Chuyên đề LTĐH. Cực trị của hàm số

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 6
CHUYỀN ĐỂ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. ĐỊNH NGHĨA (sgk GT12)




Khoỏ LTH cp tc nm 2014. Ch 2. Cc tr hm s
Dng Bo Quc_THPT Khỏnh Lõm 7
Chỳ ý:

1. Dng cc tr ca hm s bc 3: y f (x)

3 2
0
ax bx cx d a


y f (x) cú cc tr y f (x) cú C v CT


0
f x


cú 2 nghim phõn bit b
2
3ac > 0
Khi ú, nu x

0
l im cc tr thỡ ta cú th tớnh f(x
0
) bng hai cỏch:
+
3 2
0 0 0 0
( )
f x ax bx cx d


+ Ly f(x) chia cho f(x), ta cú:
( ) ( ). '( ) ( )
f x q x f x r x

;
( )
r x Ax B

. Khi ú:
0 0
( )
f x Ax B


T ú, ta cng cú:
y Ax B

l PT ca ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s.
i vi hm s tng quỏt : y f (x)

3 2
0
ax bx cx d a

thỡ ng thng i qua cc i, CT cú
phng trỡnh:


2
2
3 3 9
b bc
y c x d
a a





2. Dng cc tr ca Hm s:
y



f
(
x
)

4 2
0
ax bx c a


. Cc tr:
Xột


0
f x


cú
( )

f x

đúng 1 nghiệm
có đúng 1 cực trị
1 nghiệm đơn
có đúng 2 nghiệm
1 nghiệm kép
có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ và CT

4. K nng tớnh nhanh cc tr
Gi s f (x) trit tiờu v i du ti x x
0
, khi ú f (x) t cc tr ti x
0
vi giỏ tr cc tr l


4 2
0 0 0
f x ax bx c

.
Trong trng hp x

0
l s vụ t thỡ cc tr f (x
0
) c tớnh theo thut toỏn:
Bc 1: Thc hin phộp chia f (x) cho f (x) ta cú:








.
4 3 2
f x q x f x r x



Bậc Bậc Bậc

Bc 2: Do f (x
0
) 0 nờn f (x
0
) r(x
0
)
H qu: Cỏc im cc tr ca hm bc 4: y f (x) nm trờn y r(x) (parabol)

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 8
MỘT SỐ LOẠI CÂU HỎI HAY GẶP VÀ HƯỚNG GIẢI






Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 9




MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Hàm số bậc ba:

Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 10

HD.
+
2
2 7
( ): (21 ) 3
9 9
m
d y m x   

+
2
21
3 10
2
2
(21 ).3 1
9
m
d m
m



     

  



HD. Đường thẳng qua hai cực trị (d):
2
( 2) 2
3 3
m m
y x
    
;
6 6
( ;0), (0; )
2( 3 3
m m
A B
m
 



9 3
6; ;
2 2
OA OB m m m
      
(nhận
3
2
m
 

)





Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 11


HD.
+
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt khi m >0.
+
( ;2 2 ), ( ;2 2 )
M m m x N m m x
  
; MN:
2 2 0
mx y
  

+

2 . sin 1
IAB
S IA IAB AIB

 

+ Dấu = xảy ra khi

0
1 3
90 ( , ) 1
2
2
AIB d I MN m     


HD.
2
' 3( )
y x m
 
; HS có CĐ, CT
0
m
 
;
( ;2 2 ), ( ;2 2 )
A m m m B m m m
  


: 2 2
AB y mx
 

;
1
. ( , ) 18 2
2
IAB
S AB d I AB m
   




Ví dụ 1. Tìm m để hàm số
3 2 2
( ) 3
f x x x m x m
   
có CĐ, CT đối xứng nhau qua
1 5
:
2 2
y x
  

HD. - Hs có CĐ, CT
'( ) 0
f x
 
có hai nghiệm phân biệt
' 0 3 3
m      

- Đ thẳng qua 2 điểm CĐ, CT (d):
2
2
2
( 3)
3 3
m
y m x m
   
;
- ycbt
0
d
m
I d
 

  





Hd.
+(C
m
) có CĐ, CT khi m < 3
Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 12

+ĐT qua 2 cực trị là (d’):
2( 1) 2
3 3
m m
y x
   
. Có hai trường hợp
- TH1. d//(d’) (loại)
- TH2. Trung điểm I của AB thuộc d
0,
m
 
với
(1; )
I m




2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
4 4 4
( ) ( ) ( ) 4 1 ( 1) [4 4] 1 ( 1) 4(1 )
9 9 9
AB x x y y x x x x m m m
   
 
              
 
   

   

2 13
min 0
3
AB m
   



ĐS:
0 1
m m
  


ĐS: m = 1

HD.
' 0 1; 1
y x m x m
     
;
( 1; 3), ( 1; 1)
A m m B m m
   
;
. 0 1; 2
OA OB m m
    

 


Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 13
ĐS:
14
2
m 

2) Hàm số bậc bốn trùng phương:



+
0;
ycbt m
 

4 4 2 4 2
(0; 2 ), ( ; 2 ), ( ; 2 )
A m m B m m m m C m m m m
     

+
2 2
3
3
2 2
0

0
3
( 3) 0
m
m
AB AC m
m m
AB BC





   
 
 






+ Hs có cực trị khi m > 0
+
2 2 2
(0;2 4), ( ; 4), ( ; 4)
A m B m m C m m
   

+

1
2 1 1
2
ABC B A B
S y y x m
    
; ĐS: m = 1

+ HS có 3 cực trị
1 1
m
  

+
2 2 2 2
(0;1 ), ( 1 ; 1 ),C( 1 ; 1 )
A m B m m m m
     

+
2 2
1
. ( , ) (1 ) 1
2
ABC
S BC d A BC m
   
. Dấu “=” xảy ra khi m = 0. ĐS: m=0
Ví dụ 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002)
Tìm m để hàm số



4 2 2
9 10
y mx m x
   
có 3 điểm cực trị
Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 14
Giải. Yêu cầu bài toán


 
2 2
2 2 9 2 . 0
y x mx m x g x

     
có 3 nghiệm phân biệt
2
3
9
0
2
0 3
m
m
m
m
 



  

 



B. CỰC TRỊ TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM QUA
Bài 1.

Tìm m để hàm số:
   
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
       
đạt CT tại x  2.
ĐS: m = 3
Bài 2. B.2002
Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10
y mx m x
   
. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị.
Đáp số:
3;0 3

m m
   

Bài 3 (B.2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
     
. Tìm m để hàm số có cực đại, CT và các điểm cực trị cách đều
gốc tọa độ.
Đáp số:
1
2
m
 

Bài 4. B2012 : Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3 3
y x mx m
  
có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng 48.
Đáp số:
2
m
 

Bài 5. Tìm m để

     
3 2
2 3 1 6 2 1
f x x m x m x
     
có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường
thẳng y  -4x  1.
Đáp số:
1; 5
m m
 

Bài 6. Tìm m để
     
3 2
2 3 1 6 1 2
f x x m x m m x
    
có CĐ, CT nằm trên (d): y  4x.
Đáp số:
1
m


Bài 7. Cho hàm số
   
 
3 2 2
2
1 4 3

3
f x x m x m m x
     

1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
2. Gọi các điểm cực trị là x
1
, x
2
. Tìm GTLN của


1 2 1 2
2
A x x x x
  

Hướng dẫn:
Ta có:
   
2 2
2 2 1 4 3
f x x m x m m

     

1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1


0

f x

 
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thoả mãn:
1 2 1 2
1 1
x x x x
    



5, 3 2
m    

2.
 
 
2
2
9
1 1
9 8 16 9 4
2 2 2
A m m m
 
 

       
  
. Với
4
m
 
thì
9
Max
2
A


Bài 8. Tìm m để hàm số
 
3 2
1
1
3
f x x mx x m
    
có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
2 13
3
AB 
. Vậy
2 13
Min
3

AB 
xảy ra  m  0.
Bài 9. Tìm m để hàm số
     
3 2
1 1
1 3 2
3 3
f x mx m x m x
     
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả mãn
1 2
2 1
x x
 
.
ĐS:
2
2
3
m m
  

Bài 10. (A.02) Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )

y x mx m x m m
      
. Viết PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số đã cho
ĐS:
2
2
y x m m
  

Bài 11. (B.11):
Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 15

ĐS:
2 2 2
m  

Bài 12. (A. 12):

ĐS:
0
m


Bài 13. (B.12):

ĐS:
2
m

 

Bài 14. (D.12)

ĐS:
2
3
m


Bài 15. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)
Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
  
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
. 1
: 0Đ AB AC m
   
S
 

Bài 16. Chứng minh rằng:
 
4 2
6 4 6
f x x x x
   
luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam

giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị
B13. (B.2013)
Cho hàm số
3 2
y 2x 3(m 1)x 6mx (1)
   
, với m là tham số thực . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai
điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 .
ĐS :
0; 2
m m
 


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
     
f x x m x m m
; (C
m
)
Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, CT tạo thành 1 tam giác vuông cân.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
3
  

y x x m
(1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho

0
120 .
AOB

Bài 3: Cho hàm số :
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
      
y x m x m x m
(1) ( m là tham số).
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm CT, đồng thời hoành độ của điểm CT nhỏ hơn 1.
Bài 4: Cho hàm số
4 2 2
2
y x mx m m
   
(1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam
giác có một góc bằng
0
120
.
Bài 5: Cho hàm số :
3 2 3
3 1
2 2
  
y x mx m

. Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, CT đối xứng với
nhau qua đường thẳng y = x.
Bài 6: Cho hàm số
4 3 2
2 3 1 (1)
    y x mx x mx
. Định m để hàm số (1) có hai CT.
Bài 7: Cho hàm số
y x m m x m
4 2 2
2( 1) 1
     
(1).
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm CT ngắn nhất.
Bài 8: Cho hàm số
y x mx m x
3 2 2
2 9 12 1
   
(m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có CĐtại x
CĐ
, CT tại x
CT
thỏa mãn:
CÑ CT
x x
2

.

Bài 9: Cho hàm số y = 4x
3
+ mx
2
– 3x. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x
1
và x
2
thỏa x
1
= - 4x
2

Khoỏ LTH cp tc nm 2014. Ch 2. Cc tr hm s
Dng Bo Quc_THPT Khỏnh Lõm 16
Bi 10: Cho hm s:


3 2
3 1 9 2
y x m x x m

(1) cú th l (C
m
). Xỏc nh m (C
m
) cú cc i, CT
v hai im C, CT i xng vi nhau qua t:
1
2

y x

.
Bi 11: Cho y =
1
3
x
3
mx
2
+(m
2
1)x + 1 ( cú th (C
m
) ) Tỡm m, (C
m
) cú cc i, CT v y
C
+ y
CT
> 2 .
Bi 12: Cho hm s
4 2
2 1
y x mx m

(1) , vi
m
l tham s thc.
Xỏc nh

m
hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt tam giỏc cú bỏn
kớnh ng trũn ngoi tip bng
1
.
Bi 13: Cho hm s




4 2 2
2 2 5 5
y f x x m x m m

. Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s cú cỏc
im cc i, CT to thnh 1 tam giỏc vuụng cõn.
Bi 14: Cho hm s:


3 2
y x 3 m 1 x 9x m 2

(1) cú th l (C
m
)
Xỏc nh m (C
m
) cú cc i, CT v hai im CCT i xng vi nhau qua ng thng
1
2

y x

.
Bi 15: Cho hm s
3
(3 1)
y x x m

(C ) vi m l tham s.
Tỡm cỏc gớỏ tr ca m th ca hm s (C) cú hai im cc tr v chng t rng hai im cc tr ny v hai
phớa ca trc tung.
Bi 16: Cho hm s
7)1(2)1(
24
mxmxmy
. nh m hm s ch cú C m khụng cú CT
Bi 17: Cho hm s
mxmxmy 2)1(3)1(
3
(C
m
)
1) Chng minh h th (C
m
) cú 3 im c nh thng hng
2) Tỡm phng trỡnh parabol (P) qua im cc i, CT ca (C) v tip xỳc vi y=4x+9
Bi 18: Cho hm s
4 2
2 1
y x mx m

(1) , vi m l tham s thc.
Xỏc nh
m
hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt tam giỏc
cú din tớch bng
4 2
.
Bi 19: Cho hm s
4 2 2
y x 2m x 1

(1), trong ú m l tham s thc.
Tỡm giỏ tr ca tham s m hm s (1) cú ba im cc tr l ba nh ca mt tam giỏc cú din tớch bng 32.
Bi 20. Cho hm s
4 2 2
2
y x mx m m

(1) , vi
m
l tham s thc.
Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt tam giỏc cú gúc
bng 120
0
.
Bi 21.Cho hm s
3 2
1
2 3

3
y x x x

(1). Gi
A, B
ln lt l cỏc im cc i, CT ca th hm s (1). Tỡm
im M thuc trc honh sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 2.
Bi 22. Cho hm s


3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m

(1), vi m l tham s thc.
Tỡm m hm s (1) cú Cv CT, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi gc to O to thnh mt tam
giỏc vuụng ti O.
Bi 23. Cho hm s
23
23
mxxxy
(1) vi m l tham s thc.
nh m hm s (1) cú cc tr, ng thi ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s to vi hai trc
ta mt tam giỏc cõn.
Bi 24. Cho hm s y = x
3
+ 2(m 1)x
2
+(m
2

4m + 1)x 2(m
2
+ 1) (1).
Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i, CT v ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s
(1) vuụng gúc vi ng thng
5
2
9
xy
.
Bi 25. Cho hm s
3 2
2( 1) 9 2
y x m x x m

(1)
Tỡm m
( )
m


hm s (1) t cc tr ti
1 2
,
x x
tho món
1 2
2.
x x

Bi 26. Cho hm s


mxmmxmxxf 2)2(3)1(3
23
(1)
(m là tham số)
Tìm
m
để đồ th hm s (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của th hm s (1) tới trục
Ox
bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của th hm s (1) tới trục
Oy
.
Bi 27.
Cho hm s y x
3
3x
2
3m(m 2) x 1 (1) , vi m l tham s thc.

Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú hai giỏ tr cc tr cựng du.
Khoá LTĐH cấp tốc năm 2014. Chủ đề2. Cực trị hàm số
Dương Bảo Quốc_THPT Khánh Lâm 17
Bài 28. Cho hàm số


3
3 2

m
y x mx C
  

Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, CT của


m
C
cắt đường tròn tâm


1;1 ,
I
bán kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất
Bài 29. Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
    
(1)
Tìm m để hàm số có đại cực, CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài 30. Cho hàm số y = x
4
 2x
2
+ 2 (1)
Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (C) sao cho đường thẳng AB song song với trục hoành và khoảng cách từ
điểm CĐ của (C) đến AB bằng 8.

Bài 31. Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
  
(1)
Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, CT của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác
MAB có diện tích bằng 2.
Bài 31. Cho hàm số
23
23
 mxxxy
(1) với m là tham số thực.
Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai
trục tọa độ một tam giác cân.
Bài 32. Cho hàm số y = x
4
– 2(m
2
– m + 1)x
2
+ m – 1 (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách
giữa hai điểm CT ngắn nhất.
Bài 33. Cho hàm số
3 2
3 2

y x x
  



C
. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của


C
tiếp xúc với
đường tròn có phương trình
   
2 2
1 5
x m y m
    

Bài 34. Cho h.số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
     
(1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng
cách từ điểm CĐ của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm CT của đồ thị hàm số đến
gốc tọa độ O.
Bài 35. Cho hàm số
mxmxxy 296

23

(1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị bằng
5
4
.
Bài 36. Cho hàm số
3 2 2
y x 3x m m 1
    
(1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm CĐ, CT là A và B
sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C( – 2; 4 ).
Bài 37.Cho hàm số
4 2
(3 1) 3
y x m x
   
(với
m
là tham số)
Tìm tất cả các giá trị của
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh
đáy bằng
3
2
lần độ dài cạnh bên.
Bài 38.Cho hàm số y = x

4
– 2(m
2
– m + 1)x
2
+ m – 1 (1)
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm CT ngắn nhất.
Bài 39. Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
    
(1)
Tìm m để hàm số có đại cực, CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài 40. Cho hàm số


3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
      
(1), với m là tham số thực.
Tìm m để hàm số (1) có CĐvà CT, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam
giác vuông tại O.