SKKN.TOAN 7

Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập skg
để đi đến kiến thức mới và nâng cao


I/ Đặt vấn đề :
Việc thay SGK cho khối THCS đã trải qua nhieu năm . Với nhu cầu
thực tế hiện nay của nhiều đối tợng học sinh thì song song với việc giảng dạy
các kiến thức cơ bản đảm bảo đúng nội dung , chơng trình cuả SGK cho học
sinh đại trà , giáo viên cần đầu t cho việc khai thác các kiến thức cơ bảnvà
bài tập trong sách giáo khoa (SGK) để đi đến kiến thức nâng cao cho học
sinh khá, giỏi .Muốn vậy , GV phải nắm chắc mục đích, yêu cầu ,vị trí cảu
từng tiết học , đầu t thích đáng cho việc nghiên cứu kĩ SGK để nắm đợc ý đồ
xây dựng và củng cố kiến thức cuả SGK . Bên cạnh đó cần học thêm các tài
liệu tham khảo để bổ sung cho học sinh nhiều dạng bài tập phong phú. Làm
đợc nh vậy quả là không đơn giản và đây cũng là điều trăn trở của bản thân
tôi.
Với thực tế trên , tôi xin đợc mạnh dạn đề xuất ý kiến của mình trong
một vài đơn vị kiến thức nhỏ hẹp đó là : Những hằng đẳng thức đáng nhớ ;
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
II/ Nội dung :
Phần I : Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Ngoài việc dạy cho HS hiểu nắm trắc nội dung , hình thức của mỗi hằng
đẳng thức (HĐT), cách ghi nhớ ,phân biệt các hằng đẳng thức ,cần đa ra các
dạng bài tập để học sinh vận dụng HĐT theo cả hai chiều , đặc biệt là cách
viết các HĐT ở dạng vế phải là tích của các đa thức để thuận lợi cho học sinh
khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách một hạng tử thành
nhiều hạng tử hoặc phải thêm , bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ : Để củng cố HĐT bình phơng của một tổng hai biểu thức ,SGK
có bài tập 18.
Hãy giúp bạn An khôi phục lại những HĐT bị nhoè?
a) x

2
+ 6 xy +. = (.+ 3y)
b) 10 xy + 15 y
2
= ( .)
2
ở câu a)HS đại trà sẽ coi x
2
là A
2
; 6xy =2.x.3y là 2AB thì B sẽ là 3y suy ra
B
2
= 9y
2
phù

hợp với vế phải,nên có cách điền sau:
x
2
+ 6 xy + 9 y
2
= ( x + 3 y)
2
Sau đó với học sinh khá giỏi ,GV đặt câu hỏi còn cách nào khác nữa
không? Với lu ý là trong HĐT : A
2
+ 2A.B + B
2
= ( A + B )

2
thì A,B là
những biểu thức
Vì vậy những chỗ phải điền có thể là các đơn thức , cũng có thể là các đa
thức M, N thì ta sẽ có HĐT sau :
x
2
+ 6 xy + M = ( N + 3 y )
2
Nếu cho N là một đẳng thức cụ thể, ta sẽ tính đợc M theo N. Chẳng
hạn cho N=x 1 thì ( N + 3y)
2
= [ ( x 1 ) + 3 y ]
2
= ( x- 1 )
2
+ 6( x 1 ) y + 9 y
2
= x
2
+ 6x y + ( 1 + 9 y
2
- 2x 6y )
Do đó ta điền M = 1 + 9 y
2
2x 6y
Nh vậy ta có rất nhiều cách để hoàn thành HĐT bị mực làm nhoè . Với
câu b ta có thể làm tơng tự câu a, song điều kiện đã đợc mở rộng hơn ở hai
1
biểu thức trong hiệu của vế phải, HS học sinh sẽ đa ra đợc nhiều giải pháp đa

dạng hơn , phong phú hơn
ở HĐT bình phơng của một tổng , bình phơng của một hiệu khi đợc viết
dới dạng : A
2
2A B + B
2
= ( A B )
2
Cũng có ý nghĩa là ta chứng tỏ đợc biểu thức A
2
2A B + B
2
luôn có giá
trị không âm . Từ đó GV có thể đa ra dạng bài tập chứng minh một bất đẳng
thức , tìm cực trị của một biểu thức .
Ví dụ : a ) Chứng minh rằng
x
2
xy + y
2


0 với

x, y
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
2
+ y
2

x + 6y +10
Với các HĐT khác cũng có hình thức khai thác tơng tự .
Ngoài kiến thức cơ bản trong SGK , GV có thể cung cấp thêm kiến thức
nâng cao thông qua bài tập 25 trong SGK.
Tính : a ) ( a + b + c )
2
b) ( a + b c )
2
c) ( a b - c )
2

ở câu a có thể học sinh sẽ lúng túng , cha xử lý đợc việc khai triển bình
phơng của một tổng ba số và sẽ có nhiều em thực hiện phép 2 nhân đa thức:
( a + b + c )
2
= ( a+ b + c ) . ( a + b + c)
GV nên gợi ý cho HS sử dụng HĐT bình phơng của một tổng bằng cách viết
a + b + c thành tổng của 2 biểu thức .
Chẳng hạn : ( a + b + c )
2
= [ ( a + b ) + c ]
2
= ( a + b )
2
+ 2 ( a + b ) .c + c
2

= a
2
+ b

2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
Các phần b,c đợc thực hiện tơng tự
Qua kết quả bài tập này , GV khái quát HĐT mở rộng :
( a
1
+ a
2
+ + a
n
)
2
= a
1
2
+ a
2
2
+ a
3
2
+.+ a
n
2
+ 2

=
n

ji
aia
1,
( i

j )
Từ HĐT bình phơng của một tổng , lập phơng của một tổng
( A + B )
2
= A
2
+ 2A.B + B
2

( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
.B +3A. B
2
+ B
3

GV có thể cho HS tính tiếp ( A + B )
4
, ( A + B )
5
, từ đó đi đến HĐT luỹ

thừa bậc n của một tổng 2 số ( công thức Niutơn )


( A + B )
n
= C
n
0
a
n
b
0
+ C
n
1
a
n-1
b + C
n
2
a
n-2
b
2
++ C
n
n-1
ab
n-1
+ C

n
n
a
0
b
đối với HS lớp 8, GV có thể giới thiệu cách xác định hệ số của khải triển
Niutơn theo bảng tam giác Pascal, ngoài ra GV cung cấp thêm cho HS một
số HĐT khác nh :
a
n
b
n
= ( a+ b).( a
n-1
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+.+ a b
n-2
+ b
n-1
) với n

N
*
a
n

+ b
n
= ( a+ b).( a
n-1
- a
n-2
b + a
n-3
b
2
-.+a
2
b
n-3
- a b
n-2
+ b
n-1
) với n lẻ
các HĐT này sẽ giúp HS trong các bài tập nâng cao về phân tích đa thức
thành nhân tử hoặc chứng minh sự chia hết của phép chia đa thức.
Phần II: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
HS đã dợc học 3 phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử : Đặt nhân
tử chung , dùng HĐT, nhóm các hạng tử . Song với 3 phơng pháp này thì
nhiều bài tập HS không thể giải quyết đợc . Vì vậy ,không chính thức dạy
cácphơng pháp khác nhng SGK đã giới thiệu phơng pháp tách các hạng tử và
phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử ở phần bài tập . Thông qua loại bài
2
bài tập nâng cao ,GV củng cố cho HS kỹ năng tách , thêm bớt các hạng tử
cho đối tợng HS khá, giỏi.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) ( x
2
- 5 x ) - x + 5
b) ( 4 x
4
+ 4x
2
+ 1 ) - 4x
2
Với bài tập trên hầu hết HS đại trà đều phân tích đợc bằng các phơng
pháp đã học . Sau khi HS giải xong GV khai thác bài toán để hình thành
cách giải mới nh sau:
* Với câu a ta thấy có hai hạng tử đồng dạng là -5x và - x, nếu bỏ ngoặc
và thu gọn chúng ta đợc đa thức sau : x
2
- 6 x + 5 đây là tam thức bậc hai ,
vậy làm thế nào để phân tích tam thức trên thành nhân tử Khi đó HS sẽ nghĩ
ngay tới cách làm câu a ở trên
Ví dụ 1.1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
- 3x + 2
Ta không thể áp dụng ngay các phơng pháp đã học để phân tích , nhng có
thể tách một hoặc vài hạng tử thì sẽ đi đến lời giải .
Chẳng hạn :
- Tách hạng tử bậc nhất : - 3x = - x 2x ta đợc
A = x
2
- 3x + 2 = x

2
- x 2x + 2
= x ( x 1 ) 2 ( x 1 )
= ( x 1 ) . ( x 2 )
- Tách hạng tử tự do : 2 =
4
1
4
9

ta đợc :
A = x
2
- 3x + 2 = x
2
- 3x +
4
1
4
9


= (x
2
- 3x +
)
4
1
4
9

= ( x-
2
3
)
2
-
4
1

=( x-
2
3
+
2
1
) ( x -
2
3
-
2
1
)
= ( x - 1).( x- 2 )
- Tách hạng tử bậc hai : x
2
= 3x
2
- 2x
2

ta đợc
A = x
2
- 3x + 2 = 3x
2
- 2x
2
- 3x + 2
=( 3x
2
- 3x) ( 2 x
2
2 )
= 3x ( x 1) 2 ( x
2
1 )
=3x ( x 1) 2( x-1 ).( x +1)
= ( x- 1).( 3x - 2x - 2) = (x-1).( x - 2)
Ngoài ra còn một số cách tách khác :
A = x
2
1 3x + 3
A = x
2
4 3x + 6
A = x
2
2x + 1 x + 1
A = x
2

4x + 4 + x+ 2
Nhận xét :
*) ở cách tách thứ nhất: - 3x = -x-2x. trong đa thức x
2
-x - 2x + 2 hệ số của
các hạng tử là 1;-1;-2; 2 .Các hệ số thứ hai và thứ t đều gấp (-1) lần hệ số liền
trớc đó; nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (x-1).Từ bài tập này và một số
bài tập khác dùng phơng pháp này, giáo viên có thể xây dựng thành phơng
3
pháp tổng quát để phân tích tam thức bậc hai ax
2
+bx+c thành nhân tử. Ta
tách hạng tử bx thành b
1
x+b
2
x sao cho
2
1
b
c
a
b
=

tức là b
1
b
2
=a.c

Trong thực hành ta làm nh sau :
B ớc 1: tìm tích a.c
B ớc 2: phân tích ac ra tích của 2 thừa số nguyên tố bằng mọi cách
B ớc 3: chọn hai thừa số mà tổng bằng b
*)ở cách tách thứ 2 : 2 =
4
1
4
9

trong đa thức x
2
- 3x+
4
1
4
9

thì ba hạng tử đầu làm thành bình phơng của
một hiệu, kết hợp với -
4
1
thành hiệu hai bình phơng.
Từ đó xây dựng phơng pháp tổng quát phân tích tam thức x
2
+bx+c thành
nhân tử
- Nếu a > 0 thì ax
2
là bình phơng của đơn thức mx nghĩa là đa thức có

dạng m
2
x
2
+bx+c
coi m
2
x
2
là bình phơng của mx
bx là hai lần tích của số thứ nhất mx với số thứ hai thì số thứ hai
phải là vì
m
b
2
( 2mx.
m
b
2
=bx )
Do đó ta tách c =
2
2
4m
b
+ ( c -
2
2
4m
b

)
(ởđây cũng có thể hiểu là thêm bớt một lợng là
2
2
4m
b
) và đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng : m
2
x
2
+ bx + c(mx+
m
b
2
)
2
-
2
22
4
4
m
cmb
(lớp 9 học sinh sẽ hiểu đợc b
2
- 4m
2
c 0 vì đó là biệt số của tan thức bậc
hai có nghiệm mà ta đang phải phân tích đa thức đó thành nhân tử nên

2
22
4
4
m
cmb
sẽ là bình phơng của một số)
-Nếu a < 0 thì ta phân tích đa thức đối cuả đa thức đã cho thành nhân tử.
Cách này thờng đợc dùng trong trờng hợp giá trị tuyệt đối của a là một số
chính phơng .
Thông thờng nếu phải phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử ta nên
chọn tách hạng tử bậc nhất bx để lời giải đợc dễ dàng hơn
*) Với ví dụ 1b ta cũng nhận thấy có hai hạng tử đồng dạng 4x
2
và 4x
2
,
nếu thu gọn chúng ta đợc đa thức 4x
4
+ 1, vậy làm thế nào đẻ phân tích đa
thức trên thành nhân tử , cũng nh vậy HS sẽ nghĩ ngay tới lời giải ở trên.
Việc đa thêm hai hạng tử 4 x
2
và 4x
2
có thể nói rằng ta đã thêm và bớt
cùng một hạng tử đó là 4x
2
vào đa thức 4x
4

+1 để đợc đa thức
(4 x
4
+ 4x
2
+ 1 ) - 4x
2
và ta đã có cách giải nh câu 1.a .Bây giờ ta sẽ vận
dụng cách này để làm một số ví dụ sau .
Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử
4
Để ý thấy 4 x
4
= (x
2
)
2
, 4 = 2
2
nếu thêm 2. x
2
.2 rồi bớt đi chính lợng đó thì
ta đợc đa thức có dạng hiệu hai bình phơng nh sau :
x
4
+ 4 = x
4
+ 4 x

2
+ 4 - 4x
2

= (x
2
+ 2)
2
( 2x)
2

= (x
2
2x + 2).( x
2
+ 2 x + 2)
cách thêm bớt này thờng đợc áp dụng cho đa thức có dạng A
2
+ B
2
, khi đó l-
ợng cần thêm bớt là 2AB . Trong đó 2AB lại là bình phơng cuả một đơn
thức . Chẳng hạn các bài tập sau : x
4
+ 64, 4x
4
+ y
4
,.
Ngoài ra GV có thể cung cấp thêm cho HS phơng pháp đổi biến , phơng

pháp xét giá trị riêng , phơng pháp hệ số bất định ,
Nh vậy , bây giờ HS đã có trong tay 5 phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và các em tự giải một số bài tập nâng cao về phần này .
III/ Kết thúc :
Trên đây là một vài ý kiến của cá nhân tôi về việc khai thác kiến thức cơ
bản và các bài tập trong SGK để đi đến kiến thức mới và nâng cao cho HS
khá , giỏi . Các dạng bài tập nâng cao đi kèm với từng đơn vị kiến thức có
rất nhiều trong các sách tham khảo , điều kiện không cho phép tôi không đề
cập đến . Với năng lực có hạn tôi xin đợc mạnh dạn nêu nên ý kiến của riêng
mình . Kính mong các bạn đồng nghiệp góp ý cho tôi
Tôi xin chân thành cảm ơn .

Bạch Long ngày 15 tháng 3 năm 2009
Ngờiviết
5