Đề thi HSG toán 7.(có ĐA ,hướng dẫn chấm)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Môn :Toán. Thời gian: 60 phút.
Câu 1.(2đ) Tính tổng:
S=
1 1 1 1 1

2.3 3.4 4.5 5.6 .( 1)n n
+ + + + +
+
.
Câu 2.(1,5đ).Chứng minh rằng: Nếu
a c
b d
=
thì
5 3 5 3
5 3 5 3
a b a b
c d c d
+ −
=
+ −
.
Câu 3.(2đ) Cho A= 4+4
2
+4
3
+4
4
+…+4
23

+4
24
.
Chứng minh rằng: A
M
20 ; A
M
21 ;A
M
420.
Câu 4.(1,5đ). Không dùng máy tính, hãy so sánh:
7
1
80
 
 ÷
 
và
6
1
243
 
 ÷
 
.
Câu 5.(3đ). Cho tam giác ABC có
µ
µ
B C
>

.Tia phân giác góc A cắt BC ở D.Chứng
minh rằng BD<DC.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM .Toán 7
Câu 1: (2đ)
Câu 2 .(1,5đ). Ta có:
a c a b
b d c d
= ⇒ =
.Mà
5 3
;
5 3
a a b b
c c d d
= =
.Vậy
5 3 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3
a b a b a b
c d c d c d
+ −
= = =
+ −
Câu 3.(2đ).Ta có
*A=4+4
2
+4
3
+4

4
+…+4
23
+4
24
=(4+4
2
)+(4
3
+4
4
)+
…+(4
23
+4
24
)
=(4+4
2
)+4.(4+4
2
)+…+4
22
(4+4
2
)=20+4.20+…+4
22
.20
Mỗi số hạng của tổng trên đều chia hết cho 20 do đó A
M

20. (0,75đ)
*A=4+4
2
+4
3
+4
4
+…+4
23
+4
24
=(4+4
2
+4
3
)+(4
4
+4
5
+4
6
)+…+(4
22
+4
23
+4
24
)
=4.(1+4+4
2

)+4
4
.(1+4+4
2
)+…+4
22
.(1+4+4
2
) =4.20+ 4
4
.20+…+4
22
.20
Mỗi số hạng của tổng trên đều chia hết cho 21do đó A
M
21 (0,75đ)
*Vì (20,21)=1 mà A
M
20 và A
M
21 nên A
M
(20.21) hay A
M
420. (0,5đ)
Câu 4. (1,5đ)
7 7 7 6 6
4 28 5 30
1 1 1 1 1 1 1
;

80 81 3 3 243 3 3
         
> = = = =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
Vì
28
1
3
>
30
1
3
nên
7
1
80
 
 ÷
 
>
6
1
243
 
 ÷
 
Câu 5.(3đ). Vẽ hình đúng 0,5đ.
A
B

C
D
E
Ta có:
µ
µ
B C
>
nên AC>AB.Trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho AE=AB thì E nằm giữa A và C.Ta có:
( . . )ADB ADE c g c=V V
nên DB=DE (1)và
·
·
DEC CBx=
.(tia Bx là tia đôí của tia BA)
Nhưng
·
µ
DBx C>
nên
·
µ
DEC C>
. Do đó DC>DE.(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD<BC. Điều phải chứng minh.
1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 1
1 1

2 1
1 2
2.( 1)
1
2.( 1)
S
n n
n
n
n
n
n
= − + − + − + + −
+
= −
+
+ −
=
+
−
=
+