de thi HSG toan lop 7

Đề thi học sinh giỏi trường THCS Nguyễn Hoàn
Năm 2009-2010
Thời gian:120 phút
Bài 1: Chứng minh rằng
a)222
333
+333
222
chia hết cho 13
b)7.5
2n
+12.6
n
chia hết cho 19
c)3
3n
+5.2
3n+1
chia hết 19 Với mọi n thuộc số nguyên dương
Bài 2:
a) Chứng minh rằng có thể tìm được số có dạng :
200320032003…200300…0(2003 số 2003) mà số đó chia hết cho 2004
b)Tìm số hữu tỉ x,y với x,y khác 0:
x+y = x.y = x:y
Bài 3:Tìm x biết
a)/2x -3/ +/x + 4/ = 6
b)/3x – 1/ - /2x + 5/ = 4
Bài 4: Cho hình vẽ sau chứng minh rằng:
AB+BC+CD+DE+EA <AC+CE+EB+BD+DA
A
B E

C D
Bài 5**: Cho Tam giác ABC .Dựng phía ngoài của tam giác đó các tam giác đều BCA
1
và
ABC
1
. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AC,BC
1
,BA
1
.Chứng minh rằng :tam giác
MNP đều
Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) 222
333
+333
222
=111
333
.2
333
+111
222
.3
222
=111
222
[(111.2
3

)
111
+(3
2
)
111
]=111
222
(888
111
+9
111
)
Vì 888
111
+9
111
=(888+9).(888
110
-888
109
.9+…-888.9
109
+9
110
)
=13.69.( 888
110
-888
109

.9+…-888.9
109
+9
110
)là số chia hết cho 13
Vậy 222
333
+333
222
chia hết cho 13
b) 7.5
2n
+12.6
n
=7.25
n
+19.6
n
-7.6
n
=19.6
n
+7.(25
n
- 6
n
)
=19.6
n
+7.(25-6)(25

n-1
+25
n-2
.6+…+25.6
n-2
+6
n-1
)
Cả hai đều chia hết cho 19 nên tổng chia hết cho 19
c) 3
3n
+5.2
3n+1
=9.27
n
+10.8
n
=9.(27
n
-8
n
)+19.8
n
Vì 19.8
n
chia hết cho 19
Vì 9.(27
n
-8
n

)chia hết cho 19 ,từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài 2:
a) Xét 2004 số có dạng sau:
2003;20032003;…20032003…2003(2004 số 2003)
Không có số nào trong các số trên chia hết cho 2004 .Vì thế khi chia các số này cho 2004
ta được 2003 số dư là các số từ 1 đến 2003,do đó phải có ít nhất hai số khi chia cho 2004
có cùng số dư,nên hiệu của chúng chia hết cho 2004 và đó là số thoả mãn đề bài
b)Xét x+y = x.y
x = x.y – y
x = y.(x - 1)
Ta có x+y=x:y
x+y=y(x-1):y
x+y=x-1
y=-1
vì x = y.(x - 1)
x = (-1)(x -1)
x = -x+1
2x= 1
x=1/2
Bài 4,3:Dễ tự chứng minh
Bài 5:
B P
N
1
A
1
C
1
H
I

A M C
Gọi I,H thứ tự là trung điểm của AB và BC .Khi đó:
MI=BH=BP(tính chất đường trung bình của tam giác)
C/m tương tự ta có: NI=NB=MH
Mặt khác: góc MIB=góc MHB (vì cùng bù với góc ABC)
Do đó: góc MIN=Góc MIB+60
0
=góc MHB +60
0
=góc MHP
Suy ra:MIN=PHM(c.g.c)MN=MP (1)
Lại có góc PBN =360
o
-(120
0
-góc ABC)=240
0
-góc ABC
=60
0
+góc MIB = góc MIN
Do đó MIN = PBN(c.g.c)  MN=NP (2)
Từ (1),(2) suy ra MNP đều