THI HK.II. Toan 9.Phan Loai duoc HS

KiĨm tra kú II - M«n To¸n 9
N¨m häc 2009 - 2010
B i 1à ( 2 ®iĨm)
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
2
2 1
1
16 4
x
x x
+
= −
− +
b. Chứng minh đẳng thức :

( )
( )
x x y y
x y x y
+
− +
+
2 y
x y
+
-
1
xy
x y
=

−
víi
, 0x y
x y
>


≠

B i 2à ( 1,5 ®iĨm). Cho ph¬ng tr×nh : x
2
– ( 2 m - 1 )x – m = 0
a, Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm víi mäi m.
b, T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ A = x
1
2
+ x
2
2
– 6 x
1
.x
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
B i 3à ( 2 ®iĨm). Mét ca n« xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B víi vËn tèc 30 km/h , sau ®ã
l¹i ngù¬c tõ B trë vỊ A. Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngỵc 1 giê 20 phót.
TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h
B i 4à ( 3,5 ®iĨm). Cho đường tròn ( O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn
sao cho OA = 3R, từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O)
tại điểm B, C là hai tiếp điểm .

a) Chøng minh tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp.
b ) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại
điểm D (khác điểm B). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác
điểm D ). Chøng minh AB
2
= AE . AD
c) Chøng minh BC.EC = AC.AD
d ) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD v AC theo R
B i 5à ( 1 ®iĨm). Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iỊu kiƯn :

1−x
+ x
2
=
1−y
+ y
2
.

Chøng minh r»ng x = y.
HƯỚNG DẪN
Bài 4:
I
E
D
O
C
B
A
·

·
·
·
0
0
0 0 0
OBA 90 (OB AB) ( 2 ttuyến cắt nhau)
a)
OCA = 90 (OC AC) ( 2 ttuyến cắt nhau)
OBA OCA 90 90 180

= ⊥


⊥


⇒ + = + =
⇒
OBAC là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180
0
)
b) Xét
∆
AEB và
∆
ABD, ta có:

·
·

»
µ
ABE ADB ( góc tạo bởi t/tuyến va ødây va øgóc n/tiếp cùng chắn BE)
A la øgóc chung

=




Vậy:
∆
AEB ~
∆
ABD(g-g)
2
AE AB
AB AE.AD
AB AD
⇒ = ⇒ =
·
·
·
·
¼

⇒ =


=



c) Gọi Ex la øtia đối của tia EC
Co ù AC // BD(gt)
EAC EDB (slt)

Ma ø: ECB EDB (cùng chắn BE)
·
·
·
·
·
»
·
·
∆ ∆
⇒ = =
=
=
EAC ECB ( cùng EDB )
Xét AEC va ø CEB ; ta có :
EBC ECA (cùng chắn CE)
EAC ECB (cmt)
·
·
·
·
·
∆ ∆
⇒ =

⇒ =
Vậy : AEC CEB (g - g)
BEC AEC
BEx AEx (kề bu øvới hai góc bằng nhau)
Vậy : tia đối của tia EC la øtia phân giác của BEA.
:
d) ∆ ABC vuông tại B cho OA
2
= OB
2
+ AB
2
( Pitago) và chứng minh được OA
⊥BC tại H
⇒
AB
2
=(3R)
2
- (R)
2
⇒
AB = R
8
∆
ABO vuông có ba cạnh là R, R
8
,3R
Các tam giác vuông OHC và ICB cùng đồng dạng với tam giác vuông ABO
cho

Bµi 5:
Gi¶ sư cã x, y tho¶ m·n
1−x
+ x
2
=
1−y
+y
2
=> x ≥ 1; y ≥ 1
- NÕu x = 1 = y th× cã ngay x = y (®pcm!)- NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th×
b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hîp, ®îc:
1−x
+ x
2
=
1−y
+ y
2
<=> (
1−x
-
1−y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=> (x - y)/(
1−x

+
1−y
) + (x
2
-y
2
) = 0
<=> (x - y).(1/(
1−x
+
1−y
) + x + y) = 0
<=> x - y = 0 (v× 1/(
1−x
+
1−y
) + x + y > 0) <=> x = y
VËy nÕu cã x, y tho¶ m·n
1−x
+ x
2
=
1−y
+ y
2
th× x = y (®pcm!)Chó ý:
Cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch xÐt c¸c trêng hîp:
- NÕu x > y, CM ®îc
1−x
+ x

2
>
1−y
+ y
2

- NÕu x < y, CM ®îc
1−x
+ x
2
<
1−y
+ y
2

- VËy nÕu
1−x
+ x
2
=
1−y
+ y
2
th× x = y