PT MU VA LOGA TRONG CAC DE THI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (175.49 KB, 9 trang )
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −
+ = +
=
HD: HPT tương đương
2 2
2 2
0
2
4
xy
x y xy
x y xy
>
+ =
+ − =
2 2
0
4
xy
x y
x y xy
>
⇔ =
+ − =
2 2
2 2
x x
y y
= = −
⇔ ∨
= = −
2. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
Xét hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+
với 0<x<1
( )
2
2
2
1 (1 2ln )
( ) 0
1
x x
f x
x x
+ −
′
= >
+
vì lnx<0 và 0<x<1
Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1)
Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b). Bài toán được chứng
minh.
3. ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
HD: Với điều kiện
1
2
x >
, PT tương đương:
2 1 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
x x
x x x
− +
− + + − =
2 1 1
log ( 1) 2log (2 1) 3
x x
x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x
−
= +
ta được:
2
3t
t
+ =
1
2
t
t
=
⇔
=
Với t=1 ta có:
2 1
log ( 1) 1 1 2 1 2
x
x x x x
−
+ = ⇔ + = − ⇔ =
thỏa ĐK
1
2
x >
Với t=2 ta có:
2
2 1
log ( 1) 2 1 (2 1)
x
x x x
−
+ = ⇔ + = −
2
4 5 0x x
⇔ − =
0
5
4
x
x
=
⇔
=
Do ĐK ta chỉ nhận
5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5
4
x
=
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
+
<
÷
+
HD:
2
2
6
0,7 6
2
6
log 0
4
log log 0
4
log 1
4
x x
x x
x
x
x x
x
+
>
+
+
< ⇔
÷
+
+
>
+
2
2
6
2
0
4
log 1
4
6
4
x x
x x
x
x
x x
x
+
>
+
+
⇔ > ⇔
+
+
>
+
2
6
4
x x
x
+
⇔ >
+
4 3 8x x
⇔ − < < − ∨ >
5. ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
HD:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
2
2
3 2
0
3 2
1
x x
x
x x
x
− +
>
⇔
− +
≤
2
0 1 2
4 2
0
x x
x x
x
< < ∨ >
⇔
− +
≤
2
0 1 2
4 2
0
x x
x x
x
< < ∨ >
⇔
− +
≤
( )
( )
0 1 2
0 2 2 2 2
x x
x x
< < ∨ >
⇔
< ∨ − ≤ ≤ +
( ) ( )
2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +
6. ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2x x
− + + ≤
HD: BPT tương đương
2
3 3
3
4
log (4 3) log (2 3) 2
x
x x
>
− − + ≤
2
3
3
4
(4 3)
log 2
2 3
x
x
x
>
⇔
−
≤
+
2
3
4
(4 3)
9
2 3
x
x
x
>
⇔
−
≤
+
2
3
4
8 21 9 0
x
x x
>
⇔
− − ≤
3
4
3
3
8
x
x
>
⇔
− ≤ ≤
3
3
4
x
⇔ < ≤
7. *ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
HD: Đặt
( )
2 1
x
t = +
ta được PT:
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = +
1 1x x
⇔ = − ∨ =
8. *ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
HD: Đặt t=2
x
, t>0 ta được:
2
2 2
1
log ( 15 27) log 0
4 3
t t
t
+ + + =
−
2
4
3
15 27 4 3
t
t t t
>
⇔
+ + = −
2
4
3
11 30 0
t
t t
>
⇔
+ + =
Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô
nghiệm x
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về
2 2
1 1
3log 2 log log
2 2
x
x x+ = +
2
6
2 1 ( log )t t t x
t
⇔ + = + =
2
6 0t t⇔ − + =
3 2t t
⇔ = ∨ = −
1
8
4
x t⇔ = ∨ =
10. *Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
HD: ĐK: x>1
Đưa về
2 2
2 1
1 1 1 1
log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2
x
x x
+
− + = + +
2 2 2
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + +
2 2
log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = +
2
2 3 5 0x x⇔ − − =
5
1
2
x x⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm
5
2
x =
11. Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =
HD: ĐK x>1
Đưa về
3 3
2log ( 1) 2log (2 1) 2x x
− + − =
3
log ( 1)(2 1) 1x x
⇔ − − =
( 1)(2 1) 3x x⇔ − − =
2
2 3 2 0x x
⇔ − − =
1
2
2
x x
⇔ = ∨ = −
Do ĐK chỉ nhận x=2
12. *Tham khảo 2007. Giải PT:
3 9
3
4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
Đưa về
3
3 3
1 4
(2 log ) 1
log 9 1 log
x
x x
− − =
−
3
3 3
2 log 4
1
2 log 1 log
x
x x
−
⇔ − =
+ −
3
2 4
1 ( log )
2 1
t
t x
t t
−
⇔ − = =
+ −
(2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )t t t t t⇔ − − − − = + −
2
4 0t t
⇔ + − =
1 17 1 17
2 2
t t
− − − +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
t
− +
=
13. Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
1
1log
2
1
132log
2
2
2
2
1
≥−++− xxx
HD: ĐK
1
1
2
x x< ∨ >
Đưa về
( )
2
2 2
1 1 1
log ( 1)(2 1) log 1
2 2 2
x x x− − − + − ≥
( )
2
2
1
log 1
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
( )
2
1
2
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
2
3 4 1
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− + −
⇔ ≥
− −
( 1)( 3 1)
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− − +
⇔ ≥
− −
3 1
0
2 1
x
x
− +
⇔ ≥
−
1 1
3 2
x⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1
2
1 1
3 2
x x
x
< ∨ >
≤ <
1 1
3 2
x⇔ ≤ <
14. Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
HD:
3 2
2 7 7 2 0 ( 2 , 0)
x
t t t t t− + − = = >
2
( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + =
1
1 2
2
t t t⇔ = ∨ = ∨ =
0 1 1x x x
⇔ = ∨ = ∨ = −
15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
HD:
3 2 2 3
3.2 4.3 2 3 2 2.3 0
x x x x x x
+ − − =
Chia 2 vế của PT cho 3
3x
ta đươc:
3 2
2 2 2
3. 4 2 0
3 3 3
x x x
+ − − =
÷ ÷ ÷
Đặt
2
3
x
t
=
÷
, t>0 ta có:
3 2
3 4 2 0t t t+ − − =
2
1
3
t t⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x=1
16. Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠
1
2
. PT tương đương với:
2 4
8
1 2 1
log log 2
log 2
x x
x
+ =
2 2 2
1 4 6
log 1 log 1 logx x x
⇔ + =
+ +
2 2
1 2
log 1 logx x
⇔ =
+
2 2
1 log 2logx x
⇔ + =
2
2x x
⇔ =
2x
⇔ =
17. ĐH-B-2006 Giải BPT
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
HD: Biến đổi BPT
( )
x
x 2
5 5
4 144
log log 5.2 5
16
−
+
< +
÷
x
x 2
4 144
5.2 5
16
−
+
⇔ < +
x x
4 -20.2 64 0⇔ + <
2
t -20.t 64 0(t=2 0)
x
⇔ + < >
( 4)( 16) 0t t⇔ − − <
4 16t
⇔ < <
2 4x
⇔ < <
18. Tham khảo 2006
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT
2 2 2
log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0x x x+ + − − − =
2
( 1)(3 )
log 0
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
( 1)(3 )
1
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
2
4 0x x⇔ − − =
1 17 1 17
2 2
x x
− +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
x
+
=
19. *Tham khảo 2006
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
HD:
2 2
1 10
9 .3 1 0
9 9
x x x x+ +
− + =
. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1 9t t
⇔ = ∨ =
2 2
0 2 0x x x x⇔ + = ∨ + − =
2 1 0 1x x x x⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ =
20. ***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có
nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a
− = + − +
− =
HD: Biến đổi
ln(1 ) ln(1 ) 0
x a x
e e x a x
y x a
+
− − + + + + =
= +
Xét hàm số
( ) ln(1 ) ln(1 ), 1
x a x
f x e e x a x x
+
= − − + + + + > −
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )
x a
a
f x e e
x x a
′
= − + >
+ + +
(vì a>0 và
x>−1)
1
lim ( ) , lim ( )
x
t
f x f x
→+∞
→−
+
= +∞ = −∞
, f(x) liên tục
trên
( 1; )− +∞
. Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có
nghiệm x
0
trên
( 1; )− +∞
Do
( ) 0, 1f x x
′
> ∀ > −
nên f(x)=0 có không
quá 1 nghiệm
Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x
0
và
HPT có nghiệm duy nhất.(x=x
0
;y=x
0
+a)
21. ĐH-D-2006 Giải PT
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
HD: Đặt
2
2
2
2
x x
x x
u
v
+
−
=
=
Suy ra
2
. 2
x
u v =
(u>0,v>0)
Phương trình thành:
u 4v uv 4 0
− − + =
u(1-v)+4(1-v)=0⇔
(u+4)(1-v)=0⇔
v=1
⇔
2
x 0x⇔ − =
x 0 1x
⇔ = ∨ =
22. Tham khảo 2006 Giải PT
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+
− − =
HD: Đưa về:
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 log 3(3 1) 6− − =
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 1+log 3 1 6
⇔ − − =
( )
( )
x
3
(1 ) 6 log 3 1t t t⇔ + = = −
2
6 0t t⇔ + − =
2 3t t
⇔ = ∨ = −
( ) ( )
3 3
log 3 1 2 log 3 1 3
x x
⇔ − = ∨ − = −
1
3 1 9 3 1
27
x x
⇔ − = ∨ − =
28
3 10 3
27
x x
⇔ = ∨ =
3 3
28
log 10 log
27
x x⇔ = ∨ =
23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −
− + =
HD:
Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
( ) 1
1 1
t
f t
t t
−
′
= − =
+ +
Nếu −1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0
PT thành f(x)=f(y)
Xét x
2
−12xy+20y
2
=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0
Vậy y>−1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn
điệu của hàm số trên các khoảng
( )
1;0 ,(0; )− +∞
làm
cho PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y
Hệ đã cho thành
1, 0
10 2
y y
x y x y
x y
> − ≠
= ∨ =
=
vô nghiệm
Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
24. Tham khảo 2006 Giải
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
HD: Đưa về
( )
2 2
log x 1 log x 2 0+ − =
.
Đặt t=log
2
x
2
t +t 2 0− =
t=1 t= 2⇔ ∨ −
1
x=2 x=
4
⇔ ∨
25. *ĐH-B-2005 Giải hệ
x y
log ( x ) log y .
2 3
9 3
1 2 1
3 9 3
− + − =
− =
HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương
x y
log ( x) log y
− + − =
− =
3 3
1 2 1
3 1
x y
x
log
y
− + − =
⇔
=
÷
3
1 2 1
3
1
x y
x y
− + − =
⇔
=
1 2 1
y x
x x
=
⇔
− + − =
1 2 1
Xét
x x− + − =1 2 1
(1≤1≤2) ta có
x x x x− + − + − − =1 2 2 1 2 1
x x⇔ − − =1 2 0
x x⇔ = ∨ =1 2
Nghiệm của hệ là
1 2
1 2
x x
y y
= =
∨
= =
26. ***ĐH-D-2005 CMR
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
12 15 12 15
2 2.3
5 4 5 4
x x x x
x
+ ≥ =
÷ ÷ ÷ ÷
12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
x x x x
x
+ ≥ =
÷ ÷ ÷ ÷
15 20 15 20
2 2.5
4 3 4 3
x x x x
x
+ ≥ =
÷ ÷ ÷ ÷
Suy ra
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
27. Tham khảo-2005 Giải
x x
x x
−
−
− ≤
÷
2
2
2
2
1
9 2 3
3
HD: Đặt
2
2
3 , 0
x x
t t
−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3
BPT thành
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x
⇔ ≤ ≤
28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy
ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4
x
=1.
3
2 4 1 1 4 3 4
x x x
+ = + + ≥
3
2 4 32
x
x
⇒ + ≥
Tương tự với y,z ta có:
x y z
x y z
+ + + + + ≥ + +
÷
÷
3 3 3
2 4 2 4 2 4 3 2 2 2
x y z
+ +
≥ =
3
3
3 3 2 3 3
(vì x+y+z=0)
29. ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25
− − =
+ =
HD:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25
− − =
+ =
log (y x) log y
x y
− − + =
⇔
+ =
4 4
2 2
1
25
y , y x
y
log
y x
x y
> >
⇔ =
−
+ =
4
2 2
0
1
25
y , y x
y
y x
x y
> >
⇔ =
−
+ =
2 2
0
4
25
y , y x
x
y
x y
> >
⇔ =
+ =
2 2
0
4
3
25
y , y x
x
y
x
> >
⇔ =
=
2
0
4
3
9
y , y x y ,y x
y y
x x
> > > >
⇔ = ∨ = −
= = −
0 0
4 4
3 3
x
y
=
⇔
=
3
4
30. Tham khảo-2004 Giải BPT
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
+ − <
HD:
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
+ − <
(
)
(
)
log x x x
log x x x
+ − >
⇔
+ − >
2
2
2
2
2 0
2 1
(
)
log x x x⇔ + − >
2
2
2 1
x x x
x x x
+ − >
⇔
+ − >
2
2
2 0
2 2
x x x⇔ + − >
2
2 2
x x x⇔ − > −
2
2 2
x x
x x x x x x
− < − ≥
⇔ ∨
− ≥ − > − +
2 2 2
2 0 2 0
2 0 2 4 4
x
x
x x
x x
≤
>
⇔ ∨
≤ ∨ ≥
+ − >
2
2
2
0 2
3 4 0
x
x
x x
≤
⇔ > ∨
< − ∨ >
2
2
4 1
( ) ( )
x x⇔ < − ∨ <4 1
31. Tham khảo-2004 Giải BPT
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
HD:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
2 2
1 3
log log
2 2
2 2
log 2. log 2
x x
x
⇔ ≥
÷
2 2
1 3
1 log log
2 2
x x
⇔ + ≥
2
1 log x
⇔ ≥
0 2x
⇔ < ≤
32. ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau
có nghiệm duy nhất
( )
1
1 ( 0)
x
x
x x x
+
= + >
HD:
( )
1
1
x
x
x x
+
= +
( )
1
ln ln 1
x
x
x x
+
⇔ = +
( )
( 1)ln ln 1x x x x⇔ + = +
( 1)ln ln( 1) 0x x x x⇔ + − + =
Đặt
( ) ( 1) ln ln( 1)f x x x x x= + − +
1 1
( ) ln ln( 1)
1
f x x x
x x
′
= − + + +
+
2
2 2
1
( ) 0
( 1)
x x
f x
x x
− − −
′′
= <
+
Suy ra f’(x) nghịch biến trên
R
+
Mà:
1 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x
f x
x x x
→+∞ →+∞
′
= + + =
÷
+ +
⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0
)=0 và x
0
là nghiệm duy
nhất.
33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số
ln x
y
x
= ∈
2
3
x 1;e
HD:
ln x
y f (x)
x
= = ∈
2
3
x 1;e
ln x( ln x)
f (x)
x
−
′
=
2
2
f (x) x x e
′
= ⇔ = ∨ =
2
0 1
f(1)=0;
2
2
4
( )f e
e
=
;
3
3
9
( )f e
e
=
GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
( )f e
e
=
34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
>
−
−+
−
x
x
x
HD:
1
2 2 3
0
2
x
x
x
−
+ −
>
−
x<1 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−
+ − <
− <
suy ra x<1 thỏa BPT
x=1 không thỏa BPT
1<x<2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−
+ − >
− <
suy ra 1<x<2
không thỏa BPT
x>2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−
+ − >
− >
suy ra x>2 thỏa BPT
Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
35. ***Tham khảo 2004 Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x= − +
Tìm GTNN của hàm số và
CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
HD:
2
( ) sin
2
x
x
y f x e x= = − +
( ) cos
x
f x e x x
′
= − +
( ) sin 1 0
x
f x e x
′′
= + + >
Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0
Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0
Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến
khi x<0
GTNN là f(0)=1
2 2
( ) 1 1 sin 1
2 2
x x
x x
y f x e x e= = − + − + ≥ − +
Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e
→+∞
− + = +∞
÷
⇒
( )
lim
x
f x
→+∞
= +∞
Và
2
lim 1
2
x
x
x
e
→−∞
− + = +∞
÷
⇒
( )
lim
x
f x
→−∞
= +∞
Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng
2 nghiệm phân biệt.
36. *Tham khảo 2004 Giải BPT
3 x
log x log 3>
HD: Đưa về
3
0, 1
log
1
x x
t x
t
t
> ≠
=
>
3
2
0, 1
log
1
0
x x
t x
t
t
> ≠
⇔ =
−
>
3
0, 1
log
1 0 1
x x
t x
t t
> ≠
⇔ =
− < < ∨ >
3 3
0, 1
1 log 0 log 1
x x
x x
> ≠
⇔
− < < ∨ >
1
1 3
3
x x⇔ < < ∨ >
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT
−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
Thay y=x vào PT thứ hai
2 1
2 2 0
x x−
− =
2 1 1x x x
⇔ = − ⇔ = −
(y=−1)
Thay y=1−x vào PT thứ hai
1
2 2 3 0
x
x
−
+ − =
Hàm số
1
( ) 2 2 3
x
f x x
−
= + −
đồng biến trên R và
f(1)=0 nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)
Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0)
38. Tham khảo 2003 Giải BPT
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
+ +
+ ≥ − +
HD: Đặt t=2
x
ta được
30 1 1 2t t t
+ ≥ − +
t=1 thỏa BPT
t>1 ta được
30 1 3 1t t
+ ≥ −
2
1
30 1 9 6 1
t
t t t
>
⇔
+ ≥ − +
2
1
4 0
t
t t
>
⇔
− ≤
1 4t
⇔ < ≤
t<1 ta được
30 1 1t t
+ ≥ +
2
1
1 1
1
30 1 2 1
30
t
t
t
t t t
< −
− ≤ <
⇔ ∨
−
≥
+ ≥ + +
2
1 1
1
1
30
28 0
t
t
t t
− ≤ <
−
⇔ ≤ < − ∨
− ≤
1 1
1
1
0 28
30
t
t
t
− ≤ <
−
⇔ ≤ < − ∨
≤ ≤
1
1 0 1
30
t t
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ <
Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta
có
0 4t
< ≤
0 2 4 2
x
x⇔ < ≤ ⇔ ≤
39. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm
thuộc (0;1)
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog
HD:
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog
( )
2
2 2
log log 0x x m⇔ + + =
( )
2
2 2
log logm x x⇔ = − −
Với 0<x<1 thì
2
0 1 log 0x x< < ⇔ <
PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m
thuộc miền giá trị của hàm số
2
( ) ( 0)f t t t t= − − <
Khảo sát hàm số cho kết quả
1
4
m ≤
40. ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
HD:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
2
2
4
2 3
2
x x
x x
−
−
⇔ − =
2
2
2
3 4 0
x x
t
t t
−
=
⇔
− − =
2
2 4
x x−
⇔ =
2
2 0x x⇔ − − =
1 2x x
⇔ = − ∨ =
41. Tham khảo 2003 Giải PT
( )
x
5
log 5 4 1 x− = −
HD:
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −
1
5 4 5
x x−
⇔ − =
5
5
4
x
t
t
t
=
⇔
− =
2
5
4 5 0
x
t
t t
=
⇔
− − =
5
5
x
t
t
=
⇔
=
1x⇔ =
42. ĐH-A-2002 Cho PT
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
HD:
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
+ + − =
2
3
2
log 1
6 0
t x
t t
= +
⇔
+ − =
2
3
log 1
2
t x
t
= +
⇔
=
2
3
log 3x
⇔ =
3
log 3x⇔ = ±
3
3x
±
⇔ =
2)
Xét
3
3
1 3 0 log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
( )
2
3
2
log 1
1
( ) 2
2
t x
m f t t t
= +
⇔
= = + −
PT ban đầu có nghiệm x thỏa
3
1 3x≤ ≤
khi và
chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với
1 2t≤ ≤
Khảo sát hàm số ta được
0 2m
≤ ≤
43. Tham khảo 2002 Giải PT
2
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
HD: Với ĐK
1 1
0, ,
3
3
x x x> ≠ ≠
Đưa về dạng
3 3
3 3
8log 3log
3 2log 1 log
x x
x x
=
+ +
Hoặc
3
log 0 1x x= ⇔ =
Hoặc
3 3
8 3
3 2log 1 logx x
=
+ +
3
1
log
2
x⇔ =
3x⇔ =
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )
≤−+
<−−−
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog
HD: Xét BPT ta có
( )
3
2
2 2
1 1
log log 1 1
2 3
x x+ − ≤
Giải xong được
1 2x− ≤ ≤
Xét BPT
3
1 3 0x x k− − − <
3
( ) 1 3k f x x x⇔ > = − −
Xét
1 1x− ≤ ≤
,
( )
3
( ) 1 3k f x x x> = − −
44. ĐH-B-2002 Giải BPT
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
HD:
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
( )
( )
( )
( )
3 3
3 3
0 1 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log 9 72 log 9 72
x x
x x
x x
x x
< < >
⇔ − > ∨ − >
− ≥ − ≤
( )
3
1
0 1
9 72 1
log 9 72
9 72 3
x
x
x x
x
x
x
>
< <
⇔ ∨ − >
− ≥
− ≤
1
0 1
3 6 2
9 72 3
9 3 72 0
x
x x
x x
x
x
>
< <
⇔ ∨ >
− ≥
− − ≤
1
0 1
3 8 3 9
6 2 3 9
x x
x
x
x
>
< <
⇔ ∨
≤ − ∨ ≥
≤ ≤
( )
3
log 6 2 2x⇔ < ≤
45. Tham khảo 2002 Giải HPT
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
− + =
− =
HD:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
− + =
− =
4 2
1, 1
4 3
log log
x y
x y
x y
≥ ≥
⇔ = −
=
2
1, 1
4 3
x y
x y
x y
≥ ≥
⇔ = −
=
2
1, 1
4 3
4 3 0
x y
x y
y y
≥ ≥
⇔ = −
− + =
1 9
1 3
x x
y y
= =
⇔ ∨
= =
46. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có
nghiệm
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
HD:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
2
1
2
3
9 3( 2) 2 1 0
x
t
t a t a
−
=
⇔
− + + + =
Với −1≤x≤1 ta có
1
3
3
t≤ ≤
Ta tìm a để PT
2
9 3( 2) 2 1 0t a t a
− + + + =
có nghiệm t
thỏa
1
3
3
t≤ ≤
Biến đổi PT
2
9 6 1
( )
3 2
t t
a f t
t
− +
= =
−
2
2
9(3 4 1)
( )
(3 2)
t t
f t
t
− +
′
=
−
,
1
( ) 0 1
3
f t t t
′
= ⇔ = ∨ =
x
-∞
1/3 2/3 1
+∞
f’(t) + 0
− −
0 +
f(t) 0
+∞
-∞
4
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
47. Tham khảo 2002 Giải PT
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
HD:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
( )
2 2 2
0, 1
log 3 log 1 log (4 )
x x
x x x
> ≠
⇔
+ + − =
2 2
0, 1
4
log 1 log
3
x x
x
x
x
> ≠
⇔
− =
+
0, 1
4
1
3
x x
x
x
x
> ≠
⇔
− =
+
0 1 1
4 4
1 1
3 3
x x
x x
x x
x x
< < >
⇔ ∨
− + = − =
+ +
2 2
0 1 1
2 3 4 2 3 4
x x
x x x x x x
< < >
⇔ ∨
− − + = + − =
2 2
0 1 1
6 3 0 2 3 0
x x
x x x x
< < >
⇔ ∨
+ − = − − =
3 2 3 3x x⇔ = − + ∨ =
48. ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
HD:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
3 2
2 5 4
(2 2)2
2 2
x
x x
x
y y
y
= −
⇔
+
=
+
3 2
2 5 4
2
x
x
y y
y
= −
⇔
=
3 2
2
5 4 0
x
y
y y y
=
⇔
− + =
2
2
5 4 0
x
y
y y
=
⇔
− + =
2
1 4
x
y
y y
=
⇔
= ∨ =
0 2
1 4
x x
y y
= =
⇔ ∨
= =
49. Tham khảo 2002 Giải PT
:
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
+ − − =
+ − − =
HD:
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
+ − − =
+ − − =
3 2 3
3 2 3
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
x x y y
x x x y x
y y y x y
> ≠ > ≠
⇔ + − − =
+ − − =
2
2
0, 1, 0, 1
2 3 5 0
2 3 5 0
x x y y
x x y
y y x
> ≠ > ≠
⇔ − − =
− − =
2 2
2 2
0, 1, 0, 1
2( ) 3( ) 5( ) 0
4( ) 3( ) 5( ) 0
x x y y
x y x y y x
x y x y x y
> ≠ > ≠
⇔ − − − − − =
+ − + − + =
2 2
0, 1, 0, 1
( )( 1) 0
4( ) 8( ) 0
x x y y
x y x y
x y x y
> ≠ > ≠
⇔ − + + =
+ − + =
2 2
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8 16 0 8 8 13 0
x x y y x x y y
x y y x
x x x x
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
⇔ = ∨ = − −
− = + + =
2
2
x
y
=
⇔
=
50. Tham khảo 2002 Giải BPT
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
HD:
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
2 1 2
2 1 2
2 3.2 0
4 4 2 3.2
x
x x
+
+
− >
⇔
+ ≤ −
4 16
x
⇔ ≥
2x
⇔ ≥
