Bài tập luyện thi vào lớp 10- hình học

BI TP LUYN THI VO LP 10
B ài 1

: Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD.
a) Chứng minh MA.MB = MC.MD
b) AD cắt BC tại N .Chứng minh NA.ND = NB.NC
c) Kẻ tiếp tuyến MP . Chứng minh MP
2
= MA.MB = MC.MD
B ài 2 :

Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đ ờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P là hai
tiếp điểm) và một cát tuyến cắt đ ờng tròn tại A và B.
a. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh 4 điểm P, Q, O, I nằm trên một đ ờng tròn
b. PQ cắt AB tại E. Chứng minh MP
2
= ME. MI
c. Qua A kẻ một đờng thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần l ợt tại H,K.Chứng minh tứ giác
AHIQ nội tiếp và KB = 2. HI
B ài 3 :

Cho điểm A ở bên ngoài đ ờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đ ờng tròn (B, C là tiếp
điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M

B, M

C ). Gọi D, E, F t ơng ứng là hình chiếu vuông
góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và
EF.Chứng minh :
a) MECF ,MHFK là tứ giác nội tiếp.
b) MF

2
= MD.ME
c) MF vuông góc với HK.
d) DF là tiếp tuyến của đờng tròn đ ờng kính MC
B ài 4 :

Cho tam giác ABC cân tại A . Đ ờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần l ợt tại B,C.Qua C
kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt (O) tại D .AD cắt (O) tại E .Chứng minh:
a) AE.AD = OA
2
OD
2
b)CE cắt AB tại G .Chứng minh : GA
2
= GE.GC
c) Chứng minh : GA= GB
B ài 5 :

Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB và cát tuyến MCD .Tia phân giác của góc
CAD cắt CD tại I . Chứng minh
a) MI = MA
b) BI là tia phân giác của góc CBD.
B ài 6 :

Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD. Tiếp tuyến với (O) tại C,D cắt nhau tại A.Gọi H
là hình chiếu của A trên OM. Chứng minh:
a) 5 điểm C,D,O,A,H cùng thuộc một đ ờng tròn.
b) MH.MO = MC.MD
c) Kẻ tiếp tuyến MB . Chứng minh MH.MO = MB
2

. Từ đó H cố định.
d)* A,H,B thẳng hàng.
e)*AH cắt (O) tại E .Cm : ME là tiếp tuyến của (O)
B ài 7


: cho (O) và đờng thẳng d cắt (O) tại A,B. M thuộc đ ờng thẳng d và nằm ngoài (O) .Kẻ 2 tiếp
tuyến MC,MD . Chứng minh:
a)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn đi qua 2 điểm cố định
b)Xác định vị trí của M để tam giác MCD vuông.
Bi 8 :

Cho ng trũn (O) cú bỏn kớnh R v mt im S ngoi ng trũn (O). T S v hai tip
tuyn SA, SB vi ng trũn (O) (A, B l hai tip im). V ng thng a i qua S ct ng trũn (O)
ti hai im M, N vi M nm gia hai im S v N (ng thng a khụng i qua tõm O).
a) Chng minh SO vuụng gúc vi AB.
b) Gi H l giao im ca SO v AB, gi I l trung im ca MN. Hai ng thng OI v AB
ct nhau ti im E. Chng minh IHSE l mt t giỏc ni tip.
c) Chng minh OI.OE = R
2
.
d) Cho bit SO = 2R v MN = Tớnh din tớch tam giỏc ESM theo R.
1
B ài 9 :


(đề
06-07
)
Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn đờng kính AD. Hai đ ờng chéo AC, BD cắt nhau tại

E. Hình chiếu vuông góc E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đ ờng tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm
của BD và CF là N. Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE. DN = EN . BD
B ài 10:

Cho tam giác PQR nội tiếp đ ờng tròn tâm O, đờng phân giác trong của góc P cắt cạnh QR tại D
và đờng tròn ngoại tiếp tại I.
a)Chứng minh OI vuông góc với cạnh QR.
b)Chứng minh đẳng thức QI
2
= PI.DI
c)Gọi H là hình chiếu vuông góc của P
trên cạnh QR. Cm Q
P

H = R
P

O
d)Chứng minh góc H
P

O =
|Q - R|

B ài11:

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đ ờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật .
b) Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD; AH là đ ờng cao của tam giác
(H trên cạnh BC). Chứng minh HM vuông góc với cạnh AC.
c) Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.
d) Gọi bán kính của đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.
Chứng minh : r + R

AC.AB
B ài 12

:


Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) .Đờng cao AH .Kẻ đ ờng kính AD.
Chứng minh: a) AB.AC = AH.AD
b) Diện tích tam giác ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)
B ài 13

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) . Tia phân giác của các góc B , C cắt nhau ở E và cắt
(O) lần lợt tại F,D. Chứng minh:
a) AD // BF
b) Tứ giác ADEF là hình thoi
c)
Qua E kẻ một đờng thẳng song song với AC cắt AB tại G. Chứng minh tứ giác BEGD nội tiếp
d) DF cắt AC tại H .Chứng minh: H thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF
B ài 1 4

: Cho

ABC nhọn, nội tiếp đờng tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đ ờng tròn, chúng cắt

nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ ờng tròn tại E, F và cắt AC tại I.
a) Chứng minh góc DOC bằng góc BAC
b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đ ờng tròn
c) Chứng minh IE=IF
d) Chứng minh ID là phân giác góc BIC
e) Cho B,C cố định , khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đ ờng
nào ?
B ài15

:Cho tam giác ABC nội tiếp đ ờng tròn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC. DE cắt AB
và AC tại H,K.
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD tại I, Chứng minh rằng AI vuông góc với DE
c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp
d) Chứng minh rằng IK//AB
e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC
B ài 1 6

: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đ ờng tròn. P là điểm chính giữa của cung AB( phần không
chứa C,D). Hai đây PC, PD lần l ợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các
dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:
a) Góc CID bằng góc CKD.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc.
c) PC.PE = PD. F
d) IKCD nội tiếp
e) IK//AB.
f) PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
B ài 1 7

: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đ ờng tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đ ờng tròn cắt

AB,AD kéo dài lần lợt tại E và F.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai ph ơng pháp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với BD.
2
c) Tiếp tuyến tại B và D với đ ờng tròn (O) cắt EF lần l ợt tại I, J. Chứng minh I và J lần lợt là trung
điểm của CE và CF.
d)
Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết AB=6 và AD=6
3
.
B ài 18

:Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn đờng kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB và DC cắt
nhau ở E; CB và DA cắt nhau tại F.
a) Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đờng vuông góc là G)
b) Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp
c) Chứng minh: BA.BE=BC.BF=BD.BG
d) Chứng minh B là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ACG.
e) Cho góc ABC bằng 135
0
, hãy tính độ dài AC theo BD.
B ài 1 9

:Cho tam giácABC cân tại A( góc A<90
0
) nội tiếp đ ờng tròn (O). Một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ
AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:
a) Góc AMD bằng góc ABC.
b) Tam giác BMD cân
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và độ lớn của góc BDC

không đổi .
B ài20 :

Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đ ờng tròn (O
1
) và
(O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O
1
O
2
chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F . Qua A kẻ cát tuyến
song song với EF cắt đờng tròn O
1
, O
2
thứ tự tại C, D. Đ ờng thẳng CE và đ ờng thẳng DF cắt nhau tại I.
1. Chứng minh IA vuông góc với CD
2. Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm EF
Bài 2 1 :

Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O

2
) cắt nhau tại A và B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc
với AB , vẽ cát tuyến chung EBF bất kỳ ( C,E thuộc (O
1
) ,E thuộc cung BC ) .
a)Chứng minh A, O
1
, C thẳng hàng và AD đi qua O
2
b) Gọi K là giao điểm của các đ ờng thẳng CE và FD .Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp và K thuộc
đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
c) Khi E di chuyển trên cung BC thì K di chuyển trên đ ờng nào.
B ài 2 2

: Cho tam giác ABC vuông tại A . Đ ờng tròn tâm I đ ờng kính AB cắt đ ờng tròn tâm K đ ờng kính
AC tại điểm thứ hai H .Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuộc (I) .Gọi M là trung điểm của EF ,N là trung
điểm của BC .Chứng minh
a) B,H,C thẳng hàng
b) 6 điểm A , I , H , N , K, M cùng thuộc đờng tròn
c) AB là tiếp tuyến của (K) và AC là tiếp tuyến của (I)
d) Khi EF quay quanh A thì M di chuyển trên một đ ờng tròn cố định
e) Hỏi rằng ở vị trí nào thì cát tuyến EF có độ dài lớn nhất .
B ài 2 3 :

Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi BC là một tiếp tuyến chung ngoài . BC ở . OI cắt
(O) tại D cắt (I) tại E .Chứng minh
a) A , B , C cùng thuộc một đờng
b) B thuộc đờng tròn nội tiếp tam giác CDE
c) OI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC và ngợc lại
d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tính diện tích của hình giới hạn bởi đoạn thẳng BC với các cung AB, AC

B ài 2 4 :

Cho (O) và (P) tiếp xúc ngoài tại A . Đ ờng thẳng OP cắt (O) , (P) lần l ợt tại B,C .Tiếp tuyến
chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung tại A ở I .Chứng minh:
a) I thuộc đờng tròn đờng kính OP
b) MN
2
= 4. OA.PN
c) BM vuông góc với CN
d) AM cắt (O) tại E và AN cắt (P) tại F .chứng minh

: BC
2
= ME
2
+ NF
2
Bài 25

:
Hai đờng tròn (O; R) và (O;r) tiếp xúc ngoài tại điểm A (R > r). Gọi BC là tiếp tuyến chung
ngoài (B

(O) ; C

(O). M là trung điểm của OO, H là hình chiếu của M trên BC.
a) Tính góc OHO
b) Chứng minh OH là tia phân giác của góc AOB
c) Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn (O) và (O)
d) Cho R = 4 cm ; r = 1 cm . Tính các độ dài BC ; AM

B ài 2 6

: Cho hai đ ờng tròn (O
1
),(O
2
) tiếp xúc ngoài tại A. Một đ ờng thẳng (d) tiếp xúc với (O
1
),(O
2
) lần
lợt tại B, C.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn.
c)
Chứng minh góc O
1
MO
2
bằng 90
0
d)
Các tia BA, CA lần l ợt cắt (O
1
),(O
2
) tại các giao điểm thứ hai D, E. Chứng minh diện tích tam
giácADE bằ ng diện tích tam giác ABC .
3
B ài 2 7 :

Cho M thuộc nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB .Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By . Tiếp
tuyến tại M cắt Ax , By lần lợt ở C ,D .Các đờng thẳng AD, BC cắt nhau ở N .Chứng minh :
a) CD - AC = BD
b) Tam giác CDO vuông
c) MN // AC
d) CD.MN = CM.DB
e) Xác định vị trí của M để Diện tích đờng tròn đờng kính CD nhỏ nhất
g) MN cắt AB tại H .Chứng minh : MN = NH
B ài 2 8

:

Cho C thuộc nửa đờng tròn đờng kính AB . I là điểm chính giữa của cung AC . AI cắt BC tại
M .Chứng minh :
a) MI.MA = MC.MB
b) tam giác ABM cân
c) AC cắt BI tại H ,MH cắt AB tại N .Chứng minh H là tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác NIC d)
Gọi K là điểm đối xứng với H qua I .Chứng minh KA là tiếp tuyến của đ ờng tròn đờng kính AB
B ài 2 9

:Cho nửa đ ờng tròn đờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đ ờng tròn
(D

A và D

B). Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vuông góc với đ ờng thẳng AC tại M và từ
B kẻ BN vuông góc với đờng thẳng AC tại N.
a. Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đ ờng tròn.
b. Chứng minhAD . ND = BN . DC

c. Tìm vị trí của D trên nửa đ ờng tròn sao cho BN . AC lớn nhất.
Bi 30

: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R. C l trung im ca on thng AO, ng
thng Cx vuụng gúc vi ng thng AB, Cx ct na ng trũn trờn ti I. K l mt im bt kỡ nm
trờn on thng CI (K khỏc C ; K khỏc I), tia AK ct na ng trũn ó cho ti M. Tip tuyn vi na
ng trũn tõm O ti im M ct Cx ti N, tia BM ct Cx ti D.
1) Chng minh rng bn im A, C, M, D cựng nm trờn mt ng trũn.
2) Chng minh MNK cõn.
3) Tớnh din tớch ABD khi K l trung im ca on thng CI.
4) Chng minh rng : Khi K di ng trờn on thng CI thỡ tõm ca ng trũn ngoi tip AKD
nm trờn mt ng thng c nh.
B ài 3 1

: Cho nửa đờng tròn tâm O, đ ờng kính AB=2R và một điểm M bất kì nằm trên nửa đ ờng tròn (M
khác A và B). Đ ờng thẳng d tiếp xúc với nửa đ ờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại
I.Dờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đ ờng thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM).
a) Chứng minh các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc ACM và BOM.
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.
c)
Chứng minh AC.BD=R
2
d) Tìm một vị trí của M trên nửa đ ờng tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó
theo R.
B ài 32

:
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M di động trên đờng tròn. Gọi N là điểm đối xứng
với A qua M, P là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BN với đờng tròn (O); Q.R là giao điểm của đờng
thẳng BM lần lợt với AP và tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O).

a) Chứng minh rằng điểm N luôn luôn nằm trên đờng tròn cố định tiếp xúc với đờng tròn (O).
Xác định tâm và BK của đờng tròn đó.
b) Chứng minh RN là tiếp tuyến của đờng tròn (B;AB)
c) Tứ giác ARNQ là hình gì ? Tại sao ?
B ài 3 3

: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Dây CD không qua O vuông góc với AB tại H. Dây CA cắt đ -
ờng tròn đờng kính AH tại E và đờng tròn đờng kính BH cắt dây CB tại F. Chứng minh rằng :
a) CEHF là hình chữ nhật.
b) EF là tiếp tuyến chung của các đ ờng tròn đờng kính AH và đờng kính BH.
c)
222
111
CBCAEF
+=

B ài 34

Cho tam giác vuông ABC (
C

= 90
0
), O là trung điểm của AB và D là điểm trên cạnh AB ( D
không trùng với A, O, B ). Gọi I và J thứ tự là tâm đờng trong ngoại tiếp tam giác ACD và BCD.
1. Chứng minh OI song song với BC
2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đ ờng tròn
3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ACB khi và chỉ khi OI = OJ
B ài 35

: Cho tam giác vuông MNP (
M

= 90
0
), Đờng cao MH (H trên cạnh NP). Đ ờng tròn đ ờng kính
MH cắt cạnh MN tại A và cắt cạnh MP tại B.
1) Chứng minh AB là đờng kính của đờng tròn đờng kính MH
4
2) Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.
3) Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I.
Chứng minh IN = IP
B ài 3 6:

Cho tam giác vuông ABC (AC > AB,
A

= 90
0
). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC,
các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần l ợt tại M , N , P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.
2. Đờng thẳng AI cắt PN tại D . Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đ ờng tròn
3*. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt tại E và F.
Chứng minh BE. CF = 2 BI .CI
B



i 3 7

:Cho đờng tròn tâm(O). AB là dây cố định của đ ờng tròn không đi qua tâm. M là một điểm trên
dây cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm chính giữa của
cung nhỏ MA, MB, đ ờng thẳng AC cắt đ ờng thẳng BD tại I, đ ờng thẳng CD cắt cạnh MA và MB thứ tự
tại P, Q.
1. Chứng minh tam giác ADI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác ADPI là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh PI = MQ.
4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N. Khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm của MN
chuyển động trên đờng nào.
B i

3 8

: Cho 3 điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy). Gọi (O) là đ ờng tròn đi qua B và C. Từ A vẽ
các tiếp tuyến AE và AF với đờng tròn (O). ( E và F là các tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh EG // AB
c) Nối EF cắt AC tại K, Chứng minh AK . AI = AB . AC
B



i 3 9 :

Cho đ ờng tròn(O;R) và dây AC cố định không đi qua tâm . B là một điểm bất kì trên đ ờng
tròn (O;R) ( B không trùng với A và C). Kẻ đ ờng kính BB
,
Gọi H là trực tâm của của tam giác ABC.

1) Chứng minh AH//BC
2) Chứng minh rằng HBđi qua trung điểm của AC
3) Khi điểm B chạy trên đờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA và C) . Chứng minh rằng điểm H
luôn nằm tr ên một đờng tròn cố định .
B ài 40

: Cho đờng tròn tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng: KBOC tứ giác nội tiếp và KB,KC là tiếp
tuyến của (O)
c) Tam giác KBC là tam giác gì?
d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.
f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.
B ài 4 1

: Cho (O;R) và dây AB<2R. Trên tia AB lấy C sao cho AC>AB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại
P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đờng tròn
c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP
2
=CB.CA
d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R
e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP
B ài 4 2

: Cho đờng tròn (O;R) đ ờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP> R,
từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đ ờng tròn tại M.
a) Chứng minh APMO nội tiếp

b) Chứng minh rằng BM//OP
c) Đờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình
hành .
d) Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân
e) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minhI, J, K
thẳng hàng.
B ài 4 3

: Cho đoạn AB và M nằm giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD,
MBEF. AF cắt BC tại N
a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đ ờng tròn ngoại tiếp AMCD, MBEF.
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE
c)Cho AB cố định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,
B ài 4 4

:Cho đờng tròn (O) đờng k ính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đ ờng tròn. Ngời ta vẽ
một đờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đ ờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đ ờng kính AB tại N. Đ ờng
này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.
5
a) Chứng minh CD//AB
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đ ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố
định.
c) Chứng minh:tích KM.KN không đổi
d)
Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần l ợt là C
,
,D
,
.Tìm vị trí của M để chu vi tam giác
NC

,
D
,
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 5

:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đ ờng cao AH. Đ ờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB,AC, lần
lợt tại E,F.
a) Chứng minhtứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minhAE.AB=AF.AC
c) Chứng minh rằng BEFC nội tiếp
d) Đờng thẳng qua Avuông góc với EF cắt BC tại I, Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
e) Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC
vuông cân.
B ài 4 6

:Cho đờng tròn tâm (O;R), hai đờng kính AB,CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy một
điểm M( khác O). Đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đ ờng thẳng vuông góc với
AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đ ờng tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) tứ giác OMNP nội tiếp đợc.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) Tứ giác OMNP nội tiếp
d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
e) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
B ài 4 7

: Cho ba điểm A, B, C trên một đ ờng thẳng theo thứ tự ấy và một đ ờng thẳng d vuông góc với AC
tại A. Vè đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì. Tia CM cắt đ ờng thẳng d tại D; Tia
AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đ ờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh ABMD nội tiếp

b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M
c) Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đ ờng tròn cố định khi M di động
B ài 4 8

: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ một tia
vơng góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BHCA nội tiếp
b) KC. KA=KH.KB .
c) Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH không đổi
B ài 4 9

: cho đờng tròn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cảu cung nhỏ AB và C là một điểm
nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đờng tròn tại điểm th hai D. Chứng minh :
a) MA
2
= MC.MD
b) MB.BD = BC.MD
c) Đờng tròn ngoại tiếp

BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Tổng bán k ính của hai đ ờng tròn ngoại tiếp

BCD và

ACD không đổi khi C di động trên đoạn
AB.

B ài 5 0

: Cho

ABC có góc A > 90
o
. Đờng tròn (O), đ ờng kính AB cắt đ ờng tròn (O
/
) đờng kính AC tại
giao điểm thứ hai là H. Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O), đ ờng tròn (O
/
) lần lợt tại
M, N sao cho A nằm giữa M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
b) Chứng minh tỷ số
HN
HM
không đổi.
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc
một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích

HMN lớn nhất.
B ài 5 1

:Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By
vuông góc với AB và lần lợt trên hai tia dó lấy hai điểm C và D sao cho : AC.BD=AP.PB (1)
a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.
b) Chứng minh góc CPD bằng 90
0

. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)
c) Gọi M là hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 90
0
d) Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD tại K. Chứng minh IK // AB
e) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đ ờng tròn cố định khi C;D lần l ợt di động trên Ax, By nh ng
vẫn thoả mãn (1).
B ài 5 2

: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đ ờng tròn đờng kính BD cắt BC
tại E.Các đ ờng thẳngCD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
6
a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ ợc.
c) Chứng minh AD.AB = AG.AE
d) AC//FG.
e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bi 53

: Cho ng trũn (O), mt ng kớnh AB c nh, mt im I nm gia A v O sao cho AI =
2/3AO . K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I. Gi C l im tựy ý thuc cung ln MN, sao cho C khụng
trựng vi M, N v B. Ni AC ct MN ti E.
a) Chng minh t giỏc IECB ni tip c trong ng trũn.
b) Chng minh AME ng dng vi ACM v AM
2
= AE.AC.
c) Chng minh AE.AC - AI.IB = AI
2
.
d) Hóy xỏc nh v trớ ca im C sao cho khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam
giỏc CME l nh nht.

Bi 54

: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AB > AC), ng cao AH. Trờn na mt phng b BC cha A
v na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E v na ng trũn ng kớnh CH ct AC ti F. Chng
minh rng :
a) T giỏc AEHF l hỡnh ch nht.
b) EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn ng kớnh BH v CH.
c) T giỏc BCFE ni tip.
Bi 55

Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh R, hai im C v D thuc ng trũn, B l trung im ca cung
nh CD. K ng kớnh BA ; trờn tia i ca tia AB ly im S, ni S vi C ct (O) ti M ; MD ct AB
ti K ; MB ct AC ti H.
a) Chng minh

BMD =

BAC, t ú => t giỏc AMHK ni tip.
b) Chng minh : HK // CD.
c) Chng minh : OK.OS = R
2
.
Bi 56

: Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R, ng thng d khụng qua O v ct ng trũn ti hai im A,
B. T mt im C trờn d (C nm ngoi ng trũn), k hai tip tuyn CM, CN vi ng trũn (M, N
thuc (O)). Gi H l trung im ca AB, ng thng OH ct tia CN ti K.
a) Chng minh bn im C, O, H, N cựng nm trờn mt ng trũn.
b) Chng minh KN.KC = KH.KO.
c) on thng CO ct ng trũn (O) ti I, chng minh I cỏch u CM, CN v MN.

d) Mt ng thng i qua O v song song vi MN ct cỏc tia CM, CN ln lt ti E v F.
Xỏc nh v trớ ca C trờn d sao cho din tớch tam giỏc CEF l nh nht.
Học vấn luôn đem đến cho
cỏc
em niềm vui thực sự
C h ỉ c ó s ự n ỗ l ự c c ủ a c h í n h m i

n h
m ớ i đ e m l ạ i t h à n h
c ô n g
7