HSG Toán Lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc-2007

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. Giải hệ phương trình:







=+
+=+
43
2
2008
1
2008
2008
1
2008
yyx
y
y
x
x

Câu 2.
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và N
là một điểm tùy ý trên đoạn AB (N không trùng với A, B). Một đường thẳng (d)
đi qua B cắt (O
1
), (O
2
) tại M
1
, M
2
theo thứ tự đó. Đường thẳng M
1
N cắt đường
tròn (O
2
) tại P
2
, Q
2
và đường thẳng M
2
N cắt đường tròn (O
1
) tại P
1

, Q
1
. Chứng
minh rằng bốn điểm P
1
, P
2
, Q
1
, Q
2
cùng nằm trên một đường tròn có tâm O và OB
⊥
M
1
M
2
.
Câu 3. Tìm tất cả các cặp hai số nguyên (x; y) sao cho:
33
)7(
3
)6(
3
)2(
3
)1(
3
yxxxxx =+++++++++
Câu 4. Cho các số thực

yx,
thỏa mãn
3
22
≤++ yxyx
Chứng minh rằng:
334
2
3
2
334 −≤−−≤−− yxyx
Câu 5. Cho số nguyên dương n. Tìm số từ độ dài n lập từ ba chữ cái a, b, c trong đó có
chẵn lần chữ cái a.
Hết
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh SBD
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Câu Nội dung Điểm
1.
(2đ)
+ Điều kiện: . Từ phương trình thứ hai, suy ra nếu là nghiệm
của hệ thì
0.25
+ Hệ đã cho tương đương với
0.25

+ Từ (1) suy ra hoặc
0.25
+ Nếu thay vào (2), được
0.25
và do đó
0.25
+ Nếu thay vào (2), được
và do đó
0.25
0.25
+ Kết luận nghiệm
0.25
2.
(2.5
đ)
O
Q
1
P
1
Q
2
P
2
M
2
B
A
O
1

O
2
M
1
N
2
+ Xét phương tích của đối với hai đường tròn ta được
1
Suy ra cùng nằm trên một đường tròn, gọi theo thứ tự
là tâm, bán kính của đường tròn đó.
Ta có:

0.5
+ Từ đó, suy ra

1
Suy ra
3.
(2.5
đ)
+ Xét đa thức
0.5
+ Nếu thì
+ Suy ra và do đó hoặc
+ Mặt khác không có nghiệm
nguyên và không có nghiệm
nguyên. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm mà
0.5
+ Với : để ý rằng , nên là nghiệm nếu
là nghiệm.

0.5
+ Do đó, phương trình không có nghiệm với , suy ra nếu phương
trình có nghiệm thì
0.5
+ Thử trực tiếp, tìm được các nghiệm:

0.5
4.
(1.5
đ)
+ Đặt và . Khi đó
0.25
+ Nếu thì và khi đó
3
bất đẳng thức cần chứng minh
đúng
+ Nếu thì
Chia cả tử và mẫu cho và đặt thì
0.5
+ Để ý rằng , nên cần chứng minh:

+ Ta có
(1)
0.25
+ Nếu thì (1) là phương trình bậc nhất, có nghiệm (2)
+ Với , do (1) luôn có nghiệm nên
0.25
+ Giải bất phương trình này thu được và (3)
+ Từ (1),(2) và (3) suy ra điều phải chứng minh. 0.25
5.

(1.5
đ)
Giả sử trong từ độ dài có chữ cái . Thế thì
+ Có cách chọn vị trí cho chữ cái với mỗi cách đó, có
cách chọn vị trí cho hai chữ cái .
0.25
+ Do đó, số từ độ dài , có chứa chữ cái bằng
0.25
+ Vậy, số từ cần tìm bằng:
S =
∑
=
−








2
n
0k
2kn
.2
2k
n
C
0.5

+ Xét khai triển và tính được
2
13
2
n
0k
2kn
.2
2k
n
C
+
=
∑
=
−








n
.
0.5
Hết
4