KIẾN THỨC CƠ BẢN & NC CHƯƠNG I GT 12

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHƯƠNG I
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I/Tóm tắt lý thuyết:
Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) f’(x)>0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) tăng trong K
b) f’(x)< 0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) giảm trong K
c) f’(x)=0,
∀
x∈K
⇒
f(x) không đổi
Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)
≥
0 (f’(x)
≤
0),
∀
x
K∈

và

f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm

số đồng biến (nghịch biến) trên K
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ Tìm TXÐ ?
+ Tính đạo hàm : y
/
= ? Tìm nghiệm của phương trình y
/
= 0 ( nếu có )
+ Lập bảng BXD y
/
(sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần.
Nếu y
/
> 0 thì hàm số tăng, y
/
< 0 thì hàm số giảm )
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
II/ Bài tập
A/ Bài tập mẫu :
1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y= –2x
3
+9x
2
+24x –7
b)
2
1

1
x x
y
x
− +
=
−
Giải:
a) Miền xác định: D=
¡

2
6 18 24y x x
′
= − + +
, cho
1
0
4
x
y
x
= −

′
= ⇔

=

Bảng xét dấu : x –

∞
–1 4 +
∞



y
′
– 0 + 0 –

y

Hàm số nghịch biến trong các khoảng:
( ; 1),(4; )−∞ − +∞
Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)
b) Miền xác định: D=
{ }
\ 1¡

( )
2
2
2
1
x x
y
x
− +
′
=

−
, cho
0
0
2
x
y
x
=

′
= ⇔

=

Bảng biến thiên: x
−∞
0 1 2 +
∞


y
′
– 0 + + 0 –
y
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2)
Hàm số số nghịch biến trong các khoảng:
( ;0),(2; )−∞ +∞
Ví dụ 2 :
Định m để hàm số: y= x

3
– 3mx
2
+ (m+2)x– m đồng biến trên
¡
Giải:
Miền xác định: D=
¡
22
y
′
= 3x
2
– 6mx+ m+ 2
′
∆
= 9m
2
– 3m– 6
Bảng xét dấu: m
−∞

2
3
−
1 +
∞

′
∆

+ 0 – 0 +
Ta phân chia các trường hợp sau:
 Nếu
2
1
3
m− ≤ ≤

Ta có:
′
∆
≤
0
⇒
0,y x
′
≥ ∀ ∈¡
⇒
hàm số đồng biến trên
¡
 Nếu
2
3
1
m
m

< −



>

Ta có:
′
∆
> 0 phương trình
y
′
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(giả sử x
1
< x
2
)
Bảng biến thiên: x
−∞
x
1
x
2
+
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y

Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên
¡
 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là:
2
1
3
m− ≤ ≤
B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI
1) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
+3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
- x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−

.
e) y = f(x) = x+2sinx trên (-π ; π).f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y
2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2

+3(m+1)x+1. Định m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghịch biến trên khoản(1;0). Kq: m ≤
3
4
−
3) Định m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0
4) Định m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghịch biến trên nửa khoảng [0;+∞).
6) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−

−−
=
. c)
1x2
1x
y
+
−
=
.
7) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (0;+∞)
8) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=

luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
23
9) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
ln đồng biến trên khoảng (0;+∞). Kq:
223m −≤
10) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥
2
x
2
, với x > 0
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I/Tóm tắt lý thuyết:
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x
0
và có đạo hàm tại x
9
thì f
/
(x
0
)=0
• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x

0
– h; x
0
+ h) với h > 0.
+Nếu y
/
đổi dấu từ dương sang âm qua x
0
hàm số đạt cực đại tại x
0
,
+Nếu y
/
đổi dấu từ âm sang dương qua x
0
hàm số đạt cực tiểu tại x
0
Qui t ắc tìm cực trò = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Tính : y
/
= , tìm nghiệm của ptr y
/
= 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có)
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) Nếu f(x) có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại

x
0

/
0
/
0
( ) 0
( )

=




y x
y x đổi dấu qua x
•Dấu hiệu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x
0
∈ (a;b)
+Nếu

/
0
//
0
( ) 0
( ) 0

=


>


y x
y x
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
+Nếu


/
0
//
0
( ) 0
( ) 0

=



<


y x
y x
thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:
+ MXÐ
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 => các nghiệm x
1
, x
2
… .( nếu có )
+ Tính y
//
= ?. y
//
(x
i
),
1,=i n

Nếu y
//
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .
Nếu y
//
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi .
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y
/
khó xét dấu
*Cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s
( )
( )
u x
y
v x
=
đạt cực trị tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 và giá trị cực trị y(x
0
) =
u (x )

0
v (x )
0
′
′
* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔

a 0
0
≠


∆ >

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của
mẫu
* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y
/
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TẬP:
24
A/Bài tập mẫu:
 Áp dụng quy tắc 1
1/ Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y= –x
4
+ 2x
2
– 3

b) y= e
–x
(x
2
– 3x +1)
Giải:
a) Miền xác định: D=
¡

y
′
= – 4x
3
+ 4x= 4x(–x
2
+ 1)

y
′
= 0
⇔
0
1
1
x
x
x
=



=


= −

Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1 +
∞


y
′
+ 0 – 0 + 0 –
y –2 –2
–3
Điểm cực đại: A(–1;–2), B(1;2)
Điểm cực tiểu: C(0;–3)
b) Miền xác định: D=
¡

y
′
= –e
–x
(x
2
– 3x +1)+ e
–x
(2x–3) = e

–x
(–x
2
+5x–4)
y
′
= 0
⇔
1
4
x
x
=


=

Bảng biến thiên: x
−∞
1 4
+∞


y
′
– 0 + 0 –
y
4
5
e

1
e
−
 Áp dụng quy tắc 2
2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin
2
x
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x

y
′
=0
⇔
sin2x=
1
2
π
π
π
π

= +

⇔ ∈



= +


¢
12
5
12
x k
k
x k

y
′′
= – 4cos2x

4 cos 2
12 6
y k k
π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷
   
= –2
3
<0 Vậy:

12
x k
π
π
= +
,
k ∈¢
là những điểm cực đại.

π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷
   
5 5
4cos 2
12 6
y k k
= 2
3
>0 Vậy:
π
π
= +
5
12
x k
,

∈¢k
là những điểm cực tiểu.
Các bài toán có tham số
1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
. 2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
25
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +

Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )
2 0
' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠


⇔

∆ = − + >



( )
2
2
3 2 3 0
m
m m
≠ −



⇔

− − + >



2
3 1
m
m
≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trị cần tìm là:
3 1m− < <
và
2m ≠ −
.
2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=

+
Tập xác định:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2 2
2 0g x x x m= + + =
có hai nghiệm phân biệt khác –1
( )
2
2
' 1 0
1 1 0
m

g m

∆ = − >

⇔

− = − + ≠



1 1
1
m
m
− < <

⇔

≠ ±


1 1m⇔ − < <

Vậy giá trị cần tìm là:
1 1m
− < <
2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
1)
( )
3 2

3 2 3y m x mx= − − +
. 2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 3 4y m x mx= − −
Cho
( )
2
' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − =
(1)
• Xét
3m
=
:
' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ =

'y⇒
đổi dấu khi x đi qua
0
0x =
⇒
Hàm số có cực trị
3m⇒ =
không thỏa
• Xét
3m
≠
:
Hàm số không có cực trị
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
2
3 0
' 4 0
m
m
− ≠

⇔

∆ = ≤


3

0
m
m
≠

⇔

=


0m⇔ =
Vậy giá trị cần tìm là
0m
=
.
2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
Tập xác định:
{ }
\D m= −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2

2
'
mx m x
y
x m
+
=
+
' 0y =
⇔
( )
2 2
2 0g x mx m x= + =
(1)
( )
x m≠ −
26
Hàm số không có cực trị
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
• Xét
0m
=
:
' 0,y x m= ∀ ≠ −

0m
⇒ =

thỏa
• Xét
0m ≠
:
Yêu cầu bài toán
4
' 0m⇔ ∆ = ≤
: vô nghiệm
0m∀ ≠
Vậy giá trị cần tìm là:
0m
=
3. Cho hàm số
2
1
x mx m
y
x
− +
=
−
. Cm với mọi m HS luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các
điểm cực trị là không đổi.
Giải
Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2

2
2
'
1
x x
y
x
−
=
−
0
' 0
2 4
x y m
y
x y m
= ⇒ = −

= ⇔

= ⇒ = −

Vậy
' 0y =
luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
m∀
⇒
Hàm số luôn luôn có cực trị.Tọa độ các điểm cực trị
( ) ( )
0; , 2;4A m B m− −

. Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
( ) ( )
2 2
2 0 4 2 5AB m m= − + − + =
(đpcm)
4. Cho hàm số
2
ax bx ab
y
ax b
+ +
=
+
. Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại
0x =
và
4x =
.
Giải
Hàm số xác định khi
0ax b+ ≠
.
( )
2 2 2 2
2
2
'
a x abx b a b
y
ax b

+ + −
=
+
• Điều kiện cần
Hàm số đạt cực trị tại
0x
=
và
4x
=
( )
( )
' 0 0
' 4 0
y
y
=

⇒

=


( )
2 2
2
2 2 2
2
0
16 8

0
4
b a b
b
a ab b a b
a b

−
=


⇔

+ + −

=

+


2 2
2 2 2
0
0
16 8 0
4 0
b a b
b
a ab b a b
a b


− =

≠

⇔

+ + − =


+ ≠

( )
2
2
2
0
8 2 0
4 0
b a
a a
a a

= >

⇔ + =


+ ≠


2
4
a
b
= −

⇔

=

• Điều kiện đủ
Với
2, 4a b= − =
, ta có:
( )
2
2
0
4
' 0
4
2
x
x x
y
x
x
=


−
= = ⇔

=
− +

Bảng biến thiên
27
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
0x
=
và đạt cực tiểu tại
4x
=
Vậy giá trị cần tìm là:
2, 4a b= − =
.
5. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có hai
điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2 2

' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − +
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2 2
3 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
1 2
0x x< <
( )
3. 0 0g⇔ <

2
3 2 0m m⇔ − + <

1 2m
⇔ < <
Vậy giá trị cần tìm là:
1 2m< <
6. Cho hàm số
( )
3 2
3 2y x x C= − +
. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và
điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài):
2 2 2

2 4 5 1 0x y ax ay a+ − − + − =
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
2
' 3 6y x x= −
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ = −

⇒
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
( ) ( )
0;2 , 2; 2A B −
Đặt
( )
2 2 2
: 2 4 5 1 0
a

C x y ax ay a+ − − + − =
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn
( )
a
C
( ) ( )
/ /
. 0
a a
A C B C
P P⇔ <
( ) ( )
2 2
5 8 3 5 4 7 0a a a a⇔ − + + + <
2
5 8 3 0a a⇔ − + <
(do
2
5 4 7 0,a a a+ + > ∀
)
3
1
5
a⇔ < <
Cách khác
Phương trình đường tròn
( )
a
C
được viết lại:

( ) ( )
2 2
2 1x a y a− + − =
( )
a
C
có tâm
( )
;2I a a
và bán kính
1R =
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2IB a a= − + +
2
5 4 8a a= + +

2
2 36 6
5 1
5 5
5
a R
 
= + + ≥ > =
 ÷
 
⇒
Điểm B nằm ở ngoài

( )
a
C
Do đó: Điểm A nằm phía trong đường tròn
( )
a
C

1IA
⇔ <
( )
2
2
2 2 1a a⇔ + − <

2
5 8 3 0a a⇔ − + <

3
1
5
a⇔ < <
.
7. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +

. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực
đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
1 2
,x x
thoả
1 2
2 1x x+ =
.
28
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y mx m x m= − − + −
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x

( ) ( )
2
0
' 1 3 2 0

m
m m m
≠


⇔

∆ = − − − >



2
0
2 4 1 0
m
m m
≠

⇔

− + + >

0
2 6 2 6
2 2
m
m
≠



⇔

− +
< <


(*)
Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
( )
1 2
2 1m
x x
m
−
+ =
(1)
( )
1 2
3 2
.
m
x x
m
−
=
(2)

1 2
2 1x x+ =
(3)

Từ (1) và (3), ta có:
1 2
3 4 2
,
m m
x x
m m
− −
= =
Thế vào (2), ta được:
( )
3 2
3 4 2
m
m m
m m m
−
− −
  
=
  
  
2
3 8 4 0m m⇔ − + =
(do
0m ≠
)
2
3
2

m
m

=

⇔

=


(thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là:
2
2
3
m m= ∨ =

8. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − +
.
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
(Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:

( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + +
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m= ⇔ − + + + + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
( )
( )
2
2
' 9 1 6 7 2 0m m m⇔ ∆ = + − + + >

( )
2
3 8 1 0m m⇔ − − >
4 17 4 17m m⇔ < − ∨ > +

Lấy y chia cho y’, ta có:
( )
( ) ( )
2 3 2
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3

y x m y m m x m m m= − − − − − + + + +
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Ta có:
29
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
1 1 1 1
1
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
' 0
y x m y x m m x m m m
y x

= − − − − − + + + +



=


( ) ( )
2 3 2
1 1
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m⇒ = − − − + + + +
Tương tự ta cũng có:
( ) ( )
2 3 2
2 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
( ) ( )
2 3 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
.
9. Cho hàm số
( )
3 2
6 3 2 6y x x m x m= − + + − −
. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng
thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
Giải

Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 12 3 2y x x m= − + +
( )
2
' 0 3 12 3 2 0y x x m= ⇔ − + + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
( )
' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + >

2 0m
⇔ − >

2m
⇔ <
(*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
( ) ( )
1
2 . ' 2 2 2
3
y x y m x m= − + − + −
Gọi
( ) ( )

1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
1 2 1 2
4, 2x x x x m+ = = +
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
1
2 . ' 2 2 2
3
' 0
y x y x m x m
y x

= − + − + −



=


( )
1 1

2 2 2y m x m⇒ = − + −
Tương tự ta cũng có:
( )
2 2
2 2 2y m x m= − + −
Yêu cầu bài toán
1 2
. 0y y⇔ >
( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2 2 0m x m m x m⇔ − + − − + − >   
   
( ) ( ) ( )
2
1 2
2 2 1 2 1 0m x x⇔ − + + >

( ) ( )
2
1 2 1 2
2 4 2 1 0m x x x x⇔ − + + + > 
 
( ) ( )
2
2 4 2 2.4 1 0m m⇔ − + + + > 
 

( ) ( )
2
2 4 17 0m m⇔ − + >

17
4
2
m
m

> −

⇔


≠

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:
17
2
4
m− < <
.
10. Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực
đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
. (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)
30
Giải

Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
2 2
' 3 6y x x m= − +
2 2
' 0 3 6 0y x x m= ⇔ − + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
2
' 9 3 0m⇔ ∆ = − >

3 3m⇔ − < <

Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB
Do
1 2
,x x
là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:
1 2
2x x+ =
,
2
1 2

.
3
m
x x =
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
y x∆ = −
AB
I
⊥ ∆

⇔

∈∆

Đường thẳng
∆
và AB có hệ số góc lần lượt là:
1
1
2
k =
( )
( )
3 3 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1
2

2 1 2 1
3x x x x m x x
y y
k
x x x x
− − − + −
−
= =
− −

( ) ( )
2
2
1 2 1 2 1 2
3x x x x x x m= + − − + +

2
2
4 6
3
m
m= − − +

2
2 6
3
m −
=
1 2
. 1AB k k⊥ ∆ ⇔ = −

2
1 2 6
. 1
2 3
m
 
−
⇔ = −
 
 
0m⇔ =
.
Với
0m
=
:
1 1
2
2 2
0 0
' 3 6 0
2 4
x y
y x x
x y
= ⇒ =

= − = ⇔

= ⇒ = −


⇒
Đồ thị hàm số có hai cực trị là
( ) ( )
0;0 , 2; 4A B −
⇒
Trung điểm của AB là:
( )
1; 2I −
T a có:
I ∈∆
Vậy:
0m =
thoả yêu cầu bài toán.
11 Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
3
' 4 4y x mx= −
( )
2
0
' 0

*
x
y
x m
=

= ⇔

=

31
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m⇔ >
Khi đó :
4
4 2
0 2
' 0
2
x y m m
y
x m y m m m

= ⇒ = +
= ⇔


= ± ⇒ = − +


Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là
( )
4
0; 2A m m+
và hai điểm cực tiểu là
( ) ( )
4 2 4 2
; 2 , ; 2B m m m m C m m m m− − + − +
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều
AB AC
AB BC
=

⇔

=

2 2
AB BC⇔ =

4
4m m m⇔ + =

( )
3
3 0m m⇔ − =

⇔
3
3m =
(do
0m >
)
Vậy giá trị cần tìm là:
3
3m =
.
12. Cho hàm số
( )
4 2
1 1 2y kx k x k= + − + −
. Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm
số chỉ có một điểm cực trị.
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
3
' 4 2 1y kx k x= − −
( )
2
0
' 0
2 1 0 *
x
y

kx k
=

= ⇔

+ − =

Hàm số chỉ có một cực trị
' 0y⇔ =
có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
⇔
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm
0x =
( )
0
0
' 2 1 0
k
k
k k
=


≠
⇔ 




∆ = − − ≤




0
0 1
k
k k
=

⇔

< ∨ ≥


0 1k k⇔ ≤ ∨ ≥
Vậy giá trị cần tìm là:
0 1k k
≤ ∨ ≥
.
13. Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
3

' 2 2y x mx= −
( )
2
0
' 0
*
x
y
x m
=

= ⇔

=

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
' 0y⇔ =
có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang
dương khi x đi qua nghiệm đó
⇔
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
0x
=

0m
⇔ ≤
Vậy giá trị cần tìm là:
0m ≤
14. Cho hàm số
2

2
1
x mx
y
x
+ +
=
−
.Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên parabol
( )
2
: 4P y x x= + −
.
Giải
Ta có:
3
1
1
m
y x m
x
+
= + + +
−
32
Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )

2
2
2 2
'
1
x x m
y
x
− − −
=
−
( ) ( )
2
' 0 2 2 0 1y g x x x m x= ⇔ = − − − = ≠
(1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt khác 1
( )
( )
' 1 2 0
1 3 0
m
g m

∆ = − − − >

⇔

= − − ≠



3 0
3
m
m
+ >

⇔

≠ −


3m
⇔ > −
(*)
Khi đó:
1 1
2 2
3
1 3 1 3 1 2 2 3
3
' 0
3
1 3 1 3 1 2 2 3
3
m
x m y m m m m
m
y

m
x m y m m m m
m
+

= − + ⇒ = − + + + + = + − +

− +

= ⇔
+

= + + ⇒ = + + + + + = + + +

+

Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
2
1 3
CT
x x m= = + +
2
2 2 3
CT
y y m m= = + + +
⇒
Điểm cực tiểu là
( )
1 3; 2 2 3A m m m+ + + + +

( )
( )
2
2 2 3 1 3 1 3 4A P m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + −

3 1m⇔ + =

3 1m
⇔ + =

2m
⇔ = −
(thỏa (*))
Vậy giá trị cần tìm là:
2m = −
B/ Bài tập tự giải:
1/ Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
b) y=
4 3 2
3
9 7
4
x x x− − +
c) y= 2sinx +cos2x trên

[ ]
0;2
π
d) y=
2
3 6
2
x x
x
− + +
+
e)
2
4y x x= −
4
x x
y e e
−
= +
3) Xác định tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2. Kết quả : m=11
4) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2

+3mx+3m+4
a.Không có cực trị. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
33
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
5) Định m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trị tại x = 2. Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = 1 Kết quả : m = 7
6) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx

1mx)1m(mx
422
−
+−−+
luôn có cực trị.
7) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m
2
−m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
8) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m+2)x−1. Xác định m để hàm số:
a) Có cực trị. Kết quả: m <1 V m > 2
b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <2 V m > 2
9) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x
4
+2mx

2
- 2m+1.
• m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
• m > 0: 2 cực đại x=
m±
và 1 cực tiểu x = 0
10) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có hai điểm cực trị nằm khác phía so với Ox.
Kết quả : m >
4
1
11) Định m để hàm số y = f(x) = x
3
−6x
2
+3(m+2)x−m−6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.
12) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x
3
−3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trị tại hai
điểm x
1
và x
2

với x
2
-x
1
là một hằng số.
13) Tìm cực trị của các hàm số :
a)
x
1
xy +=
. b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−
14) Định m để hàm số có cực trị :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x

2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V m>1
15) Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
−mx
2
+(m+3)x−5m+1
16) Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3
−mx
2
+(m−2) x−1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x
2
, cực tiểu tại x
1
mà x
1
<
1 < x

2
<
17) Cho hàm số
3 2
y x ax bx c= + + +
. Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi
0x =
và đạt cực
trị tại
2x =
và giá trị cực trị là – 3. Đáp số:
3, 0, 1a b c= − = =
.
18) Cho hàm số
2
2
x ax b
y
x
+ +
=
−
. Tìm a và b để hàm số đạt cực trị tại
3x =
và có tiệm cận xiên là
1y x= −
. Đáp số:
3, 3a b= − =
.
34

19) Cho hàm số
2
2
ax bx c
y
x
+ +
=
−
. Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại
1x
=
và đường tiệm cận
xiên của dồ thị vuông góc với đường thẳng
1
2
x
y
−
=
. Đáp số:
2, 3, 0a b c= = − =
.
20) Cho hàm số
( )
3 2
2 3 3 11 3y x m x m= + − + −
. Tìm m để hàm số có hai cực trị. Gọi
1 2
,M M

là các
điểm cực trị, tìm m để
1 2
,M M
và
( )
0; 1B −
thẳng hàng. Đáp số:
4m
=
.
35
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
3.1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Đạo hàm : y
/
= ?
Tìm nghiệm của y
/
= 0 ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm thuộc (a;b) là x
1
, x
2
…
+ Tính y(a), y(b), y(x
1
), y(x
2
) ………
+ So sánh các giá trị vừa tính

max y
[a;b]
=
số lớn nhất,
min y
[a;b]
=
số nhỏ nhất.
Chú ý:
* Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì
max y f (b); min y f (a)
[a;b] [a;b]
= =
.
* Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì
max y f (a); min y f (b)
[a;b] [a;b]
= =
.
3.2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXÐ :
+ Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 tìm nghiệm của phương trình ( nếu có ) .
+ BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Chú ý:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT (

D
min y Y
CT
=
)
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ (
D
max y y
CD
=
)

* Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b).
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y= 2x
3
– 3x
2
– 12x+ 1 trên
3
2;
2
 
−
 
 
b/ y=
1

2
x
2
+
1
x
trong
( )
0;+∞
Giải:
a) Xét x
∈
3
2;
2
 
−
 
 

y
′
= 6x
2
–6x –12 cho
y
′
= 0
⇔
x= –1 ( vì x

∈
3
2;
2
 
−
 
 
)
Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f(
3
2
)= –17 Vậy:
 
∈ −
 
 
= − =
3
2;
2
max ( ) ( 1) 8
x
f x f
,
 
∈ −
 
 
= − = −

3
2;
2
3
min ( ) ( ) 17
2
x
f x f
b) Xét x
∈
( )
0;+∞

y
′
= x–
2
1
x
=
3
2
1x
x
−
cho
y
′
= 0
⇔

x= 1
Bảng biến thiên:
x 0 1
+∞


y
′
– 0 +
y
+∞

+∞


3
2

Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong
( )
0;+∞

∈ +∞
= =
(0; )
3
min ( ) (1)
2
x
f x f

Ví dụ2:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y= lnx– x b/ y= e
-x
cosx trên
[ ]
0;
π
Giải: Miền xác định: D=
( )
0;+∞

y
′
=
1
1
x
−
=
1 x
x
−

y
′
= 0
⇔
x= 1

Bảng biến thiên: x 0 1
+∞

y
′
+ 0 –
y -1


−∞

−∞
Vậy: Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất trong
( )
0;+∞

(0; )
max ( ) 1
x
f x
∈ +∞
= −

a) Xét x
∈
[ ]
0;
π

y

′
= e
–x
(–cosx– sinx) =
2 sin
4
x
e x
π
−
 
− +
 ÷
 

y
′
= 0
⇔
x=
3
4
π
Ta có: f(0) = 1, f(
π
)=
e
π
−
−

, f(
3
4
π
)=
3
4
2
2
e
π
−
−
Vậy:
[ ]
0;
max ( ) 1
x
f x
π
∈
=
,
[ ]
0;
min ( )
x
f x
π
∈

=
3
4
2
2
e
π
−
−
B/ Bài tập tự giải:
1) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
−2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2
2) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
3) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1. Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = −4

4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của
đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước
cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
5) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y =
1xx
x
24
2
++
. Kết quả :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
6) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤
3
4
−

7) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2

−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Kq :M(0;
2
3
)
8) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
9) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
10) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4 −
. Kết quả:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−

;
7)2(fyMin
]2;2[
−=−=
−
12) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






− 1;
2
1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;

2
1
[
−==
−
13) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)
2xcos

1xsin22
y
+
−
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
7
−
;
R
Max
y=1
d)
1xx
3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3

1
;
R
Max
y=3
14) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

15) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
= ;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2

. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin
2
α . x
2
−2sin
2
α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1.
16) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :y =f(x)= lg
2
x +
2xlg
1
2
+

Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg
2
x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+
2t
1
+
xác định trên [0; +∞), dùng đạo
hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞
g(t) =
g(0) =

2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1
17) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
KQ:
];0[
Max
π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;
];0[
Min
π
f(x)=f(0)=f(π )=0
Bài 4: TIỆM CẬN
I/ Tóm tắt lý thuyết:
*Tiệm cận đứng : x = x

0
là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x)
+ + − −
→ → → →
= +∞ = −∞ = +∞ = −∞

Chú ý : Tìm x
0
là những điểm hàm số không xác định
*Tiệm cận ngang :
y = y
0
là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau:
x x
f (x) y ; f (x) y
0 0
lim lim
→+∞ →−∞
= =
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận
ngang
* Tiệm cận xiên (ban co bản không có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
lim
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
x

(x)lim
→±∞
ε
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

f (x)
a
lim
x
x
=
→∞
;
[ ]
b f (x) ax
lim
x
= −
→∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số
1
2
x
y
x
−

=
+
.
Giải. Vì
2
1
lim
2
x
x
x
+
→−
−
= −∞
+
;
−
→−
−
= +∞
+
2
1
lim
2
x
x
x
⇒ đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C).

Vì
→+∞ →−∞
− −
= =
+ +
1 1
lim lim 1
2 2
x x
x x
x x
nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C).
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2 1
2 3
x x
y
x
+ +
=
−
.
Giải. Vì
2
3
2
2 1
lim
2 3

x
x x
x
+
 
→
 ÷
 
+ +
= +∞
−
(hoặc
−
 
→
 ÷
 
+ +
= −∞
−
2
3
2
2 1
lim
2 3
x
x x
x
) nên đường thẳng

3
2
x =
là tiệm
cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
→+∞ →−∞
+ + + +
= +∞ = −∞
− −
2 2
2 1 2 1
lim , lim
2 3 2 3
x x
x x x x
x x

⇒
d? th? hàm s? khụng cú ti?m c?n ngang
Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số
a. y =
2
1
2
+
−
x
x
b. y =
2

1x
x
+
.
Giải:
a/ Vỡ
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
lim 2, lim 2, lim , lim
2 2 2 2
x x
x x
x x x x
x x x x
+ −
→+∞ →−∞
→− →−
− − − −
= = =− ∞ =+ ∞
+ + + +
.
⇒ đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang, đường thẳng x= -2 là tiệm cận đứng.
b/ Vỡ
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1

x x x
x
x
x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = + =
⇒ đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x
x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = − + = −
⇒ đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang
2 2
0 0
1 1

lim , lim
x x
x x
x x
+ −
→ →
+ +
= +∞ = −∞
⇒ đường thẳng x= 0 là tiệm cận đứng.
Ví dụ 5:Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
2
2 3 1
2
x x
y
x
− −
=
−
Giải: ta có
2
2 3 1 1
2 1
2 2
x x
y x
x x
− −
= = + +
− −

⇒
1
lim[ (2 1)] lim[ (2 1)] lim 0
2
x x x
y x y x
x
→+∞ →−∞ →±∞
− + = − + = =
−
⇒ đường thẳng y=2x+1 là tiệm cận xiên.
B/ Bài tập tự giải:
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết quả : x=-2
2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :
a) y = 1+
x

2
e
−
. Kết quả: y = 1 b) y =
x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =
1x
2
+
.Kết quả : y = ±x
4) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y =
3
32
xx3 −
. Kết quả : y = x+1.
5) Cho (Cm

) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=

.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2).
6)Tìm trên đồ thị (C):y =
1x
2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
7) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận
của (C) ln khơng đổi. Kq: d
1
.d
2
=
2
9
.
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức:
b1. TXĐ
b2. Tìm y’, cho y’= 0 tìm nghiệm và giá trị y’ khơng xác định
b3. Giới hạn tại vơ cực
b4. BBT

- Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Chú ý : y
/
= 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y
/
ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép
B5. Tìm y”, cho y”= 0 tìm nghiệm, suy ra điểm uốn ( chỉ thực hiện với hàm bậc 3 )
B6. Lập bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị, điểm uốn và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị
bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải)
B7. Vẽ đồ thị. kết luận tâm đối xứng. trục đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y
a

' 0
0
≥ ∀



>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x
a

Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0

=


>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a

=


<

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x
3
– 9x
2
+ 12x– 4
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 6x
2
– 18x+ 12

y
′
= 0
⇔
6x
2
– 18x+ 12=0
⇔

1
2
x
x
=


=

x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số

lim
x
y
→+∞
=
+∞
,
lim
x
y
→−∞

= −∞
Bảng biến thiên:
x
−∞
1 2 +
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y 1 +
∞

−∞
0
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(
−∞
;1)và (2; +
∞
), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; y
CĐ
=1, cực tiểu tại x=2; y
CT
=0
y
′′
= 12x– 18
y
′′

= 0
⇔
x=
3
2

⇒
y=
1
2
đồ thị có 1 điểm uốn I(
3
2
;
1
2
)
Điểm đặc biệt
x 0 1
3
2
2 3
y -4 1
1
2
0 5
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I
3 1
;
2 2

 
 ÷
 
làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y= x
4
– 2x
2
– 1
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 4x
3
– 4x cho
y
′
= 0
⇔
4x
3
– 4x=0
⇔
0
1

1
x
x
x
=


=


= −


lim
x
y
→+∞
=
lim
x
y
→−∞
= +∞
Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
–1
+∞
–2 –2
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1;
+∞
), nghịch biến trong 2 khoảng: (
−∞
;–1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
= -1, cực tiểu tại x= ±2; y
CT
= -2
Điểm đặc biệt
x -2 -1 0 1 2
y 7 -2 -1 -2 7
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ Dạng y = a
3
+ bx
2
+ cx +d
a/ y = 2x
3
- 3x
2

+ 1 b/ y =
1
3
x
3
– x
2
+ x -1 c/ y = - x
3
– x
2
– x -1 d/y = - x
3
+ 3x + 1 e/y = x
3
-3x+1
f/ y = x
3
+3x−4 g/ y = (1-x)
3
h/ y = 3x
2
-x
3
i/y = -
1
3
x
3
–2 x

2
-4 x +1 j/ y = x
3
+ x + 1
k/ y= x
3
- x
2
- x + 1 l/ y =
3
1
3
x
- x m/y= - x
3
+ 3x
2
n/ y = x
3
– 3x
2
+2 p/ y = x
3
– 3x + 1
q/ y = -x
3
+ 3x
2
– 1 r/ y= x
3

- 2x
2
+ x + 4 s/ y = - 2x
3
- x + 2
2/ Dạng 2 : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)a/ y= x
4
– 3x
2
+2 b/ y= x
4
+ x
2
– 4 c/ y=
4
2
3
2 2
x
x− + −
d/ y=
3 - 2x
2
– x
4
e/y=

4
2
5
3
2 2
x
x− +
f/ y = x
4
+ 2x
2
g/ y = - x
4
+ 2x
2
+2 h/ y = -
4
2
3
2 2
x
x− +
i/ y = -
4
2
5
2 2
x
x+ −
j/ y =

2
1
x
2
x
2
4
+−
k/ y = x
4
+x
2
-2. l/ y=2x
2
−x
4
-1 m/ y=x
4
-1
4.2.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\







−
c
d
+ Đạo hàm : y
/
=
2
)( dcx
bcad
+
−
kết luận tính đơn điệu của hàm số.
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
( / ) ( / )
lim ( ); lim ( )
x d c x d c
ax b ax b
cx d cx d
+ −
→− →−
+ +
= +∞ −∞ = −∞ +∞
+ +

• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim lim
x x
ax b ax b a
cx d cx d c
→+∞ →−∞
+ +
= =
+ +
+Bảng biến thiên :
+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về mỗi phía của tiệm cận đứng vẽ từng nhánh một.
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:khảo sát hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
TXĐ : D
{ }
\ 1= −¡
Sự biến thiên :

+ Giới hạn và tiệm cận :
•
lim lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang
•
( )
1
lim
x
y
+
→ −
= −∞
;
( )
1
lim
x
y
−
→ −
= +∞
1x⇒ = −
là tiệm cận đứng
+
( )

2
2
'
1
y
x
=
+
> 0 ,
x∀ ∈
D ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng
( ) ( )
; 1 ; 1;−∞ − − +∞

x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10

h x
( )
=
x-1
x+1
g x
( )
= 1
f y
( )
= -1
8
6
4
2
- 2
- 4
- 6
- 8
- 10
-5
5
10
h x
( )
=
-x+3
2
⋅
x+1

g x
( )
=
-1
2
f y
( )
=
-1
2
x -
∞
-1 +
∞

y’ + +
y +
∞
1

1 -
∞
Đồ thị :
Điểm đặc biệt
x -3 -2 -1 0 1
y 2 3 -1 0
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I
( )
1;1−
làm tâm đối xứng .

 Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số
3
2 1
x
y
x
− +
=
+
1. TXĐ : D
1
\
2
 
= −
 
 
¡
2. Sự biến thiên :
+ Giới hạn và tiệm cận :
•
1 1
lim lim
2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang
•

1
2
lim
x
y
+
 
→ −
 ÷
 
= +∞
;
1
2
lim
x
y
−
 
→ −
 ÷
 
= −∞
1
2
x⇒ = −
là tiệm cận đứng
+Bảng biến thiên:
( )
2

7
'
2 1
y
x
−
=
+
<0 ,
x∀ ∈
D ⇒ Hàm số giảm trong 2 khoảng
1 1
; , ;
2 2
   
−∞ − − +∞
 ÷  ÷
   

x -
∞

1
2
−
+
∞
y’ - -
y
1

2
−
+
∞
3.Đồ thị : -
∞

1
2
−
Điểm đặc biệt
x -2 -1
1
2
−
0 3
y
5
3
4 3 0

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I
1 1
;
2 2
 
− −
 ÷
 
làm tâm đối xứng .

B/ Bài tập tự giải:
a/
2 3
x
y
x
=
+
b/ y=
2 1
3 2
x
x
−
+
c/ y=
3 2
1
x
x
−
−
d/y=
2
1x +
e/y =
1
2 1
x
x

+
− +
f/y =
2 1
1
x
x
+
−
g/ y =
1x
1x
−
+
h/ y =
2x
x2
+
MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0

)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/

0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y
0
⇔
f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/

0
f (x )
(x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
y
0
= f(x
0
)

⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1
) :
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
;y
1
) có hệ số góc k là: y = k(x–x
1
) + y
1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :




=
′
+−=
kxf
yxxkxf
)(
)()(
11
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.

Bài tốn 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) .
+ y = g(m) là đường thẳng ∆ cùng phương với trục hồnh; hàm số y =f(x) có đồ thị (C).
+ Tuỳ theosố giao của ∆ và đồ thị (C) ⇒ số nghiệm của phương trình.
Chú ý: Căn cứ tung độ cực đại và cực tiểu để phân chia các trường hợp biện luận.
Bài tốn 3 : GIAO ÐIỂM HAI ÐUỜNG CONG ( Ð.THẲNG VÀ MỘT ÐUỜNG CONG).
1. Cho hai đồ thị (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hồnh độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vơ nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) khơng có giao điểm.
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n giao điểm.
* Số nghiệm của (1) là số giao diểm của hai duờng cong.
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
6
4
2

-2
5
x
y
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:
Cho đường cong (C): y= x
3
-3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao
điểm của (C) và d.
Giải
Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x
3
-3x +1 = kx + 1 (1)
⇔
x
3
-(3+k)x = 0
⇔
x(x
2
-3-k) = 0
⇔

2
0
( ) 3 0 (2)
x

g x x k
=


= − − =

ta có
/
∆
(2)
= 3+k
Nếu 3+k < 0
⇔
k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm
⇒
(1) có 1 nghiệm
⇒
(C) và d có 1 giao điểm.
Nếu 3+k = 0
⇔
k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0
⇒
(1) có 1 nghiệm bội
⇒
(C) và d có 1 giao
điểm.
Nếu 3+k > 0
⇔
k> -3 . Mặt khác g(0) = 0
⇔

-3-k = 0
⇔
k = -3 . Vậy k> -3 phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt khác 0
⇒
(1) có 3 nghiệm phân biệt
⇒
(C) và d có 3 giao điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2x
y
x 1
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai
điểm phân biệt.
Giài:
2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x)
3 2x
= mx+2
x 1
−
−
có hai nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x) mx
2
– (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1

⇔
2
2
2
m 6 2 5
m 0
m 0
(m 4) 20m 0 6 2 5 m 0
m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

<− −
≠


≠


∆= − + > ⇔ ⇔ − + < <

 
+ + >



>
− − − ≠




Ví du 3ï:
Cho hàm số y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số
nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải:
Phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thị ta có:
Nếu m > 4 thì d và (C) có 1 giao điểm ⇒ phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 thì d và (C) có 2 giao điểm ⇒ phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 thì d và (C) có 3 giao điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.

Nếu m=0 thì d và (C) có 2 giao điểm ⇒ phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 thì d và (C) có 1 giao điểm ⇒ phương trình có 1 nghiệm.
Ví dụ 4 :
Cho đường cong (C) y = x
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hồnh độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
( )C∈
có
0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x
0

)(x-
x
0
)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f(x ) 8
f '(x ) 12
= −


=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta có tung độä bằng y
0
= –8
⇔
f(x
0
)= -8
⇔

3
0

x
=-8
⇒
x
0
=-2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình tiếp tuyến là:
y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=

±
1
với x
0
=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x
0
=-1
⇒
f(x
0
)= -1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :
3
2
k(x-2) + 8(1)
3 (2)
x

x k

=


=



⇔
x
3
= 3x
2
(x-2) + 8
⇔
2x
3
- 6x
2
+ 8 = 0
⇔

2
1
x
x
=



= −


Với x=2
⇒
k=12
⇒
phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Với x=-1
⇒
k=3
⇒
phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
B/ Bài tập tự giải:
1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd:
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm.

2) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2.
B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
3) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4
1
x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số
y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.
5) Dùng đồ thị (C): y = x
3
−3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3

−3x
2
− 9x+1−m = 0.
6) Cho parabol (P): y=x
2
−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB.
7) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
8) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng.
9) Cho hàm số y = x
4
−4x
3
−2x
2

+12x−1.
a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:
a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y
(3)
và cho y
(3)
= 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của
y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C).
b) Cho Y= 0, tìm được X=
104
±±
⇒ y=0 vaø x =1
104
±±
.