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) =
3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b
Suy ra
Cách 4: Xét biểu thức
x + 9y = a + 4b + 9 ( 10a + b ) =
a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b
Suy ra
* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đa ra các biểu thức mà sau khi
rút gọn có một số hạng chia hết cho 13. Khi đó số hạng thứ hai (nếu có)
cũng là bội của 13. Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét
biểu thức (10x y) nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0. Xét
biểu thức (3x y) nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13.
Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1. Nên xét biểu thức (4x y)
nhằm khử b . Xét biểu thức (x + 9y) nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13.
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 d 1, chia cho 7 d 5.

Giải
Gọi n là số chia cho 5 d 1 và chia cho 7 d 5
Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n là số tự
nhiên, r < 35 ). Trong đó r chia cho 5 d 1, r chia cho 7 d 5. Số nhỏ hơn 35
8
1310
13131013
1310



baHay
yxxDo
yx
+


1310
13413
134



baHay
yxDo
yx
+


1310

1313313
1313



baHay
yxxDo
yx
+

+
1310
131)13;9(
13913
139




baHay
ycoTa
yxDo
yx
+
=

+
chia cho 7 d 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho 5 d 1. Vậy r
= 26. Số nhỏ nhất có dạng 35k + 26 là 26.
Cách 2: Ta có

Số nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên là số 26.
Cách 3:
n = 5x + 1 = 7y + 5 suy ra 5x = 5y + 2y + 4 suy ra
2 ( y + 2 ) chia hết cho 5 suy ra y + 2 chia hết cho 5
Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của n bằng
7.3 + 5 = 26.
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho khi chia n cho 131
thì d 112, chia n cho 132 thì d 98.
Giải
Cách 1: Ta có
131x + 112 = 132y + 98 suy ra
131x = 131y + y 14 suy ra
y 14 chia hết cho 131 suy ra
y = 131k + 14 (k thuộc N ) suy ra
n = 132. (131k + 14 ) + 98 suy ra
n = 132. 131k + 1946
Do n có bốn chữ số nên k bằng 0. Vậy n = 1946.
Cách 2: Từ 131x = 131y + y 14 suy ra
131. ( x y ) = y 14
Nếu x > y thì y 14

131 suy ra y

145
Suy ra n có nhiều hơn bốn chữ số
Vậy x = y do đó y = 14 ; n = 1946
Cách 3: Ta có n = 131x + 112 nên
132n = 131.132x + 14784 (1)
mà n = 132y + 98 nên
131n = 131.132y + 12838 (2)

Từ (1) và (2) suy ra
132n 131n = 131.132 ( x y ) + 1946
Hay n = 131.132 (x y ) + 1946
Vì n có bốn chữ số nên n = 1946
Bài tập 5:
a) Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 2
( 10
k
+ 8
k
+ 6
k
) ( 9
k
+ 7
k
+ 5
k
) ( k

N
*
)
b) Chứng tỏ rằng tổng sau chia hết cho 2
2001
k
+ 2002
k
+ 2003
k

( k

N
*
)
c) Xét xem hiệu sau có chia hết cho 10 không ?
20001
2010
- 1917
2000
H ớng dẫn
a) 10
k
, 8
k
, 6
k
là những số chẵn nên ( 10
k
+ 8
k
+ 6
k
) là số chẵn chia hết cho
2 ; 9
k
, 7
k
, 5
k

là những số lẻ nên ( 9
k
+ 7
k
+ 5
k
) là số lẻ không chia hết
cho 2.
Vậy ( 10
k
+ 8
k
+ 6
k
) ( 9
k
+ 7
k
+ 5
k
) không chia hết cho 2
9
79714575
59510151


++
++
nnn
nnn

b)2001
k
là số lẻ; 2003
k
là số lẻ nên 2001
k
+ 2003
k
là số chẵn chia hết
cho 2.
2002
k
là số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy
2001
k
+ 2002
k
+ 2003
k
chia hết cho 2
c) 2001
2010
có chữ số tận cùng là 1
1917
2000
= (1917
4
)
500
cũng có chữ số tận cùng là 1

Vậy 20001
2010
- 1917
2000
có chữ số tận cùng là 0 do đó
20001
2010
- 1917
2000
chia hết cho 10
* Trên đây là một số bài tập tiêu biểu tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể.
Qua việc áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giải bài tập học sinh
sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng t
duy toán một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc
đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các
môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách
linh hoạt, tối u các tình huống trong thực tế đời sống hàng ngày.
iii. các biện pháp thực hiện
Do yêu cầu của phơng pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phơng
pháp cũ, phải đảm bảo tính chủ đạo của thày, chủ động của trò đồng thời
kích thích hứng thú học tập ở lứa tuổi học sinh lớp 6. Để áp dụng tốt tính
chất chia hết của một tổng vào làm bài tập cần sử dụng hợp lý tất cả các
phơng pháp dạy học : Đặt vấn đề, đàm thoại, gợi mở, trực quan để học
sinh tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất.
Biện pháp chủ yếu là cho các em làm bài tập trong giờ lý thuyết, giờ
luỵện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hớng dẫn
gợi mở của giấo viên. Có thể tổ chức thi làm bài nhanh giữa các tổ để kích
thích tính tích cực, ganh đua trong học tập. Đồng thời cần có biện pháp để
kiểm tra sát sao việc học bài và làm bài của học sinh để đảm bảo chất lợng
học tập trung.

i. tóm tắt quá trình thực hiện sáng kiến kinh
nghiệm và kết quả đạt đ ợc
Xuất phát từ nhiệm vụ chính của ngời giáo viên với mục đích cuối cùng
là nâng cao chất lợng giáo dục về mọi mặt. Bản thân tôi là một giáo viên
trẻ kinh nghiệm cũng cha đợc nhiều song qua quá trình dạy học của bản
thân, qua đồng nghiệp và qua bạn bè, qua việc tìm hiểu tham khảo sách vở
tôi đã cố gắng lựa chọn các bài tập tiêu biểu để áp dụng, qua đó giúp học
sinh nắm trắc kiến thức, sâu kiến thức hơn.
Trong sách giáo khoa toán 6 tập 1 sau tiết lý thuyết không có tiết luyện
tập về tính chất chia hết của một tổng nên việc vận dụng lý thuyết vào làm
bài tập còn hạn chế, cha đợc mở rộng nâng cao, thậm chí có những học
10
sinh chỉ dừng lại ở mặt lý thuyết còn việc vận dụng là rất khó khăn. Do
năng lực t duy của các em còn hạn chế do vậy việc chuyển từ lý thuyết
sang làm bài tập là một việc rất khó khăn.
II. Bài học kinh nghiệm:
Tính chất chia hết của một tổng thuộc một phần phép chia hết ở lớp
6, là một nội dung qua trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là
tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của
nó rất nhiều. Do vậy, trớc hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững
định nghĩa phép chia hết, tính chất chia hết của một tổng, một hiệu và một
tích.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ
thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về
cách lập luận và trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo
viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hớng giải quyết nào đó để khi gặp bài t-
ơng tự, học sinh có thể tự liên hệ đợc.
11
12